辽宁省沈阳市第二十一中学高中数学必修一课件 1.2.1集合之间的关系
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1.2.1集合之间的关系
第一页，编辑于星期日：二十一点 分。
复习
❖ 元素与集合之间的关系是什么？ ❖ 集合的表示法有几种？
第二页，编辑于星期日：二十一点 分。
引例：观察下列几个集 合，找出它们每组之 间的关系 1.A {1,3},B {1,3,5,6} 2.C {x x是长方形}，D {x x是平行四边形} 3.S {x x 3},Q {x3x 6 0} 4.M {x x是沈阳人}，N {x x是中国人} 5.P {1,3,5},Q {1,2,3,6} 6.E {x(x 1)(x 2) 0},F {x Z|-3 x 0}
第六页，编辑于星期日：二十一点 分。
E {x (x 1)(x 2) 0}, F {x | 3 x 0, x Z}
三.集合相等
如果集合A的每一个元素都是集合 B的元素，反过来
集合B的元素也都是集合 A的元素，就说集合 A等于集
合B.
记作：A B
A B, B A A B
A B, A B AB
第十五页，编辑于星期日：二十一点 分。
思考2：集合的相等与 集合的特征性质有关系 吗？
结论2
设A x px,B x qx,
如果A B,则p(x) q(x),且q(x) p(x),即p(x) q(x)
反之，如果p(x) q(x),和q(x) p(x)都正确， 即p(x) q(x)，则A B
第十六页，编辑于星期日：二十一点 分。
第三页，编辑于星期日：二十一点 分。
一.子集： 如果集合A中的任何一个元素都是 集合B中的元素， 那么集合A叫做集合B的子集. 记作：A B或（B A)
读作：A包含于B，或B包含A
如果集合P中存在不是 Q中的元素，那么集合 P不包含 于Q,或Q不包含P.记作： P Q（或Q P)
思考： A可以看作是A的子集 吗？
思考：Байду номын сангаас
集合A { 1,2,3, ,n } 则A的子集有多 2n 少个？
结论： 若集合A中有n个元素，
2 则A的子集个数有 n个
第九页，编辑于星期日：二十一点 分。
若 card( A) n
则A的子集个数
则 A真子集的个数：
则A的非空子集个数
2n
2n 1 2n 1
则A非空真子集的个数： 2n 2
反之，如果p(x) q(x),则A一定是B的子集
思考2：集合的相等与 集合的特征性质有关系 吗？
如果p(x) q(x),和q(x) p(x)都正确，，这 时我们说
结一个命题的条件和结论 可以相互推出，用 表示，上述 论两个互逆命题可以表示 为p(x) q(x) 2 如果p(x) q(x)，则A B;
第十二页，编辑于星期日：二十一点 分。
练习
1.下列命题：1空集没有子集；2任何集合至少有两个子 集；
3空集是任何集合的真子
其中正确的有___1_ __个
集；4若
A，则
A
2.下列各式中，正确 的是______2__, _3_ ____
100，1，2； 20，1，2 2，1，0；
3 0，1，2; 40，1 0，1；
性质 : ( 1).反身性 : A A
(2).特殊性 ：( 规定 ) A
(3)传递性：A B, B C则A C
第四页，编辑于星期日：二十一点 分。
引例：观察下列几个集 合，找出它们每组之 间的关系 1.A {1,3},B {1,3,5,6} 2.C {x x是长方形}，D {x x是平行四边形} 3.S {x x 3},Q {x3x 6 0} 4.M {x x是沈阳人}，N {x x是中国人} 5.E {x(x 1)(x 2) 0},F {x|3 x 0,x Z}
例3判定下列集合之间的关 系
1A x x是12的约数 ，B x x是36的约数 2A x x 3, B x x 5 3A x x是矩形，B x x是有一个角为直角的平 行四边形
解：1因为x是12的约数 x是36的约数，所以A B
2因为x 5 x 3, 所以B A
3因为x是矩形 x是有一个角是直角的
平行四边形，所以 A B
第十七页，编辑于星期日：二十一点 分。
3.满足a M a, b, c, d的集合M有 ___7____ 个
4.已知 x x2 1 0 A 1,0,1, 集合A的
子集个数是 ____8___ 个
5.A x x2 4x 0 , B x x2 2a 1x a2 1 0
反之如果A B,则p(x) q(x)
第十九页，编辑于星期日：二十一点 分。
第五页，编辑于星期日：二十一点 分。
二.真子集：如果A B,且B中至少有一个元素 不属于A,那么A叫做B的真子集.
