四川师范大学附属实验学校中考数学几何综合压轴题易错专题

四川师范大学附属实验学校中考数学几何综合压轴题易错专题
一、中考数学几何综合压轴题
1．探究：小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），可通过构造直角三角形利用图1得到结论：
他还利用图2证明了线段P1P2的中点P（x，y）P的坐标公式：，．
（1）请你帮小明写出中点坐标公式的证明过程；
运用：（2）①已知点M（2，﹣1），N（﹣3，5），则线段MN长度为；
②直接写出以点A（2，2），B（﹣2，0），C（3，﹣1），D为顶点的平行四边形顶点D 的坐标：；
拓展：（3）如图3，点P（2，n）在函数（x≥0）的图象OL与x轴正半轴夹角的平
分线上，请在OL、x轴上分别找出点E、F，使△PEF的周长最小，简要叙述作图方法，并求出周长的最小值．
解析：（1）答案见解析；（2）①；②（﹣3，3）或（7，1）或（﹣1，﹣3）；（3）．
【详解】
试题分析：（1）用P1、P2的坐标分别表示出OQ和PQ的长即可证得结论；
（2）①直接利用两点间距离公式可求得MN的长；②分AB、AC、BC为对角线，可求得其中心的坐标，再利用中点坐标公式可求得D点坐标；
（3）设P关于直线OL的对称点为M，关于x轴的对称点为N，连接PM交直线OL于点R，连接PN交x轴于点S，则可知OR=OS=2，利用两点间距离公式可求得R的坐标，再由PR=PS=n，可求得n的值，可求得P点坐标，利用中点坐标公式可求得M点坐标，由对称性可求得N点坐标，连接MN交直线OL于点E，交x轴于点S，此时EP=EM，FP=FN，此时满足△PEF的周长最小，利用两点间距离公式可求得其周长的最小值．
试题解析：
（1）∵P1（x1，y1），P2（x2，y2），∴Q1Q2=OQ2﹣OQ1=x2﹣x1，∴Q1Q=，
∴OQ=OQ1+Q1Q=x1+=，∵PQ为梯形P1Q1Q2P2的中位线，
∴PQ= =，即线段P 1P 2的中点P （x ，y ）P 的坐标公式为x=
，
y=
；
（2）①∵M （2，﹣1），N （﹣3，5），∴MN=
=，故答案为
；
②∵A （2，2），B （﹣2，0），C （3，﹣1），∴当AB 为平行四边形的对角线时，其对称中心坐标为（0，1），设D （x ，y ），则x+3=0，y+（﹣1）=2，解得x=﹣3，y=3，∴此时D 点坐标为（﹣3，3），当AC 为对角线时，同理可求得D 点坐标为（7，1），当BC 为对角线时，同理可求得D 点坐标为（﹣1，﹣3），综上可知D 点坐标为（﹣3，3）或（7，1）或（﹣1，﹣3），故答案为（﹣3，3）或（7，1）或（﹣1，﹣3）；
（3）如图，设P 关于直线OL 的对称点为M ，关于x 轴的对称点为N ，连接PM 交直线OL 于点R ，连接PN 交x 轴于点S ，连接MN 交直线OL 于点E ，交x 轴于点F ，又对称性可知EP=EM ，FP=FN ，∴PE+PF+EF=ME+EF+NF=MN ，∴此时△PEF 的周长即为MN 的长，为最小，设R （x ，
），由题意可知OR=OS=2，PR=PS=n ，∴
=2，解得x=﹣
（舍去）或x=，∴R （，），∴
，解得n=1，∴P （2，1），∴N （2，﹣1），设M （x ，y ），则=，
=
，解得x=
，y=
，∴M
（
，
），∴MN=
=
，即△PEF 的周长的最小值为
．
考点：一次函数综合题；阅读型；分类讨论；最值问题；探究型；压轴题．
2．（基础巩固）（1）如图1，在ABC 中，M 是AB 的中点，过B 作//BD AC ，交CM 的延长线于点D ．求证：AC BD =；
（尝试应用）（2）在（1）的情况下载线段CM 上取点E （如图2），已知34BE AC ==2CE =，4EM =，求tan D ；
（拓展提高）（3）如图3，菱形ABCD 中 ，点P 在对角线AC 上，且2CP AP =，点E 为线段DP 上一点，BE BC =．若2PE =，3PD =，求菱形ABCD 的边长．
解析：（1）证明见解析；（2）3
5
；（3）21．
【分析】
(1)证明()ACM BDM AAS △≌△，即可求解；
(2)过点B 作BH CD ⊥于点H ，得到(
)
2
2234
253BH BD DH =-=
-=，进而求解；
(3) 延长DP 交AB 于G ，交CB 延长线于F ，连结CE ，可得BE BF BC ==，所以
90CEF ∠=︒，设菱形边长为x ，进而可得出结论．
【详解】 解：（1）证明：
//AC BD ，
A MBD ∴∠=∠，ACM D ∠=∠，
M 是AB 的中点，
AM MB ∴=，
ACM BDM ∴△≌△，
AC BD ∴=．
（2）由（1）得6CM MD CE EM ==+=， 34BE AC BD ===，
作BH CD ⊥，垂足为H ，如图所示：
5EH HD ∴==，
在Rt BDH △中，
(
)
2
22
34
253BH BD DH =--=，
3
tan 5
BH D HD ∴=
=． （3）延长DP 交AB 于G ，交CB 延长线于F ，连结CE ， 如图所示：
//,AB CD
,APG CPD ∴∽
1
,2
AG PG AP CD PD CP ∴
=== 1113
,,2222AG CD AB PG PD ∴====
39
3,8,22
FG DG FE ∴==
+== 过B 作BH CD ⊥于,H 由//,AB CD
∴ BE BF BC ==，
90CEF ∴∠=︒，
设菱形边长为x ，
在Rt CDE △和Rt CFE ∆中22222CD DE CE CF EF -==-， 即221464x x -=-， 解得21x =
∴菱形ABCD 21
【点睛】
本题考查四边形综合题，主要考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质，解直角三角形、勾股定理的运用，正确作出辅助线是解题的关键．
3．如图，在菱形ABCD 中，120BAD ∠=，将边AB 绕点A 逆时针旋转至'AB ，记旋转角为α．过点D 作DF BC ⊥于点F ，过点B 作BE ⊥直线'B D 于点E ，连接EF ． （探索发现）
(1)填空：当60α=时，'EBB ∠ = ．
'
EF
DB 的值是 （验证猜想）
(2)当0360α<<时，(1)中的结论是否仍然成立?若成立，请仅就图2的情形进行证明；
