(常考题)北师大版高中数学必修一第二单元《函数》检测卷(包含答案解析)(1)

一、选择题
1．已知函数()1,0112,12x x x f x x +≤<⎧⎪
=⎨-≥⎪⎩
，若0a b >≥，()()f a f b =，则()bf a 的取值范
围是（ ）
A ．3
,24⎛⎤
⎥⎝⎦
B ．1,22
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．(]1,2
D ．3,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭
2．已知定义域为(0,)+∞的函数()f x 满足：()()()1f xy f x f y =++，当1x >时，
()1f x <-，且128f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，则不等式()(3)3f x f x +->-的解集为（ ）
A ．(0,3)
B ．(1,2)
C ．(1,3)
D ．(0,1)
(2,3)
3．设0a >且1a ≠，函数221x x y a a =+-在区间[]1,1-上的最大值是14，则实数a 的值为（ ） A ．
1
3
或2 B ．2或3
C ．
1
2
或2 D ．
1
3
或3 4．已知函数()3
2
21x
f x x =-+，且()()20f a f b ++<，则（ ） A ．0a b +< B ．0a b +> C ．10a b -+> D ．20a b ++<
5．函数()2
1x
f x x
=
-的图象大致是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
6．已知函数()y f x =的定义域为[]0,4，则函数0(1)
(2)1
f x y x x +=+--的定义域是（ ） A ．[1,5]
B ．((1,2)
(2,5) C ．(1,2)(2,3]⋃
D ．[1,2)(2,3]⋃
7．已知函数()f x 是奇函数，()f x 在(0,)+∞上是减函数，且在区间[,](0)a b a b <<上的值域为[3,4]-，则在区间[,]b a --上（ ） A ．有最大值4 B ．有最小值-4 C ．有最大值-3 D ．有最小值-3
8．函数sin sin 12
2x
x
y =+
的部分图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9．函数f (x )=x 2+
2
ln||
2x x 的图象大致为( ) A ． B ．
C ．
D ．
10．已知函数()2
f x x ax b =-+-（a ，b 为实数）在区间[]22-,
上最大值为M ，最小值为m ，则M m -（ ） A ．与a 有关，且与b 有关 B ．与a 有关，但与b 无关 C ．与a 无关，但与b 有关
D ．与a 无关，且与b 无关
11．已知函数()113sin 22f x x x ⎛
⎫=+-+ ⎪⎝⎭，则
122018201920192019f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
（ ） A ．2018 B ．2019 C ．4036
D ．4038
12．函数()()2
212f x x a x =+--在(],4-∞上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．3a ≤-
B ．3a ≥-
C ．5a ≥
D ．3a ≥
二、填空题
13．设函数()42x f x e x =-()g x mx =，若对于[]10,1x ∀∈，总[]21,2x ∃∈，使得()()12f x g x >恒成立，则实数m 的取值范围是_________.
14．设函数()y f x =的定义域为R ，满足(1)2()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，
()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有3
()4
f x >-，则m 的取值范围是_____.
15．已知实数0a ≠，函数()2,1
2,1
x a x f x x a x +<⎧=⎨-+≥⎩，若()()11f a f a -=+，则a 的取值
范围是___________.
16．设函数2222,0
(),0
x x x f x x x ⎧++=⎨->⎩，若(())2f f a =，则a =___________.
17．已知函数()f x 的值域为[]0,4（2,2x
），函数()1=-g x ax ，2,2x ，
[]12,2x ∀∈-，总[]02,2x ∃∈-，使得()()01g x f x =成立，则实数a 的取值范围为
________________.
18．已知函数()4
f x x a a x
=-++，若当[]1,4x ∈时，()5f x ≤恒成立，则实数a 的取值范围是______．
19．定义在R 上的函数()f x 满足(3)()1f x f x +=+，且[0,1]x ∈时，()6x f x =，
(1,3)x ∈时，(1)
()f f x x
=
，则函数()f x 的零点个数为__________. 20．设()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在[)0,+∞上是减函数，若
()()21f m f m ->，则实数m 的取值范围是__________ 三、解答题
21．已知函数()211
2f x a a x
=+
-，实数a R ∈且0a ≠. （1）设0m n <<，判断函数()f x 在[],m n 上的单调性，并说明理由；
（2）设0m n <<且0a > 时，()f x 的定义域和值域都是[],m n ，求n m -的最大值； （3）若1≥x 时不等式()2
2a f x x ≤恒成立，求实数a 的取值范围.
