【北师大版】高中数学必修三期末试卷(附答案)(1)

一、选择题
1．有五条线段长度分别为1,3,5,7,9，从这5条线段中任取3条，则所取3条线段能构成一个三角形的概率（ ） A ．
110
B ．
310
C ．
12
D ．
710
2．如图，长方形的四个顶点为(0,0)O ，(4,0)A ，(4,2)B ，(0,2)C ，曲线y x =
经过点
B .现将一质点随机投入长方形OAB
C 中，则质点落在图中阴影区域外的概率是（ ）
A ．
13
B ．
12
C ．
23
D ．
34
3．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3-为公比的等比数列，若从这个10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是( ) A ．
710
B ．
35
C ．
12
D ．
25
4．斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列（1，1，2，3，5，8…）画出来的螺旋曲线，由中世纪意大利数学家列奥纳多•斐波那契最先提出．如图，矩形
ABCD 是以斐波那契数为边长的正方形拼接而成的，在每个正方形中作一个圆心角为90°的圆弧，这些圆弧所连成的弧线就是斐波那契螺旋线的一部分．在矩形ABCD 内任取一点，该点取自阴影部分的概率为（ ）
A ．
14
B ．
8
π C ．
34
D ．
4
π 5．执行如图所示的程序框图，如果输入x ＝5，y ＝1，则输出的结果是（ ）
A．261 B．425 C．179 D．544
6．如图是一个程序框图，则输出k的值为（）
A．6 B．7 C．8 D．9
7．程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作．卷八中第33问：“今有三角果一垛，底阔每面七个．问该若干？”如图是解决该问题的程序框图．执行该程序框图，求得该垛果子的总数S为（）
A．28 B．56 C．84 D．120 8．执行如图的程序框图，则输出x的值是 ()
A．2018B．2019C．1
2
D．2
9．2020年，一场突如其来的“新型冠状肺炎”使得全国学生无法在春季正常开学，不得不在家“停课不停学”.为了解高三学生居家学习时长，从某校的调查问卷中，随机抽取n个学
生的调查问卷进行分析，得到学生可接受的学习时长频率分布直方图（如下图所示），已知学习时长在[)9,11的学生人数为25，则n 的值为（ ）
A ．40
B ．50
C ．80
D ．100
10．一组数据的平均数为x ，方差为2s ，将这组数据的每个数都乘以()0a a >得到一组新数据，则下列说法正确的是（ ） A ．这组新数据的平均数为x B ．这组新数据的平均数为a x + C ．这组新数据的方差为2as D ．这组新数据的标准差为2a s
11．已知x ，y 取值如下表：
x
0 1 4 5 6 8 y 1.3
1.8
5.6
6.1
7.4
9.3
从所得的散点图分析可知：y 与x 线性相关，且 1.03y x a =+，则a =（ ） A ．1.53
B ．1.33
C ．1.23
D ．1.13
12．为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，得到5组数据：11(,)x y ，22(,)x y ，33(,)x y ，44(,)x y ，55(,)x y .根据收集到的数据可知
12345150x x x x x ++++=，由最小二乘法求得回归直线方程为0.6754.9y x =+，则12345y y y y y ++++的值为（ ）
A ．75
B ．155.4
C ．375
D ．466.2
二、填空题
13．现有五个分别标有A 、B 、C 、D 、E 的小球，随机取出三个小球放进三个盒子，每个盒子只能放一个小球，则D 、E 至少有一个在盒子中的概率为______．
14．将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________．
15．设每门高射炮命中飞机的概率为0.06，且每一门高射炮是否命中飞机是独立的，若有一敌机来犯，则需要______门高射炮射击，才能以至少99%的概率命中它．
16．如图是一个算法流程图，则输出的S的值为______．
17．如果执行如图所示的程序框图，那么输出的值为__________．
18．程序如下：
以上程序输出的结果是_________________ 19．已知x ，y 的取值如下表： x 2 3 4 5 y
2.2
3.8
5.5
6.5
从散点图分析，y 与x 线性相关，且回归方程为y ＝1.46x ＋a ，则实数a 的值为________．
20．某超市统计了一个月内每天光顾的顾客人数，得到如图所示的频率分布直方图，根据该图估计该组数据的中位数为__________．
三、解答题
21．某校从参加某次知识竞赛的1000同学中，随机抽取60名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100六组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题： （1）补全频率分布直方图，并估计本次知识竞赛的均分；
（2）如果确定不低于85分的同学进入复赛，问这1000名参赛同学中估计有多少人进人复赛；
（3）若从第一组，第二组和第六组三组学生中分层抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求所抽取的2人成绩之差的绝对值大于20的概率.
