福建省龙岩一中2018-2019学年高二(上)开学数学试卷(解析版)

福建省龙岩一中2018-2019学年高二（上）开学数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.满足条件{1，2，3，4}⊆M⊊{1，2，3，4，5，6}的集合M的个数是（）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
2.已知向量，，，，则在方向上的投影为（）
A. B. 8 C. D.
3.三个数a=30.7，b=0.73，c=log30.7的大小顺序为（）
A. B. C. D.
4.执行如图的程序框图，若输出S的值是55，则判断框内应输
入（）
A. ？
B. ？
C. ？
D. ？
5.在△ABC中，a=15，b=10，sin A=，则sin B=（）
A. B. C. D.
6.已知函数y=f（x）在R上为奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2-2x，则当x＜0时，f
（x）的解析式是（）
A. B. C.
D.
7.设l为直线，α，β是两个不同的平面，则下列事件中是必然事件的是（）
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，，则
8.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2+c2-b2=ac，则B=（）
A. B. C. 或 D. 或
9.函数y=2sin（ωx+φ），|φ|＜的图象如图所示，则（）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
10.太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案，它形象化
地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲
理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美．按照太
极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O被
y=3sin的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆
的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴
影部分的概率为（）
A. B. C. D.
11.一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是（单位：
m2）．（）
A. B. C. D.
12.已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0）在（，）上仅有一个最值，且为最大值，
则实数ω的值不可能为（）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.若向量，，，，，，则n=______．
14.通常，满分为100分的试卷，60分为及格线．若某次满分为100分的测试卷，100
人参加测试，将这100人的卷面分数按照[24，36），[36，48），…[84，96]分组后绘制的频率分布直方图如图所示．由于及格人数较少，某位老师准备将每位学生的卷面得分采用“开方乘以10取整”的方法进行换算以提高及格率（实数a的取整等于不超过a的最大整数），如：某位学生卷面49分，则换算成70分作为他的最终考试成绩，则按照这种方式求出的及格率与实际及格率的差是______
15.在△ABC中，B=，AB=8，BC=5，则△ABC外接圆的面积为______
16.若直线y=x+2与曲线＞恰有一个公共点，则实数m的取值范围为
______．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a sin B=b cos A．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若b=3，c=2，求a的值．
18.已知角θ的终边与单位圆x2+y2=1在第四象限交于点P，且点P的坐标为（，y）．
（1）求tanθ的值；
（2）求的值．
19.南航集团与波音公司2018年2月在广州签署协议，双方合作的客改货项目落户广
州空港经济区．根据协议，双方将在维修技术转让、支持项目、管理培训等方面开展战略合作．现组织者对招募的100名服务志愿者培训后，组织一次知识竞赛，将所得成绩制成如下频率分布直方图（假定每个分数段内的成绩均匀分布），组织者计划对成绩前20名的参赛者进行奖励．
（1）试求受奖励的分数线；
（2）从受奖励的20人中利用分层抽样抽取5人，再从抽取的5人中抽取2人在主会场服务，试求2人成绩都在90分以上（含90分）的概率．
20.在平面直角坐标系xOy中，设向量，sinα），，cosβ），，．
（1）若，求sin（α-β）的值；
（2）设，0＜β＜π，且 ∥，求β的值．
21.如图，在四棱锥P-ABCD中，已知AB AD，AD DC．PA底面ABCD，且AB=2，
