高考试题的探究(一)：鳖臑几何体的试题赏析与探究.doc

鳖購几何体的试题赏析与探究
岳峻1阮艳艳2
安徽省太和县太和中学236600
2015年湖北高考数学Z后，广大考生感言：阳马、鳖腦，想说爱你不容易；屮学教师考后反思：阳马、鳖嚅，不说爱你乂没道理；试题评价专家说：湖北高考数学试题注重数学本质，突出数学素养，彰显数学文化.
阳马、鳖購是什么呢？
1试题再现
1.1文科试题
《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂
直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之
为鳖孺.在如图1所示的阳马P- ABCD中，侧棱PD丄底面ABCD,
且PD = CD,点E是PC的屮点，连接DE, BD, BE .
(I)证明：DE丄平面PBC.试判断四面体EBCD是否为鳖嚅，
若是，写出其每个血的直角(只需写出结论)；若不是•，请说明
理由；
图1
V
(II)记阳马P-ABCD的体积为％,艸面体的体积为匕，求」的值.
1.2理科试题
《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直
的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为
鳖購.如图2,在阳马P-ABCD^,侧棱PD丄底面ABCD,且PD = CD ,
过棱PC的屮点£,作EF丄PB交PB 于点F ,连接DE, DF, BD, BE.
(I)证明：PB丄平而DEF•试判断四而体DBEF是否为鳖嚅，
若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，说明理由；
(II)若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为兰，求字的值.
3 BC
2鳖嚅的史料
2. 1史料
《九章算术•商功》：“斜解立方，得两堑堵。

斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖嚅。

阳马居二，鳖購居一，不易之率也。

合两鳖購三而一，验之以棊，其形露矣•”
刘徽注：“此术膳者，背节也，或曰半阳马，其形有似鳖肘，故以名云。

屮破阳马，得两鳖購，鳖購之起数，数同而实据半，故云六而一即得・”
2.2阐释
阳马和鳖魔是我国古代对一些特殊锥体的称谓，取一长方体，按下图斜割一分为二，得 两个一模一样的三棱柱，称为堑堵.
再沿堑堵的一顶点与相対的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个•以矩形为底，另有一棱 与底面垂直的四棱锥，称为阳马.余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为蹩 膳.
3.1生僻字问题
试题中出现了中国古代数学巨著《九章算术》中“阳马”“幣（ble ）嚅（ndo ）”的生僻词, 但题目屮已经对这两个词语的含义进行了现代文解释，从而高考考生对四棱锥P-ABCD 所具备的特点能够完全理解，并乩也能够知道如何判断四血体是否是鳖嚅，因此本题中的生 僻字不会对考生解题带来困扰
.鳖腮，并没闹！ 3.2教材溯源 北京师范人学出版社《普通高屮课程标准实验教科书数学 必修
2》的“第一章立体几何初步”的“第六节垂直关系” 的例题1 （第
37页）：
如图5所示，在RtAABC 中，ZB = 90°,点P 为AABC 所在平面
外一点，PA 丄平面A3C 。

问：四面体PABC 中有 几个直角三角形？
教材借助于这道例题给同学们介绍了鳖購儿何体，并提出 思考
问题（第38页）:
仔细观察，你可以从图5中得出几组互相垂 直的平面？让同学们更进一步认识这一特殊儿何 体。

教材紧接着在随后的例题2屮就给出了以鳖 購
为载体的几何命题的证明问题（第38页）：
如图6, AB
为的直径，所在平面图3
阳马a 鲨嚅
• 图4
C
3试题赏析 图6
为a, PA丄a于A, C为(DO上异于A, 3的一点。

求证：平面PAC丄平面PBC ° 该题借助于鳖瞞这一几何体中丰富的垂直关系，让学生來熟悉垂直中的判定定理以及性质定理的应用。

3.3设计理念
普通高中数学课程标准中指出：数学是人类文化的重要组成部分，数学课程应帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用，逐步形成正确的数学观。