22．某校某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图（已知本次测试成绩满分100分，且均为不低于50分的整数），请根据图表中的信息解答下列问题.
（1）求全班的学生人数及频率分布直方图中分数在[70，80）之间的矩形的高； （2）为了帮助学生提高数学成绩，决定在班里成立“二帮一”小组，即从成绩[90，100]中选两位同学，共同帮助[50，60）中的某一位同学，已知甲同学的成绩为53分，乙同学的成绩为96分，求甲、乙恰好被安排在同一小组的概率.
23．画出解关于x 的不等式0ax b +<的程序框图，并用语句描述. 24．利用海伦公式编写一个计算三边长为,,a b c 的三角形面积的程序． [海伦公式为：1
()()();()2
S p p a p b p c a b c =
---=
++]． 25．“湖广熟，天下足”，鱼米之乡的湖北是全国重要的农产品生产地.而受疫情影响，像莲藕、小龙虾等湖北很多优质农副产品近期都面临销售难题.为了让淜北尽快恢复正常，央视主持人朱广权化身直播带货官，和网红们一起为湖北产品做公益直播.在为湖北某地区的小龙虾进行带货时，需大致了解该地区小龙虾的产量，通过调查发现湖北某地区近几年的小龙虾产量统计如下表： 年份 2014 2015 2016 2017 2018 2019 年份代码t 1 2 3 4 5 6 年产量y （万吨）
6.6
6.9
7.4
7.7
8
8.4
（1）根据表中数据，建立关于t 的线性回归方程y bt a =+； （2）请你根据线性回归方程预测今年（2020年）该地区小龙虾的年产量.
附：对于一组数据()11,t y ，()22,t y ，…，(),n n t y ，其回归直线y bt a =+的斜率和截距的
最小二乘估计分别为：()()
()
1
2
1
ˆn
i
i
i n
i i t t y y b
t t ==--=-∑∑，a y bt =-.（参考数据：
()()6
1
6.3i
i i t
t
y y =--=∑）
26．为培养学生在高中阶段的数学能力，某校将举行数学建模竞赛.已知该竞赛共有60名
学生参加，他们成绩的频率分布直方图如图所示.
（1）估计这60名参赛学生成绩的中位数；
（2）为了对数据进行分析，将60分以下的成绩定为不合格.60分以上（含60分）的成绩定为合格，某评估专家决定利用分层抽样的方法从这60名学生中选取10人，然后从这10人中抽取4人参加座谈会，记ξ为抽取的4人中，成绩不合格的人数，求ξ的分布列与数学期望；
（3）已知这60名学生的数学建模竞赛成绩Z 服从正态分布()2
,N
μσ，其中μ可用样本
平均数近似代替，2σ可用样本方差近似代替（同一组数据用该区间的中点值作代表），若成绩在46分以上的学生均能得到奖励，本次数学建模竞赛满分为100分，估计此次竞赛受到奖励的人数（结果根据四舍五人保留整数）.
参考数据：()0.6827P Z μσμσ-<≤+≈，()220.9545P Z μσμσ-<≤+≈，
()330.9973P Z μσμσ-<≤+≈.
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一、选择题 1．B 解析：B 【分析】
列出所有的基本事件，并找出事件“所取三条线段能构成一个三角形”所包含的基本事件，再利用古典概型的概率公式计算出所求事件的概率． 【详解】
所有的基本事件有：()1,3,5、()1,3,7、()1,3,9、()1,5,7、()1,5,9、()1,7,9、
()3,5,7、()3,5,9、()3,7,9、()5,7,9，共10个，
其中，事件“所取三条线段能构成一个三角形”所包含的基本事件有：()3,5,7、()3,7,9、
()5,7,9，共3个，
由古典概型的概率公式可知，事件“所取三条线段能构成一个三角形”的概率为310
， 故选：B ． 【点睛】
本题考查古典概型的概率计算，解题的关键就是列举基本事件，常见的列举方法有：枚举法和树状图法，列举时应遵循不重不漏的基本原则，考查计算能力，属于中等题．
2．A
解析：A 【分析】
计算长方形面积，利用定积分计算阴影部分面积，由面积测度的几何概型计算概率即可. 【详解】
由已知易得：34
200
216=42=8=
[]|33
S S x ⨯==⎰
阴影长方形，，
由面积测度的几何概型：质点落在图中阴影区域外的概率1
1=3
S P S =-阴影长方形 故选：A 【点睛】
本题考查了面积测度的几何概型，考查了学生转化划归，数学运算的能力，属于基础题.
