新课改瘦专用2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测二十六系统知识__正弦定理余弦定理及应用举例含解析

课时跟踪检测（二十八） 平面向量的概念及线性运算
1．(2019·山东省实验中学高三摸底测试)已知a ，b 是两个非零向量，且|a ＋b|＝|a|＋|b|，则下列说法正确的是( )
A ．a ＋b ＝0
B ．a ＝b
C ．a 与b 反向共线
D ．存在正实数λ，使得a ＝λ b
解析：选D 由已知得，向量a 与b 为同向向量，即存在正实数λ，使得a ＝λb ，故选D.
2．设a 0为单位向量，下述命题中：①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a|a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a|a 0；③若a 与a 0平行且|a|＝1，则a ＝a 0.假命题的个数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
解析：选D 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.
3．(2019·广东仲元中学期中)在平行四边形ABCD 中，下列结论错误的是( ) A ．|AB ―→|＝|AD ―→
|一定成立 B ．AC ―→＝AB ―→＋AD ―→
一定成立 C ．AD ―→＝BC ―→
一定成立
D ．BD ―→＝AD ―→－AB ―→
一定成立
解析：选A 在平行四边形ABCD 中，AC ―→＝AB ―→＋AD ―→一定成立，AD ―→＝BC ―→
一定成立，BD ―→＝AD ―→－AB ―→一定成立，但|AB ―→|＝|AD ―→
|不一定成立．故选A.
4．(2019·石家庄高三一检)在△ABC 中，点D 在边AB 上，且BD ―→＝12DA ―→，设CB ―→
＝a ，
CA ―→＝b ，则CD ―→
＝( )
A.13a ＋23b
B.23a ＋13b
C.35a ＋45
b D.45a ＋35
b 解析：选B ∵BD ―→＝12DA ―→，∴BD ―→＝13BA ―→，∴CD ―→＝CB ―→＋BD ―→＝CB ―→＋13BA ―→＝CB ―→
＋
13(CA ―→－CB ―→)＝23CB ―→＋13CA ―→＝23a ＋1
3
b ，故选B.
5.(2019·长春模拟)如图所示，下列结论正确的是( )
①PQ ―→＝32a ＋3
2b ；
②PT ―→＝3
2a －b ；
③PS ―→＝32a －1
2b ；
④PR ―→＝3
2a ＋b.
A ．①②
B ．③④
C ．①③
D ．②④
解析：选C ①根据向量的加法法则，得PQ ―→＝32a ＋3
2b ，故①正确；②根据向量的减法
法则，得PT ―→＝32a －32b ，故②错误；③PS ―→＝PQ ―→＋QS ―→＝32a ＋3
2b －2b ＝32a －12b ，故③正确；
④PR ―→＝PQ ―→
＋QR ―→＝32a ＋32b －b ＝32a ＋12
b ，故④错误，故选C.
6．(2019·嘉兴调研)已知点O 为△ABC 外接圆的圆心，且OA ―→＋OB ―→＋CO ―→
＝0，则△ABC 的内角A 等于( )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
解析：选A 由OA ―→＋OB ―→＋CO ―→＝0得，OA ―→＋OB ―→＝OC ―→，由O 为△ABC 外接圆的圆心，结合向量加法的几何意义知，四边形OACB 为菱形，且∠CAO ＝60°，故A ＝30°.
7.(2019·江西新余第一中学模拟)如图，已知△OAB ，若点C 满足AC ―→＝2CB ―→，OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→
(λ，μ∈R)，则1λ＋1μ
＝( )
A.1
3 B.23 C.29
D.92
解析：选 D ∵OC ―→＝OA ―→＋AC ―→＝OA ―→＋23AB ―→＝OA ―→＋23(OB ―→－OA ―→)＝13OA ―→＋23OB ―→
，
∴λ＝13，μ＝23，∴1λ＋1μ＝3＋32＝9
2
.故选D.
8．(2019·张家口月考)在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，若2OA ―→＋OC ―→＝2OD ―→＋OB ―→
，则四边形ABCD 一定是( )
A ．矩形
B ．梯形
C ．平行四边形
D ．菱形
解析：选B ∵2OA ―→＋OC ―→＝2OD ―→＋OB ―→，∴2(OA ―→－OD ―→)＝OB ―→－OC ―→，即2DA ―→＝CB ―→
，∴DA ∥CB ，且2|DA ―→ |＝|CB ―→
|，∴四边形ABCD 一定是梯形．故选B.
9．(2019·甘肃诊断)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC ―→＝－4CD ―→，则AD ―→
＝( ) A.14AB ―→－34AC ―→ B.14AB ―→＋34AC ―→
C.34AB ―→－14
AC ―→ D.34AB ―→＋14
AC ―→ 解析：选B 法一：设AD ―→＝x AB ―→＋y AC ―→，由BC ―→＝－4CD ―→可得，BA ―→＋AC ―→＝－4CA
―→
－4AD ―→，即－AB ―→－3AC ―→
＝－4x AB ―→－4y AC ―→
，则⎩⎪⎨
⎪⎧
－4x ＝－1，－4y ＝－3，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1
4，y ＝3
4，
即
AD ―→＝14AB ―→＋34
AC ―→
，故选B.