若不成立，请说明理由； （拓展应用）
(3)在(2)的条件下，若22AB =BDE ∆是等腰直角三角形时，请直接写出线段EF 的
长．
解析：（1）303
2）当0360α<<时，（1）中的结论仍然成立，理由见解析；（3）线段EF 的长为3333 【分析】
(1)当60α=时，点B ′与点C 重合，BE ⊥ CD ，由四边形ABCD 为菱形，可求∠ABE =90°，
由120BAD ∠=，可求∠ABC =60°，'EBB ∠=30°，由DF ⊥BC ，DC ∥AB ，∠FDC =∠EBC =30°，由sin ∠FDC =sin ∠EBC =
CF CE
DC BC
=，可得CF =CE ，可求∠CEF =∠FDC =30°即可； (2)当0360α<<时， (1)中的结论仍然成立．先求'60EB B ∠=︒，再证
'EBB CBD ∠=∠．最后证'DBB FBE ∆∆∽即可；
(3) 连接AC ，BD 交于点O ．先求6OB =23DE ='2EB =．分两种情况：①如图
先求'232B D =，再证△B′BD ∽△EBF ，可得3
EF B D ′②如图先求'32B D =．再证△B′BD ∽△EBF ，
3
EF B D ′ 【详解】
(1)当60α=时，点B ′与点C 重合，
∵BE ⊥ CD ，四边形ABCD 为菱形，CD ∥AB ， ∴BE ⊥AB ， ∴∠ABE =90°，
∵120BAD ∠=，AD ∥BC ， ∴∠ABC =180°-∠BAD =180°-120°=60°， ∴'EBB ∠=∠ABE -∠ABC =90°-60°=30°， ∵DF ⊥BC ，DC ∥AB ，
∴DF ⊥AD ，∠CDA =180°-∠BAD =60°，
∴∠FDC =90°-∠CDA =30°，∠FCD =90°-∠FDC =60°， ∴∠FDC =∠EBC =30°， ∴sin ∠FDC =sin ∠EBC =CF CE
DC BC
=， ∵DC =BC ，
∴CF =CE ，
∴∠CFE =∠CEF =1
2∠FCD =30°， ∴∠CEF =∠FDC =30°， ∴DF =FE ， ∵cos ∠FDC =3
2
DF DC =
， ∴
'EF DB =32
DF DC =， 故答案为30，
3
2
．
(2)当0360α<<时， (1)中的结论仍然成立．
证明：如图1，连接BD ．
'AB AD AB ==，
1'(180)9022AB B αα∴∠=
︒-=︒-，1'[180(120)]3022
AB D αα∠=︒-︒-=︒+． '180''180(90)(30)6022EB B AB D AB B αα
∴∠=︒-∠-∠=︒-︒--︒+=︒，
'30EBB ∴∠=︒．
11
(180)3022CBD ABC BAD ∠=∠=︒-∠=︒．
'EBB CBD ∴∠=∠．
'''EBB FBB CBD FBB ∴∠+∠=∠+∠，即'DBB EBF ∠=∠．
3cos BF DBF BD ∠==3
cos ''BE EBB BB ∠==
'
BF BE
BD BB ∴
=． 'DBB FBE ∆∆∽．
3
''EF BE DB BB ∴
==
，
(3)线段EF 的长为3333
连接AC ，BD 交于点O ．
AC DB ⊥，1602
BAO BAD ∠=∠=︒，
sin 6OB AB BAO ∴=⋅∠= 226BD OB ∴==
∵DE =BE ，∠DEB =90°， ∴∠EDB =∠EBD =45°，
2
sin 63DE BE BD DBE ∴==⋅∠== 'AB AD AB ==，∠B ′EB =90°，
1'(180)9022AB B αα∴∠=
︒-=︒-，1'[180(120)]3022
AB D αα∠=︒-︒-=︒+． '180''180(90)(30)6022EB B AB D AB B αα
∴∠=︒-∠-∠=︒-︒--︒+=︒，
'30EBB ∴∠=︒．
3
'tan '232EB BE EBB ∴=⋅∠==． 分两种情况：①如图， ''232B D DE B E =+=，
∵∠B′BE =∠DBF =30°， ∴cos ∠B ′BE =cos ∠DBF =
3
EB FB B B DB =' 又∵∠B′BE +∠EBD =∠EBD +∠DBF ， ∴∠B′BD =∠EBF ， ∴△B′BD ∽△EBF ， ∴
3
=EB FB EF B B DB B D =''， 33(232)33EF B D '∴=
==．
②如图，
''232B D DE B E =-=-．
∵∠B′BE =∠DBF =30°， ∴cos ∠B′BE =cos ∠DBF =
3
=
2
EB FB B B DB ='， 又∵∠B ′BE -∠FBB′=∠DBF-∠FBB ′， ∴∠B′BD =∠EBF ， ∴△B′BD ∽△EBF ， ∴
3
==
2
EB FB EF B B DB B D =''， 33(232)3322
EF B D '∴=⨯
=⨯-=-．
综上所述，线段EF 的长为33+33 【点睛】
本题考查图形旋转变换，菱形性质，锐角三角函数值，等腰直角三角形性质，三角形相似判定与性质，掌握图形旋转变换，菱形性质，锐角三角函数值，等腰直角三角形性质，三角形相似判定与性质是解题关键． 4．[初步尝试]
（1）如图①，在三角形纸片ABC 中，∠ACB ＝90°，将△ABC 折叠，使点B 与点C 重合，
折痕为MN ，则AM 与BM 的数量关系为 ； [思考说理]
（2）如图②，在三角形纸片ABC 中，AC ＝BC ＝6，AB ＝10，将△ABC 折叠，使点B 与点C 重合，折痕为MN ，求AM
BM
的值； [拓展延伸]
（3）如图③，在三角形纸片ABC 中，AB ＝9，BC ＝6，∠ACB ＝2∠A ，将△ABC 沿过顶点C 的直线折叠，使点B 落在边AC 上的点B ′处，折痕为CM ． ①求线段AC 的长；
②若点O 是边AC 的中点，点P 为线段OB ′上的一个动点，将△APM 沿PM 折叠得到△A ′PM ，点A 的对应点为点A ′，A ′M 与CP 交于点F ，求
PF
MF
的取值范围． 解析：（1）AM ＝BM ；（2）16
9；（3）①AC ＝152；②310≤
PF FM ≤34
． 【分析】
（1）利用平行线分线段成比例定理解决问题即可． （2）利用相似三角形的性质求出BM ，AM 即可． （3）①证明△BCM ∽△BAC ，推出BC BM CM
