定积分近似计算方法

定积分的近似计算方法
摘要 本文主要讨论了一元函数常见的数值积分方法,例如插值型求积公式、龙贝格求积公式、高斯求
积公式等近似计算方法,在用这些方法计算定积分时,会产生一些误差,为了减少误差, 可以利用复化求积公式、复化高斯公式等.本文围绕这些方法,系统介绍它们的计算公式以及截断误差,并用例题分析它们产生误差的大小、计算量等.
关键词 插值型积分 龙贝格积分 高斯积分 误差分析 近似计算
1引言
在计算定积分的值()b a
I f x dx =
⎰
时,常常根据微积分学基本定理求出)(x f 的一个原函
数)(x F ,再用牛顿-莱布尼茨公式求的积分,()()()b
a
I f x dx F b F a =
=-⎰
.但在实际应用中,
这种方法只限于解决一小部分定积分的求值问题.当函数没有具体表达式,只是一些实验测得数据形成的表格或图形或者是()F x 无法用初等函数表示,例如,2
b
x a
e dx ⎰
,2
sin b
a x dx ⎰等等,这就需要我们用一些近似方法求的积分值.
与数值积分一样,把积分区间细分,在每个小区间上,找到简单函数)(x ϕ来近似代替
()f x ,且()b
a
x dx ϕ⎰的值容易求的.这样就把计算复杂的()b
a
f x dx ⎰转化为求简单的积分值
()b
a
x dx ϕ⎰
.因此,定积分的近似计算实质上是就是被积函数的近似计算问题.
2常见数值方法 2.1牛顿-科茨数值方法
牛顿-科茨求积公式是求积节点等距离分布的插值型求积公式.
利用插值多项式来构造数值积分公式是最常用、最基本的方法,具体做法是：
给定区间[,]a b 上一组节点01...n a x x x b =<<<=,以及节点处函数
()(
0,1,2,i f x i n =,作
()f x 的n 次拉格朗日多项式
()()()
n
n i i i x f x l x ϕ==∑,
其中 011011()()()()
()()()()()
i i n i i i i i i i n x x L x x x x L x x l x x x L x x x x L x x -+-+----=
----,将插值公式
(1)1()
()()()
(1)!n n n f f x x x n ξϕω++=++. 其中 10
1
2()()()()()n n x x
x x x
x x L x x ω+=----
,[,]a b ξ∈,依赖于变量x , 上式积分得
(1)
1()
()()()(1)!
n b
b b
n n a
a a
f f x dx x dx x dx n ξϕω++=++⎰
⎰⎰
(1)(1)0
()
()()()(1)!
n n
b b
i
i
i
n a
a
i f f x l x dx x dx n ξω++==++∑⎰⎰
(1)(1)0
()
()()()(1)!n n
b b
i i n a
a
i f f x b l x dx x dx
n ξω++==++∑⎰⎰
若记 (),(0,1,2,b
i i
a A l x dx i =
=⎰
….. )n (1)
(1)1()
[]()(1)!n b
n a
f R f x dx
n ξω++=+⎰
, (2)
则有
()()[]n
b
i i a
i f x dx A f x R f ==+∑⎰
(3)
称式(3)为插值求型公式,其中(0,1,2,i A i =…. )n 与()f x 无关,叫求积系数, i x 为求积节点,
[]R f 为求积公式余项,其中求积系数由(1)决定.
2.1.1梯形求积公式
1梯形公式
当插值节点01,x x 分别选取区间端点,a b 时,由式(3)分别求出求积系数
10012b
b a
a x x x
b b a
A dx dx x x a b ---===
--⎰⎰,
01102b
b a
a x x x a
b a A dx dx x x b a ---===
--⎰
⎰.
从而的求积公式
()[()()
]2
b
a
b a
f x dx f a f b -≈
+⎰
. (4) 称求积公式(4)为梯形求积公式,简称梯形公式.
2梯形公式截断误差: 3
*()[](),12
b a R f f ξ-''=- *[,]
a b ξ∈. (5) 3梯形求积公式的代数精度:1 当()1f x =时,式(5)中 1(1)2
b
a
b a
dx b a x b a -=-=
+=-⎰
. 精确成立.