法二：在△ABC 中，BC ―→＝－4CD ―→，即－14BC ―→＝CD ―→，则AD ―→＝AC ―→＋CD ―→＝AC ―→－14BC
―→＝AC ―→－14(BA ―→＋AC ―→)＝14AB ―→＋34
AC ―→
，故选B.
10.(2019·曲阜模拟)如图，在△ABC 中，AN ―→＝13NC ―→
，P 是BN 上的
一点，若AP ―→＝m AB ―→＋29
AC ―→
，则实数m 的值为( )
A.13
B.19 C ．1
D ．3
解析：选B 因为AN ―→＝13NC ―→，所以AC ―→＝4AN ―→.所以AP ―→＝m AB ―→＋29AC ―→＝m AB ―→＋89AN ―→
，
因为B ，P ，N 共线，所以m ＋89＝1，m ＝1
9
.
11．(2019·河南三市联考)若AP ―→＝12PB ―→，AB ―→＝(λ＋1)BP ―→
，则λ＝________.
解析：由AP ―→＝12PB ―→可知，点P 是线段AB 上靠近点A 的三等分点，则AB ―→＝－32BP ―→
，
所以λ＋1＝－32，解得λ＝－5
2
.
答案：－5
2
12．(2019·石家庄高三摸底考试)平行四边形ABCD 中，M 为BC 的中点，若AB ―→＝λAM ―→
＋μDB ―→
，则λμ＝________.
解析：∵DB ―→＝AB ―→－AD ―→＝AB ―→－BC ―→＝AB ―→－2BM ―→＝3AB ―→－2AM ―→，∴AB ―→＝λAM ―→
＋3μAB ―→－2μAM ―→，∴(1－3μ)AB ―→＝(λ－2μ)AM ―→，∵AB ―→和AM ―→
是不共线向量，∴
⎩⎪⎨⎪⎧
1－3μ＝0，λ－2μ＝0，
解得⎩⎪⎨⎪
⎧
μ＝13
，
λ＝2
3，
∴λμ＝2
9
.
答案：29
13．(2019·盐城一模)在△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平分线交BC 于点D ，若AB ＝4，且AD ―→＝14
AC ―→＋λAB ―→
(λ∈R)，则AD 的长为________．
解析：因为B ，D ，C 三点共线，所以14＋λ＝1，解得λ＝3
4，如图，过
点D 分别作AC ，AB 的平行线交AB ，AC 于点M ，N ，则AN ―→＝14AC ―→，AM ―→＝34AB ―→
，
经计算得AN ＝AM ＝3，AD ＝3 3.
答案：3 3
14．在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝23，BC ＝2，点E 在线段CD 上，若AE ―→＝AD ―→＋μAB ―→
，则μ的取值范围是________．
解析：由题意可求得AD ＝1，CD ＝3，所以AB ―→＝2DC ―→
. ∵点E 在线段CD 上，∴DE ―→＝λDC ―→
(0≤λ≤1)． ∵AE ―→＝AD ―→＋DE ―→，
又AE ―→＝AD ―→＋μAB ―→＝AD ―→＋2μDC ―→＝AD ―→＋2μλDE ―→，
∴
2μλ＝1，即μ＝λ2.∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤12
， 即μ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12.
答案：⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，12
15．已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP ―→＝m OA ―→＋n OB ―→
(m ，n ∈R)． (1)若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线； (2)若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1. 证明：(1)若m ＋n ＝1， 则OP ―→＝m OA ―→＋(1－m)OB ―→ ＝OB ―→＋m(OA ―→－OB ―→)， ∴OP ―→－OB ―→＝m(OA ―→－OB ―→)， 即BP ―→＝m BA ―→，∴BP ―→与BA ―→
共线． 又∵BP ―→与BA ―→
有公共点B ， ∴A ，P ，B 三点共线． (2)若A ，P ，B 三点共线， 则存在实数λ，使BP ―→＝λBA ―→
， ∴OP ―→－OB ―→＝λ(OA ―→－OB ―→)． 又OP ―→＝m OA ―→＋n OB ―→.
故有m OA ―→＋(n －1)OB ―→＝λOA ―→－λOB ―→， 即(m －λ)OA ―→＋(n ＋λ－1)OB ―→
＝0. ∵O ，A ，B 不共线，∴OA ―→，OB ―→
不共线，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
m －λ＝0，n ＋λ－1＝0，∴m ＋n ＝1.
课时跟踪检测（二十二） 三角函数的图象与性质
[A 级 基础题——基稳才能楼高]
1．(2018·河北枣强中学二模)下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π2，π上为减函数的是( )
A ．y ＝sin 2x
B ．y ＝2|cos x |
C ．y ＝cos x
2
D ．y ＝tan(－x )
解析：选D A 选项，函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4上单调递减，在⎝ ⎛⎭
⎪⎫3π4，π上单调递增，故排除A ；
B 选项，函数在⎝ ⎛⎭
⎪
⎫π2，π上单调递增，故排除B ；C 选项，函数的周期是4π，故排除C.故
选D.
