高考数学二轮复习 小题综合限时练(一)-人教版高三全册数学试题

2017届高考数学二轮复习 小题综合限时练（一）
(限时：40分钟)
一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1.已知集合P ＝{x |x 2
－2x ≥3}，Q ＝{x |2＜x ＜4}，则P ∩Q ＝( ) A.[3，4) B.(2，3] C.(－1.2) D.(－1，3]
答案 A
2.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为5
2
，则C 的渐近线方程为( )
A.y ＝±1
4x
B.y ＝±1
3x
C.y ＝±1
2x
D.y ＝±x
答案 C
3.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →
＝( ) A.14a ＋12b B.12a ＋14b C.23a ＋13
b D.12a ＋23b 解析 ∵AC →＝a ，BD →
＝b ，
∴AD →＝AO →＋OD →＝12AC →＋12BD →＝12a ＋12b ，
因为E 是OD 的中点，∴|DE ||EB |＝1
3，
∴|DF |＝1
3|AB |，
∴DF →＝13AB →＝13
(OB →－OA →)
＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12BD →－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12AC →＝16AC →－16BD → ＝16a －1
6
b ， AF →＝AD →＋DF →＝1
2a ＋12b ＋16a －16b ＝23a ＋13
b .
答案 C
4.将函数y ＝cos 2x 的图象向左平移π
4个单位，得到函数y ＝f (x )·cos x 的图象，则f (x )
的表达式可以是( ) A.f (x )＝－2sin x B.f (x )＝2sin x C.f (x )＝
2
2
sin 2x D.f (x )＝
2
2
(sin 2x ＋cos 2x ) 解析 将函数y ＝cos 2x 的图象向左平移
π4个单位，得到函数y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝
cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x 的图象，因为－sin 2x ＝－2sin x cos x ，
所以f (x )＝－2sin x . 答案 A
5.设{a n }是等差数列，下列结论中正确的是( ) A.若a 1＋a 2＞0，则a 2＋a 3＞0 B.若a 1＋a 3＜0，则a 1＋a 2＜0 C.若0＜a 1＜a 2，则a 2＞a 1a 3 D.若a 1＜0，则(a 2－a 1)(a 2－a 3)＞0
解析 A ，B 选项易举反例，C 中若0＜a 1＜a 2，∴a 3＞a 2＞a 1＞0，∵a 1＋a 3>2a 1a 3，又2a 2＝a 1＋a 3，∴2a 2>2a 1a 3，即a 2>a 1a 3成立. 答案 C
6.在直角坐标系中，P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45，Q 是第三象限内一点，|OQ |＝1且∠POQ ＝3π4，
则Q 点的横坐标为( ) A.－72
10
B.－325
C.－7212
D.－8213
解析 设∠xOP ＝α，则cos α＝35，sin α＝45，x Q ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π4＝35·⎝ ⎛⎭⎪⎫－22－45×22＝－72
10，选A.
答案 A
7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A.1
3＋π B.2
3＋π C.1
3
＋2π D.2
3
＋2π 解析 这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，V ＝12π×12
×2＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×2×1＝π＋13，
选A. 答案 A
8.现定义e i θ
＝cos θ＋isin θ，其中i 为虚数单位，e 为自然对数的底，θ∈R ，且实数指数幂的运算性质对e i θ
都适用，若a ＝C 0
5cos 5
θ－C 2
5cos 3
θsin 2
θ＋C 4
5cos θsin 4
θ，b ＝C 1
5cos 4
θsin θ－C 3
5cos 2
θsin 3
θ＋C 5
5sin 5
θ，那么复数a ＋b i 等于( ) A.cos 5θ＋isin 5θ B.cos 5θ－isin 5θ C.sin 5θ＋icos 5θ
D.sin 5θ－icos 5θ
解析 (e i θ
＝cos θ＋isin θ其实为欧拉公式)
a ＋
b i ＝C 05cos 5θ＋C 15cos 4θ(isin θ)－C 25cos 3θsin 2
θ－
C 35cos 2θ(isin 3θ)＋C 45cos θsin 4θ＋C 55(isin 5
θ) ＝C 0
5cos 5
θ＋C 1
5cos 4
θ(isin θ)＋C 2
5cos 3
θ(i 2
sin 2
θ)＋ C 3
5cos 2
θ(i 3
sin 3
θ)＋C 4
5cos θ(i 4
sin 4
θ)＋C 5
5(i 5
sin 5
θ) ＝(cos θ＋isin θ)5
＝(e i θ)5
＝e i ×5θ
＝cos 5θ＋isin 5θ.