PA=AD=DC=1，M为PC的中点，N在AB上，且BN=3AN．
（1）求证：平面PAD平面PDC；
（2）求证：MN∥平面PAD；
（3）求三棱锥C-PBD的体积．
22.已知向量，，，，设函数，，．
（1）求f（x）的值域；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）设函数f（x）的图象向左平移个单位长度后得到函数h（x）的图象，若不等式f（x）+h（x）+sin2x-m＜0有解，求实数m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
解：∵{1，2，3，4}⊆M⊊{1，2，3，4，5，6}，
∴集合M中必有元素1，2，3，4，
且集合M中还有元素5，6中的0个或1个，
∴满足条件{1，2，3，4}⊆M⊊{1，2，3，4，5，6}的集合M的个数是：
．
故选：B．
集合M中必有元素1，2，3，4，且集合M中还有元素5，6中的0个或1个，由此能求出集合M的个数．
本题考查满足条件的集合的个数的求法，考查子集、真子集的定义及性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
2.【答案】D
【解析】
解：，，则•=1×2+2×3=8，
||==，
则在方向上的投影为==，
故选：D．
在方向上的投影为，代值计算即可．
本题考查了向量的投影的定义，属于基础题
3.【答案】D
【解析】
解：∵a=30.7＞30=1，
0＜b=0.73＜0.70=1，
c=log30.7＜log31=0，
∴c＜b＜a．
故选：D．
由指数函数和对数函数的单调性，可得a，b，c的范围，进而可得答案．
本题考查函数值的大小的比较，利用函数的单调性得出取值的范围是解决问题的关键，属基础题．
4.【答案】C
【解析】
解：模拟程序的运行，可得
S=0，n=1
执行循环体，S=-1，n=2
不满足判断框内的条件，执行循环体，S=3，n=3
不满足判断框内的条件，执行循环体，S=-6，n=4
不满足判断框内的条件，执行循环体，S=10，n=5
不满足判断框内的条件，执行循环体，S=-15，n=6
不满足判断框内的条件，执行循环体，S=21，n=7
不满足判断框内的条件，执行循环体，S=-28，n=8
不满足判断框内的条件，执行循环体，S=36，n=9
不满足判断框内的条件，执行循环体，S=-45，n=10
不满足判断框内的条件，执行循环体，S=55，n=11
由题意，此时，应该满足判断框内的条件，退出循环，输出S的值为55．
故判断框内的条件为n≥11？．
故选：C．
由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
5.【答案】D
【解析】
解：由正弦定理可得：sinB===．
故选：D．
由正弦定理代入已知即可求值．
本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】
解：任取x＜0则-x＞0，
∵x≥0时，f（x）=x2-2x，
∴f（-x）=x2+2x，①
又函数y=f（x）在R上为奇函数
∴f（-x）=-f（x）②
由①②得x＜0时，f（x）=-x（x+2）
故选：A．
利用函数的奇偶性求对称区间上的解析式要先取x＜0则-x＞0，代入当x≥0时，f（x）=x2-2x，求出f（-x），再根据奇函数的性质得出f（-x）=-f（x）两者代换即可得到x＜0时，f（x）的解析式
本题考查奇函数的性质，考查利用函数的奇偶性求对称区间上的解析式，这是函数奇偶性的一个重要应用，做对此类题的关键是正确理解定义及本题的做题格式．
7.【答案】B
【解析】
解：对于A，若l∥α，l∥β，则α∥β或α与β相交，故A错误；
对于B，若 lα，lβ，由线面垂直的性质得α∥β，故B正确；
对于C，若lα，l∥β，则αβ，故C错误；
对于D，若αβ，l∥α，则 l⊂β或l∥β或l与β相交．
故选：B．
利用空间中的线面关系逐一核对四个选项得答案．
本题考查命题的真假判断与应用，考查了空间中的线面关系，是中档题．
8.【答案】A
【解析】
解：∵a2+c2-b2=ac，
∴由余弦定理可得：cosB===，
∵B（0，π），
∴B=．
故选：A．
由已知及余弦定理可得cosB的值，结合B的范围及特殊角的三角函数值可得B值．
本题考查余弦定理解三角形，涉及特殊角的三角函数值的应用，属基础题．
9.【答案】B
【解析】
解：如右图示，将点（0，1）代入，得
2sinφ=1，
∴sinφ=，
∵|φ|＜，
∴φ=，
∴y=2sin（ωx+），
将点（，0）代入，得
ω=2，
故选：B．
首先，根据图象过点（0，1），将改点坐标代入，得到φ=，然后，将点（，0）代入，得到ω=2，从而容易得到结果．
本题重点考查了三角函数的图象与性质、特殊角的三角函数等知识，属于中
档题．
10.【答案】D
【解析】
解：根据题意，大圆的直径为y=3sin x的周期，且T==8；
面积为S=π•=16π，
一个小圆的面积为S′=π•12=π，
在大圆内随机取一点，此点取自阴影部分的概率为：
P===．
故选：D．
根据题意，分别计算大圆、小圆的面积，求对应面积比即可．
本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．