2．关于函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，下列说法正确的是( )
A ．是奇函数
B ．在区间⎝
⎛⎭⎪⎫0，π3上单调递减
C.⎝
⎛⎭
⎪⎫π6，0为其图象的一个对称中心 D ．最小正周期为π
解析：选C 函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3是非奇非偶函数，A 错；函数y ＝tan ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间
⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3上单调递增，B 错；最小正周期为π2，D 错；由2x －π3＝k π2，k ∈Z ，得x ＝k π4＋π6，
k ∈Z.当k ＝0时，x ＝π6
，所以它的图象关于⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6
，0对称．
3．(2018·广西五市联考)若函数f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上的最大值
为1，则ω＝( )
A.1
4 B.13 C.12
D.32
解析：选C 因为0<ω<1,0≤x ≤π3，所以0≤ωx <π3，所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调
递增，则f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin ωπ3＝1，即sin ωπ3＝12.又0≤ωx <π3，所以ωπ3＝π6，
解得ω＝1
2
，选C.
4．(2019·冀州四校联考)定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )
的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫5π3的值为( )
A ．－12
B.12
C.716
D.32
解析：选D ∵f (x )的最小正周期是π，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3－2π＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π3，
∵函数f (x )是偶函数，∴f ⎝
⎛⎭⎪⎫5π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3＝sin π3＝32.故选D.
5．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)对任意x 都有f ( π6＋x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值为( )
A ．2或0
B ．－2或2
C ．0
D ．－2或0
解析：选B 因为函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6－x ，所以
该函数图象关于直线x ＝π
6对称，因为在对称轴处对应的函数值为最大值或最小值，所以选
B.
[B 级 保分题——准做快做达标]
1．y ＝|cos x |的一个单调递增区间是( )
A.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π2，π2 B ．[0，π] C.⎣
⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2 D.⎣⎢
⎡⎦
⎥
⎤3π2，2π
解析：选D 将y ＝cos x 的图象位于x 轴下方的部分关于x 轴对称向上翻折，x 轴上方(或x 轴上)的图象不变，即得y ＝|cos x |的图象(如图)．故选D.
2．(2019·常德检测)将函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π6个单位长度，得到
函数g (x )的图象，则下列说法不正确的是( )
A ．g (x )的最小正周期为π
B ．g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝32
C ．x ＝π
6
是g (x )图象的一条对称轴
D ．g (x )为奇函数
解析：选C 由题意得g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝
⎛⎭⎪⎫x －π6＋π3＝sin 2x ，所以周期为π，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin
π3＝32，直线x ＝π
6
不是g (x )图象的一条对称轴，g (x )为奇函数，故选C. 3．(2018·晋城一模)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，
其中ω为常数，且ω∈(1,3)．若对任意的实数x ，总有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最小值是( )
A ．1 B.π2
C ．2
D ．π
解析：选B ∵函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，∴π3ω＋π
3
＝k π，k ∈Z ，∴ω＝3k －1，k ∈Z ，由ω∈(1,3)，得ω＝2.由题意得|x 1－x 2|的最小值为函数的半个周期，即T 2＝πω＝π
2
.故选B.
4．(2018·广东七校联考)已知函数y ＝sin(2x ＋φ)在x ＝π
6处取得最大值，则函数y
＝cos(2x ＋φ)的图象( )
A ．关于点⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6，0对称 B ．关于点⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3，0对称 C ．关于直线x ＝π
6
对称
D ．关于直线x ＝π
3
对称
解析：选A 由题意可得π3＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，即φ＝π
6＋2k π，k ∈Z ，所以y ＝
cos(2x ＋φ)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2k π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，k ∈Z.当x ＝π6时，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋π6＝cos π2＝0，所以函数y ＝cos ()2x ＋φ的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称，不关于直线x ＝π6对称，故A
正确，C 错误；当x ＝π3时，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋π6＝cos 56π＝－32，所以函数y ＝cos(2x ＋φ)
的图象不关于点⎝
⎛⎭
⎪⎫π3，0对称，B 错误，也不关于直线x ＝π3对称，D 错误．故选A.
5．(2019·衡水联考)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－13在区间(0，π)内的所有零点之和为
( )
A.π6
B.π3
C.
7π6
D.
4π3
解析：选C 函数零点即y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3与y ＝13图象交点的横坐
标，在区间(0，π)内，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3与y ＝13的图象有两个交点，由2x ＋π3＝k π＋π2，得x ＝π12＋k π2，k ∈Z ，取k ＝1，得x ＝7π
12，可知
两个交点关于直线x ＝7π12对称，故两个零点的和为7π12×2＝7π
6
.故选C.