22．已知函数()2
22f x x ax =++，[]5,5x ∈-．
（1）当1a =-时，求函数()f x 的最大值和最小值；
（2）求实数a 的取值范围，使()y f x =在区间[]5,5-上是单调函数． （3）求函数()f x 的最小值()g a 的表达式，并求()g a 的最大值． 23．已知函数()y f x =是[]1,1-上的奇函数，当10x ≤<时，()2112
x f x x =-+. （1）判断并证明()y f x =在[)1,0-上的单调性； （2）求()y f x =的值域.
24．已知函数()0k
y x k x
=+>在区间(单调递减，在区间)
+∞单调递增．
（1）求函数2
y x x
=+
在区间(),0-∞的单调性；（只写出结果，不需要证明） （2）已知函数()()213
1
x ax f x a x ++=∈+R ，若对于任意的x N *∈，有()5f x ≥恒成
立，求实数a 的取值范围．
25．已知函数()f x 对一切实数,x y 都有()()f x y f y +-=(21)x x y ++成立，且
(1)0f =.
（1）求(0)f 的值，及()f x 的解析式；
（2）当21x -≤≤时，不等式()(1)5f x a a x -≥-- 恒成立，求a 的取值范围. 26．已知定义在()1,1-上的奇函数2()1ax b
f x x +=+，且1225
f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的解析式；
（2）证明：()f x 在0,1上是增函数；
（3）解不等式()2
(120)f t f t -+<.
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一、选择题 1．D 解析：D 【分析】
由()f x 在每一段上单调递增可知01b a ≤<≤，由()f x 每一段上的值域可知
()3,22f b ⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭
，进一步确定112b ≤<，由()()()1bf a bf b b b ==+，根据二次函数的
值域得到结果. 【详解】
()f x 在[)0,1和[)1,+∞上单调递增，∴由()()f a f b =得：01b a ≤<≤，
当[)0,1x ∈时，()[)1,2f x ∈；当[)1,x ∈+∞时，()3
,2f x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭
， 若()()f a f b =，则()3,22f x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，即()31,22f b b ⎡⎫=+∈⎪⎢⎣⎭，解得：
1
12
b ≤<， ()()()2
2
11124bf a bf b b b b b b ⎛
⎫==+=+=+- ⎪⎝
⎭，
∴当
112b ≤<时，()3,24bf a ⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭
. 故选：D. 【点睛】
易错点点睛：本题解题关键是能够将()bf a 转化为关于b 的函数，易错点是没有对b 的范围进行细化，造成函数值域求解错误.
2．D
解析：D 【分析】
任设120x x <<，则2
1
1x x >，
21()1x f x <-，根据定义可得()f x 在(0,)+∞上为递减函数，令1x y ==得(1)1f =-，令1
8,8
x y ==
可得(8)4f =-，可得(2)2f =-，将不等式化为[(3)](2)f x x f ->，利用单调性和定义域可解得结果.
任设120x x <<，则2
1
1x x >，
21()1x f x <-， 所以()()()()222111111111x x f x f x f x f f x f x x x ⎛
⎫
⎛⎫
=⋅
=++<-+= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
， 所以()f x 在(0,)+∞上为递减函数，
在()()()1f xy f x f y =++中，令1x y ==得(1)2(1)1f f =+，得(1)1f =-，
令18,8x y ==得11
(1)(8)(8)()188
f f f f =⨯=++，所以(8)1124f =---=-， 又(8)(2)(4)1f f f =++(2)(2)(2)113(2)2f f f f =++++=+4=-，
所以(2)2f =-，
()(3)3f x f x +->-可化为()(3)12(2)f x f x f +-+>-=，
所以[(3)](2)f x x f ->，所以030(3)2x x x x >⎧⎪
->⎨⎪-<⎩
，解得01x <<或23x <<.
故选：D 【点睛】
关键点点睛：利用定义判断函数的单调性以及求出(2)f 是解题关键.
3．D
解析：D 【分析】
本题首先可以令x t a =，将函数转化为()2
12y t =+-并判断出函数的单调性，然后分为
01a <<、1a >两种情况进行讨论，根据最大值是14进行计算，即可得出结果. 【详解】
令x t a =（0a >、1a ≠），则()2
22112y t t t =+-=+-， 因为0a >，所以0x t a =>，函数()2
12y t =+-是增函数， 当01a <<、[]1,1x ∈-时，1,t a a
⎡⎤∈⎢⎥⎣
⎦
，
此时2
max
11214y a ⎛⎫
=+-= ⎪⎝⎭
，解得13a =或15-（舍去）；
当1a >、[]1,1x ∈-时，1
,t a a
⎡⎤∈⎢⎥⎣
⎦
，
此时()2
max 1214y a =+-=，解得3a =或5-（舍去）， 综上所述，实数a 的值为
1
3
或3，
【点睛】
本题考查根据函数的最值求参数，能否通过换元法将函数转化为二次函数是解决本题的关键，考查二次函数单调性的判断和应用，考查分类讨论思想，考查计算能力，是中档题.