为此，高中数学教学应注重体现数学的文化价值，而2015年湖北卷就很恰当的体现了数学文化价值上的考查。

命题者将题目的背景取自于古代数学典籍并不意味着试题的难度增大，匠心独运地体现了我国古代数学成杲的灿烂辉煌，拓宽了知识面，考查考生的阅读能力、审题能力和应用能力，培养考生的创新精神，注重数学本质，提高数学素养，彰显命题组的傅学与智慧.尤其是理科第19 题、文科第20题，创新于数学史料的加工，以阳马和鳖騰为载体进行命题，來源于教材又囿于教材，彰显数学文化，数学味道正，文化气息浓，让“枯燥”的高考试卷多了几分生气和灵性，给人耳目一新的感觉.
4鳖驕几何体的性质的探究
4.1鳖膳几何体中的垂直关系
如图7,鳖腮儿何体P-ABC中，PA丄平面ABC,
AC 丄CB, AM 丄于M, AN A. PC 予N ・
(1)证明：BC丄平面PAC；
(2)证明：PB丄平面AM/V；
(3)证明：平面PBC丄平血
(4)证明：PBA.MN .
(1)因为PA丄平面ABC, BCu平面ABC,所以PA丄BC,
证明
又AC丄CB, AC^PA = A f所以BC丄平面PAC；
(2)因为BC丄平面PAC f ANu平面PAC,所以BC丄AN,
又AN丄PC, PCDBC = C,所以AW丄平而PBC,则AN丄PB,
又AM丄PB,所以PB丄平面4MN；
(3)因为PB丄平面AMN ,所以平面PBC丄平曲AMN.
(4)因为BC丄平面PAC ,所以平面PBC丄平面PAC , 又AN丄PC ,所以A7V丄平面
PBC ,则A7V丄MN,
又丄平面AMN ,所以丄MN ,
评注 图形中异而直线P4与BC 的距离等于线段AC 的长度；异面直线AN 与的 距离等于线段MN 的长度；
4.2鳖購几何体中的空间角
如图8,设Q 为CB 与斜线PB 的夹角ZPBC, 0为CB 与斜线PB 在底面ABC 的射
影A3的夹角ZABC. &为与底面ABC 所成的角ZPBA, /为二面角A-PB-C 的 平面角，p 为直线与平面PBC 所成的角，0为直线PC 与底ffiABC 所成的角，Q 为
直线PC 与平面PAB 所成的角，则
过C 作CH 丄AB 于H,连接PH,则CH 丄平面PAB,乙CPH=a),
CH
sin 0 BC PC —-==——=tana • sin co CH BC ~PC 图形屮二面角P-BC-A 的平而角的大小等于0,二而角A-PB-C 的平面
TT
角的大小等于7,二面角B-PA-C 的平面角的大小等于》=］一0 ；
(1) COSQ = COS0COS& ;
(2) • COS 67 sin y = --------------- cos&
(3) sinp = sin^sin/?；
(4) sin& = sin ©sin a ；
(3)
(5) sin 69
证明 /、 R a BC AB (1) cos p cos 0 = ----------- 二 cos ar ；
AB PB
AN (2)
(4)
cos 69 cosZPAN AP AN ---- - = ---------------- =— = -------------= sin y ； cos 0 cos /.PAM AM AM ~AP AC AN . ---- = ------- =sin p ； AB AB PC PA . n ---- =——=sin & ； .a AN sin^sin p = ----- AC PA sin(psma = ---- PC (5) 评注
B
直线A3与平面PAC所成的角为》，直线AC与平面PBC所成的角为0,直线AC
rr rr
与平面P4B所成的角为》=一-0,直线PB与平面P4C所成的角为一-Q,直线PA与
2 2
7T
平面PBC所成的角为-~（p・
5鳖購几何体模型的应用
5.1 2015湖北真题评析
例1 （同1.1文科试题）
解析（I）因为PD丄底面ABCD,所以PZ）丄BC , 由底面
ABCD为长方形，有BC丄CD , 而PDC\CD = D f所以BC丄平
而PCD.
而DEu平面PCD,所以BC丄DE.
又因为PD = CD，点E是PC的中点，所以DE丄PC. 而PCC[BC
= C,所以DE丄平面PBC.
由BC丄平面PCD, DE丄平而PBC ,可知四面体EBCD 的四个
面都是直角三角形，即四而体EBCD是一个蹩嚅，其
四个面的直角分别是ZBCD^ZBCE, ZDEC, ZDEB.
（IT）因为PD丄底面ABCD , PD是阳马P - ABCD的高,
又点E是PC的中点，则点E到底面ABCD的距离为"畤
一y *ABC『PD
由于= 2S“CD，所以&i
“2 -S SBCD~PD
例2 （同1.2理科试题）
解析（I）同例1证明DE丄平面PBC.
而DEu平面DEF ,所以平面DEF丄平面PBC .
而平面DEFc平面PBC = EF , PB丄EF , 所以丄平而DEF .
由DE丄平面PBC , PB丄平面DEF ,可知四面体
BDEF的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF是一个幣孺，其四个面的直角分别为
ZDEB, ZDEF, ZEFB, ZDFB.
（H）因为丄平面DEF , PD丄底面ABCD,则平面DEF与平面ABCD所成二面
JT
角的平面角即为PB与PD所成的角ZBPD =一，
3
不妨设PD = DC = \,则 = Rt\BCD BC =迈,故—.
BC 2
5.2鳖孺在手，横扫立体几何试题
鳖購几何体不仅覆盖了立体几何中点、线、面的各种位置关系，以及各种空间角的计算, 又突出了“垂直”这个横贯立体几何知识的“红线”，因此，幣嚅几何体是探求空间中线线、
线面、面面垂直关系的I•分重要的基木图形，也是研究棱锥、棱台的基木模型。