3．B
解析：B 【分析】
先由题意写出成等比数列的10个数，然后找出小于8的项的个数，代入古典概率的计算公式即可求解 【详解】
解：由题意()
1
3n n a -=-成等比数列的10个数为：1，3-，2
(3)-，39(3)(3)-⋯-
其中小于8的项有：1，3-，3(3)-，5
(3)-，7(3)-，9(3)-共6个数 这10个数中随机抽取一个数， 则它小于8的概率是63105
P ==． 故选：B ． 【点睛】
本题主要考查了等比数列的通项公式及古典概率的计算公式的应用，属于基础试题
4．D
解析：D 【解析】 【分析】
利用圆的面积公式及几何概型中的面积型直接得解． 【详解】
由已知可得：矩形ABCD 的面积为（3+5）×（2+3+8）＝104， 又阴影部分的面积为
1
4
π（12+12+22+32+52+82）＝26π， 即点取自阴影部分的概率为261044
ππ
=， 故选D ． 【点睛】
本题考查了圆的面积公式及几何概型中的面积型，属于中档题．
5．B
解析：B 【分析】
根据循环结构的条件，依次运算求解，即得解. 【详解】
起始值：5,1,0x y n ===，
满足1105<⨯，故：5,0,2x y n ===； 满足0105<⨯，故：7,4,4x y n ===； 满足4107<⨯，故：11,36,6x y n ===； 满足361011<⨯，故：17,144,8x y n ===； 满足1441017<⨯，故：25,400,10x y n ===； 此时：4001025>⨯，满足输出条件：输出425x y += 故选：B 【点睛】
本题考查了程序框图的循环结构，考查了学生逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题.
6．B
解析：B 【分析】
根据程序框图，模拟计算过程即可求解. 【详解】
程序框图的执行过程如下：
1S =，10k =；
10
11S =，9k =；
9
11S =，8k ；
8
11S =，7k =，
循环结束. 故选B.
【点睛】
本题主要考查了程序框图，算法结构，属于中档题.
7．C
解析：C
【分析】
由已知中的程序可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，即可求解.
【详解】
模拟程序的运行，可得：0,0,0i n S ===
执行循环体，1,1,1i n S ===；
不满足判断条件7i ≥，执行循环体，2,3,4i n S ===；
不满足判断条件7i ≥，执行循环体，3,6,10i n S ===；
不满足判断条件7i ≥，执行循环体，4,10,20i n S ===；
不满足判断条件7i ≥，执行循环体，5,15,35i n S ===；
不满足判断条件7i ≥，执行循环体，6,21,56i n S ===；
不满足判断条件7i ≥，执行循环体，7,28,84i n S ===；
满足判断条件7i ≥，退出循环，输出S 的值为84.
故选C.
【点睛】
本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出问题，其中解答中模拟程序运行的过程，通过逐次计算和找出计算的规律是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
8．D
解析：D
【分析】
模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x ，y 的值，当2019y = 时，不满足条件退出循环，输出x 的值即可得解．
【详解】
解：模拟执行程序框图，可得
2,0x y ==.
满足条件2019y <，执行循环体，1,1x y =-=；
满足条件2019y <，执行循环体，1,22
x y =
= ； 满足条件2019y <，执行循环体，2,3x y ==； 满足条件2019y <，执行循环体，1,4x y =-= ；
…
观察规律可知，x 的取值周期为3，由于20196733⨯＝，可得：
满足条件2019y <，执行循环体，
当2,2019x y == ,不满足条件2019y <，退出循环，输出x 的值为2．
故选D ．
【点睛】
本题主要考查了循环结构的程序框图，依次写出每次循环得到的x ，y 的值，根据循环的周期，得到跳出循环时x 的值是解题的关键．
9．B
解析：B
【分析】
由频率分布直方图的性质，求得0.25x =，再结合频率分布直方图的频率的计算方法，即可求解.