4．A
解析：A 【分析】
求得函数的单调性，构造奇函数利用单调性得解 【详解】
由函数单调性性质得：3
y x =，21x
y =+在R 上单调递增
所以()3
2
21
x f x x =-
+在R 上单调递增， 令函数()()3
21
121
x x g x f x x -=+=-+，()()0g x g x +-=
则函数()g x 为奇函数，且在R 上单调递增，
故()()20f a f b ++<()()g a g b ⇔<-0a b a b ⇔<-⇔+<． 故选:A 【点睛】
构造奇函数利用单调性是解题关键.
5．C
解析：C 【分析】
由1x >时，()0f x <，排除B 、D ；由函数()f x 在区间(0,1)上的单调性，排除A ，即可求解. 【详解】
由题意，函数()2
1x
f x x =
-有意义，满足210x -≠，解得1x ≠±， 又由当1x >时，()0f x <，排除B ，D ； 当01x <<时，()2
1x
f x x
=-， 设1
20
1x x ，则21122121222
22121(1)()
()()11(1)(1)
x x x x x x f x f x x x x x +--=
-=----， 因为22
21122110,10,10,0x x x x x x ->->+>->，所以21()()0f x f x ->，
即12()()f x f x <，所以函数()f x 在(0,1)上单调递增，所以A 不符合，C 符合. 故选：C. 【点睛】
知式选图问题的解答方法：
从函数的定义域，判定函数图象的左右位置，从函数的值域判断图象的上下位置； 从函数的单调性（有时借助导数），判断函数的图象的变换趋势； 从函数的奇偶性，判断图象的对称性； 从函数的周期性，判断函数的循环往复；
从函数的特殊点（与坐标轴的交点，经过的定点，极值点等），排除不和要求的图象.
6．C
解析：C 【分析】
由函数定义域的定义，结合函数0(2)y x =-有意义，列出相应的不等式组，即可求解. 【详解】
由题意，函数()y f x =的定义域为[]0,4，即[]
0,4x ∈，
则函数0(2)y x =-满足014
1020
x x x ≤+≤⎧⎪->⎨⎪-≠⎩
，解得13x <≤且2x ≠，
所以函数0(2)y x =+-的定义域是(1,2)(2,3]⋃. 故选：C. 【点睛】
本题主要考查了抽象函数的定义域的求解，其中解答中熟记函数的定义域的定义，根据题设条件和函数的解析式有意义，列出不等式组是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
7．B
解析：B 【分析】
根据奇函数的性质,分析()f x 在对称的区间上单调性相同,即可找出最大值与最小值. 【详解】
∵()f x 是奇函数,在(0,)+∞上是减函数,
∴()f x 在(,0)-∞上也是减函数,即在区间[,](0)a b a b <<上递减. 又∵()f x 在区间[,](0)a b a b <<上的值域为[3,4]-, ∴()()4,3,f a f b ==-
根据奇函数的性质可知()()4,3,f a f b -=--=且在区间[,]b a --上单调递减, ∴()f x 在区间[,]b a --上有最大值3,有最小值-4. 故选：B. 【点睛】
本题考查了奇函数的单调性和值域特点,如果性质记不熟,可以将大致图像画出.本题属于中
等题.
8．D
解析：D 【解析】 因为()sin()
sin sin()
sin 11()2222x x x x
f x y f x ---=+
==
+=，
所以函数sin sin 122
x
x
y =+
是定义在R 上的偶函数，排除A 、B 项；
又sin
2
sin
2
1
15
()2
22
22
2
f π
π
π
=+=+=，排除C ， 综上，函数sin sin 12
2
x
x
y =+大致的图象应为D 项，故选D.
9．B
解析：B 【分析】
利用奇偶性排除选项C 、D ；利用x →+∞时，()f x →+∞,排除A,从而可得结论. 【详解】 ∵f (-x )=( -x )2+
2ln||2()x x --=x 2+2
ln||
2x x
=f (x ), ∴f (x )是偶函数,其图象关于y 轴对称,排除C,D ； 又x →+∞时，()f x →+∞,排除A, 故选B . 【点睛】
本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及
0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选
项一一排除.