6．(2018·闽侯第六中学期末)若锐角φ满足sin φ－cos φ＝2
2
，则函数f (x )＝sin 2
(x ＋φ)的单调递增区间为( )
A.⎣
⎢⎡⎦⎥⎤2k π－5π12，2k π＋π12(k ∈Z)
B.⎣
⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z) C.⎣
⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π12，2k π＋7π12(k ∈Z) D.⎣
⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π12，k π＋7π12(k ∈Z) 解析：选B 因为sin φ－cos φ＝
22，所以2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫φ－π4＝22⇒φ－π4＝π6⇒φ
＝5π12
.因为f (x )＝sin 2
(x ＋φ)＝1－x ＋2φ
2
＝1－cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋5π62，所以由2x ＋5π6
∈
[2k π，2k π＋π](k ∈Z)得f (x )的单调递增区间为⎣
⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z)，故选B. 7．(2018·天津期末)设函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，其图象的一条对称轴在区间⎝
⎛⎭
⎪⎫π6，π3内，且f (x )的最小正周期大于π，则ω的取值范围为( )
A.⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，1 B ．(0,2) C ．(1,2)
D ．[1,2)
解析：选C 由题意f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)．令ωx ＋π6＝
π2＋k π，k ∈Z ，得x ＝π3ω＋k πω，k ∈Z.∵函数图象的一条对称轴在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3内，∴π6<
π3ω＋k πω<π3，k ∈Z ，∴3k ＋1<ω<6k ＋2，k ∈Z.又∵f (x )的最小正周期大于π，∴2π
ω
>π，解得0<ω<2.∴ω的取值范围为(1,2)．故选C.
8．函数f (x )＝
1＋log 12x ＋tan ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π4的定义域是____________．
解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧
1＋log 1
2
x ≥0，x ＋π4≠k π＋π
2k ∈
∴0<x ≤2，且x ≠k π＋π
4
(k ∈Z)，
∴函数f (x )的定义域是⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪
0<x ≤2，且x ≠π4. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪
⎪⎪
0<x ≤2，且x ≠
π
4 9．(2019·四川双流中学模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3，
且f (x )在⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π上单调递减，则ω＝________.
解析：由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3，可知函数f (x )的图象关于直线x ＝π4对称，∴π4ω＋π4＝π2＋
k π，k ∈Z ，∴ω＝1＋4k ，k ∈Z ，又f (x )在⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π上单调递减，∴T 2≥π－π2＝π2
，T ≥π，
∴2π
ω
≥π，∴ω≤2，又ω＝1＋4k ，k ∈Z ，∴当k ＝0时，ω＝1. 答案：1
10．已知函数f (x )＝3sin ⎝
⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)和g (x )＝3·cos(2x ＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的取值范围是________．
解析：由两三角函数图象的对称中心完全相同，可知两函数的周期相同，故ω＝2，所以f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－π6≤2x －π6≤5π6，所以－12≤sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，故f (x )∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－32，3.
答案：⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－32，3 11．(2018·郴州二模)已知函数f (x )＝2|cos x |sin x ＋sin 2x ，给出下列四个命题： ①函数f (x )的图象关于直线x ＝π
4
对称；
②函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π4，π4上单调递增； ③函数f (x )的最小正周期为π； ④函数f (x )的值域为[－2,2]．
其中是真命题的序号是________．(将你认为是真命题的序号都填上) 解析：对于函数f (x )＝2|cos x |sin x ＋sin 2x ，
由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝0， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4≠f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫3π4， 故f (x )的图象不关于直线x ＝π
4
对称，故排除①.
在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上，f (x )＝2|cos x |sin x ＋sin 2x ＝2sin 2x ，2x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π2，π2单调递增，故②正确．
函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝3，f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫4π3＝0， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3≠f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫4π3，故函数f (x )的最小正周期不是π，故③错误． 当cos x ≥0时，f (x )＝2|cos x |sin x ＋sin 2x ＝2sin x cos x ＋sin 2x ＝2sin 2x ，故它的最大值为2，最小值为－2；
当cos x <0时，f (x )＝2|cos x |sin x ＋sin 2x ＝－2sin x cos x ＋sin 2x ＝0， 综合可得，函数f (x )的最大值为2，最小值为－2，故④正确． 答案：②④
12．(2018·天津实验中学第二次阶段考试)已知函数f (x )＝2cos 2⎝
⎛⎭⎪⎫x －π6＋2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4.
(1)求函数f (x )的最小正周期和图象的对称中心；
(2)求f (x )在区间⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值．
解：(1)∵f (x )＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋2sin ( x －π4 )·sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π4
＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2－π4 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋1 ＝12cos 2x ＋32sin 2x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＋1
＝
32sin 2x －1
2
cos 2x ＋1 ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1，
∴f (x )的最小正周期为2π2＝π，图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋k π2，1，k ∈Z.
(2)x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，
当2x －π6＝π2，即x ＝π
3时，函数有最大值2；
当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，函数有最小值1
2.
13．(2019·武汉调研)已知函数f (x )＝a ( 2cos 2
x
2
＋sin x )＋b .
(1)若a ＝－1，求函数f (x )的单调递增区间；
(2)当x ∈[0，π]时，函数f (x )的值域是[5,8]，求a ，b 的值． 解：已知函数f (x )＝a (1＋cos x ＋sin x )＋b
＝2a sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋a ＋b .
(1)当a ＝－1时，f (x )＝－2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋b －1，
由2k π＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π
2(k ∈Z)，
得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π
4
(k ∈Z)，
∴f (x )的单调递增区间为[ 2k π＋π4，2k π＋5π
4 ](k ∈Z)．
(2)∵0≤x ≤π，∴π4≤x ＋π4≤5π
4，
∴－
22≤sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤1，依题意知a ≠0.
①当a >0时，得⎩⎨
⎧ 2a ＋a ＋b ＝8，b ＝5，
∴a ＝32－3，b ＝5.