【详解】
由频率分布直方图的性质，可得()20.050.150.051x +++=，解得0.25x =， 所以学习时长在[)9,11的频率2520.5x n
==
，解得50n =. 故选：B .
【点睛】
本题主要考查了频率分布直方图性质及其应用，其中解答中熟记频率分布直方图的性质是解答的关键，着重考查了数据分析能力，以及计算能力. 10．D
解析：D
【分析】
根据平均数及方差的定义可知，一组数据的每个数都乘以a 得到一组新数据，平均值变为原来a 倍，方差变为原来2a 倍.
【详解】
设一组数据1234,,,,,n x x x x x ⋯的平均数为x ，方差为2s , 则平均值为
()12341n ax ax ax ax ax ax n ++++⋯+=， ()()()()()2
2
2
22
212341n s x x x x x x x x x x n ⎡⎤=-+-+-+-+⋯+-⎢⎥⎣⎦， ()()()()()
222222212341n ax ax ax ax ax ax ax ax ax ax a s n ⎡⎤∴-+-+-+-+⋯+-=⋅⎢⎥⎣⎦ 故选：D.
【点睛】
本题主要考查了方差，平均数的概念，灵活运用公式计算是解题关键，属于中档题. 11．D
解析：D
【解析】
分析：首先根据题中所给的表中的数据，计算得出样本中心点的坐标，利用回归直线必过样本中心点，代入求得结果. 详解：依题意得，1(014568)46
x =⨯+++++=，1(1.3 1.8 5.6 6.17.49.3) 5.256
y =+++++=， 因为回归直线必过样本中心点(,)x y ，即点(4,5.25)，
所以有5.25 1.034ˆa
=⨯+，解得ˆ 1.13a =，故选D. 点睛：该题考查的是有关回归直线的有关问题，涉及到的知识点有回归直线一定过样本中心点，计算得出相应坐标的平均值，求得样本中心点的坐标，代入求得结果.
12．C
解析：C
【分析】 首先求得x 的值，然后利用线性回归方程过样本中心点的性质求解12345y y y y y ++++的值即可.
【详解】 由题意可得：12345305
x x x x x x ++++=
=， 线性回归方程过样本中心点，则：0.6754.975y x =⨯+=， 据此可知：12345y y y y y ++++5375y ==.
本题选择C 选项.
【点睛】
本题主要考查线性回归方程的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
二、填空题
13．【分析】计算出都不在盒子中的概率利用对立事件的概率公式可求得结果
【详解】记事件从五个分别标有的小球随机取出三个小球放进三个盒子则至少有一个在盒子中则事件从五个分别标有的小球随机取出三个小球放进三个盒 解析：910
【分析】
计算出D 、E 都不在盒子中的概率，利用对立事件的概率公式可求得结果.
【详解】
记事件:M 从五个分别标有A 、B 、C 、D 、E 的小球，随机取出三个小球放进三个盒子，则D 、E 至少有一个在盒子中， 则事件:M 从五个分别标有A 、B 、C 、D 、E 的小球，随机取出三个小球放进三个盒
子，则D 、E 都不在盒子中，
所有的基本事件有：ABC 、ABD 、ABE 、ACD 、ACE 、ADE 、BCD 、BCE 、BDE 、CDE ，共10种， 事件M 所包含的基本事件为：ABC ，共1种，
故()()19111010P M P M =-=-
=. 故答案为：
910
. 【点睛】
方法点睛：求解古典概型概率的方法如下：
（1）列举法；
（2）列表法；
（3）数状图法；
（4）排列组合数的应用. 14．【解析】基本事件总数为36点数之和小于10的基本事件共有30种所以所求概率为【考点】古典概型【名师点睛】概率问题的考查侧重于对古典概型和对立事件的概率的考查属于简单题江苏对古典概型概率的考查注重事件 解析：56
【解析】
基本事件总数为36，点数之和小于10的基本事件共有30种，所以所求概率为
305.366
= 【考点】古典概型
【名师点睛】概率问题的考查，侧重于对古典概型和对立事件的概率的考查，属于简单题.江苏对古典概型概率的考查，注重事件本身的理解，淡化计数方法.因此先明确所求事件本身的含义，然后一般利用枚举法、树形图解决计数问题，而当正面问题比较复杂时，往往利用对立事件的概率公式进行求解. 15．【分析】设需要门高射炮由题意得出解出的取值范围可得出正整数的最小值【详解】设需要门高射炮则命不中的概率为由题意得出得解得而因此至少需要门高射炮故答案为：【点睛】本题考查独立事件概率乘法公式的应用在涉 解析：75
【分析】
设需要n 门高射炮，由题意得出()110.060.99n
--≥，解出n 的取值范围，可得出正整数n 的最小值.