10．B
解析：B 【解析】
函数()2
f x x ax b =-+-的图象是开口朝上且以直线2
a
x =-
为对称轴的抛物线， ①当22a -＞ 或22
a
-
<-，即4a -＜ ，或4a ＞时， 函数f x （
） 在区间[]
2,2-上单调，
此时224M m f f a -=--=（）（）， 故M m - 的值与a 有关，与b 无关 ②当
022
a
≤-≤ ，即40a -≤≤ 时， 函数f x （）在区间[2]2a
--， 上递增，在[2]2
a -， 上递减， 且22f f -<（
）（） ， 此时2
322424
a a M m f f a -=---=--（）（），
故M m - 的值与a 有关，与b 无关
③当
202
a
-≤-≤，即04a ≤≤时， 函数f x （）在区间[2]2
a -，上递减，在[2]2
a --，上递增， 且22f f <-（）（）
此时2
22424
a a M m f f a -=--=-+（）（），
故M m - 的值与a 有关，与b 无关 综上可得M m - 的值与a 有关，与b 无关 故选B
【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．
11．A
解析：A 【分析】
根据函数解析式可验证出()()12f x f x +-=，采用倒序相加法可求得结果. 【详解】
()11
113sin 22
f x x x ⎛⎫-=-+-+ ⎪⎝⎭，()()12f x f x ∴+-=，
令122018201920192019S f f f ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 则201712019201922018019S f f f ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
， 两式相加得：222018S =⨯，2018S ∴=. 故选：A . 【点睛】
本题考查倒序相加法求和的问题，解题关键是能够根据函数解析式确定()()1f x f x +-为常数.
12．A
解析：A 【分析】
分析函数()()2
212f x x a x =+--的图象和性质，结合已知可得41a ≤-，解得答案.
【详解】
函数()()2
212f x x a x =+--的图象是开口朝上，且以直线1x a =-为对称轴的抛物
线，若函数()()2
212f x x a x =+--在(],4-∞上是减函数，
41a ∴≤-, 解得: 3a ≤-， 故选：A 【点睛】
本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键.
二、填空题
13．【分析】首先判断函数的单调性依题意只需再对参数分三种情况讨论即可求出参数的取值范围；【详解】解：因为在定义域上单调递增又在定义域上单调递减所以根据复合函数的单调性可得在定义域上单调递减所以在定义域上
解析：1,2⎛
⎫-∞- ⎪⎝
⎭
【分析】
首先判断函数()f x 的单调性，依题意只需()()12min min f x g x >，再对参数m 分三种情况讨论，即可求出参数的取值范围； 【详解】
解：因为x
y e =、y =
42y x =-在定义域上单调递减，所
以根据复合函数的单调性可得y =
在定义域上单调递减，所以
()x f x e =-[]0,1上单调递增，所以
()()
001min f x f e ===-
对于[]10,1x ∀∈，总[]21,2x ∃∈，使得()()12f x g x >恒成立， 则只需()()12min min f x g x >
因为()g x mx =，[]
1,2x ∈，当0m =时()0g x =，而()1min f x =-，不符合题意； 当0m >时，()g x mx =，在[]1,2x ∈上单调递增，则()()min 1g x g m ==，所以1m <-矛盾，舍去；
当0m <时，()g x mx =，在[]
1,2x ∈上单调递减，则()()min 22g x g m ==，所以
210
m m <-⎧⎨
<⎩解得1
2m <- 故m 的取值范围为1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭
故答案为：1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭
【点睛】
本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[]
,,y g x x c d =∈ （1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <； （2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <； （3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <； （4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的
子集 ．
14．【分析】由得得分段求解析式结合图象可得m 的取值范围【详解】时时；时；时；当时由解得或若对任意都有则故答案为：【点睛】本题考查分段函数的解析式和最值特征考查函数的图象以及一元二次不等式的解法解题的关键
解析：9
(,)4
-∞
【分析】
由(1)2()f x f x +=，得()2(1)f x f x =-，得分段求解析式，结合图象可得m 的取值范围． 【详解】
(1)2()f x f x +=，()2(1)f x f x ∴=-，
(0,1]x ∈时，1
()(1)[,0]4
f x x x =-∈-，
(1,2]x ∴∈时，1(0,1],()2x f x -∈=1(1)2(1)(2),02f x x x ⎡⎤
-=--∈-⎢⎥⎣⎦
；
(2,3]x ∴∈时，1(1,2],()2(1)4(2)(3)[1,0]x f x f x x x -∈=-=--∈-； (3,4]x ∴∈时，1(2,3],()2(1)8(3)(4)[2,0]x f x f x x x -∈=-=--∈-；
当(2,3]x ∈时，由34(2)(3)4
x x --=-
，解得114x =或94x =，
若对任意(,]x m ∈-∞，都有3()4
f x >-，则94
m <． 故答案为：9,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
． 【点睛】
本题考查分段函数的解析式和最值特征，考查函数的图象，以及一元二次不等式的解法，解题的关键点是可借助函数图象直观性找到解题思路.
