高中数学 第2章《数学归纳法》测试 苏教版选修22

高中数学 第2章《数学归纳法》测试 苏教版选修22
一、选择题
1．用数学归纳法证明“2
21n
n >+对于0n n ≥的自然数n 都成立”时，第一步证明中的起
始值0n 应取（ ） A ．2 B ．3
C ．5
D ．6
答案：C
2．用数学归纳法证明不等式1111(1)23
21
n
n n n *
+
+++
<∈>-N ，且时，不等式在1n k =+时的形式是（ ）
A ．111
11232k k ++++<+
B ．1111111232121k k k ++++++<+--
C ．111111112321221k k k k +++++++<+--
D ．1111111111123212212221
k k k k k k +++++++++++<+-+--
答案：D
3．用数学归纳法证明，“当n 为正奇数时，n
n
x y +能被x y +整除”时，第二步归纳假设应写成（ ）
A ．假设21()n k k *
=+∈N 时正确，再推证23n k =+正确 B ．假设21()n k k *=-∈N 时正确，再推证21n k =+正确 C ．假设(1)n k k k *=∈N ，≥的正确，再推证2n k =+正确
D ．假设(1
)n k k k *
∈N ，≤≥时正确，再推证2n k =+正确 答案：B
4．用数学归纳法证明：“2
2
1
11(1)1n n a a a a
a a
++-++++=≠-”在验证1n =时，左端计算所得的项为（ ） A ．1
B ．1a +
C ．2
1a a ++
D ．23
1a a a +++
答案：C
5．下面四个判断中，正确的是（ ） A ．式子2
1()n k k k n *++++∈N ，当1n =时为1 B ．式子211()n k k k n -*+++
+∈N ，当1n =时为1k +
C ．式子1111()12321n n *++++∈-N ，当1n =时为111
123
++ D ．设111()()1231f n n n n n *=++∈+++N ，则111
(1)()323334
f k f k k k k +=+++
+++ 答案：C
6．用数学归纳法证明(1)(2)()213(21)()n n n n n n n *+++=+∈N ，从k 到1k +左
端需增乘的代数式为（ ） A ．21k +
B ．2(21)k +
C ．
21
1
k k ++ D ．
23
1
k k ++ 答案：B
二、填空题
7．用数学归纳法证明111
1(1)23
21
n
n n n *++++
<∈>-N 且，第一步即证不等式 成立． 答案：11
1223
+
+< 8．用数学归纳法证明命题：2
2
2
2
121
(1)
1234(1)(1)()2
n n n n n n --*+-+-+
+-=-∈N ，从“第k 步到1k +步”时，两边应同时加上 ． 答案：2
(1)(1)k
k -+ 9．已知21111()()12
f n n n n n n
*
=
++++
∈++N ，则()f n 中共有 项． 答案：2
1n n -+ 10．设21
()6
1n f n -=+，则(1)f k +用含有()f k 的式子表示为 ．
答案：36()35f k - 三、解答题
11．用数学归纳法证明：22
3
89()n n n +*--∈N 能被64整除．
证明：（1）当1n =时，4381964-⨯-=，能被64整除，命题成立． （2）假设n k =时，命题成立，即22
389k k +--能被64整除，
则当1n k =+时，2(1)2
2238(1)99(389)6464k k k k k +++-+-=--++．
因为22
389k k +--能被64整除， 所以2(1)2
3
8(1)9k k ++-+-能被64整除．
即当1n k =+时，命题也成立．
由（1）和（2）可知，对任何n *
∈N ，命题成立． 12．用数学归纳法证明：111
12()23
n n n
*+
+++
<∈N ． 证明：（1）当1n =时，左边1=，右边2=，12<，所以不等式成立． （2）假设n k =时不等式成立，即11
1
1223
k k
+
+++
<， 则当1a k =+时，122311
k k k k +
+<++ 2(1)1
211
1
k k k k k ++=
<
=+++
即当1n k =+时，不等式也成立．
由（1）、（2）可知，对于任意n *
∈N 时，不等式成立．