AB BC AC
== 由此即可解决问题．②证明△PFA ′∽△MFC ，推出'PF PA FM CM =，因为CM =5，推出'
5
PF PA FM =即可解决问题． 【详解】
解：（1）如图①中，
∵△ABC 折叠，使点B 与点C 重合，折痕为MN ， ∴MN 垂直平分线段BC ， ∴CN ＝BN ，
∵∠MNB ＝∠ACB ＝90°，
∴MN ∥AC ， ∵CN ＝BN ， ∴AM ＝BM ． 故答案为：AM ＝BM ． （2）如图②中，
∵CA ＝CB ＝6， ∴∠A ＝∠B ，
由题意MN 垂直平分线段BC ， ∴BM ＝CM ， ∴∠B ＝∠MCB ， ∴∠BCM ＝∠A ， ∵∠B ＝∠B ， ∴△BCM ∽△BAC ， ∴BC BM
BA BC =， ∴
6106
BM =， ∴BM ＝
18
5
， ∴AM ＝AB ﹣BM ＝10﹣183255
=， ∴
32
16
5189
5
AM BM ==； （3）①如图③中，
由折叠的性质可知，CB ＝CB ′＝6，∠BCM ＝∠ACM ， ∵∠ACB ＝2∠A ，
∴∠BCM ＝∠A ， ∵∠B ＝∠B ， ∴△BCM ∽△BAC ， ∴BC BM CM
AB BC AC == ∴
696
BM =， ∴BM ＝4， ∴AM ＝CM ＝5， ∴
659AC
=， ∴AC ＝
152
． ②如图③﹣1中，
∵∠A ＝∠A ′＝∠MCF ，∠PFA ′＝∠MFC ，PA ＝PA ′， ∴△PFA ′∽△MFC ， ∴
PF PA FM CM '
=， ∵CM ＝5， ∴
5
PF PA FM '
=， ∵点P 在线段OB 上运动，OA ＝OC ＝154，AB ′＝152﹣6＝3
2
， ∴32≤PA ′≤15
4， ∴
310≤PF FM ≤34
． 【点睛】
本题属于几何变换综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
5．我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形” （1）概念理解：
请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子；
（2）问题探究；
如图1，在等邻角四边形ABCD中，∠DAB=∠ABC，AD，BC的中垂线恰好交于AB边上一点P，连结AC，BD，试探究AC与BD的数量关系，并说明理由；
（3）应用拓展；
如图2，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠C=∠D=90°，BC=BD=3，AB=5，将Rt△ABD绕着点A 顺时针旋转角α（0°＜∠α＜∠BAC）得到Rt△AB′D′（如图3），当凸四边形AD′BC为等邻角四边形时，求出它的面积．
解析：（1）矩形或正方形；（2）AC=BD，理由见解析；（3）10
4
17
或12﹣
37
2
．
【分析】
（1）矩形或正方形邻角相等，满足“等邻角四边形”条件；
（2）AC=BD，理由为：连接PD，PC，如图1所示，根据PE、PF分别为AD、BC的垂直平分线，得到两对角相等，利用等角对等角得到两对角相等，进而确定出∠APC=∠DPB，利用SAS得到三角形ACB与三角形DPB全等，利用全等三角形对应边相等即可得证；
（3）分两种情况考虑：（i）当∠AD′B=∠D′BC时，延长AD′，CB交于点E，如图3（i）所示，由S四边形ACBD′=S△ACE﹣S△BED′，求出四边形ACBD′面积；（ii）当∠D′BC=∠ACB=90°时，过点D′作D′E⊥AC于点E，如图3（ii）所示，由S四边形ACBD′=S△AED′+S矩形ECBD′，求出四边形ACBD′面积即可．
【详解】
（1）矩形或正方形；
（2）AC=BD，理由为：连接PD，PC，如图1所示：
∵PE是AD的垂直平分线，PF是BC的垂直平分线，
∴PA=PD，PC=PB，
∴∠PAD=∠PDA，∠PBC=∠PCB，
∴∠DPB=2∠PAD，∠APC=2∠PBC，
即∠PAD=∠PBC，
∴∠APC=∠DPB ， ∴△APC ≌△DPB （SAS ）， ∴AC=BD ；
（3）分两种情况考虑：
（i ）当∠AD′B=∠D′BC 时，延长AD′，CB 交于点E ， 如图3（i ）所示，
∴∠ED′B=∠EBD′， ∴EB=ED′，
设EB=ED′=x ， 由勾股定理得：42+（3+x ）2=（4+x ）2， 解得：x=4.5， 过点D′作D′F ⊥CE 于F ， ∴D′F ∥AC ， ∴△ED′F ∽△EAC ， ∴D F ED AC AE ''
=， 即
4.5
44 4.5
D F '=+， 解得：D′F=
36
17
， ∴S △ACE =1
2AC×EC=1
2×4×（3+4.5）=15；S △BED′=1
2B E×D′F=1
2×4.5×3617=81
17
， 则S 四边形ACBD′=S △ACE ﹣S △BED′=15﹣
8117=10417
； （ii ）当∠D′BC=∠ACB=90°时，过点D′作D′E ⊥AC 于点E ， 如图3（ii ）所示，
∴四边形ECBD′是矩形， ∴ED′=BC=3，
在Rt △AED′中，根据勾股定理得：7， ∴S △AED′=1
2AE×ED′=1
2737
S 矩形ECBD′=CE×CB=（47）×3=12﹣7， 则S 四边形A CBD′=S △AED′+S 矩形ECBD′37+12﹣737
【点睛】
此题是四边形综合题，主要考查了“等邻角四边形”的理解，三角形，四边形的内角和定理，角平分线的意义，勾股定理，旋转的性质，相似三角形的性质和判定，理解“等邻角四边形”的定义是解本题的关键，分类讨论是解本题的难点，是一道中考常考题． 6．如图，E F ，分别为ABC 中AC AB ，上的动点（点、、A B C 除外），连接EB FC ，交于点P ，6BC =.我们约定：线段BC 所对的CPB ∠，称为线段BC 的张角. 情景发现
（1）已知三角形ABC 是等边三角形，AE BF =， ①求线段BC 的张角CPB ∠的度数； ②求点P 到BC 的最大距离；
③若点P 的运动路线的长度称为点P 的路径长，求点P 的路径长. 拓展探究
（2）在（1）中，已知A BC '是圆P 的外切三角形，若点A '的运动路线的长度称为点A '的路径长，试探究点A '的路径长与点P 的路径长之间有何关系？请通过计算说明.