15．【分析】本题首先可讨论的情况此时然后根据函数的解析式求出和通过即可求出的值最后讨论的情况此时通过得出此时无解即可得出结果【详解】若则因为函数所以因为所以解得若则因为函数所以因为所以无解综上所述的取值
解析：32⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
【分析】
本题首先可讨论0a >的情况，此时11a -<、11a +>，然后根据函数()f x 的解析式求出()1f a -和()1f a +，通过()()11f a f a -=+即可求出a 的值，最后讨论0a <的情况，此时11a ->、11a +<，通过()()11f a f a -=+得出此时a 无解，即可得出结果. 【详解】
若0a >，则11a -<，11a +>， 因为函数()2,1
2,1
x a x f x x a x +<⎧=⎨-+≥⎩，
所以1212f a
a a a ，1121f a a a
a ，
因为()()11f a f a -=+，所以21a a ，解得32
a =
， 若0a <，则11a ->，11a +<， 因为函数()2,1
2,1
x a x f x x a x +<⎧=⎨-+≥⎩，
所以11213f a
a a a ，12123f a a a a ，
因为()()11f a f a -=+，所以1323a a ，无解，
综上所述，32a =
，a 的取值范围是32⎧⎫⎨⎬⎩⎭
,
故答案为：32⎧⎫⎨⎬⎩⎭
. 【点睛】
本题考查分段函数的相关问题的求解，在分段函数求函数值的时候，要把自变量代入到所对应的解析式中是解本题的关键，考查分类讨论思想，考查计算能力，是中档题.
16．【分析】先令则求解的值然后再分类讨论求解的值【详解】令则当时有无解当时有解得或所以或当时故无解；当时若则得若则即无解综上所述：故答案为：【点睛】本题考查分段函数的应用考查根据函数值求参难度一般解答时
【分析】
先令()f a t =，则()2f t =，求解t 的值，然后再分类讨论，求解a 的值. 【详解】
令()f a t =，则()2f t =，当0t >时，有22t -=，无解， 当0t ≤时，有2222t t ++=，解得0t =，或2t =-， 所以()0f a =或()2f a =-，
当()0f a =时，()2
222110a a a ++=++>，20a -<，故 ()0f a =无解；
当()2f a =-时，若0a >，则22a -=-，得a =
若0a ≤，则2222a a ++=-，即2240a a ++=，无解，
综上所述：a =
【点睛】
本题考查分段函数的应用，考查根据函数值求参，难度一般，解答时注意分类讨论思想的运用.
17．【分析】依题意分析的值域A 包含于的值域B 再对分类讨论得到的值域列关系计算即可【详解】因为总使得成立所以的值域A 包含于的值域B 依题意A=又函数因此当时不满足题意；当时在上递增则故即得；当时在上递减则故
解析：55,,22⎛⎤⎡⎫
-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝
⎦⎣⎭
【分析】
依题意分析()f x 的值域A 包含于()g x 的值域B ，再对a 分类讨论得到()g x 的值域，列关系计算即可. 【详解】
因为[]12,2x ∀∈-，总[]02,2x ∃∈-，使得()()01g x f x =成立， 所以()f x 的值域A 包含于()g x 的值域B ，依题意A =[]0,4，
又函数()1=-g x ax ，2,2x ，因此，
当0a =时，{}1B =-，不满足题意；
当0a >时，()g x 在[]2,2-上递增，则[][]21,210,4B a a =---⊇，
故210214
a a --≤⎧⎨-≥⎩，即得52a ≥；
当0a <时，()g x 在[]2,2-上递减，则[][]21,210,4B a a =---⊇， 故210214
a a -≤⎧⎨
--≥⎩，即得5
2a ≤-.
综上，实数a 的取值范围为55,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥
⎢⎝
⎦
⎣⎭
. 故答案为：55,,2
2⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥
⎢⎝
⎦⎣⎭
. 【点睛】
本题考查了恒成立问题、函数的值域，以及利用包含关系求参数范围问题，属于中档题.