2.1.2 辛普森求积公式
1辛普森求积公式
当选取节点为012,,2
a b
x a x x b +==
=时,由式(1)求下列求积系数 1200102()()()()2()()6()()
2b b a a a b x x b x x x x b a A dx dx a b x x x x a a b +-----===
+----⎰⎰,
0211002()()()()2()
()()3()()
22b
b a
a x x x x x a x
b b a A dx dx a b a b x x x x a b -----===
++----⎰
⎰.
0122021()()()()2()()6()()
22b b a a a b
x a x x x x x b a A dx dx a b a b x x x x a b +--
---===
++----⎰⎰ .
从而求积公式
()[()4()()]62b
a
b a a b
f x dx f a f f b -+≈
++⎰
. （6）
称式(6)为抛物线积分公式或辛普森积分公式.
2抛物线求积公式误差估计
定理1.若()f x 在[,]a b 上有四阶连续导数,则抛物线公式(6)的余项为:
5(4)**
()[](),[,]2880
b a R f f a b ξξ--=
∈. (7) 3抛物线公式的代数精度为3.
易验证,当2
3
()1,,,f x x x x =时,式(6)精确成立,而当4
()f x x =时,式(6)不能精确成立.
2.1.3 牛顿-科茨公式
1牛顿-科茨公式
在等距离节点i x a ih =+下,其中(0,1,2b a
h i n
-==…. )n .作为变量替换x a th =+,那么由求积公式(1),得系数:
10
(1)(1)(1)()
!(1)(1)!n
i n t t t i t i t n A h dt i n ---+---==
--⎰
10
(1)(1)...(1)(1)...()(0,1,2,...)!(1)!n n
b a t t t i t i t n dt i n n i n -----+---=-⎰ (8)
则 ()
()n i i
A b a C =- (9)
于是差值求积公式为:
()0()()()[]n
b
n i i a
i f x dx b a C f x R f ==-+∑⎰
(10)
称公式(10)为牛顿-科茨求积公式,其中()
n i
C 称为科茨系数.显然,科茨系数与被积函数()f x 及
积分区间[,]a b 无关,它指依赖于n ,且为多项式积分.因此,只要给出n ,就能看出i A ,并写出相应地牛顿-科茨公式.
2牛顿-科茨公式的截断误差与代数精度.
当1n =与2n =情况分析牛顿-科茨公式的截断误差为
(1)()
[]()()()(1)!n b b b
n a
a
a
f R f f x dx x dx x dx
n ξϕω+=-=+⎰⎰⎰
牛顿-科茨公式的截断误差还可以写成
(2)*1()[]()((2)!n b
n a f R f x dx n n ξω++=+⎰为偶数）
(1)
*1()[]()(1)!n b
n a
f R f x dx n ξω++=
+⎰ (n 为奇数） (11) 其中*
[,]a b ξ∈,且不依赖于x ,101()()()...()n n x x x x x x x ω+=---,对()f x 为任何并不超过n 次多项式,均有(1)
()0n f
x +≡,因而[]0R f ≡,即0
()()n
b
i i a
i f x dx A f x ==∑⎰精确成立,也就
是说,牛顿-科茨公式的代数精度至少为n ,牛顿-科茨公式在n 为偶数时,至少具有1n +次代数精度,在n 为奇数情况时,至少具有n 次代数精度.