11.【答案】A
【解析】
解：由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直且底面与垂直于底面的侧面全等的三棱锥
由图中数据知此两面皆为等腰三角形，高为2，底面边长为2，故它们的面积皆为=2，
由顶点在底面的投影向另两侧面的底边作高，由等面积法可以算出，此二高线的长度相等，为，
将垂足与顶点连接起来即得此两侧面的斜高，由勾股定理可以算出，此斜高为2，同理可求出侧面底边长为，
可求得此两侧面的面积皆为=，
故此三棱锥的全面积为2+2++=，
故选：A．
由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥，垂直于底面的侧面是一个高为2，底边长也为2的等腰三角形，底面与垂直于底面的侧面全等，此两面的面积易求，另两个与底面不垂直的侧面是全等的，可由顶点
在底面上的射影作出此两侧面底边的高，将垂足与顶点连接，此线即为侧面三角形的高线，求出侧高与底面的边长，用三角形面积公式求出此两侧面的面积，将四个面的面积加起来即可
本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查对三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是三棱锥的全面积，做本题时要注意本题中的规律应用，即四个侧面两两相等，注意到这一点，可以大大降低运算量．三视图的投影规则是主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等．
12.【答案】C
【解析】
解：函数f（x）=sinωx+cosωx=sin（ωx+）（ω＞0）在（）上仅有一个最值，且为最大值，
∴ω•+＜2kπ+＜ω•+＜2kπ+，k Z，
令k=0，求得ω＜，
故选：C．
利用两角和的正弦公式化简函数的解析式，再根据正弦函数的图象，ω•+
＜2kπ+＜ω•+＜2kπ+，k Z，求得ω的范围，从而得出结论．
本题主要考查两角和的正弦公式的应用，正弦函数的图象，属于基础题．
13.【答案】-2
【解析】
解：∵向量，，，=+，
∴（0，2）=（2，4）+（-2，n）=（0，4+n），∴4+n=2，∴n=-2，
故答案为：-2．
由题意利用=+，用待定系数法求得n的值．
本题主要考查两个向量坐标形式的运算法则，两个向量的加减法，属于基础题．
14.【答案】0.52
【解析】
解：由频率分布直方图得：
该生卷面分有[36，60）内的频率为：1-（0.015+0.015+0.005+0.005）×12=0.52．
∴按照这种方式求出的及格率与实际及格率的差是0.52．
故答案为：0.52．
由频率分布直方图求出该生卷面分有[36，60）内的频率，由此能求出按照这
种方式求出的及格率与实际及格率的差．
本题考查频率分布直方图的应用，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
15.【答案】
【解析】
解：在△ABC中，∠B=，AB=8，BC=5，由余弦定理可得：
AC2=AB2+BC2-2AB•BC•cosB=64+25-80×=49，
∴AC=7．
再由正弦定理可得2R===，
∴△ABC的外接圆半径R=．
∴△ABC外接圆的面积为π•R2=，
故答案为：．
由余弦定理求得AC的值，再由正弦定理可得2R=，求得R的值，从而求得△ABC的外接圆的面积．
本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题．
16.【答案】m＞4或m=2
【解析】
解：曲线表示以原点为
圆心，为半径的圆在x轴上方的部分，
直线y=x+2与曲线相
切时，=，∴m=2，
直线y=x+2与曲线有
两个交点时，
将（0，2）代入，可得
m=4，
∴直线y=x+2与曲线恰有一个公共点时，实数m的取值范围为m＞4或m=2．
故答案为：m＞4或m=2．
曲线表示以原点为圆心，为半径的圆在x轴上方的部分，画出图象，结合图象，即可得出结论．
本题考查直线与圆相交的性质，数形结合是解决问题的关键，属中档题．
17.【答案】解：（Ⅰ）a sin B=b cos A，由正弦定理可得sin A sin B=sin B cos A，
∵B是三角形内角，∴sin B≠0，
∴tan A=，A是三角形内角，
∴A=．
（Ⅱ）∵b=3，c=2，由（Ⅰ）得：
由余弦定理可知：a2=b2+c2-2bc cos A…（9分）
=…（11分）
∴…（12分）
【解析】
（Ⅰ）利用正弦定理化简已知条件，通过三角形内角求解A的大小即可．
（Ⅱ）直接利用余弦定理求解即可．
本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，三角形的解法，考查计算能力．
18.【答案】解：（1）由已知θ为第四象限角，终边与单位圆交于点P（，y），
得（）2+y2=1，y＜0，解得y=-．
∴tanθ==；
（2）∵tanθ=，
∴==．
【解析】
（1）首先由已知求出y值，然后利用任意角的三角函数定义求出tanθ的值即可；（2）原式利用诱导公式化简，再利用同角三角函数间基本关系变形，把tanθ的值代入计算即可得答案．