18．【分析】对分段讨论去绝对值计算求解【详解】当时可得当时符合题意；当时则不符合题意；当时此时不符合题意综上的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查函数不等式的恒成立问题解题的关键是对分段讨论求解 解析：(],1-∞
【分析】
对a 分段讨论去绝对值计算求解. 【详解】
当1a ≤时，()44
f x x a a x x x
=-++=+，可得当[]1,4x ∈时，()45f x ≤≤，符合题意；
当14a <<时，()42,14,4a x x a x
f x x a x x ⎧-+≤<⎪⎪=⎨⎪+≤≤⎪⎩
，则()1325f a =+>，不符合题意；
当4a ≥时，()4
2f x a x x
=-+
，此时()13211f a =+≥，不符合题意， 综上，a 的取值范围是(],1-∞. 故答案为：(],1-∞. 【点睛】
本题考查函数不等式的恒成立问题，解题的关键是对a 分段讨论求解.
19．【分析】由题意首先结合所给的关系式画出函数图象结合函数图象即可确
定函数图象与横轴交点个数可得函数零点的个数【详解】解：由题意可得：（1）时即：结合绘制函数图象如图所示：由图可得函数图象与横轴交点有9 解析：9
【分析】
由题意首先结合所给的关系式画出函数图象，结合函数图象即可确定函数图象与横轴交点个数，可得函数零点的个数． 【详解】
解：由题意可得：f （1）166==，
∴(1,3)x ∈时，(1)6
()f f x x x
=
=， 即：6,01
()6,13x x f x x x
⎧⎪
=⎨<<⎪⎩，
结合(3)()1f x f x +=+绘制函数图象如图所示：
由图可得，函数图象与横轴交点有9个， 所以函数()f x 的零点个数为9． 故答案为：9． 【点睛】
本题主要考查函数的零点，数形结合的数学思想，函数图象的绘制等知识，函数零点的几种等价形式：函数()()y f x g x =-的零点⇔函数()()y f x g x =-在x 轴的交点⇔方程
()()0f x g x -=的根⇔函数()y f x =与()y g x =的交点．
20．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行转化即可得到结论【详解】解：是定义在上的偶函数且在上是减函数不等式等价为即所以即即解得即故答案为：【点睛】本题主要考查不等式的求解根据函数奇偶性和
解析：1,13⎛⎫
⎪⎝⎭
【分析】
根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论． 【详解】 解：
()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在[)0,+∞上是减函数，
∴不等式()()21f m f m ->，等价为()()21f m f m ->，即21m m -<，
所以()2
221m m -<，即()2
2210m m --<，即()()3110m m --<，解得
1
13
m << 即1,13m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
故答案为：1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭
【点睛】
本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行等价转化是解决本题的关键，属于中档题．
三、解答题
21．（1）单调递增，理由见解析；（2
；（3）312a -≤≤且0a ≠.
【分析】
（1）根据函数单调性的定义先设120<m x x n ≤<≤，然后化简判断()()12f x f x -的正负，即可判断单调性；
（2）由函数单调性可得,m n 是方程()
22
2
210a x a a x -++=的不相等的两个正数根，利
用韦达定理可求出a 的范围，进而求出n m -的最大值； （3）不等式等价于
211222x a a x x x
-≤+≤+对1≥x 恒成立，求出1
()2h x x x =+最小值和
1
()2g x x x
=
-的最大值即可解出. 【详解】 （1）设120<m x x n ≤<≤， 则()()12122221212
11
x x f x f x a x a x a x x --=-
+=， 120<m x x n ≤<≤，12120,0x x x x ∴>-<，
()()12f x f x ∴<，故()f x 在[],m n 上单调递增；
（2）由（1）可得0m n <<时，()f x 在[],m n 上单调递增，
()f x 的定义域和值域都是[],m n ，
(),()f m m f n n ∴==，
则,m n 是方程211
2x a a x
+
-=的不相等的两个正数根， 即(
)
22
2
210a x a a x -++=有两个不相等的正数根，
则()
22
22122
122Δ2402010a a a a a x x a x x a ⎧=+->⎪⎪
+⎪
+=>⎨⎪
⎪=>⎪⎩
，解得12a >，
n m ∴-=== 1,2a ∞⎛⎫
∈+ ⎪⎝⎭，3
2a ∴=时，n m -
（3）22
1()2a f x a a x
=+-
，则不等式()2
2a f x x ≤对1≥x 恒成立， 即2
1
222x a a x x -≤+-
≤，即211222x a a x x x
-≤+≤+对1≥x 恒成立， 令1
()2h x x x
=+，则()h x 在[1,)+∞单调递增，min ()(1)3h x h ∴==，
令1
()2g x x x
=
-，则()g x 在[1,)+∞单调递减，max ()(1)1g x g ∴==-， 222321
a a a a ⎧+≤∴⎨+≥-⎩，解得312a -≤≤且0a ≠.