记作：A B(或B A)
读作：A真包含于B或B真包含A
思考： 空集是任何 非空集合的真子集 ???
性质：1.空集是任何非空 集合的真子集。
2.传递性：A B,B C则A C
50 0；
6 0
第十三页，编辑于星期日：二十一点 分。
A {x | x 1}
B {x | x 0}
C {x | x是有理数} D {x | x是实数}
E {x | x2 1}
F x | x 1
第十四页，编辑于星期日：二十一点 分。
五.集合关系与特征性 质之间的关系
思考1：A x x是等边三角形 ，B x x是等腰三角形 ，
两集合之间的关系怎样 ？特征性质之间的关系 ？
结论1 设A x px,B x qx,
如果A B,则p(x) q(x)
反之，如果p(x) q(x),则A一定是B的子集,即A B
设A x px,B x qx,如果A B,
则x A x B.于是x具有性质p (x) x具有性质q(x), 即p(x) q(x)
第十页，编辑于星期日：二十一点 分。
例1：
(1)1 ,1,2,1,2
2
第十一页，编辑于星期日：二十一点 分。
例2.用适当的符号填 空
(1).3 1，2，3，5, (2)5 {5}
(3)a a,b,c, (5) 0,
(7) x x2 4
(4)a,b,c b,c
(6) x x2 2x 1 0
若B A,求实数a的值
a 1或者a 1
第十八页，编辑于星期日：二十一点 分。
五.集合关系与特征性 质之间的关系
思考1：A x x是等边三角形 ，B x x是等腰三角形 ，
两集合之间的关系怎样 ？特征性质之间的关系 ？
结 设A x px,B x qx,如果A B,
论则x A x B.于是x具有性质p (x) x具有性质q(x), 1 即p(x) q(x)
第七页，编辑于星期日：二十一点 分。
四.集合的维恩（ venn）图表示法：
AB
A / B B A
AB
第八页，编辑于星期日：二十一点 分。
1.集合A { 1 } 则A的子集有多2少1 个？ 2.集合A { 1,2 } 则A的子集有多2少2 个？
3.集合A { 1,2,3 }则A的子集有多2少3 个？
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复习
❖ 元素与集合之间的关系是什么？ ❖ 集合的表示法有几种？
第二页，编辑于星期日：二十一点 分。
引例：观察下列几个集 合，找出它们每组之 间的关系 1.A {1,3},B {1,3,5,6} 2.C {x x是长方形}，D {x x是平行四边形} 3.S {x x 3},Q {x3x 6 0} 4.M {x x是沈阳人}，N {x x是中国人} 5.P {1,3,5},Q {1,2,3,6} 6.E {x(x 1)(x 2) 0},F {x Z|-3 x 0}
第六页，编辑于星期日：二十一点 分。
E {x (x 1)(x 2) 0}, F {x | 3 x 0, x Z}
三.集合相等
如果集合A的每一个元素都是集合 B的元素，反过来
集合B的元素也都是集合 A的元素，就说集合 A等于集
合B.