2.1.4复化梯形求积公式
将区间[,]a b 等分,节点为i x a ih =+ (步长b a
h n
-=
),0,1,2...,i n =)在每个小区间1[,]i i x x -上采用梯形公式(4)得
1
1
11
1
()()[
(()()]2i
i n
n
b
x i i i i a
x i i x x f x dx f x dx f x f x ---==-=≈+=∑∑⎰
⎰
11[()()]2n
i i i h
f x f x +=+=∑
1
1
[()2()()]2n i n i h
f a f x f b T -=++=∑ (12)
称式(12)为复化梯形公式. 复化梯形公式余项为()
2
()()()12
i n b a R f h f η-''=-
(13) 2.1.5复化辛普森求积公式
在每个小区间],[1+i i x x 上,辛普森公式(6)得
1
1102
()[()4()()]6n b
i i a
i i h
f x dx f x f x f x -++==++∑⎰
（14）
11
1012
[()4()2((6)]6n n i i i i h
f a f x f x f --+===+++∑∑
记 )]()(2)(4)([61
1
102
1b f x f x f a f h
S n i i n i i n +++=∑∑-=-=+ (15)
式中,2
1+
i x
为],[1+i i x x 的中点,即h x x i i 2
1
2
1
+=+
.式(15)称为复化辛普森公式,其余项为
∑-=-
=-=10
)
4(4)()2(180)()(n i i n n f h h S f I f R η, 1(,).i i i x x η+∈ 故 ),(),()2
(180)(R )
4(4b a f h a b f n ∈--=ηη (16) 为复化辛普森的截断误差. 2.1.6复化科茨求积公式
将区间[,]a b n 等分, 4n m =,m 为正整数,在每个子区间444[,]k k x x -上用科茨求积公
式得到复化求积公式:
41
2()[7()7()32()45m
b
k a
k h
f x dx f a f b f x -≈++∑⎰
142
4141
1
1
12
()32()14()m
m
m k k k N k k k f x
f x f x C ---===+++=∑∑∑ (17)
其中 4b a b a
h n m
--==
, k x a kh =+ 其截断误差为6(6)
2()[,](),()945
n b a R f C h f a b ηη-=-
<. 2.1.7 变步长复化求积方法
复化求积公式虽然计算简单,也达到了提高精度的目的,但为了满足精度要求必须顾及误差,利用误差公式往往很困难,因为误差表达式中含有未知函数的导数,而估计各阶导数的最大值不太容易.我们可以采取把积分的区间[,]a b 细分的办法,在计算积分时将步长逐步折半,利用前后两次结果进行误差估计,如此继续,直到相邻两次结果相差不大,取最小的步长算出的结果为积分值,这种方法称为变步长积分法.
以复化梯形公式为例,把区间[,]a b 分成n 等分,设复化梯形公式的近似值为n T ,原积分值为I ,由复化梯形公式误差公式(14)知:
2"
11()()()n b a b a I T f a b N N ηη--=-
<<
再把区间[,]a b 分成2n 等分,得近似值2n T ,则
2
222()()()122k b a b a I T f a b n
ηη--''=-
<< 假定()f x ''在[,]a b 上变化不大,既有12()()f f ηη''''≈. 由上式得 .
24k
k
I T I T -≈-
于是 222211
()()341
n n n n n n I T T T T T T ≈+-=+
-- (18) 式(18)表明若用2n T 作为I 的近似值,其截断误差约为
2()
3n n T T - (19)
2.2 龙贝格求积公式
龙贝格积分法的基本思想是采用复化梯形求积方法不断折半步长过程中,在积分结果中加入时候误差估计值进行补偿,使积分计算的收敛性加速,就可以加工出,,,...n n n S C R 精度较
高的积分结果.由式(19), 2n T 的误差大致为
23
n n
T T -,因此,可用这个误差值作为2n T 的一种补偿,加到2n T 上,则可得到积分准确值I ,比2n T 的更好近似值~
T .
222141()333n n n n n
T T T T T T =+-=-
222
1(2)21n n T T =
-- (20)
式(20)左端1n =时 记
122121
141()333S T T T T T =+-=- 112()()332a b T b a f +=+- [()4()()]
62b a a b f a f f b -+=++
恰好为[,]a b 上应用辛普生公式(16)的结果.在每个小区间应用辛普生公式:
11[()2()()]
2n n k k h
T f a f x f b -==++∑
121()112[()2()()2()]
4n n n k k k k h
T f a f x f b f x --===+++∑∑
代入式(20)的左端得
11111[()2()()2()3
2n n
k k k k h f a f x f b f x -==+++--
∑∑ 1
1
[()2()()]
2n k k h f a f x f b -++∑
1
1111
[()4()2()()]
62n n k k k k f a f x f x f b -===+-++∑∑
n
S =
从而复化辛普森公式与复化梯形公式公式有以下关系式
2441n n
n T T S -=
- (21)
类似也可以推证,在辛普森序列基础上,利用以下关系式
22242161
151541n n n n n S S C S S -=
-=- (22)
可以造出收敛速度更快的科茨序列12,...,...n C C C 将此推行下去,在科茨序列基础上,通过
243431
n n
n C C R -=
- (23)
构造出收敛速度比科茨序列更快的龙贝格序列12,,......n R R R .以上这种通过逐步构造龙贝格序列的积分近似值法就称为龙贝格积分法.