本题考查了三角函数的基本定义、诱导公式以及基本关系式的运用，属于基
础题．
19.【答案】（本小题满分12分）
解：（1）由频率分布直方图知，竞赛成绩在[90，100]分的人数为0.012×10×100=12，竞赛成绩在[80，90）的人数为0.02×10×100=20，
故受奖励分数线在[80，90）之间，……（3分）
设受奖励分数线为x，则（90-x）×0.02+0.012×10=0.20，解得x=86，
故受奖励分数线为86．…（6分）
（2）由（1）知，受奖励的20人中，分数在[86，90）的人数为8，
分数在[90，100]的人数为12，
利用分层抽样，可知分数在[86，90）的抽取2人，分数在[90，100]的抽取3人，……（8分）
设分数在[86，90）的2人分别为A1，A2，分数在[90，100]的3人分别为B1，B2，B3，所有的可能情况有10种，分别为：
（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），
（A2，B2），（A2，B3），（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3），
满足条件的情况有3种：（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3），
故所求的概率为p=．……（12分）
【解析】
（1）由频率分布直方图知，竞赛成绩在[90，100]分的人数为12，竞赛成绩在[80，90）的人数为20，由此能求出受奖励分数线．
（2）受奖励的20人中，分数在[86，90）的人数为8，分数在[90，100]的人数为12，利用分层抽样，可知分数在[86，90）的抽取2人，分数在[90，100]的抽取3
人，设分数在[86，90）的2人分别为A1，A2，分数在[90，100]的3人分别为B1，B2，B3，利用列举法能求出结果．
本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，考查列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
20.【答案】解：（1）因为=（cosα，sinα），=（-sinβ，cosβ），，．
所以||=||=||=1，
且•=-cosαsinβ+sinαcosβ=sin（α-β）．……（3分）
因为|+|=||，所以|+|2=2，即2+2•+2=1，
所以1+2sin（α-β）+1=1，即．……（6分）
（2）因为，所以，．故=（，cos）．……（8分）
因为 ∥，所以．
化简得，，所以．…（12分）
因为0＜β＜π，所以＜＜．所以，即．……（14分）
【解析】
（1）利用向量的数量积转化求解两角差的三角函数即可．
（2）通过向量平行，转化求解角的大小即可．
本题考查向量的数量积与三角函数的化简求值考查计算能力．
21.【答案】（1）证明：∵PA底面ABCD，CD⊂底
面ABCD，
∴PA CD；
又AD DC，AD⊂平面PAD，PA⊂平面PAD，PA∩AD=A，
∴CD平面PAD，又CD⊂平面PDC，
∴平面PAD平面PDC．
（2）证明：取PD的中点E，连接ME，AE，
∵M，E分别是PC，PD的中点，
∴ME∥CD，且=，
又AB AD，AD DC，BN=3AN，AB=2，
∴AN∥CD，AN==，
∴EM∥AN，EM=AN，
∴四边形MEAN为平行四边形，
∴MN∥AE，又AE⊂平面PAD，MN⊄平面PAD，
∴MN∥平面PAD．
（3）解：∵PA底面ABCD，S△BCD==，
∴V C-PBD=V P-BCD=S△BCD•PA=．
【解析】
（1）由PA底面ABCD得PA CD，又CD AD得CD平面PAD，故而平面PAD平面PDC；
（2）取PD的中点E，连接ME，AE，则可证四边形AEMN是平行四边形，于是
MN∥AE，得出MN∥平面PAD；
（3）以三角形BCD为棱锥的底面，则棱锥的高为PA，代入体积公式计算即可．本题考查了线面平行，线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．
22.【答案】解：（1）∵
，
∴，
∵，∴∴，
∴f（x）的值域为，，
（2）由，
令t=cos x，则
当，时，，且t=cos x为减函数
又在，上时减函数，
∴f（x）在，上是增函数，
当，时，，且t=cos x为减函数
又在，上时增函数，
∴f（x）在，上是减函数
综上，f（x）的单调增区间为，，单调减区间为，．
（3）∵函数，x[0，π]的图象向左平移个单位长度后得到函数h（x）的图象，
∴，，，
依题意，不等式m＞f（x）+h（x）+sin2x在，有解，
设=
，，
令，
∵，∴，，
则，，，
∴函数y=f（x）+h（x）+sin2x的值域为，．
∴＞
故实数m的取值范围为，．
【解析】
（1）根据向量的数量积和三角形函数的性质即可求出值域；
（2）根据复合函数的单调性即可求出单调区间；
（3）先求出h（x），由不等式f（x）+h（x）+sin2x-m＜0有解，转化为m＞f（x）+h（x）+sin2x，根据二次函数的性质即可求出．
本题主要考查函向量的数量积，正弦函数的单调性、定义域和值域，二次函
数的性质，不等式成立的问题，属于中档题．。