记作：A B
A B, B A A B
A B, A B AB
第十五页，编辑于星期日：二十一点 分。
思考2：集合的相等与 集合的特征性质有关系 吗？
结论2
设A x px,B x qx,
如果A B,则p(x) q(x),且q(x) p(x),即p(x) q(x)
反之，如果p(x) q(x),和q(x) p(x)都正确， 即p(x) q(x)，则A B
第十六页，编辑于星期日：二十一点 分。
第三页，编辑于星期日：二十一点 分。
一.子集： 如果集合A中的任何一个元素都是 集合B中的元素， 那么集合A叫做集合B的子集. 记作：A B或（B A)
读作：A包含于B，或B包含A
如果集合P中存在不是 Q中的元素，那么集合 P不包含 于Q,或Q不包含P.记作： P Q（或Q P)
思考： A可以看作是A的子集 吗？
思考：Байду номын сангаас
集合A { 1,2,3, ,n } 则A的子集有多 2n 少个？
结论： 若集合A中有n个元素，
2 则A的子集个数有 n个
第九页，编辑于星期日：二十一点 分。
若 card( A) n
则A的子集个数
则 A真子集的个数：
则A的非空子集个数
2n
2n 1 2n 1
则A非空真子集的个数： 2n 2
反之，如果p(x) q(x),则A一定是B的子集
思考2：集合的相等与 集合的特征性质有关系 吗？
如果p(x) q(x),和q(x) p(x)都正确，，这 时我们说
结一个命题的条件和结论 可以相互推出，用 表示，上述 论两个互逆命题可以表示 为p(x) q(x) 2 如果p(x) q(x)，则A B;
第十二页，编辑于星期日：二十一点 分。
练习
1.下列命题：1空集没有子集；2任何集合至少有两个子 集；
3空集是任何集合的真子
其中正确的有___1_ __个
集；4若
A，则
A
2.下列各式中，正确 的是______2__, _3_ ____
100，1，2； 20，1，2 2，1，0；
3 0，1，2; 40，1 0，1；
性质 : ( 1).反身性 : A A
(2).特殊性 ：( 规定 ) A
(3)传递性：A B, B C则A C
第四页，编辑于星期日：二十一点 分。
引例：观察下列几个集 合，找出它们每组之 间的关系 1.A {1,3},B {1,3,5,6} 2.C {x x是长方形}，D {x x是平行四边形} 3.S {x x 3},Q {x3x 6 0} 4.M {x x是沈阳人}，N {x x是中国人} 5.E {x(x 1)(x 2) 0},F {x|3 x 0,x Z}
例3判定下列集合之间的关 系
1A x x是12的约数 ，B x x是36的约数 2A x x 3, B x x 5 3A x x是矩形，B x x是有一个角为直角的平 行四边形
解：1因为x是12的约数 x是36的约数，所以A B
2因为x 5 x 3, 所以B A
3因为x是矩形 x是有一个角是直角的
平行四边形，所以 A B
第十七页，编辑于星期日：二十一点 分。
3.满足a M a, b, c, d的集合M有 ___7____ 个
4.已知 x x2 1 0 A 1,0,1, 集合A的
子集个数是 ____8___ 个
5.A x x2 4x 0 , B x x2 2a 1x a2 1 0
反之如果A B,则p(x) q(x)
第十九页，编辑于星期日：二十一点 分。
第五页，编辑于星期日：二十一点 分。
二.真子集：如果A B,且B中至少有一个元素 不属于A,那么A叫做B的真子集.
记作：A B(或B A)
读作：A真包含于B或B真包含A
思考： 空集是任何 非空集合的真子集 ???
性质：1.空集是任何非空 集合的真子集。
2.传递性：A B,B C则A C
50 0；
6 0
第十三页，编辑于星期日：二十一点 分。
A {x | x 1}
B {x | x 0}
C {x | x是有理数} D {x | x是实数}
E {x | x2 1}
F x | x 1
第十四页，编辑于星期日：二十一点 分。
五.集合关系与特征性 质之间的关系
思考1：A x x是等边三角形 ，B x x是等腰三角形 ，
两集合之间的关系怎样 ？特征性质之间的关系 ？
结论1 设A x px,B x qx,
如果A B,则p(x) q(x)
反之，如果p(x) q(x),则A一定是B的子集,即A B
设A x px,B x qx,如果A B,
则x A x B.于是x具有性质p (x) x具有性质q(x), 即p(x) q(x)
第十页，编辑于星期日：二十一点 分。
例1：
(1)1 ,1,2,1,2
2
第十一页，编辑于星期日：二十一点 分。
例2.用适当的符号填 空
(1).3 1，2，3，5, (2)5 {5}
(3)a a,b,c, (5) 0,
(7) x x2 4
(4)a,b,c b,c
(6) x x2 2x 1 0
若B A,求实数a的值
a 1或者a 1
第十八页，编辑于星期日：二十一点 分。
五.集合关系与特征性 质之间的关系
思考1：A x x是等边三角形 ，B x x是等腰三角形 ，
两集合之间的关系怎样 ？特征性质之间的关系 ？
结 设A x px,B x qx,如果A B,
论则x A x B.于是x具有性质p (x) x具有性质q(x), 1 即p(x) q(x)
第七页，编辑于星期日：二十一点 分。
四.集合的维恩（ venn）图表示法：
AB
A / B B A
AB
第八页，编辑于星期日：二十一点 分。
1.集合A { 1 } 则A的子集有多2少1 个？ 2.集合A { 1,2 } 则A的子集有多2少2 个？
3.集合A { 1,2,3 }则A的子集有多2少3 个？