2.3高斯求积公式
由定理
()()()b
a
f x F b F a =-⎰
知,插值型求积公式的代数精度与求积节点的个数有关,
具有1n +个节点的插值型求积公式至少具有n 次代数精度.不仅如此,代数精度与节点的选取有关,在构造牛顿-科茨求积公式时,为了简化处理过程,限定用等分节点作为求积节点,这样做,虽然公式确实得到简化,但同时也限制了公式的代数精度. 设积分,1,1=-=b a 本段讨论如下求积公式
1
1
()()n
i i i f x A f x -==∑⎰
(24)
对任意积分区间[,]a b ,通过变 2
2b
a t a
b x ++
-= 可以转换到区间]1,1[-上,这时
11()()222
b
a
b a b a a b
f x dx f t dt ---+=
+⎰
⎰ 此时,求积公式写为
0()()222
n b
i
i a
i b a a b b a
f x dx A f t =-+-=+∑⎰
若一组节点]1,1[.....,10-∈n x x x 使插值型求积公式(24)具有21n +次代数精度,则称此组节点为高斯点,并称相应求积公式(24)为高斯求积公式.
2.3.1 高斯求积公式的余项
(2)2
()[]()()()(22)!n n
b
b k k a
a k f R f f x dx A f x x dx n ηω+==-=+∑⎰⎰ 其中 01()()()...(),[,]n x x x x x x x a
b ωη=---∈,且不依赖于x .
2.3.2 复化高斯求积公式
复化高斯求积公式的基本思想是:将积分区间[,]a b 分成n
个等长小区间
1[,](1,...)i i t t i m -=,然后在低阶(2n =)高斯求积公式算出近似值,最后将他们相加的积分
()b
a
f t dt ⎰
的近似值m G ,即
1
1111
11
1
()()[]222i
i m
m
b
t i i i i i i a
t i i t t t t t t f t dt f t dt dt -----==-+-==+∑∑
⎰
⎰⎰
1111[()]222m i h h
a i h x dx
-==+-+∑⎰
101[()]222m n j j m
i j h h
A f a i h x G ==≈+-+≈∑∑ (25)
其中m
a
b h -=
,j A 与(0,1,2,...,)j t j n =可由书中表中查出. 3 应用
3.1插值型积分的应用
例1 用牛顿-科茨公式(1,2,4n =)计算积分122
1
1I x =+⎰
. 解 1n =时
2
210
11
2[]0.4512101()2I -≈+=++
2n =时
2
221
111
2[4]0.463725
116101()1()
42I -≈++=+++
4n =时
2
2221
1111
2[7321232]0.46363311390101()1()1()
848
I =++++≈++++
例2 利用复化梯形求积公式计算积分 1
22
1
1I dx x =
+⎰
解 设2
11
)(x
x f +=
,分点个数为n =1,2,4,5时,求出相应积分n T , 1
1
1[(()())],
21,2(),.
n n i i i i i T f a f b f h b a h n n f x f x a ih ih -=⎧
=++⎪⎪
-⎪
==⎨⎪
=⎪⎪
=+=⎩∑
列表如下:
n =1的计算结果见表1-1所列 n h
0x 1
x 0
f
1
f
1
T
1
0.5
0.0
0.5
1.0 0.8 0.45
n =2的表格如下 n h
x
1
x
2
x
f
1
f
2
f
2
T
2
0.25
0.00 0.25 0.50 1.00 0.941765 0.80 0.460294
n =4时计算结果如下表 n h 0
x
1
x
2
x
3
x
4
x
4
0.125
0.00 0.125 0.25 0.375 0.50
f
1
f
2
f
3
f
4
f
4
T
1.00 0.9846154 0.9411765 0.876712 0.80 0.462813
n = 5时计算结果如下 n h
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
5
0.1
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4
0.5
f
1
f
2
f
3
f
4
f
5
f
5
T
1.0 0.990099 0.9615385 0.91743 0.862069 0.8
0.463114
例3 利用复化求积公式120
x e dx ⎰
,问积分区间为多少等分才能得证有5位有效数字？
解 由式（14）知
3
22
()[],()()1212n b a b a R f h f n f n n
--''''=-=- 有1(),(),2x x f x e f x e b a ''==-=
,当]21,0[∈x 时,在1
2
|()|f x e ''≤,所以12
2
|[]|96n e
R f n
≤ 由于
1
20
x e dx ⎰
的准确值具有一位整数,所以要使近似值具有5位有效数字,n 必须满足
4
242
2
11048,102
196⨯≥⨯≤-e n n e 或 取对数有 19=n .