解析：（1）①BPC ∠＝120°，②点P 到BC 的最大距离3PN =4
33
π；（2）点A '的路径长与点P 的路径长的比值是2：1（或点A '的路径长是点P 的路径长的2倍）. 【分析】
（1）①利用等边三角形的性质证△AEB 与△BCF 全等，得到∠EBA ＝∠BCF ，利用三角形的内角和定理即可求出∠CPB 的度数；
②由题意可知当PO ⊥BC 于点N 时，点P 到BC 的距离最大，根据垂径定理及三角函数即可求出点P 到BC 的最大距离；
③由题意知点P 的路径长为弧BC 的长，在②的基础上直接利用公式即可求出结果； （2）由题意可知张角∠CPB 的度数始终为120°，可得∠CBP ＋∠BCP ＝60°，因为圆P 是△A'BC 的内切圆，由此可推出A'是等边三角形ABC 外接圆上优弧BAC 上的一动点，其半径为3240°，根据弧长公式可直接求出其长度，并计算出点A'的路径长是点P 的路径长的2倍． 【详解】 解：（1）①∵ABC 是等边三角形，
∴60CBA
A A
B B
C ∠∠︒=＝＝，， ∵AE BF =， ∴AEB BCF △≌△， ∴EBA
BCF ∠∠＝. ∵60180EBA EBC EBC BCF BPC ∠+∠︒∠+∠+∠︒＝，＝
，
∴180180BPC EBC BCF EBC EBA ∠︒-∠-∠=︒-∠-∠＝， 180********ABC ︒-∠=︒-︒︒＝＝.
②（2）如图所示，由于BPC ∠始终为120︒，故过点B C P 、、作圆O, ∴120BOC ∠︒＝
. 当PO BC ⊥于点N 时，点P 到BC 的距离最大. ∵OB OC =，
∴11
60,322
BOP BOC NB BC ∠∠=︒==＝，
∴3,23ON OB ==，
∴点P 到BC 的最大距离2333PN =-=.
③由②可知点P 的路径为BC 的长度，即x
（2）点A '的路径长与点P 的路径长的比值是2:1（或点A '的路径长是点P 的路径长的2倍），理由：
由（1）中题意可知张角CPB ∠的度数始终为120︒，可得60CBP BCP ∠+∠=︒， 又因为圆P 是A BC '△的内切圆， 所以120CBA BCA ''∠+∠=︒， 所以 60CA B ∠'=︒，
所以A '是等边三角形ABC 外接圆上优弧BAC 上的一动点，
由题意可得等边三角形ABC 外接圆的半径为23A '的路径是优弧BAC 的长度，即以
240︒的圆心角，半径为23A '的路径长
=
24023831803
n r πππ⋅==， 点A '的路径长与点P 84
332:133
ππ=， 所以点A '的路径长与点P 的路径长的比值是2：1（或点A '的路径长是点P 的路径长的2倍）.
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，圆的有关性质，弧长公式等，解题的关键是能够根据题意画出图形.
7．如图所示，在△ABC 中，AB BC =，D 、E 分别是边AB 、BC 上的动点，且BD BE =，连结AD 、AE ，点M 、N 、P 分别是CD 、AE 、AC 的中点，设B α∠=．
（1）观察猜想 ①在求
MN
CE
的值时，小明运用从特殊到一般的方法，先令60α=︒，解题思路如下： 如图1，先由,AB BC BD BE ==，得到CE AD =，再由中位线的性质得到
PM PN =，
60NPM ∠=︒，进而得出△PMN 为等边三角形，∴
1
2
MN NP CE CE ==． ②如图2，当90α=︒，仿照小明的思路求MN
CE
的值； （2）探究证明 如图3，试猜想MN
CE
的值是否与()0180αα︒<<︒的度数有关，若有关，请用含α的式子表示出
MN
CE
，若无关，请说明理由； （3）拓展应用
如图4，2,36AC B =∠=︒，点D 、E 分别是射线AB 、CB 上的动点，且AD CE =，点M 、N 、P 分别是线段CD 、AE 、AC 的中点，当1BD =时，请直接写出MN 的长．
解析：（1）②MN CE =
2）MN CE 的值与α的度数有关，sin 2MN CE α=；（3）MN 的长
【分析】
（1）②先根据线段的和差求出AD CE =，再根据中位线定理、平行线的性质得出,45PM PN APN CPM =∠=∠=︒，从而可得出90NPM ∠=︒，然后根据等腰直角三角形的
性质即可得；
（2）参照题（1）的方法，得出PMN 为等腰三角形和NPM ∠的度数，再利用等腰三角形的性质即可求出答案；
（3）分两种情况：当点D 、E 分别是边AB 、CB 上的动点时和当点D 、E 分别是边AB 、CB 的延长线上的动点时，如图（见解析），先利用等腰三角形的性质与判定得出
,ABC BCE CAB AFC ∠=∠∠=∠，再根据相似三角形的判定与性质得出BC 、CE 的长，由根
据等腰三角形的三线合一性得出1
,182
BP AC CBP ABC ⊥∠=∠=︒，从而可得sin18︒的值，
最后分别利用（2）的结论即可得MN 的长． 【详解】 （1）②
,AB BC BD BE ==
∴AD CE = ,90AB BC B =∠=︒
∴
ABC 为等腰直角三角形，45ACB CAB ∠=∠=︒
∵点M 、N 、P 分别是CD 、AE 、AC 的中点 11
//,,//,22
PN CE PN CE PM AD PM AD ∴==
,45,45PM PN APN ACB CPM CAB ∴=∠=∠=︒∠=∠=︒
∴18090NPM APN CPM ∠=︒-∠-∠=︒ ∴
PMN 为等腰直角三角形，
∴
MN ==
即
MN CE =
（2）
MN
CE
的值与α的度数有关，求解过程如下： 由（1）可知，PM PN =，即PMN 为等腰三角形
180180NPM APN CPM ACB CAB B α∠=︒-∠-∠=︒-∠-∠=∠=
如图5，作PH MN ⊥ 则11,222
NH MN NPH NPM α=
∠=∠=
在Rt NPH 中，sin NH
NPH PN
∠=，即12sin 122
MN CE α=
则
sin 2
MN CE α
=；
（3）依题意，分以下两种情况： ①当点D 、E 分别是边AB 、CB 上的动点时