②当a <0时，得⎩⎨
⎧
b ＝8，
2a ＋a ＋b ＝5，
∴a ＝3－32，b ＝8.
综上所述，a ＝32－3，b ＝5或a ＝3－32，b ＝8.
课时跟踪检测（二十九） 平面向量基本定理及坐标表示
[A 级 基础题——基稳才能楼高]
1．(2019·内江模拟)下列各组向量中，可以作为基底的是( ) A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2) B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7) C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12
，－34
解析：选B A 选项中，零向量与任意向量都共线，故其不可以作为基底；B 选项中，不存在实数λ，使得e 1＝λe 2，故两向量不共线，故其可以作为基底；C 选项中，e 2＝2e 1，两向量共线，故其不可以作为基底；D 选项中，e 1＝4e 2，两向量共线，故其不可以作为基底．故选B.
2．(2019·石家庄模拟)已知向量a ＝(1，m)，b ＝(m ,1)，则“m ＝1”是“a ∥b ”成立的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选A 向量a ＝(1，m)，b ＝(m ,1)，若a ∥b ，则m 2
＝1，即m ＝±1，故“m ＝1”是“a ∥b ”的充分不必要条件，选A.
3．(2019·天津六校期中联考)已知向量a ＝(1,2)，a －b ＝(4,5)，c ＝(x,3)，若(2a ＋b)∥c ，则x ＝( )
A ．－1
B ．－2
C ．－3
D ．－4
解析：选C ∵a ＝(1,2)，a －b ＝(4,5)，∴b ＝a －(a －b)＝(1,2)－(4,5)＝(－3，－3)，∴2a ＋b ＝2(1,2)＋(－3，－3)＝(－1,1)．又∵c ＝(x,3)，(2a ＋b)∥c ，∴－1×3－x
＝0，∴x ＝－3.故选C.
4．(2019·兰州模拟)已知向量a ＝(1－sin θ，1)，b ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，1＋sin θ，若a ∥b ，则锐角θ＝( )
A.π
6 B.π4 C.π3
D.5π12
解析：选B 因为a ∥b ，所以(1－sin θ)×(1＋sin θ)－1×12＝0，得sin 2
θ＝12，
所以sin θ＝±
22，故锐角θ＝π
4
. 5．(2019·福建莆田二十四中期中)在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，F 是线段DC 上的点．若DC ＝3DF ，设AC ―→＝a ，BD ―→＝b ，则AF ―→
＝( )
A.14a ＋12b
B.23a ＋13b
C.12a ＋14
b D.13a ＋23
b 解析：选B 如图所示，平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，F
是线段DC 上的点，且DC ＝3DF ，
∴DF ―→＝13DC ―→＝13(OC ―→－OD ―→)＝16
(AC ―→－BD ―→)，AD ―→＝OD ―→－OA ―→＝
12BD ―→＋12AC ―→.则AF ―→＝AD ―→＋DF ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 BD ―→＋12 AC ―→＋16(AC ―→－BD ―→)＝13BD ―→＋23AC ―→＝2
3a ＋
1
3
b.故选B. [B 级 保分题——准做快做达标]
1．(2019·福州期末)已知a ＝(1,2)，b ＝(－1,1)，c ＝2a －b ，则|c |＝( ) A.26 B ．3 2 C.10
D. 6
解析：选B ∵a ＝(1,2)，b ＝(－1,1)，∴c ＝2a －b ＝(3,3)，∴|c |＝9＋9＝32，故选B.
2．(2019·长沙一模)已知向量OA ―→＝(k ,12)，OB ―→＝(4,5)，OC ―→
＝(－k ,10)，且A ，B ，
C 三点共线，则k 的值是( )
A ．－23
B.43
C.12
D.13
解析：选A AB ―→＝OB ―→－OA ―→＝(4－k ，－7)，AC ―→＝OC ―→－OA ―→
＝(－2k ，－2)．∵A ，
B ，
C 三点共线，∴AB ―→，AC ―→
共线，∴－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k ＝－2
3
.
3．(2019·丹东五校协作体联考)向量a ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13，tan α，b ＝(cos α，1)，且a ∥b ，则cos 2α＝( )
A.1
3 B ．－13
C.79
D ．－79
解析：选C ∵a ∥b ，a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，tan α，b ＝(cos α，1)，∴13－tan α·cos α＝0，∴sin α＝13，∴cos 2α＝1－2sin 2
α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝79
.故选C.
4.(2019·深圳模拟)如图，在正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若
AC ―→＝λAM ―→＋μBD ―→
，则λ＋μ＝( )
A.43
B.53
C.158
D ．2
解析：选B 以点A 为坐标原点，分别以AB ―→，AD ―→
的方向为x ，y 轴的正方向，建立平面直角坐标系．设正方形的边长为2，则A (0,0)，C (2,2)，M (2,1)，B (2,0)，D (0,2)，所以AC ―→＝(2,2)，AM ―→＝(2,1)，BD ―→＝(－2,2)，所以λAM ―→＋μBD ―→
＝(2λ－2μ，λ＋2μ)，
因为AC ―→＝λAM ―→＋μBD ―→
，所以⎩
⎪⎨
⎪⎧
2λ－2μ＝2，λ＋2μ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧
λ＝4
3，μ＝1
3，
所以λ＋μ＝5
3
.