即将区间]2
1
,0[19等分可满足给定的精度要求.
例4 利用复化抛物线求积公式计算 120
21
1
I dx x =
+⎰
. 解 设11)(2+=x x f ,取m =1,2, 3时,公式()⎪⎪⎪
⎪⎪
⎩⎪
⎪⎪⎪
⎪⎨⎧
++=+=====-=+++=+---=-=+∑∑.
)12(,2),(),(),(,,242[3122121222111
1,
1222h i a x ih a x x f f x f f b f f a f f m a b n f f f f h S i i i i i i b a m i m i i b a m
当m =1,2,3时结果如下表所示 当m =1时
m h
(0.0)f )25.0(f )5.0(f
2S
1 0.25 1.0 0.9411765 0.80 0.463725
当m =2时
m
h
(0.0)
f
(0.125)f (0.025)f (0.35)f )5.0(f
4S
2
0.125 1.0 0.9846154 0.9411765 0.8767123 0.80 0.463653
当m =3时
m
h
(0.0)f
(0.08333)
f (0.16667)f (0.35)f
(0.33333)f (0.14166667)f )
5.0(f
4S
3
0.8333
1.0
0.9931034
0.972973
0.941176
0.9
0.85207
0.8
0.4636
例5 用复化梯形公式,辛普森公式和科茨公式计算积分1
0sin x
dx x ⎰的近似值.
解按精度要求确定]1,0[分多少等分,即确定步长,要使
6
44102
1)1(28801|],[|-⨯≤≤M m S f R n ,只需.4642880102M m ⨯≥
令10sin ()cos x
f x txdt x
==⎰,
则1()
0sin ()()(cos )k k
k k k d x
d f
x tx dt dx x dx
==⎰ 1
cos().2
k t tx k
dt π
=
+⎰
dt k
tx t x f k k |)2
cos(|max )(|max 10
)
(π
+≤⎰
1
1
.1k t d t t
≤
=
+⎰)10(≤≤x (4)
1max |()| 5.
f x ≤
所以只要,9.1383
1
288010264
=⨯⨯≥
-m 取m =4即可, 当4n =时,在每个子区间上用式(25）,或(14),或(17),结果.
9460829.0,9460833.0,9456911.0888===C S T
3.2 龙贝格积分公式应用
例6 用龙贝格算法计算积分1
2
41I dx x
=+⎰的近似值,要求误差小于5
10-. 解 .3,0,14
)(2
==+=
b a x x f 步骤如下:
2)1(,4)0()1(==f f 得.3)]1()0([2
1
1=+=f f T )2(计算,1.3)]21
([21,516)21(12=+==f T T f 由此得
30133333
41
2
1=-=T T S . (3)算出），（4
3),4
1(f f 从而
,3013118)]43()41([4
1
2124=++=f f T T
,14157.3342
4
2=-=T T S .301421215
161
21=-=S S C
(4)计算),8
7(),85(),83(),81(f f f f 从而得到:
13899.3)]87()85()83()81([8
1
2148=++++=f f f f T T ,
,14159.3344
8
2=-=T T S ,14059.315162
42=-=S S C
.1458.363
641
21=-=
C C R (5)再计算),16
15(),1613(),1611(),169(),167(),165(),163(),161
(f f f f f f f f 从而得到: 14094.316=T
30141598=S ,,14159.3,14159.324==R C 5
1210||-≤-R R , 所以
1
204
3.14159.1dx x ≈+⎰
3.3高斯求积公式的应用
例7 用两点复化高斯求积公式计算1
0,x I e dx =⎰要求允许误差.106
-=ε
解 在本算法中取21=+n 时,,110==A A 其中;,)(m
a
b h e x f x
-=
= =++--=∑=)22(2201j j
j b a x a b f A a b G
.87189637800
.1][2
1)3
2121()
32
121
(=++-e
e
m =2时, h =21, ]4
1
21)21([4120202j i j j x i f A G +⨯-=∑∑==
.57182571650.1)(4
1
3
41333
4133
41333
4
13=+++=++--e
e
e
e m =3时, h =
3
1. .3718276935
2.1]63
1
)21([6130203=+⨯-=∑∑==j i j j x i f A G
.101027.71
|||
|56323--<⨯≈+-G G G
3.4 几种方法的比较分析
例8 计算积分
2
11
ln 2dx x =⎰，精确到0.001.