如图6，作ACB ∠的角平分线交AB 边于点F ，并连结BP
2,36,AC ABC AB AC =∠=︒=
72ACB CAB ∴∠=∠=︒
1
36,722ACE BCE ACB AFC ABC BCE ∴∠=∠=∠=︒∠=∠+∠=︒
,ABC BCE CAB AFC ∴∠=∠∠=∠
2BF CF AC ∴===，ACF ABC ~
AF AC
AC AB
∴
=，即2AC AF AB =⋅ 设==AB BC x ，则2AF AB BF x =-=- 22(2)x x ∴=-
解得1
5x 或15x =-
即15BC =1515CE BC BE BC BD ∴=-=-=由（2）可知，
36sin sin182
MN CE ︒
==︒ sin185MN CE ∴=⋅︒︒
点P 是AC 上的中点
1,182BP AC CBP ABC ∴⊥∠=∠=︒，1
12
CP AC ==（等腰三角形的三线合一）
在Rt CBP 中，sin CP CBP BC ∠=，即51
sin1815
-︒=+
5155
55MN --∴=︒==
②如图7，当点D 、E 分别是边AB 、CB 的延长线上的动点时
同理可得：15BC =+
15125CE BC BE BC BD ∴=+=+=++=+
5135
sin18(25)44
MN CE -+∴=⋅︒=+⨯
=
综上，MN 的长为
554-或35
4
+．
【点睛】
本题考查了中位线定理、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、解直角三角形等知识点，较难的是题（3），依据题意，正确分两种情况，并结合题（2）的结论是解题关键．
8．问题提出（1）如图①，在△ABC 中，BC ＝6，D 为BC 上一点，AD ＝4，则△ABC 面积的最大值是 ．
问题探究（2）如图②，已知矩形ABCD 的周长为12，求矩形ABCD 面积的最大值． 问题解决（3）如图③，△ABC 是葛叔叔家的菜地示意图，其中AB ＝30米，BC ＝40米，AC ＝50米，现在他想利用周边地的情况，把原来的三角形地拓展成符合条件的面积尽可能大、周长尽可能长的四边形地，用来建鱼塘．已知葛叔叔欲建的鱼塘是四边形ABCD ，且满足∠ADC ＝60°．你认为葛叔叔的想法能否实现？若能，求出这个四边形鱼塘周长的最大值；若不能，请说明理由．
解析：（1）12；（2）9；（3）能实现；170（米）． 【分析】
（1）当AD ⊥BC 时，△ABC 的面积最大．
（2）由题意矩形邻边之和为6，设矩形的一边为m ，另一边为6﹣m ，可得S ＝m （6﹣m ）＝﹣（m ﹣3）2+9，利用二次函数的性质解决问题即可．
（3）由题意，AC ＝100，∠ADC ＝60°，即点D 在优弧ADC 上运动，当点D 运动到优弧ADC 的中点时，四边形鱼塘面积和周长达到最大值，此时△ACD 为等边三角形，计算出
△ADC的面积和AD的长即可得出这个四边形鱼塘面积和周长的最大值．
【详解】
（1）如图①中，
∵BC＝6，AD＝4，
∴当AD⊥BC时，△ABC的面积最大，最大值＝1
×6×4＝12．
2
故答案为12．
（2）∵矩形的周长为12，
∴邻边之和为6，设矩形的一边为m，另一边为6﹣m，
∴S＝m（6﹣m）＝﹣（m﹣3）2+9，
∵﹣1＜0，
∴m＝3时，S有最大值，最大值为9．
（3）如图③中，
∵AC＝50米，AB＝40米，BC＝30米，
∴AC2＝AB2+BC2
∴∠ABC＝90°，
作△AOC，使得∠AOC＝120°，OA＝OC，以O为圆心，OA长为半径画⊙O，
∵∠ADC＝60°，
∴点D在优弧ADC上运动，
当点D是优弧ADC的中点时，四边形ABCD面积取得最大值，
设D′是优弧ADC上任意一点，连接AD′，CD′，延长CD′到F，使得D′F＝D′A，连接AF，则∠ADC，
∠AFC＝30°＝1
2
∴点F在D为圆心DA为半径的圆上，
∴DF＝DA，
∵DF+DC≥CF，
∴DA+DC≥D′A+D′C，
∴DA+DC+AC≥D′A+D′C+AC，
∴此时四边形ADCB 的周长最大，最大值＝40+30+50+50＝170（米）． 答：这个四边形鱼塘周长的最大值为170（米）． 【点睛】
本题主要是最大值的考查，求最大值，常用方法为： （1）利用平方为非负的性质求解；
（2）利用三角形两边之和大于第三边求解，在求解过程中，关键在与将要求解的线段集中到一个三角形中
9．问题背景 如图1，点E 在BC 上，AB ⊥BC ，AE ⊥ED ，DC ⊥DC ，求证：
=AE BE
DE DC
．
尝试应用 如图2，在▱ABCD 中，点F 在DC 边上，将△ADF 沿AF 折叠得到△AEF ，且点E 恰好为BC 边的中点，求
FC
FD
的值． 拓展创新 如图3，在菱形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，DC 边上，∠AFE ＝∠D ，AE ⊥FE ，FC ＝2．EC ＝6．请直接写出cos ∠AFE 的值． 解析：（1）见解析；（2）1
2
FC FD =；（3）cos ∠AFE =25
．
【分析】
(1) 根据相似三角形的判定定理证△ABE ∽△ECD 即可；
(2) 在AB 边取点G ，使GE =BE ，则∠B =∠BGE ，证△AGE ∽△ECF ，列比例式即可； (3) 作FM =FD ，FN ⊥AD ，同（2）构造△AMF ∽△FCE ，证△AEF ∽△FHD ，求出AM 长即可． 【详解】
解：（1）∵ AB ⊥BC ，AE ⊥ED ，DC ⊥DC
∴∠B =∠C =90° ，∠BAE +∠AEB =90°，∠CED +∠AEB =90°， ∴∠BAE =∠CED ， ∴△ABE ∽△ECD ∴
AE BE
DE DC
=． （2）在AB 边取点G ，使GE =BE ，则∠B =∠BGE
又∵∠B +∠C =180° ，∠BGE +∠AGE =180° ∴∠AGE =∠C ∵∠B =∠D =∠AEF
又∵∠B +∠BAE =∠AEF +∠FEC ∴∠BAE =∠FEC ， ∴△AGE ∽△ECF ∴
FC EF EG AE =，即FC EG
EF AE
=
∵EF =FD ， ∴
FC EG