答案 A
二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.) 9.若抛物线y 2
＝2px (p ＞0)的准线经过双曲线x 2
－y 2
＝1的一个焦点，则p ＝________. 解析 抛物线y 2
＝2px (p ＞0)的准线方程是x ＝－p
2，双曲线x 2－y 2
＝1的一个焦点F 1(－2，
0)，因为抛物线y 2
＝2px (p ＞0)的准线经过双曲线x 2
－y 2
＝1的一个焦点，所以－p
2＝－2，
解得p ＝2 2. 答案 2 2 10.计算：log 2
2
2
＝________，2log 2 3＋log 4 3＝________.
解析 log 222＝log 22－12＝－12
，2log 23＋log 43＝232log 2 3＝2log 23
3
2＝
27＝3 3. 答案 －1
2
3 3
11.已知{a n }是等差数列，公差d 不为零.若a 2，a 3，a 7成等比数列，且2a 1＋a 2＝1，则a 1＝________，d ＝________.
解析 由a 2，a 3，a 7成等比数列，得a 23＝a 2a 7，则2d 2
＝－3a 1d ，则d ＝－32a 1.又2a 1＋a 2＝1，
所以a 1＝2
3，d ＝－1.
答案 2
3
－1
12.函数f (x )＝sin 2
x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是________，最小值是________. 解析 由题可得f (x )＝22sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π4＋32 ，所以最小正周期T ＝π，最小值为3－2
2.
答案 π
3－2
2
13.设函数f (x )＝－ln(－x ＋1)，g (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧x 2
（x ≥0），
f （x ） （x <0），则
g (－2)＝________；函数
y ＝g (x )＋1的零点是________.
解析 由题意知g (－2)＝f (－2)＝－ln 3，当x ≥0时，x 2
＋1＝0没有零点，当x <0时，由－ln(－x ＋1)＋1＝0，得x ＝1－e. 答案 －ln 3 1－e
14.已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧y ≤2，3x －y －3≤0，2x ＋y －2≥0，
则目标函数z ＝3x ＋y 的最大值为________.
解析 作出可行域如图所示：作直线l 0：3x ＋y ＝0，再作一组平行于l 0的直线l ：3x ＋y ＝z ，当直线l 经过点M 时，
z ＝3x ＋y 取得最大值，
由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －3＝0，y ＝2，得⎩⎪
⎨⎪⎧x ＝5
3，y ＝2，
所以点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫53，2，
所
以z max ＝3×5
3＋2＝7.
答案 7
15.已知平面四边形ABCD 为凸四边形(凸四边形即任取平面四边形一边所在直线，其余各
边均在此直线的同侧)，且AB ＝2，BC ＝4，CD ＝5，DA ＝3，则平面四边形ABCD 面积的最大值为________.
解析 设AC ＝x ，在△ABC 中，由余弦定理有：
x 2＝22＋42－2×2×4cos B ＝20－16cos B ，
同理，在△ADC 中，由余弦定理有：
x 2＝32＋52－2×3×5cos D ＝34－30cos D ，
即15cos D －8cos B ＝7，①
又平面四边形ABCD 面积为S ＝12×2×4sin B ＋1
2×3×5sin D
＝1
2
(8sin B ＋15sin D )，即8sin B ＋15sin D ＝2S ，② ①②平方相加得
64＋225＋240(sin B sin D －cos B cos D )＝49＋4S 2
， －240cos(B ＋D )＝4S 2
－240， 当B ＋D ＝π时，S 取最大值230. 答案 230。