13．数列{}n a 的前n 项和2n n S n a =-，先计算数列的前4项，后猜想n a 并证明之． 解：由112a a =-，11a =，
由12222a a a +=⨯-，得23
2
a =
． 由123323a a a a ++=⨯-，得37
4
a =．
由1234424a a a a a +++=⨯-，得415
8
a =．
猜想121
2
n n n a --=．
下面用数学归纳法证明猜想正确：
（1）1n =时，左边11a =，右边11112121
122
n n +---===，猜想成立．
（2）假设当n k =时，猜想成立，就是1212k k k a --=，此时121
222
k k k k S k a k --=-=-．
则当1n k =+时，由112(1)k k S k a ++=+-， 得1112(1)2k k k S a k a +++-=+-，
11
[2(1)]2k k a k S +∴=+-11(1)11212112222
k k k k k k +-+-⎛⎫--=+--= ⎪⎝⎭．
这就是说，当1n k =+时，等式也成立．
由（1）（2）可知，1212
n n n a --=对n *
∈N 均成立．
高中苏教选修（2-2）2.3数学归纳法水平测试
一、选择题
1．如果命题()p n 对n k =成立，那么它对2n k =+也成立，又若()p n 对2n =成立，则下列结论正确的是（ ） A ．()p n 对所有自然数n 成立 B ．()p n 对所有正偶数n 成立 C ．()p n 对所有正奇数n 成立 D ．()p n 对所有大于1的自然数n 成立
答案：B
2．用数学归纳法证明多边形内角和定理时，第一步应验证（ ） A ．1n =成立 B ．2n =成立 C ．3n =成立 D ．4n =成立 答案：C 3．已知111
()()12
31
f n n n n n *=+++
∈++-N ，则(1)f k +=（ ） A ．1
()3(1)1
f k k +
++
B ．1
()32f k k ++ C ．1111
()3233341f k k k k k +++-
++++ D ．11
()341
f k k k +-
++ 答案：C
4．凸n 边形有()f n 条对角线，则凸1n +边形的对角线的条数(1)f n +为（ ） A ．()1f n n ++ B ．()f n n + C ．()1f n n +- D ．()2f n n +-
答案：C 二、填空题
5．用数学归纳法证明“3
5n n +能被6整除”的过程中，当1n k =+时，式子3
(1)5(1)
k k +++
应变形为 ． 答案：3
(5)3(1)6k k k k ++++ 6．用数学归纳法证明不等式1
11
1127
124
264
n -++++
>成立，起始值至少应取为 ． 答案：8 三、解答题
7．用数学归纳法证明：(31)
(1)(2)()()2
n n n n n n n *+++++++=
∈N ． 证明：（1）当1n =时，左边2=， 右边1(31)
22
⨯+=
==左边，等式成立． （2）假设n k =时等式成立，即(31)
(1)(2)()2
k k k k k k +++++++=
． 则当1n k =+时，左边(2)(3)()(1)(2)k k k k k k k k =++++
++++++++
[(1)(2)()]32k k k k k =++++++++
(31)
323
k k k +=
++ 2374(1)(34)22
k k k k ++++==
(1)[3(1)1]
2
k k +++=
，
1n k ∴=+时，等式成立． 由（1）和（2）知对任意n *
∈N ，等式成立． 8．求证：1
21(1)n n a
a +-++能被21a a ++整除（其中n *∈N ）．
证明：（1）当1n =时，2
1
2
(1)1a a a a ++=++能被2
1a a ++整除，即当1n =时原命题
成立．
（2）假设()n k k *
=∈N 时，1
21(1)k k a a +-++能被21a a ++整除．
则当1n k =+时，2
211221(1)(1)(1)k k k k a
a a a a a +++-++=+++
121221(1)(1)(1)k k k a a a a a a a +--=++++++
()()21
1212
(1)11k k k a a a a a a -+-⎡⎤=++++++⎣⎦
．
由归纳假设及2
1a a ++能被2
