初一数学上册拓展讲义20141003

有理数拓展知识
1、利用非负性求值
如果用M 代表某个代数式，那么有|푀|≥0，푀2푛≥0（n 为正整数），这就是绝对值和偶次方的非负性。

结论：如果几个非负的代数式之和为0，则每个代数式均等于0。

例题1：a、b 均为有理数，如果2|푎−3|与5(3푏+6)4互为相反数，求|푎+푏|的值。

变式练习：如果|3푥+2푦|=(−2)3|푦−3|−(푧+1)2，求x+y+z的相反数是多少？
2、利用绝对值的几何意义求最值
a、b 是数轴上的两个数，|푎−푏|表示在数轴上a、b 所对应的两个点之间的距离，例如|5+7|=|5−(−7)|表示在数轴上5 与-7 对应的两个点之间的距离；|x+2|+|x−3|表示在
数轴上x 与-2 的距离加上x 到3 的距离。

结论：a、b（a<b）表示数轴上的两个固定的数，x 是数轴上任意一个数，那么（1）|퐱−퐚|+|퐱−퐛|有最小值|퐚−퐛|，无最大值；
（2）|퐱−퐚|−|퐱−퐛|有最小值−|퐚−퐛|，最大值|퐚−퐛|
例题2：m 表示数轴上的任意一个数，当m 取何值时|m+5|+|m−7|的值最小，此时最小
值是多少？
变式练习：x 是任意的实数，y=|퐱−ퟐ|−|퐱+ퟐ|，y 是否有最小值和最大值，如果有求出最小值和最大值，如果没有说明理由。

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3、分段讨论求几个绝对值的最值
如果想把绝对值符号去掉，必须考虑绝对值符号里面的符号再化简。

根据绝对值的代数意义，
如果a、b、c（a<b<c）都是有理数，形如|퐱−퐚|+|퐱−퐛|+|퐱+퐜|的化简可分段进行讨论，也就是令每个绝对值都等于0，求出分界点（这里的分界点为a、b、c），对每一段x 的值进
行讨论。

例题3：当x 取何值时，代数式|x+5|+|x−2|+|x−7|的最小值，并求出最小值。

变式练习：x 是任意实数，代数式|2x−4|+3|x−1|+|x−3|有无最小值，如果有求出最小
值；如果没有说明理由。

4、乘方尾数的确定
一个整数的n 次方（n=1，2，3，……）的末位数是呈周期性变化的，我们把末位数0—9
的n 次方后的末位数列表如下：
末位数0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 次方0 1
2
3
4
5
6
7
8 9
2 次方0 1 4 9 6 5 6 9 4 1
3 次方0 1 8 7
4
5
6 3 2 9
4 次方0 1 6 1 6
5
6 1 6 1
5 次方0 1 2 3 4 5
6
7
8 9
总结：末位数0、1、5、6 无论经过几次方末位数都不变
末位数4、9 经过n 次方后的末位数是以2 为周期进行变化
末位数2、3、7、8 经过n 次方后的末位数是以4 为周期进行变化
例题4：(−2013)2014的末位数是多少？
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变式练习：(−123)1997 + 6782013的末位数是多少？
5、乘方的计算
如果a、b 为实数，m、n 为整数，则有以下计算公式：
（1）同底数幂相乘：풂풎×풂풏= 풂풎+풏
（2）同底数幂相除：풂풎÷풂풏= 풂풎−풏
（3）积的乘方：(퐚×퐛)퐦= 풂풎×풃풎
（4）幂的乘方：(풂풎)풏= 풂풎풏
例题5：计算(−2)3 ×(−2)2 + (−2)4 [(−3)× 2]6 ÷(−3)6变式练习1：(−2)123 ×(−2)567 + (−2)3的末位数是多少？
变式练习2：计算[(−ퟐ)ퟐ]ퟐ×ퟐퟐ÷(−ퟐ)ퟐ
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