FD AE
= ∵GE =BE ，AE =BC =2BE ， ∴
12
FC BE FD BC == （3）cos ∠AFE =2
5
如图：作FM =FD ，FN ⊥AD ，
由（2）同理可证△AMF ∽△FCE ， ∴
3FM EC
AM FC
== 设AM =x ，FM =FD =3x ，则AD =CD =32x +，MD =22x +，ND =1x + ∵∠AEF =∠FND =90°，∠AFE ＝∠D ， ∴△AEF ∽△FND ， ∴EF AF ND FD =，即EF ND
AF FD =， ∵FC EF AM AF
=，
FC ND
AM FD
∴
= ∴
213x x x
+=，
解得，5x =，经检验，是原方程的解； ∴ cos ∠AFE =2
5
EF FC AF AM ==． 【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质和解直角三角形，解题关键是依据已知条件构造相似三角形，列比例式解决问题．
10．定义：如果一个三角形一条边上的高与这条边的比值是3：5，那么称这个三角形为“准黄金”三角形，这条边就叫做这个三角形的“金底”． （概念感知）
（1）如图1，在ABC 中，12AC =，10BC =，30ACB ∠=︒，试判断ABC 是否是“准黄金”三角形，请说明理由．
（问题探究）
（2）如图2，ABC 是“准黄金”三角形，BC 是“金底”，把ABC 沿BC 翻折得到DBC △，连AB 接AD 交BC 的延长线于点E ，若点C 恰好是ABD △的重心，求AB
BC
的值． （拓展提升）
（3）如图3，12l l //，且直线1l 与2l 之间的距离为3，“准黄金”ABC 的“金底”BC 在直线2l 上，点A 在直线1l 上．
10
5
AB BC =
，若ABC ∠是钝角，将ABC ∠绕点C 按顺时针方向旋转()090αα︒<<︒得到A B C ''，线段A C '交1l 于点D ．
①当30α=︒时，则CD =_________； ②如图4，当点B 落在直线1l 上时，求
AD
CD
的值．
解析：（1）ABC 是“准黄金”三角形，理由见解析；（2）329
AB BC =
3）①12515②
35
AD CD =
．
【分析】
（1）过点A 作AD BC ⊥于点D ，先求出AD 的长度，然后得到6103
5
AD BC ==，即可得到结论；
（2）根据题意，由“金底”的定义得:3:5AE BC =，设3AE k =，5BC k =，由勾股定理求出AB 的长度，根据比值即可求出
AB
BC
的值； （3）①作AE ⊥BC 于E ，DF ⊥AC 于F ，先求出AC 的长度，由相似三角形的性质，得到AF=2DF ，由解直角三角形，得到3CF DF =，则(23)35AC x =+=，即可求出DF 的长度，然后得到CD 的长度；
②由①可知，得到CE 和AC 的长度，分别过点B '，D 作B G BC '⊥，DF AC ⊥，垂足分别为点G ，F ，然后根据相似三角形的判定和性质，得到DF AF
AE EC
=，然后求出CD 和AD 的长度，即可得到答案． 【详解】
解：（1）ABC 是“准黄金”三角形． 理由：如图，过点A 作AD BC ⊥于点D ， ∵12AC =，30ACB ∠=︒， ∴1
62
AD AC =
=． ∴:6:103:5AD BC ==． ∴
ABC 是“准黄金”三角形．
（2）∵点A ，D 关于BC 对称， ∴BE AD ⊥，AE ED =． ∵
ABC 是“准黄金”三角形，BC 是“金底”，
∴:3:5AE BC =． 不防设3AE k =，5BC k =， ∵点C 为ABD △的重心， ∴:2:1BC CE =． ∴52k CE =
，152
k BE =． ∴2
2
15329(3)2k AB k ⎛⎫=+=
⎪⎝⎭
． ∴
329329
:5AB k BC ==
（3）①作AE ⊥BC 于E ，DF ⊥AC 于F ，如图：
由题意得AE=3， ∵
3
5AE BC =， ∴BC=5， ∵
10
AB BC =
， ∴10AB
，
在Rt △ABE 中，由勾股定理得：
22(10)31BE =-=， ∴156EC =+=， ∴223635AC +=
∵∠AEC=∠DFA=90°，∠ACE=∠DAF ， ∴△ACE ∽△DAF ， ∴
31
2
6AE E D C F AF ===， 设DF x =，则2AF x =， ∵∠ACD=30°， ∴3CF x =，
∴(23)35AC x == 解得：65315DF x ==∴2125615CD DF ==
②如图，过点A 作AE BC ⊥于点E ，则3AE =． ∵
ABC 是“准黄金”三角形，BC 是“金底”，
∴:3:5AE BC =． ∴5BC =． ∵
10
AB BC =
， ∴10AB
．
∴221BE AB AE =-=．
∴6CE BE BC =+=，2236935AC CE AE =++
分别过点B '，D 作B G BC '⊥，DF AC ⊥，垂足分别为点G ，F ，
∴90B GC DFC '∠=∠=︒，3B G '=，5C B B C '==，则CG 4=． ∵GCB FCD α'∠=∠=， ∴AEC DFA ∽△△．
∴::::3:4:5DF FC CD B G GC CB ''==． ∴设3DF k =，4FC k =，5CD k =． ∵12l l //，
∴ACE CAD ∠=∠，且90AEC AFD ∠=∠=︒． ∴AEC DFA ∽△△． ∴DF AF
AE EC
=． ∴
33543k k
-=
35k = ∴355CD k ==2
2
2295959
5102AF DF AD ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=． ∴935
2355
AD CD === 【点睛】
本题属于相似形综合题，主要考查了重心的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解直角三角形，旋转的性质以及勾股定理的综合运用，解决问题的关键是依据题意画出图形，根据数形结合的思想进行解答．