(1)利用矩形公式计算, 因为对于x x f 1)(=,有32
0()2f x x
''<=<(如果1<x <2),所以按
照公式
0)2
(S =+-
dx b
a x
b a . 0<n R <
2112n . 如果取n =10,则我们公式的余项的余数得3101
0.84101200
R -<<⨯,我们还必须加进由
于在计算函数值实行四舍五入所产生的误差的界限相差于0.16⨯3
10-,为了这个目的只要计算
1
x
的值到四位小数精确到0.00005就够了.我们有
1232527292132152172192 1.051.151.251.351.551.651.751.851.95
x x x x x x x x x =========
5128
.05405.05714.06061.06897.07407.08.08696.09524.02192172152132927252321=========y y y y y y y y y
和6.9284
69284
.010
9284
.6= (2) 按照梯形公式作同样的计算,在这种情况下,作公式 210,||6n n R R n
<<
在这儿也试一试取n =10,虽然此时仅可以证3107.1600
1
||-⨯<<n R ,纵坐标是
9
.18.17.16.15.14.13.12.11.1987654321=========x x x x x x x x x 5263
.05556.05882.06250.06667.07143.07692.08333.09091.0987654321=========y y y y y y y y y
和1877.6
69377.01877.62
1500101=+）（ (3) 用辛普森公式做同样的计算
作公式 .
0))(()
2(180)()4(4
5
<≤≤⨯--=n n R b a f n a b R ξξ 并且n =5时有5
510
4.1||-⨯<R .实行计算到五位数字,精确到0.000005
8
.16.14.12
.14321====x x x x 45636
.555556.062500.071429.083333.04321和====y y y y 9
.17.15.13.11.12927252321=====x x x x x
83820
.1352632.058824.066667.076923.090909.029********和=====y y y y y
.20.150==x x 50000
.150000.060000
.150和==y y
6931525.083820.345636.550000.130
1=++）（. 由此可见，用辛普森公式计算得到的值误差最小，计算量相对一般；而用矩形公式计算得到的值误差较大，计算量也比较大；用梯形公式计算的值误差比用矩形公式得到的值要误差小，计算量也是如此.所以我们计算定积分时用辛普森公式往往得到的值误差小，而对没有要求误差大小的，则可以选择辛普森或者是梯形公式，因为这两种方法计算量相对较小.
结 束 语
本文只讨论了一些一维数值积分方法及其它们的应用,误差分析等有关内容.其中最常用
的方法是插值型积分以及复化方法、龙贝格积分方法和高斯积分方法,并讨论了相关求积方法的代数精度和误差分析,并给出了一些例题,分析各种方法的近似值,得出误差分析最小的近似方法.由于篇幅有限,对于高维数值积分方法本文便不再讨论.
参考文献
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[7] Yin Y uezhu ,Yang Zhonglian.Calculating Skillfully the Curve Integral and Surface Integral Type 2 by
Symmetry, SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION ,2008(30)
The Approximate Numerical Method of the Definite Integral
Abstract This paper mainly discusses common numerical methods of unary function, such as approximate calculation method of interpolation integral, Lebesgue integral and Gauss integration. With these methods in calculating the integral, it will produce some error. In order to reduce the error, we can use after the formula for product and after the Gauss formula. This paper focus on these methods introducing formula of introduction and truncation errors .In addition they can provide examples to analysis size of the error and computation.
Keywords interpolation integral Lebesgue integral Gauss integral error analysis approximate computation。