【点睛】
关键点睛：由函数单调性得出,m n 是方程()
22
2
210a x a a x -++=的不相等的两个正数
根，利用韦达定理可求出a 的范围是解决第二问的关键，第三问不等式的恒成立问题需要分离参数求最值.
22．（1）最大值为37，最小值为1；（2）(]
[),55,-∞-+∞；（3）
()22710,52,552710,5a a g a a a a a +≤-⎧⎪
=--<<⎨⎪-≥⎩
，()max 2g a =.
【分析】
（1）利用二次函数的基本性质可求得函数()f x 在区间[]5,5-上的最大值和最小值；
（2）分析二次函数()y f x =图象的开口方向和对称轴，然后对函数()y f x =在区间上为增函数或减函数两种情况分类讨论，结合题意可得出关于实数a 的不等式，进而可求得实数a 的取值范围；
（3）对实数a 的取值进行分类讨论，分析二次函数()f x 在区间[]5,5-上的单调性，进而可求得()g a 关于a 的表达式，并求出a 在不同取值下()g a 的取值范围，由此可得出
()g a 的最大值.
【详解】
（1）当1a =-时，()()2
22211f x x x x =-+=-+.
所以，函数()f x 在区间[]5,1-上为减函数，在区间[]1,5上为减函数， 当[]5,5x ∈-时，()()min 11f x f ==，
()517f =，()537f -=，所以，()()max 537f x f =-=；
（2）二次函数()2
22f x x ax =++的图象开口向上，对称轴为直线x a =-.
①若函数()y f x =在区间[]5,5-上是增函数，则5a -≤-，解得5a ≥； ②若函数()y f x =在区间[]5,5-上是减函数，则5a -≥，解得5a ≤-. 综上所述，实数a 的取值范围是(]
[),55,-∞-+∞；
（3）二次函数()2
22f x x ax =++的图象开口向上，对称轴为直线x a =-. ①当5a -≤-时，即当5a ≥时，函数()y f x =在区间[]5,5-上为增函数， 则()()52710g a f a =-=-，此时()23g a ≤-； ②当55a -<-<时，即当55a -<<时，
函数()y f x =在区间[)5,a --上为减函数，在区间(],5a -上为增函数， 则()()2
2g a f a a =-=-，此时()(]2223,2g a a =-∈-；
③当5a -≥时，即当5a ≤-时，函数()y f x =在区间[]5,5-上为减函数，
则()()52710g a f a ==+，此时()271023g a a =+≤-.
综上所述，()2
2710,52,552710,5a a g a a a a a +≤-⎧⎪=--<<⎨⎪-≥⎩
，()max 2g a =.
【点睛】
方法点睛：“动轴定区间”型二次函数最值的方法： （1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；
（2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析；
（3）将分类讨论的结果整合得到最终结果.
23．（1）单调递增，证明见解析；（2）{}111,0,122⎡⎫⎛⎤--⋃⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦
. 【分析】
（1）利用定义设1210-≤<<x x ，计算()()12f x f x -判断正负即可得出单调性； （2）先利用单调性求出()f x 在[)1,0-的取值范围，再根据奇函数的对称性可求出. 【详解】
（1）设1210-≤<<x x ，
()()()()()()
122112
122222
121211111x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++， 因为1210-≤<<x x ，所以121x x <，210x x ->, 则()()120f x f x -<，()()12f x f x <， 所以()f x 在[)1,0-上单调递增； （2）
函数()f x 在[)1,0-上是增函数，
∴()()()10f f x f -≤<，()11f -=-，()102f =-，∴()11,2f x ⎡
⎫∈--⎪⎢⎣
⎭
∴当10x -≤<时，()f x 的取值范围11,2⎡
⎫--
⎪⎢⎣⎭
∴而函数()f x 为奇函数，由对称性可知，函数()y f x =在(]0,1上的取值范围为1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦
又()00f =，故()y f x =的值域{}111,0,122⎡⎫⎛⎤--⋃⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦
. 【点睛】
思路点睛：利用定义判断函数单调性的步骤： （1）在定义域内任取12x x <； （2）计算()()12f x f x -并化简整理； （3）判断()()12f x f x -的正负；
（4）得出结论，若()()120f x f x -<，则()f x 单调递增；若()()120f x f x ->，则
()f x 单调递减.