11．旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时往往可以通过旋转解决问题．
（1）尝试解决：如图①，在等腰Rt ABC 中，90,BAC AB AC ∠=︒=，点M 是BC 上的一点，1cm BM =，2cm CM =，将ABM 绕点A 旋转后得到ACN △，连接MN ，则AM =___________cm ．
（2）类比探究：如图②，在“筝形”四边形ABCD 中，,,AB AD a CB CD AB BC ===⊥于点B ，AD CD ⊥于点D ，点P 、Q 分别是AB AD 、上的点，且PCB QCD PCQ ∠+∠=∠，求APQ 的周长．（结果用a 表示）
（3）拓展应用：如图③，已知四边形ABCD ，
,60,75,22,2AD CD ADC ABC AB BC =∠=︒∠=︒==，求四边形ABCD 的面积．
解析：（110
2）2a ；（3）32 【分析】
（1）由旋转的性质可得△ABM ≌△ACN ，从而得出∠MCN =∠ACB +∠ACN =90°，再根据勾股得出AM 的长；
（2）将BCP 绕点C 旋转后得到DCM △，利用SAS 得出△QCP ≌△QCM ，从而得出APQ 的周长
（3）连接 BD ，由于AD =CD ，所以可将△BCD 绕点D 顺时针方向旋转60°，得到△DAB ′，连接BB ′，延长BA ，作B ′E ⊥BE ；易证△AFB ′是等腰直角三角形，△AEB 是等腰直角三角形，利用勾股定理计算AE =B ′E 2BB ′=25△ABB ′和△BDB ′的面积和即可． 【详解】
（1）∵90,BAC AB AC ∠=︒=， ∴∠B =∠ACB =45°，
将ABM 绕点A 旋转后得到ACN △，此时AB 与AC 重合，由旋转可得： △ABM ≌△ACN ，
∴∠BAM =∠CAN ，AM =AN ，BM =CN =1，∠B =∠ACN =45°， ∴∠MCN =∠ACB +∠ACN =90°，∠MAN =∠ABC =90°， ∴2222215MN CM CN =++=∴210
5AM AN ==
=
（2）∵AD CD ⊥，,CB CD AB BC =⊥，
∴将BCP 绕点C 旋转后得到DCM △，此时BC 与DC 重合， ∴△BCP ≌△DCM ，
∴∠DCM =∠PCB ，BP =DM ，PC =CM ， ∵PCB QCD PCQ ∠+∠=∠， ∴DCM QCD PCQ ∠+∠=∠， ∴QCM PCQ ∠=∠， ∵PC =CM ，QC =QC , ∴△QCP ≌△QCM ， ∴PQ =QM ， ∴APQ 的周长=AQ +AP +PQ = AQ +AP +QM = AQ +AP +DQ +DM = AQ +AP +DQ +BP =AD +AB ， ∵==AB AD a ，
∴
APQ 的周长=2a ；
（3）如图3，连接 BD ，由于AD =CD ，所以可将△BCD 绕点D 顺时针方向旋转60°，得到△DAB ′，
连接BB ′，延长BA ，作B ′E ⊥BE ；
AD CD CDB ADB BD B D '=⎧⎪
∠=∠⎨='⎪⎩
∴△BCD ≌△B ′AD ∴S 四边形ABCD =S 四边形BDB ′A ， ∵∠ABC =75°，∠ADC =60°， ∴∠BAB ′=135° ∴∠B ′AE =45°， ∵2B A BC '== ∴B ′E =AE 2
∴BE =AB +AE 2232 ∴()(
)
2
2
352
2
2BB '=
+=∵等边△DBB ′，∴BB ′上的高=3
2515==
∴11
.222222ABB S AB B E ''∆=⋅⋅=⨯⨯=
∴ 1
215532
5S BDB '∆=⨯⨯=，
∴S 四边形ABCD =S 四边形BDB ′A =S △BDB ′-S △ABB ′=532=-；
【点睛】
本题考查了图形的旋转变换，三角形全等，勾股定理，等积代换思想，类比思想等．构造直角三角形，求出三角形的高是解决问题的关键． 12．（探究函数y=x+的图象与性质）
（1）函数y=x+
的自变量x 的取值范围是 ；
（2）下列四个函数图象中函数y=x+
的图象大致是 ；
（3）对于函数y=x+，求当x ＞0时，y 的取值范围．
请将下列的求解过程补充完整． 解：∵x ＞0 ∴y=x+=（）2+（）2=（
﹣
）2+
∵（
﹣
）2≥0
∴y≥ ． [拓展运用] （4）若函数y=
，则y 的取值范围 ．
解析：（1）x≠0；（2）C （3）4；4；（4）y≥13 【解析】
试题分析：根据反比例函数的性质，一次函数的性质；二次函数的性质解答即可. 试题解析：（1）函数y=x+的自变量x 的取值范围是x≠0；
（2）函数y=x+的图象大致是C ；
（3）解：∵x ＞0 ∴y=x+=（）2+（）2=（
﹣
）2+4
∵（﹣
）2≥0
∴y≥4． （4）y=
=x+
﹣5═（
）2+（
）2﹣5=（
+
）2+13
∵（﹣）2≥0，
∴y≥13．
考点：1.反比例函数的性质；一次函数的性质；二次函数的性质. 13．问题背景
（1）如图1，△ABC 中，DE ∥BC 分别交AB ，AC 于D ，E 两点，过点E 作EF ∥AB 交BC 于点F ．请按图示数据填空：
四边形DBFE 的面积S = ，△EFC 的面积1S = ，△ADE 的面积1S = ． 探究发现
（2）在（1）中，若BF a =，BF a =，DE 与BC 间的距离为h ．请证明2
124S S S =．
拓展迁移
（3）如图2，□DEFG 的四个顶点在△ABC 的三边上，若△ADG 、△DBE 、△GFC 的面积分别为2、5、3，试利用（2）中的结论求△ABC 的面积．
解析：（1）6S =，19S =，21S =；（2）见解析；（3）18
【分析】
（1）根据平行四边形面积公式、三角形面积公式，相似三角形的性质即可解决问题． （2）根据平行四边形面积公式、三角形面积公式，相似三角形的性质，分别求出S 1、S 2即可解决问题．
（3）过点G 作GH ∥AB 交BC 于H ，则四边形DBHG 为平行四边形，利用（2）的结论求出□DBHG 的面积，△GHC 的面积即可．
【详解】
（1）∵DE ∥BC ，EF ∥AB ，