例3 已知ABAC在Q 内，P", PE 丄AB于E, PF 丄AC 于F, PE = PF , P0丄求证：0在ABAC的平分线上（即ZBAO = ZCAO）.
解析因为PE丄丄AC,PO丄由三
垂线定理逆定理知：AB丄OE.AC丄OF,
因为 = =
所以RtAPAE 9 RtAPAF ,则AE = AF ,
又因为AO=AO,
所以Rt\AOE三RtAAOF ,故ZBAO = ZCAO ・
评注经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，如果斜线与这个角两边夹角相等, 那么斜线在平面上的射影是这个角的平分线所在直线.本题图形屮的三棱锥P-OAF就是
蹩孺几何体，显然，这个三棱锥中蕴含着棱锥、棱台的
所有要素。

例4 （2015新课标I）如图12,四边形ABCD 为菱形，G
为AC与BD交点,BE丄平面ABCD.
（1）证明：平面AEC丄平面BED；
（2）若ZABC = 120° , AE 丄EC ,三棱锥
图12
E-ACD的体积为《，求该三棱锥的侧面积.
3
解析（1）因为四边形ABCD为菱形，所以AC丄BD,又BE丄平面ABCD,所以几何体E-BCG 是鳖嚅，由鳖嚅几何体的垂直关系性质1可知CG丄平面BEG,又CGu 平面AEC,所以平面AEC 丄平面BED.
⑵因为= 120°, AE 丄EC , AE = CE ,所以AC = y[2AE,
因为三棱锥E"CD的体积为半，所以鳖脯几何体E-BCG的体积为#
设BG = x^\ CG = V3x, BC = AB = lx, AE = CE = y[6x, BE = y[ix,
所以E-BCG的体积为-S^BCG• BE =-«-V3X2->/2X,所以x = l,
3 3 2 6
所以△ EAC的面积为3 , △EAD的面积与△ ECD的面积
均为厉.故三棱锥E- ACD的侧面积为3 + 2亦.
例5 （2015 新课标II）如图13, t方体ABCD- A.B.C.D,
C
A
图13
中，AB = 16 , BC = \O ,44 严8,点、E, F分别在\B{,D{C X上，AE=Df = 4,过点E, F的平面Q与此长方体的面相
交，交线围成一个正方形.
(I)在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由)；
(II)求直线AF与平面G所成角的正弦值.
解析⑴交线围成的正方形EHGF如图14.
(II)如图14,作EM 丄AB于M，则AM =^£=4,
EM=8；
因为四边形EHGF为正方形，所以EH = EF =10,于是HM =6,所以AH = \0.
作AQ丄EH于0,连接QF,则三棱锥A-QEF就是幣購几何体，其中ZQFA就是
AF与平面EHGF所成角,
设乙QFE = 0, ZAFQ = &, ZAFE = a,由蹩嚅几何体的性质,则cos a = cos 0cos & ,
又g总磊,则cos"烹二磐sm"普
4x/5
故AF与平面EHGF所成角的正眩值为亠•
15
例6 (2015山东)如图15,在三棱台DEF—ABC中，
AB = 2DE , G, H分别为AC, BC的中点.
(1)求证：BDH平面FGH；
(2)若CF 丄平面ABC, A3 丄BC, CF = DE ,
ZBAC = 45°,求平面FGH与平面ACFD所成的角(锐角)
的大小.
解析⑴略.
(2)由G, H分别为AC, BC的中点，所以GH // AB, 因为丄BC,所以GH丄BC ,
又CF丄平面ABC,所以几何体F-EHC是鳖購几何体;
假设平面FGH与平面ACFD所成的角为卩，ZFHC =(p,ZFGC = &,则由鳖睛几
何体的性质可知：状"需,
又COS^ = —,cos^ = —,所以siny = —,
2 3 2
TT
（锐角）为一•
3
6结束语故平面FGH与平面ACFD所成的角
图14
图］5
除此之外，在2015年的高考题屮还有很多以鳖嚅这一几何体为背景的立体几何问题，限于篇幅，忍痛割爱，不再赘述。

命题者Z所以对鳖膳这一儿何体如此青睞，正是因为鳖膳儿何体屮有着丰富的垂直关系，是讨论线线垂直、线面垂直、面面垂直以及三种垂直关系相互转化的非常好的载体；正是因为鳖嚅几何体蕴含着棱锥、棱台的所有要素，可以破解立体几何千变万化的空I'可角；正是因为鳖購儿何体是涵盖了立体儿何中最基本、最核心的知识点的模型，蕴含的基本关系揭示了立体儿何的基本结构与本质规律.
鳖腊，是立体儿何的灵魂.。