【详解】
设需要n 门高射炮，则命不中的概率为()10.06n
-，
由题意得出10.940.99n -≥，得0.940.01n ≤，解得0.942log 0.01lg 0.94n ≥=-
， 而274.43lg 0.94
-≈，因此，至少需要75门高射炮. 故答案为：75.
【点睛】
本题考查独立事件概率乘法公式的应用，在涉及“至少”问题时，可以利用对立事件的概率公式来进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.
16．【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值模拟程序的运行过程分析循环中各变量值的变化情况可得答案【详解】模拟程序的运行可得满足条件执行循环体满足条件执行循 解析：7
【解析】
【分析】
由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【详解】
模拟程序的运行，可得
1S =，1i =
满足条件4i <，执行循环体，2S =，2i =
满足条件4i <，执行循环体，4S =，3i =
满足条件4i <，执行循环体，7S =，4i =
此时，不满足条件4i <，退出循环，输出S 的值为7．
故答案为7．
【点睛】
本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.
17．0【解析】第一次循环：满足条件；第二次循环：满足条件；第三次循环：满足条件；第四次循环：满足条件；第五次循环：满足条件；第六次循环：满足条件；第七次循环：满足条件；可得的值以为周期进行循环所以最后输 解析：0
【解析】 第一次循环：1cos 32
n S S π=+=，满足条件2018,12n n n <=+=；第二次循环：
cos
03n S S π=+=，满足条件2018,13n n n <=+=；第三次循环：cos 13
n S S π=+=-，满足条件2018,14n n n <=+=；第四次循环：3cos
32n S S π=+=-，满足条件2018,15n n n <=+=；第五次循环：cos
13n S S π=+=-，满足条件2018,16n n n <=+=；第六次循环：cos
03n S S π=+=，满足条件2018,17n n n <=+=；第七次循环：1cos 32
n S S π=+=，满足条件2018,18n n n <=+=；...，可得S 的值以6为周期进行循环，所以最后输出的S 的值为0，故答案为0.
18．24【解析】考点：程序框图专题：图表型分析：由程序中循环的条件为i≤4我们易得到最后一次循环时i=4又由循环变量i 的初值为2故我们从2开始逐步模拟循环的过程即可得到结论解答：解：模拟程序的运行结果：
解析：24
【解析】
考点：程序框图．
专题：图表型．
分析：由程序中循环的条件为i≤4，我们易得到最后一次循环时i=4，又由循环变量i 的初值为2，故我们从2开始逐步模拟循环的过程，即可得到结论．
解答：解：模拟程序的运行结果：
i=2时，t=2，
i=3时，t=6，
i=4时，t=24，
故答案为24
点评：本题考查的知识点是程序框图及程序代码，在写程序运行结果时，模拟程序的运行过程是解答此类问题最常用的方法，模拟时要分析循环变量的初值，步长和终值 19．—061【分析】根据所给条件求出把样本中心点代入回归直线方程可以得到关于的方程解出即可得到答案【详解】根据题意可得则这组数据的样本中心点是代入到回归直线方程故答案为【点睛】本题考查了线性回归方程解题 解析：—0.61
【分析】 根据所给条件求出x ，y ，把样本中心点()x y ，代入回归直线方程 1.4ˆ6ˆy
x a +＝，可以得到关于ˆa
的方程，解出即可得到答案 【详解】
根据题意可得2345 3.54
x +++== 2.2 3.8 5.5 6.5 4.54
y +++== 则这组数据的样本中心点是()3.54.5，
代入到回归直线方程 1.4ˆ6ˆy
x a +＝ 4.5 1.46 3.ˆ5a
∴⨯+＝ ˆ0.61a
=- 故答案为0.61-
【点睛】
本题考查了线性回归方程，解题的关键是线性回归方程一定过样本中心点，这是求解线性回归方程的步骤之一，是线性回归方程考查的常见题型，体现了回归直线方程与样本中心点的关联．
20．75【解析】分析：由频率分布直方图算出各频率然后计算中位数详解：由图可知的频率为的频率为的频率为的频率为的频率为前两组频率前三组频率中位数在第三组设中位数为则解得故该组数据的中位数为点睛：本题考查了 解析：75.