故选B.
5．(2019·邹城期中)在△ABC 所在平面上有三点P ，Q ，R ，满足PA ―→＋PB ―→＋PC ―→＝AB ―→
，QA ―→＋QB ―→＋QC ―→＝BC ―→，RA ―→＋RB ―→＋RC ―→＝CA ―→
，则△PQR 的面积与△ABC 的面积之比是( )
A ．1∶2
B ．1∶3
C ．1∶4
D ．1∶5
解析：选B 由PA ―→＋PB ―→＋PC ―→＝AB ―→，得PA ―→＋PC ―→＝－PB ―→＋AB ―→，即PA ―→＋PC ―→＝AB ―→
＋BP ―→＝AP ―→，
∴PC ―→＝2AP ―→
，则P 为线段AC 的一个三等分点，同理可得Q ，R 的位置．
∴△PQR 的面积为△ABC 的面积减去三个小三角形面积．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，则S △PQR ＝S △ABC －( 12×2c 3×13bsin A ＋12×13c ×2a 3sin B ＋12×13a ×2b
3
sin
C )＝S △ABC －2
9×3S △ABC ＝13
S △ABC ，∴△PQR 与△ABC 的面积比为1∶3.故选B.
6．已知平面直角坐标系内的两个向量a ＝(m ,3m －4)，b ＝(1,2)，且平面内的任意向量
c 都可以唯一地表示成c ＝λa ＋μb(λ，μ为实数)，则m 的取值范围是( )
A ．(－∞，4)
B ．(4，＋∞)
C ．(－∞，4)∪(4，＋∞)
D ．(－∞，＋∞)
解析：选C 平面内的任意向量c 都可以唯一地表示成c ＝λa ＋μb ，由平面向量基本定理可知，向量a ，b 可作为该平面所有向量的一组基底，即向量a ，b 是不共线向量．又因为a ＝(m ,3m －4)，b ＝(1,2)，则m ×2－(3m －4)×1≠0，即m ≠4，所以m 的取值范围为(－∞，4)∪(4，＋∞)．
7．(2019·淮南一模)已知G 是△ABC 的重心，过点G 作直线MN 与AB ，AC 分别交于点M ，
N ，且AM ―→＝x AB ―→，AN ―→＝y AC ―→
(x ，y >0)，则3x ＋y 的最小值是( )
A.83
B.72
C.52
D.43＋233
解析：选D 如图．AC ―→＝1y AN ―→，AB ―→＝1x AM ―→，又∵AG ―→＝13AB ―→＋
1
3AC ―→，∴AG ―→＝13x AM ―→＋13y AN ―→
，又∵M ，G ，N 三点共线，∴13x ＋13y ＝1.
∵x >0，y >0，∴3x ＋y ＝(3x ＋y )·⎝ ⎛⎭
⎪⎫13x ＋13y ＝1＋13＋y 3x ＋x y ≥43＋233.当且仅当y ＝3x 时取
等号．故选D.
8．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1,0)，B (0,1)，C 为坐标平面内第一象限内一点
且∠AOC ＝π4
，|OC ―→|＝2，若OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→
，则λ＋μ＝( )
A ．2 2 B. 2 C ．2
D ．4 2
解析：选A 因为|OC ―→|＝2，∠AOC ＝π4，所以C (2，2)，又OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→
，
所以(2，2)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝2，λ＋μ＝2 2.
9.如图，A ，B ，C 是圆O 上的三点，CO 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外一点D ，若OC ―→＝m OA ―→＋n OB ―→
，则m ＋n 的取值范围是( )
A ．(0,1)
B ．(1，＋∞)
C ．(－∞，－1)
D ．(－1,0)
解析：选D 由点D 是圆O 外一点，可设BD ―→＝λBA ―→ (λ>1)，则OD ―→＝OB ―→＋λBA ―→
＝λOA ―→＋(1－λ)OB ―→.又C ，O ，D 三点共线，令OD ―→＝－μOC ―→ (μ>1)，则OC ―→＝－λμOA ―→
－
1－λμ·OB ―→
(λ>1，μ>1)，所以m ＝－λμ，n ＝－1－λμ，则m ＋n ＝－λμ－1－λμ＝－1μ∈(－1,0)．
10．(2019·福清校际联盟期中)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(3,4)，则a ＋b ＝________. 解析：a ＋b ＝(1,2)＋(3,4)＝(4,6)． 答案：(4,6)
11.如图，在△ABC 中，已知43BN ―→－BA ―→＝13BC ―→，点P 在线段BN 上，若AP ―→＝λAB ―→＋
316AC ―→
，则实数λ的值为________．
解析：43BN ―→－BA ―→＝13BC ―→可化为AN ―→＝13NC ―→，即AN ―→＝14AC ―→，因为AP ―→＝λAB ―→＋316AC ―→，
所以AP ―→＝λAB ―→＋34AN ―→
.由B ，P ，N 三点共线可得λ＝14
.