∴四边形DBFE 是平行四边形，
∴S=2×3=6，116392
S =⨯⨯= ∴∠AED=∠C ，∠A=∠CEF
∴△ADE ∽△EFC
2211(),9
s DE s CF ∴== ∴S 2=1，
故答案为6，9，1．
（2）证明：
∵DE ∥BC ，EF ∥AB ，
∴四边形DBFE 为平行四边形，
AED C ∠=∠，A CEF ∠=∠．
∴△ADE ∽△EFC ． ∴2
2212()DE FC S a S b
==． ∵112
S bh =， ∴222122a a h S S b b
=⨯=．
∴2212144()22a h S S bh ah b
=⨯⨯=． 而S ah =，
∴2124S S S =
（3）解：过点G 作GH ∥AB 交BC 于H ，则四边形DBHG 为平行四边形．
∴∠GHC=∠B ，BD=HG ，DG=BH ，
∵四边形DEFG 为平行四边形，
∴DG=EF ．
∴BH=EF ．
∴BE=HF ，
∴△DBE ≌△GHF ．
∴△GHC 的面积为5+3=8．
由（2）得，□DBHG 的面积为2288⨯=．
∴△ABC 的面积为28818++=．
【点睛】
本题考查四边形综合题、相似三角形的性质等知识，解题的关键是学会转化的思想，把问题转化为我们熟悉的题型，属于中考压轴题，
14．（1）（探究发现）
如图1，EOF ∠的顶点O 在正方形ABCD 两条对角线的交点处，90EOF ︒∠=，将EOF ∠绕点O 旋转，旋转过程中，EOF ∠的两边分别与正方形ABCD 的边BC 和CD 交于点E 和点F （点F 与点C ，D 不重合）．则,,CE CF BC 之间满足的数量关系是 ．
（2）（类比应用）
如图2，若将（1）中的“正方形ABCD ”改为“120BCD ∠=的菱形ABCD ”，其他条件不变，当60EOF ∠=时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请猜想结论并说明理由．
（3）（拓展延伸）
如图3，120BOD =∠，34
OD =，4OB =，OA 平分BOD ∠，13AB =2OB OA >，点C 是OB 上一点，60CAD ∠=，求OC 的长．
解析：（1）CE CF BC +=（2）结论不成立．12CE CF BC +=
（3）14
【分析】 （1）结论：CE CF BC +=．根据正方形性质，证()BOE COF ASA ∆≅∆，根据全等三角形性质可得结论；（2）结论不成立．12
CE CF BC +=．连接EF ，在CO 上截取CJ CF =，连接FJ ．根据菱形性质，证180EOF ECF ︒∠+∠=，,,,O E C F 四点共圆，分别证EOF ∆是等边三角形，CFJ ∆是等边三角形，根据等边三角形性质证()OFJ EFC SAS ∆≅∆，根据全等三角形性质可得结论；（3）由2OB OA >可知BAO ∆是钝角三角形，90BAO ∠>，作AH OB ⊥于H ，设=OH x ．根据勾股定理，可得到21OA OH ==，由
180COD ACD ︒∠+∠=，得,,,A C O D 四点共圆，再证ACD ∆是等边三角形，由（2）可知：OC OD OA +=，故可得OC ．
【详解】
（1）如图1中，结论：CE CF BC +=．理由如下：
∵四边形ABCD 是正方形，
∴AC BD ⊥，OB OC =，45OBE OCF ︒∠=∠=，
∵90EOF BOC ︒∠=∠=，
∴BOE OCF ∠=∠，
∴()BOE COF ASA ∆≅∆，
∴BE CF =，
∴CE CF CE BE BC +=+=．
故答案为CE CF BC +=．
（2）如图2中，结论不成立．12
CE CF BC +=．
理由：连接EF ，在CO 上截取CJ CF =，连接FJ ．
∵四边形ABCD 是菱形，120BCD ∠=，
∴60BCO OCF ︒∠=∠=，
∵180EOF ECF ︒∠+∠=，
∴,,,O E C F 四点共圆，
∴60OFE OCE ︒∠=∠=，
∵60EOF ︒∠=，
∴EOF ∆是等边三角形，
∴OF FE =，60OFE ︒∠=，
∵CF CJ =，60FCJ ︒∠=，
∴CFJ ∆是等边三角形，
∴FC FJ =，60EFC OFE ︒∠=∠=，
∴OFJ CFE ∠=∠，
∴()OFJ EFC SAS ∆≅∆，
∴OJ CE =， ∴12
CF CE CJ OJ OC BC +=+==， （3）如图3中，由2OB OA >可知BAO ∆是钝角三角形，90BAO ∠>，作AH OB ⊥于H ，设=OH x ．
在Rt ABH ∆中，2133BH x -
∵4OB =，
∴21334x x -=，
解得32x =
（舍弃）或12，
∴21OA OH ==，
∵180COD ACD ︒∠+∠=，
∴,,,A C O D 四点共圆，
∵OA 平分COD ∠，
∴60AOC AOD ︒∠=∠=，
∴60ADC AOC ︒∠=∠=，
∵60CAD ︒∠=，
∴ACD ∆是等边三角形，
由（2）可知：OC OD OA +=， ∴31144OC =-=． 【点睛】
考核知识点：正方形性质，全等三角形判定和性质，等边三角形判定和性质，圆的性质.综合运用各个几何性质定理是关键；此题比较综合.
15．（1）证明推断：如图（1），在正方形ABCD 中，点E ，Q 分别在边BC ，AB 上，DQ AE ⊥于点O ，点G ，F 分别在边CD ，AB 上，GF AE ⊥．
①求证：DQ AE =；
②推断：GF AE
的值为 ； （2）类比探究：如图（2），在矩形ABCD 中，
BC k AB =（k 为常数）．将矩形ABCD 沿GF 折叠，使点A 落在BC 边上的点E 处，得到四边形FEPG ，EP 交CD 于点H ，连接AE 交GF 于点O ．试探究GF 与AE CP 之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接CP ，当23k =
时，若3tan 4
CGP ∠=，210GF =，求CP 的长．
解析：（1）①证明见解析；②解：结论：
1GF AE
=．理由见解析；（2）结论：FG k AE =．理由见解析；（3）955PC =． 【解析】。