2018-2019湖南省五市十校教研教改共同体高一12月联考数学试题

2018-2019学年湖南省五市十校教研教改共同体高一12月联考数学试题
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合{1,0}A =-，{0,1,2}B =，则A
B =
A ．∅
B ．{0}
C ．{1,0}-
D ．{1,0,1,2}- 2.下列函数与函数y x =的图像相同的是
A ．y =．2x y x
= C ．ln x y e = D ．ln x
y e =
3.下列结论正确的是
A ．相等的角在直观图中仍然相等
B ．相等的线段在直观图中仍然相等
C ．水平放置的三角形的直观图是三角形
D ．水平放置的菱形的直观图是菱形
4.已知函数23,0
()2,0
x x x x f x x ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩，则[(1)]f f -=
A ．54-
B ．14- C.14 D ．1
2
5.函数221
()()
3
x x
f x +=的值域是
A ．(,3)-∞
B ．(0,)+∞ C.(0,3] D ．[3,)+∞
6.若函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≤时，()x
f x a π=-（a 为常数），则()f a = A ．1π- B ．1π- C.1
1π
- D ．1
1π
-
7.已知函数1
()1f x x x
=+
+，设1230x x x <<<，11()a a f x =，22()b x f x =，33()c x f x =，则 A ．a b c << B ．a c b <<
C. c b a << D ．a ，b ，c 的大小关系不能确定
8.点P 从点O 出发，按逆时针方向沿周长为l 的平面图形运动一周，O ，P 两点连线的距离y 与点P 走过的路程x 的函数关系如图所示，则点P 所走的图形可能是
A ．
B ．
C.
D ．
9.将一个长方体截去一个棱锥后的三视图如图所示，则棱锥的体积与剩下的几何体的体积比为
A ．
13 B ．23 C.15 D ．56
22的近似值的过程中，可以构造函数2
()2(0)f x x x =->，我们知道(1)(2)0f f ⋅<，2(1,2)，2的近似值满足精确度为0.1，则对区间(1,2)至少二等分的次数为
A ．3
B ．4 C. 5 D ．6
11.如图，在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，H 为EF 的中点，沿AE ，EF ，FA 将正方形折起，使B ，C ，D 重合于点O ，在构成的三棱锥O AEF -中，下列结论错误．．
的是
A ．AO ⊥平面EOF
B ．三棱锥O AEF -的体积为
1
3
C. 直线AH 与平面EOF 所成角的正切值为22 D ．异面直线OH 与AE 所成角的余弦值为
12
12.中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思，关于“刍童”体积计算的描述，《九章算术》注曰：“倍上袤，下袤从之，亦倍下袤，上袤从之，各以其广乘之，并，以高乘之，皆六而一．”其计算方法是：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘，将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘；把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一.已知一个“刍童”的下底面是周长为18的矩形，上底面矩形的长为3，宽为2，“刍童”的高为3，则该“刍童”的体积的最大值为 A ．
392 B ．752 C. 39 D ．601
16
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.若幂函数()y f x =的图像过点(4,2)，则()f x 的解析式为 ． 14.表面积为24的正方体的外接球的体积为 ．
15.已知α，β是两个不同平面，m ，n 是平面α及β外的两条不同直线，给出以下四个论断：①m n ⊥；②αβ⊥；③n β⊥；④m α⊥.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题为 ．
16.设函数
1
ln, ()
1,
x e
f x x
x e
⎧
≥
⎪
=⎨
⎪-<
⎩
，则满足(2)(2)
f x f x
+<的x的取值范围是．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（1）求值：
1
1
3
2
81
0.25()lg16215
272
g
-
+--；
（2）若53
a=，54
b=，用a，b表示
25
log6.
18. 如图，在圆锥PO中，AB是其底面圆O的直径，点C在底面圆周上运动（不与A，B重合），D为AC 的中点.
（1）证明：OD∥平面PBC；
（2）证明：平面PAC⊥平面POD.
19. 已知函数()log(2)
a
f x x
=+，()log(4)
a
g x x
=-，其中0
a>且1
a≠.
（1）求函数()()
f x
g x
+的定义域；
（2）若函数()()
f x
g x
+的最大值是2，求a的值；
（3）求使()()0
f x
g x
->成立的x的取值范围.
20. 如图，四棱锥E ABCD
-中，AB CD
∥，CD⊥平面ADE，
1
2
2
AD DE CD
===，22
AE=
（1）证明：BC DE ⊥； （2）若四面体ABCE 的体积为
4
3
，求四棱锥E ABCD -的侧面积. 21. 小萌大学毕业后，家里给了她10万元，她想办一个“萌萌”加工厂，根据市场调研，她得出了一组毛利润y （单位：万元）与投入成本x （单位：万元）的数据如下： 投入成本x 0.5 1 2 3 4 5 6 毛利润y
1.06
1.25
2
3.25
5
7.25
9.98
为了预测不同投入成本情况下的利润，她想在两个模型2()f x ax b =+，()2x
g x p q =⋅+中选一个进行预测.