1a a ++整除可知，2
21(1)k k a a ++++也能被21a a ++整除，
即1n k =+命题也成立．
根据（1）和（2）可知，对于任意的n *
∈N ，原命题成立．
备选题
1． 已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b ，且11a b =，22a b =，12a a ≠，0n a >，n *
∈N ，
试比较3a 与3b ，4a 与4b 的大小，并猜想n a 与n b （3n ≥，n *
∈N ）的大小关系，并
证明你的结论．
解：设11a b a ==，{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ．
22(1)a b a d aq d a q ∴=⇒+=⇒=-．
因为0n a >，12a a ≠，0d ∴>，0a >，11d
q a
∴=+
>． 22233(2)2(1)(1)0b a aq a d aq a a q a q ∴-=-+=---=->，
33b a ∴>．
又32
44(3)(1)(2)0b a aq a d a q q -=-+=-+>，
44b a ∴>．
猜想(3)n n b a n n *
>∈N ，≥．
下面用数学归纳法证明此猜想：
（1） 当3n =时，已证33b a >，猜想正确．
（2）假设当n k =（3k ≥，k *
∈N ）时猜想正确，即k k b a <． 则当1n k =+时，由1
k k b aq -=，(1)k a a k d =+-知：
1(1)k aq a k d ->+-，
又1q >，(1)k
aq aq k dq ∴>+-， 而(1)d a q =-，
11()(1)()k k k b a aq a kd aq k dq a kd ++∴-=-+>+--+
(1)(1)(1)aq k qa q a ka q =+----- 2(1)(1)0a k q =-->，
11k k b a ++∴>．
即当1n k =+时，猜想也成立．
由（1）和（2）可知，对3n ≥，n *
∈N ，均有n n b a >成立．
2． 设
11
1()123
f n n
=+++
+
，是否存在
()
g n 使等式
(1)(2)(1)()()()f f f n g n f n g n ++
+-=-对2n ≥的一切自然数都成立，并证明
你的结论．
解：(1)1f =，1(2)12f =+，11(3)123
f =++， 由(1)(2)(1)()()()f f f n
g n f n g n ++
+-=-，
得当2n =时，(1)(2)(2)(2)f g f g =-，可得(2)2g =． 当3n =时，(1)(2)(3)(3)(3)f f g f g +=-，得(3)3g =． 猜想：()g n n =．
用数学归纳法证明：当2n =时，已验证成立． 假设n k =（2k ≥，k *
∈N ）时成立，即()g k k =，
且有(1)(2)(1)[()1]f f f k k f k +++-=-成立．
则当1n k =+时，
(1)(2)(1)()[()1]()(1)()f f f k f k k f k f k k f k k +++-+=-+=+-
1(1)(1)1k f k k k ⎡
⎤=++--⎢⎥+⎣
⎦ (1)(1)(1)k f k k =++-+．
即当1n k =+时成立．
综上可知，()g n n =使等式(1)(2)(1)()()()f f f n g n f n g n +++-=-对2n ≥的一切
自然数都成立．
3．求证：n 棱柱中过侧棱的对角面的个数是1
()(3)2
f n n n =-． 证明：（1）当4n =时，四棱柱有2个对角面：
1
4(43)22
⨯⨯-=，命题成立． （2）假设n k =（4k ≥，k *
∈N ）时，命题成立，即符合条件的棱柱的对角面有
1
()(3)2
f k k k =
-个． 现在考虑1n k =+时的情形． 第1k +条棱11k k A B ++与其余和它不相邻的2k -条棱分别增加了1个对角共2k -个，而面
11k k A B B A 变成了对角面．因此对角面的个数变为：
1()(2)1(3)12f k k k k k +-+=-+-11
(2)(1)(1)[(1)3]22k k k k =-+=++-，
即1
(1)(1)[(1)3]2
f k k k +=++-成立．
由（1）和（2）可知，对任何4n ≥，n *
∈N ，命题成立．。