【解析】
分析：由频率分布直方图算出各频率，然后计算中位数
详解：由图可知，10~20的频率为0.14
20~30的频率为0.24
30~40的频率为0.32
40~50的频率为0.2
50~60的频率为0.1
前两组频率0.140.240.380.5=+=<
前三组频率0.140.240.320.70.5=++=>
∴中位数在第三组
设中位数为x ，则()300.380.320.510
x -+
⨯= 解得33.75x =
故该组数据的中位数为33.75
点睛：本题考查了在频率分布直方图中求中位数，此类题目需要先确定中位数所在的组，然后根据公式计算求得结果，较为基础． 三、解答题
21．（1）频率分布直方图见解析；均分为71分；（2）175；（3）13
.
【分析】
（1）根据频率和为1可求得[)70,80组对应的频率，由此可补全频率分布直方图；利用平均数的估计方法计算可得结果；
（2）由频率分布直方图计算可得分数不低于85分的频率，利用总数⨯频率即可计算得到结果；
（3）根据分层抽样原则可计算求得第一组、第二组和第六组分别抽取的人数，采用列举法可确定所有基本事件和满足题意的基本事件，由古典概型概率公式计算可得结果.
【详解】
（1）[)70,80组的频率为()10.010.0150.0150.0250.0051010.70.3-++++⨯=-=， ∴补全频率分布直方图如下图所示：
均分为：450.1550.15650.15750.3850.25950.0571⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（分）. （2）由频率分布直方图可知：分数不低于85分的频率为
10.025100.005100.1752
⨯⨯+⨯=， 1000∴名参赛同学中，预估有10000.175175⨯=人进入复赛.
（3）第一组、第二组和第六组的频率之比为2:3:1，
∴第一组抽取2626⨯=人，第二组抽取3636⨯=人，第六组抽取1616
⨯=人， 记第一组和第二组的5人为,,,,a b c d e ，第六组的1人为A ，
则随机抽取2人，有：(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),a A ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，(),b A ，(),c d ，(),c e ，(),c A ，(),d e ，(),d A ，(),e A ，共15种情况， 成绩之差的绝对值大于20的有：(),a A ，(),b A ，(),c A ，(),d A ，(),e A ，共5种情况，
∴所求概率51153
p =
=. 【点睛】
本题考查利用频率分布直方图计算频数和频率、估计平均数等知识，同时考查了分层抽样和古典概型概率问题的求解，是对概率和统计部分知识的综合考查，属于常考题型. 22．（1）50人，0.04；（2）
18 【分析】
(1)先根据频数计算在[50,60）上的频率,继而求得全班总人数,再根据[70,80）之间的人数求得[70,80）之间的频率与高即可.
(2)根据题意求得[50,60）中的人数与[90,100）分数段内的人数,再编号利用枚举法求解即可.
【详解】
（1）由茎叶图知分数在[50,60）上的频数为4,
频率为0.008×10＝0.08, 故全班的学生人数为40.08
=50人, ∵分数在[70,80）间的频数为：50﹣（4+14+8+4）＝20,
∴频率是200.450
=,∴矩形的高是0.410=0.04. （2）成绩在[50,60）分数段内的人数有4人,记为甲、A 、B 、C ,
成绩在[90,100）分数段内的人数有4人,记为乙、a ,b ,c ,
则“二帮一”小组有以下24种分组办法：
甲乙a ,甲乙b ,甲乙c ,甲ab ,甲ac ,甲bc ,A 乙a ,A 乙b ,
A 乙c ,Aab ,Aac ,Abc ,
B 乙a ,B 乙b ,B 乙c ,Bab ,
Bac ,Bbc ,C 乙a ,C 乙b ,C 乙c ,Cab ,Cac ,Cbc ,
其中,甲、乙两同学被分在同一小组有3种办法：甲乙a ,甲乙b ,甲乙c ,
∴甲乙两同学恰好被安排在同一小组的概率为P 31248
=
=. 【点睛】
本题主要考查了茎叶图与频率分布直方图的应用,同时也考查了枚举法解决古典概型问题,属于基础题.