答案：1
4
12．已知点A (2,3)，B (4,5)，C (7,10)，若AP ―→＝AB ―→＋λAC ―→
(λ∈R)，且点P 在直线
x －2y ＝0上，则λ的值为________．
解析：设P (x ，y )，则由AP ―→＝AB ―→＋λAC ―→
，得(x －2，y －3)＝(2,2)＋λ(5,7)＝(2＋5λ，2＋7λ)，所以x ＝5λ＋4，y ＝7λ＋5.又点P 在直线x －2y ＝0上，故5λ＋4－2(7λ＋5)＝0，解得λ＝－23
.
答案：－2
3
13.如图，O 点在△ABC 的内部，E 是BC 边的中点，且有OA ―→＋2OB ―→
＋3OC ―→
＝0，则△AEC 的面积与△AOC 的面积的比为________．
解析：取AC 的中点D ，连接OE ，OD .因为D ，E 分别是AC ，BC 边的
中点，所以OA ―→＋OC ―→＝2OD ―→，OB ―→＋OC ―→＝2OE ―→，因为OA ―→＋2OB ―→＋3OC ―→＝0，所以2OD ―→
＋4OE ―→
＝0，所以O ，D ，E 三点共线，且|DE ||OD |＝32.又因为△AEC 与△AOC 都以AC 为底，所以
△AEC 的面积与△AOC 的面积的比为3∶2.
答案：3∶2
14.如图，AB 是圆O 的直径，C ，D 是圆O 上的点，∠CBA ＝60°，∠ABD ＝45°，CD ―→＝x OA ―→＋y BC ―→
，求x ＋y 的值．
解：不妨设圆O 的半径为1，
则A (－1,0)，B (1,0)，D (0,1)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2
，－32，
所以CD ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
－12，1＋32，
BC ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
－12，－32.
又CD ―→＝x OA ―→＋y BC ―→
， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－1
2
，1＋32
＝x (－1,0)＋y ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1
2
，－32.
所以⎩⎪⎨
⎪⎧ －12＝－x －12y ，1＋32＝－32
y ，
解之得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝3＋33，y ＝－3＋233
，
所以x ＋y ＝3＋33－3＋233＝－3
3
.
15．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB ―→＝a ，BC ―→＝b ，CA ―→＝c ，且CM ―→
＝3c ，CN ―→
＝－2b.
(1)求3a ＋b －3c ；
(2)求满足a ＝mb ＋n c 的实数m ，n ； (3)求M ，N 的坐标及向量MN ―→
的坐标．
解：由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)． (1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)因为mb ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n)，
所以⎩
⎪⎨
⎪⎧
－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
m ＝－1，
n ＝－1.
(3)设O 为坐标原点，因为CM ―→＝OM ―→－OC ―→
＝3c ， 所以OM ―→＝3c ＋OC ―→
＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)． 所以M (0,20)．又因为CN ―→＝ON ―→－OC ―→
＝－2b ， 所以ON ―→＝－2b ＋OC ―→
＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， 所以N (9,2)．所以MN ―→
＝(9，－18)．
课时跟踪检测（二十六） 系统知识——正弦定理、余弦定理及
应用举例
1．(2019·邵阳联考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝3，b ＝3，
A ＝π3
，则B ＝( )
A.π
6 B.5π
6 C.
π6或5π6
D.2π3
解析：选A 由正弦定理得
3
sin
π3
＝3sin B ，∴sin B ＝12，∴B ＝π6或B ＝5π6，又b <a ，∴B <A ，∴B ＝π
6
.故选A.
2．已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝1∶1∶3，则此三角形的最大内角为( ) A ．60° B ．90° C ．120°
D ．135°
解析：选C ∵sin A ∶sin B ∶sin C ＝1∶1∶3，∴a ∶b ∶c ＝1∶1∶3，设a ＝m ，
则b ＝m ，c ＝3m .∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝m 2＋m 2－3m 22m 2
＝－1
2
，∴C ＝120°. 3．(2019·北京十五中模拟)在△ABC 中，∠C ＝60°，AC ＝2，BC ＝3，那么AB ＝( ) A. 5 B. 6 C.7
D ．2 2
解析：选C 由余弦定理得AB 2
＝22
＋32
－2×2×3×cos 60°＝7，∴AB ＝7，故选C. 4．在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解
C ．无解
D ．有解但解的个数不确定
解析：选C 由正弦定理得
b sin B ＝c
sin C
， ∴sin B ＝b sin C
c ＝40×
3220
＝3>1.
∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．
5．(2019·广州调研)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b ＝7，c ＝4，cos B ＝3
4
，则△ABC 的面积为( )
A ．37 B.