（1）根据投入成本2万元和4万元的两组数据分别求出两个模型的函数解析式，请你根据给定数据选出一个较好的函数模型进行预测（不必说明理由），并预测她投入8万元时的毛利润；
（2）若小萌准备最少投入2万元开办加工厂，请预测加工厂毛利润率r 的最大值，并说明理由.（=
毛利润
毛利润率投入成本
）
22.已知函数2
()21f x x ax =-+在区间[0,2]上的值域为[0,1]. （1）求a 的值；
（2）若不等式(2)
4
x x
f m ≥对任意的[1,)x ∈+∞恒成立，求实数m 的取值范围； （3）若函数22()(|lo
g |)(|log |1)g x f x k x =--有3个零点，求实数k 的值.
试卷答案
一、选择题
1-5：BDCAC 6-10： DACCB 11、12：DB
二、填空题
13. 12
()f x x = 14. 15. ①③④⇒②；②③④⇒①（任选一个即可） 16.(2,2)e -
三、解答题
17.（1）原式1
132127
()()2lg 22lg548
=+--
13
2(lg 2lg5)022
=
+-+= （2）∵53a
=，54b
=，∴5log 3a =，5log 4b = ∴2555511log 6log 6(log 3log 2)22=
=+112()224
a b
a b +=+=
18. 证明：（1）∵D 为AC 的中点，圆心O 为AB 的中点，∴OD BC ∥， ∵BC ⊂平面PBC ，OD ⊄平面PBC ， ∴OD ∥平面PBC .
（2）∵OA OC =，D 是AC 的中点，∴AC OD ⊥. ∵PO ⊥底面O ，AC ⊂底面O ，∴AC PO ⊥，
∵0OD
OP =，OD ，PO ⊂平面POD ，
∴AC ⊥平面POD ， ∵AC ⊂平面PAC ，
∴平面PAC ⊥平面POD .
19.（1）要使()()f x g x +的表达式有意义， 则有：20
2440
x x x +>⎧⇒-<<⎨
->⎩
∴函数()()f x g x +的定义域是(2,4)- （2）令()()()h x f x g x =+，
则()log (2)(4)a h x x x =+-2
log (28)a x x =-++
设2
28t x x =-++，则(0,9]t ∈， ∵函数()()()h x f x g x =+的最大值是2. 即y log a t =，(0,9]t ∈的最大值是2. ∴1a >且log 92a =，∴2
9a = ∴3a =
（3）由()()0f x g x ->即log (2)log (4)a a x x +>- Ⅰ：若1a >，则240x x +>->
∴14x <<
Ⅱ：若01a <<，则有：024x x <+<- ∴21x -<<
∴1a >时满足题意的x 的取值范围是(1,4)
01a <<时满足题意的x 的取值范围是(2,1)-
20.（1）证明：在ADE ∆中，2AD DE ==，AE = ∴222AD DE AE +=，∴90ADE ∠=︒即：DE AD ⊥ ∵CD ⊥平面ADE ，DE ⊂平面ADE ，∴CD DE ⊥， ∵CD
AD D =，∴DE ⊥平面ABCD ，
∵BC ⊂平面ABCD ，∴BC DE ⊥ （2）解由（1）知DE ⊥平面ABCD ∴ABCE E ABC V V -==13ABC DE S ∆⨯⨯=11243233
DE AB AD AB ⨯⨯⨯⨯==， ∴2AB =，
∵AB CD ∥，CD ⊥平面ADE ，
∴AB ⊥平面ADE ，又AE ⊂平面ADE ，∴AB AE ⊥，∴BE =
又在直角梯形ABCD 中，1
22
AB AD CD ==
=，∴BC =在直角三角形CDE 中，2
2
2
16420CE CD DE =+=+=2
2
BC BE =+ ∴90CBE ∠=︒
∴四棱锥E ABCD -的侧面积为
111
222DE AD AE AB BC ⨯⨯+⨯⨯+⨯1
2
BE DE CD ⨯+⨯⨯6=+
21. 解：（1）先求第一个模型2
()f x ax b =+的解析式，
由已知数据可得42165a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得141
a b ⎧
=⎪
⎨⎪=⎩，
∴2
1()1(010)4
f x x x =
+<≤， 同理可求得1()21(010)4
x
g x x =⋅+<≤ 选择2
1()1(010)4
f x x x =
+<≤作为较好的模型， 当8x =万元时，17y =万元.
（2）由已知2
111
4(210)4x y x r x x x x
+===+≤≤，
设12210x x ≤<≤，则11114x r x =
+，222
1
4x r x =+， 21212111()()44x x r r x x -=+-+2212211212()(44)
4x x x x x x x x -+-=
12211212()4()4x x x x x x x x -+-=
211212
()(4)
4x x x x x x --=
∵12210x x ≤<≤，∴210x x ->，1240x x ->， ∴210r r ->，1
(210)4y x r x x x
=
=+≤≤在[2,10]上是增函数， 当10x =万元时，max 101134105
r =
+=. 22. 解：（1）依题意，()f x 的最大值必然是在区间的端点处取得， 所以：(0)1f =或(2)1f =，解得：1a =，
经检验，1a =符合题意.
（2）令2x
t =，则原不等式可化为：2
1(1)m t
≤-(2)t ≥恒成立. ∴2min
11(1)
4m t
≤-=
，∴m 的取值范围是1(,]4
-∞ （3）令2|log |t x =，则()y g x =可化为：2
(2)1(1)(1)y t k t k t t k =-+++=--- ∵解方程(1)(1)0t t k ---=可得：11t =或21t k =+ 又依题意：()y g x =有3个不同的零点， ∴210t k =+=， ∴1k =-。