23．见解析
【详解】
解：流程图如下：
程序如下：
INPUT a ，b
IF a ＝0 THEN
IF b ＜0 THEN
PRINT “任意实数”
ELSE
PRINT “无解”
ELSE
IF a ＞0 THEN
PRINT “x ＜“；﹣b /a
ELSE
PRINT “x ＞“；﹣b /a
ENDIF
ENDIF
ENDIF
END
点睛：解决算法问题的关键是读懂程序框图，明晰顺序结构、条件结构、循环结构的真正含义，本题巧妙而自然地将算法、不等式、交汇在一起，用条件结构来进行考查.这类问题可能出现的错误：①读不懂程序框图；②条件出错；③计算出错.
24．见解析
【解析】
试题分析：先输入三角形的三条边长a ，b ，c ，再计算2
a b c p ++=，然后计算()()()S p p a p b p c =---，最后输出S 的值.
试题
根据题意，所求的程序如下：
INPUT a ，b ，c
p =(a +b +c )/2
S =SQR(p *(p –a )*(p –b )*(p –c ))
PRINT S
END
25．（1）0.36 6.24y x =+；（2）8.76万吨.
【分析】
（1）由题意求得知 3.5t =，7.5=y ，
()62117.5i i t t =-=∑，运用公式求得b ，代入可求得y 关于t 的线性回归方程.
（2）由（1）得的线性回归方程，代入年份代码7t =计算，可预测2020年该地区小龙虾的年产量.
【详解】
（1）由题知 3.5t =，7.5=y ，()
62117.5i i t t =-=∑，
()()()
6
1621 6.30.3617.5
ˆi i
i i i t t y y b t t ==--===-∑∑， 又 6.24=-=a y bt .所以，y 关于t 的线性回归方程为0.36 6.24y x =+.
（2）由（1）得，当年份为2020年时，年份代码7t =，此时0.367 6.248.76=⨯+=y .所以，可预测，2020年该地区小龙虾的年产量为8.76万吨.
【点睛】
本题考查线性回归方程的求解，利用线性回归方程对总体进行估计，属于中档题. 26．（1）中位数为65；（2）分布列见解析；期望为
5635
；（3）50. 【分析】
（1）由图中的数据可判断中位数在60分到80分之间，若设中位数为x ，则()0.005200.01520600.020.5x ⨯+⨯+-⨯=，从而可求得中位数；
（2）结合频率分布直方图和分层抽样的方法可知，抽取的10人中合格的人数为6人，不合格的人数为4人，则ξ的可能取值为0，1，2，3，4，求出各自的概率，从而可得ξ的分布列与数学期望；
（3）由已知求出=64=18μσ，，从而可得
()()6418641846820.6827P Z P Z -<≤+=<≤≈，再利用正态分布的对称性可求得结果
【详解】
（1）设中位数为x ，则()0.005200.01520600.020.5x ⨯+⨯+-⨯=，解得65x =，所以这60名参赛学生成绩的中位数为65.
（2）结合频率分布直方图和分层抽样的方法可知，抽取的10人中合格的人数为()0.010.0220106+⨯⨯=，不合格的人数为1064-=.
由题意可知ξ的可能取值为0，1，2，3，4.
则()464101014C P C ξ===，()134********C C P C ξ===，()2246410327
C C P C ξ===，()31464103435C C C P ξ===，()4441014210
C P C ξ===. 所以ξ的分布列为
所以ξ的数学期望01234142173521035
E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. （3）由题意可得，()300.005500.015700.02900.012064μ=⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，()()()222230640.150640.370640.4σ=-⨯+-⨯+-⨯()2
90640.2324+-⨯=，则18σ=，
由Z 服从正态分布()2
,N μσ，得()()6418641846820.6827P Z P Z -<≤+=<≤≈，则
()()18210.68270.158652
P Z >≈-=，()460.68270.158650.84135P Z >≈+=，所以此次竞赛受到奖励的人数为600.8413550⨯≈.
【点睛】
此题考查频率分布直方图、分层抽样、离散型随机变量的分布列、正态分布等知识，考查分析问题的能力和计算能力，属于中档题。