37
2
C ．9
D.92
解析：选B 由余弦定理b 2
＝c 2
＋a 2
－2ac cos B ，得7＝16＋a 2
－6a ，解得a ＝3，∵cos B ＝34，∴sin B ＝74，∴S △ABC ＝12ca sin B ＝12×4×3×74＝372
.故选B. 6．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c ＝2a ，b ＝4，cos B ＝14.则c
的值为( )
A ．4
B ．2
C ．5
D ．6
解析：选A ∵c ＝2a ，b ＝4，cos B ＝1
4，∴由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即16
＝14c 2＋c 2－14
c 2＝c 2
，解得c ＝4. 7．(2018·兰州一模)△ABC 中，内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，c ＝2a ，b sin B －a sin A ＝1
2
a sin C ，则sin B 的值为( )
A.22
3 B.3
4 C.74
D.13
解析：选C 由正弦定理，得b 2
－a 2
＝12ac ，又c ＝2a ，所以b 2＝2a 2
，所以cos B ＝
a 2
＋c 2
－b 2
2ac ＝34，所以sin B ＝7
4
. 8．已知A ，B 两地间的距离为10 km ，B ，C 两地间的距离为20 km ，现测得∠ABC ＝120°，则A ，C 两地间的距离为( )
A ．10 km
B ．10 3 km
C ．10 5 km
D ．107 km
解析：选 D 如图所示，由余弦定理可得，AC 2
＝100＋400－2×10×20×cos 120°＝700，
∴AC ＝107(km)．
9．(2019·豫南豫北联考)线段的黄金分割点的定义：若点C 在线段AB 上，且满足AC
2
＝BC ·AB ，则称点C 为线段AB 的黄金分割点．在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，若角B 的平分线交边AC 于点D ，则点D 为边AC 的黄金分割点，利用上述结论，可以求出cos 36°＝( )
A.5－1
4 B.5＋1
4 C.
5－1
2
D.
5＋1
2
解析：选B 不妨设AB ＝2，利用黄金分割点的定义得AD ＝5－1，易知∠A ＝∠ABD ＝36°，故AD ＝BD ＝5－1.在△ABD 中，cos 36°＝5－
2
＋22
－
5－
2
5－
＝
5＋1
4
，故选B.
10．(2019·莆田联考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a sin B cos
C ＋c sin B cos A ＝12
b ，且a >b ，则B ＝( )
A.π6
B.π3
C.2π3
D.5π6
解析：选A ∵a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝1
2b ，∴根据正弦定理可得sin A sin B cos C
＋sin C sin B cos A ＝12sin B ，即sin B (sin A cos C ＋sin C cos A )＝1
2
sin
B ．∵sin
B ≠0，∴sin(A ＋
C )＝12
，即sin B ＝12
.∵a >b ，∴A >B ，即B 为锐角，∴B ＝π6
，故选A.
11．一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是( )
A ．10 2 海里
B ．10 3 海里
C ．20 3 海里
D ．20 2 海里
解析：选A 画出示意图如图所示，易知，在△ABC 中，AB ＝20海里，
∠CAB ＝30°，∠ACB ＝45°，
根据正弦定理得BC sin 30°＝AB
sin 45°，
解得BC ＝102(海里)．
12．(2018·湖南长郡中学模拟)若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已
知2b sin 2A ＝a sin B ，且c ＝2b ，则a b
＝( )
A ．2
B ．3 C. 2
D. 3
解析：选A 由2b sin 2A ＝a sin B ，得4b sin A ·cos A ＝a sin B ，由正弦定理得4sin B ·sin
A ·cos A ＝sin A ·sin
B ，∵sin A ≠0，且sin B ≠0，∴cos A ＝1
4
，由余弦定理得a 2＝b 2
＋4b 2
－b 2
，∴a 2
＝4b 2
，∴a b
＝2.故选A.
13．(2019·凌源模拟)已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝6＋2，A ＝75°，cos B ＝
3
2
，则b ＝________. 解析：在△ABC 中，由cos B ＝
32，可得sin B ＝12，由A ＝75°，可得sin A ＝6＋24
，根据正弦定理a sin A ＝b sin B ，得6＋26＋24
＝b 1
2，解得b ＝2.
答案：2
14．(2018·惠州二调)在△ABC 中，设角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且C ＝60°，
c ＝3，则a ＋23cos A
sin B
＝________.
解析：由正弦定理知a
sin A
＝
c
sin C ＝2，所以a ＝2sin A ，则
a ＋23cos A
sin B
＝
2sin A ＋23cos A
sin B
＝
A ＋sin
B ＝
A ＋C
sin B
＝4.
答案：4
15.如图所示，一艘海轮从A 处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15°方向，与海轮相距20海里的B 处，海轮按北偏西60°的方向航行了30分钟后到达C 处，又测得灯塔在海轮的北偏东75°的方向，则海轮的速度为________海里/分．
解析：由已知得∠ACB ＝45°，∠B ＝60°，由正弦定理得
AC sin B ＝
AB
sin ∠ACB
，所以AC ＝
AB ·sin B sin ∠ACB ＝20×sin 60°
sin 45°
＝
106，所以海轮航行的速度为
10630＝6
3
(海里/分)．
答案：
63
16．(2019·河南实验中学模拟)△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，如果△ABC 的面积等于8，a ＝5，tan B ＝－43，那么a ＋b ＋c
sin A ＋sin B ＋sin C
＝________.
解析：由tan B ＝－43，得sin B ＝45，cos B ＝－3
5.
由△ABC 的面积S ＝8，得S ＝1
2
ac sin B ＝8，解得c ＝4.
由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2
－2ac cos B ＝25＋16－2×5×4×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－35＝65，则b ＝65.
由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝c
sin C ，
则
a ＋
b ＋
c sin A ＋sin B ＋sin C ＝b sin B ＝6545
＝565
4
.
答案：5654。