24．（1
）在区间(,-∞
的单调递增，在区间()
的单调递减；（2）
2,3⎡⎫
-+∞⎪⎢⎣⎭
． 【分析】
（1）利用对勾函数的性质，直接写出结论即可；
（2）利用不等式恒成立的关系，把问题从()5f x ≥恒成立，
转化为对于任意的x N *
∈，21351x ax x ++≥+恒成立，利用参变分离的方法，等价于()85a x x x *⎛⎫≥-+∈ ⎪⎝
⎭N ，然后，根据对勾函数的性质进行求解即可 【详解】
解：（1）因为函数k y x x =+()0k >在(单调递减，在)
+∞单调递增，
所以，当2k =时函数2y x x =+在(单调递减，在)+∞单调递增． 易知函数2y x x =+
为奇函数，
所以函数y x x =+在区间(,-∞的单调递增；
在区间()
的单调递减．
（2）由题意，对任意的x N *∈，有()5f x ≥恒成立， 即对于任意的x N *
∈，21351x ax x ++≥+恒成立， 等价于()85a x x x *⎛⎫≥-+
∈ ⎪⎝⎭N ． 设()()8g x x x x
*=+∈N ，
易知，当且仅当8x x
=，即x =()g x 取得最小值，
由题设知，函数()g x 在(0,上单调递减，在()+∞上单调递增．
又因为x N *∈，且()26g =，()1733g =
，而()()23g g >， 所以当3x =时，()min 173
g x =． 所以81725533x x ⎛⎫-+≤-=- ⎪⎝
⎭，即23a ≥-， 故所求实数a 的取值范围是2,3⎡⎫-
+∞⎪⎢⎣⎭
． 【点睛】
关键点睛：解题的关键在于，利用参变分离法，把问题转化为证明
()85a x x x *⎛⎫≥-+∈ ⎪⎝
⎭N 恒成立，进而利用对勾函数性质求解，属于中档题 25．（1）()02f =-；()2
2f x x x =+-；（2）2a ≤. 【分析】
（1）通过对抽象函数赋值，令1,1x y =-=进行求解，即得(0)f ；令0y =可消去y ，再结合()0f 的值，即求得解析式；
（2）先讨论1x =时不等式恒成立，2
1x 时，再通过分离参数法求得a 的取值范围即可.
【详解】
解：（1）令1,1x y =-=，可得()()()01121f f -=--++，又由()10f =，解得()02f =-；令0y =，得()()()01f x f x x -=+，又因()02f =-，解得
()22f x x x =+-；
（2）当21x -≤≤时，不等式()(1)5f x a a x -≥-- 恒成立，即()213x a x -≤+，
若1x =时不等式即04≤，显然成立；
若21x 时，10x ->，故231x a x +≤-恒成立，只需2min
31x a x ⎛⎫+≤ ⎪-⎝⎭， 设()()()22121434()12111x x x g x x x x x
---++===-+----，设(]1,0,3t x t =-∈ 则4()2g t t t
=+-是对勾函数，在()0,2递减，在()2,3递增，故2t =时，即1x =-时min ()2g x =，故2a ≤，
综上， a 的取值范围为2a ≤.
【点睛】
方法点睛：
抽象函数通常利用赋值法求函数值或者求解析式；
二次函数含参恒成立的问题，一般是通过分离参数进行求解，当然也可以根据判别式法进行求解，视具体情况而定.
26．（1）2()1x f x x =
+；（2）证明见解析；（3）102t <<. 【分析】
（1）由题意可得(0)0f =，可求出b 的值，再由1225
f ⎛⎫=
⎪⎝⎭可求出a 的值，从而可求出函数()f x 的解析式；
（2）利用增函数的定义证明即可；
（3）由于函数是奇函数，所以()2(120)f t f t -+<可化为()2()12f t t f <-，再利用单
调性可求解不等式
【详解】
（1）解：因为()f x 是()1,1-上的奇函数，所以(0)0f =，即01
b =，得0b =， 因为1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以12215
14
a =+，解得1a =， 所以2()1
x f x x =+ （2）证明：1x ∀，2(0,1)x ∈，且12x x <，
则()()()()()()122112122222121211111x x x x x x f x f x x x x x ---=
-=++++， 因为1201x x ，所以2212211210,0,(1)(1)0x x x x x x -<->++>，
所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <
所以()f x 在(0,1)上是增函数.
（3）解：因为()f x 在(0,1)上是增函数，且()f x 是()1,1-上的奇函数，
所以()f x 是(1,1)-上的奇函数且是增函数，
所以()2(120)f t f t -+<可化为()2
()12f t t f <-， 所以2211112121t t t t -<-<⎧⎪-<<⎨⎪<-⎩，解得102t <<. 【点睛】
关键点点睛：此题函数的奇偶性和单调性的应用，第（3）问解题的关键是利用奇函数的性质将不等式()2(120)f t f t -+<转化为()2
()12f t t f <-，进而利用单调性解不等式，考查转化思想和计算能力，属于中档题。