高中数学 第3章 数系的扩充与复数的引入章末归纳总结课件 新人教A版选修12

的对应(duìyìng)点．
• [答[案解] 析D] ∵点 Z(3,1)对应的复数为 z， ∴z＝3＋i，1＋z i＝31＋ ＋ii＝31＋＋ii11－－ii＝4－2 2i＝2－i，
该复数对应的点的坐标是(2，－1)，即 H 点．
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• 复数的模
• 熟记复数模的计算公式和复数的模与以原点 为起点的向量的模之间的关系，就能迅速 (xùn sù)求解有关复数模的问题．
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已知复数 z＝cosθ＋isinθ(0≤θ≤2π)．当 θ 为何值 时，|1－i＋z|取得最值．并求出它的最值．
[解析] |1－i＋z|＝|cosθ＋isinθ＋1－i| ＝ cosθ＋12＋sinθ－12 ＝ 2cosθ－sinθ＋3＝ 2 2cosθ＋π4＋3， 当 θ＝74π时，|1－i＋z|max＝ 2＋1； 当 θ＝34π时，|1－i＋z|min＝ 2－1.
• 5．复数与平面向量联系时，必须(bìxū)是以 原点为始点的向量．
• 6．不全为实数的两个复数不能比较大小． • 7．复平面的虚轴包括原点.
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1.i 是虚数单位，(11＋ －ii)4 等于(
)
A．i
B．－i
C．1
D．－1
• [答案(dáàn)] C
[解析] 11＋ －ii＝1－1i＋1i＋2 i＝1＋22i－1＝i，
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[解析] (1)由题意可得mm2＋m－2m1－＝30＝0 ， 即mm＝ ＝0－或3m或＝m1＝1 ，∴m＝1. 所以当 m＝1 时，复数 z 为零． (2)由题意可得mm2＋m－2m1－＝30≠0 ， 解得mm＝ ≠0－或3m且＝m1≠1 ，所以 m＝0. 所以 m＝0 时，z 为纯虚数．
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• 主要涉及的概念有：复数、虚数(xūshù)、纯 虚数(xūshù)、共轭复数、实部、虚部、复数 相等、复数的模等．在第二大节中，介绍了 复数代数形式的加、减、乘、除的运算法则， 同时指出了复数加法、减法的几何意义，复 平面上两点间的距离公式，沟通了“数与形” 之间的联系，提供了用“形”来帮助处理 “数”和用“数”来帮助处理“形”的工 具．
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[解析] 设 z＝x＋yi(x、y，得
x＋yi＋x－yi＝4 x＋yix－yi＝8
，即xx2＝＋2y2＝8
，解得yx＝＝±22
.
∴
z z
＝xx＋－yyii＝x2－xy2＋2－y22 xyi＝±i.
• [答案(dáàn)] D
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• 共轭复数(ɡònɡ è fù shù) • 只要掌握(zhǎngwò)共轭复数的定义，会进行
简单的运算即可，不必在复数的模与其轭复 数的性质上下工夫．
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等于( ) A．i C．±1
设
z
的共轭复数为
z
，若
z＋
z
＝4，z
z
＝8，则
z z
B．－i D．±i
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四、运算法则 z1＝a＋bi，z2＝c＋di，(a、b、c、d∈R)． 1．z1±z2＝(a±c)＋(b±d)i； 2．z1·z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； 3.zz12＝acc2＋ ＋bdd2 ＋bcc2－ ＋add2 i.
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• 1.复数代数形式z＝a＋bi中，a、b∈R应用复 数相等的条件，必须先化成代数形式．
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• 2．复数表示各类数的条件的前提必须是代数 形式z＝a＋bi(a、b∈R)，z为纯虚数的条件 为a＝0且b≠0，注意(zhù yì)虚数与纯虚数的 区别．
• 3．复数运算的法则，不要死记硬背，加、减 可类比合并同类项，乘法可类比多项式乘法， 除法可类比分母有理化．
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• 4．a2≥0是在实数范围内的性质，在复数范 围内z2≥0不一定成立，|z|2≠z2.
数系的扩充(kuòchōng)与复数的引入
第三章
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章末归纳(guīnà)总结
第三章
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1 自主预习学案 2 典例探究学案
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自主预习学案
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• 本章在小学、初中和高中所学知识的基础上，介绍复数的概念、 复数的代数形式的运算和数系的扩充等内容．
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(11＋ －ii)4＋(－12＋ 23i)18＝(
)
A．2i
B．－1＋i
C．1＋i
D．2
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[解析] ∵(11＋－ii)2＝i2＝－1， (－12＋ 23i)3＝1， ∴(11＋－ii)4＋(－12＋ 23i)18 ＝[(11＋－ii)2]2＋[(－12＋ 23i)3]6＝2.
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• 复数(fùshù)及其运算的几何意义 • 复数的几何意义及复数加、减运算的几何意
义充分体现了数形结合这一重要的数学思想 方法，即通过几何图形来研究代数问题．熟 练掌握复平面内的点、以原点为起点的平面 向量和复数三者之间的对应(duìyìng)关系， 就能有效地利用数形转换来解决实际问题．
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(3)由题意可得mm2＋m－2m1－＝32＝5 ， 解得mm＝ ＝2－或4m或＝m－ ＝12 ，∴m＝2. 所以当 m＝2 时，复数 z 为 2＋5i.
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• 复数(fùshù)的运算
• 复数加、减、乘、除运算(yùn suàn)的实质 是实数的加、减、乘、除，加减法是实部与 实部、虚部与虚部分别相加减，而乘法类比 多项式乘法，除法类比根式的分母有理化， 要注意i2＝－1.
• 本章共分两大节．第一大节是“数系的扩充与复数的概 念”．第二大节是“复数的运算”．在第一大节中，首先简要 地展示了数系的扩充过程，回顾了数的发展，并指出当数集扩 充到实数集时，由于负数不能开平方，因而大量(dàliàng)代数 方程无法求解，于是就产生了要开拓新数集的要求，从而自然 地引入虚数i，复数由此而产生，接着，介绍了复数的有关概念 和复数的几何表示．
4．如果复数(m2＋i)(1＋mi)是实数，则实数 m 等于( )
A．1
B．－1
C. 2
• [答案] B
D．－ 2
• [解析(jiě xī)] ∵(m2＋i)(1＋mi)＝(m2－m)＋ (m3＋1)i是实数，m∈R，
• ∴由a＋bi(a、b∈R)是实数的充要条件是b＝0，
• 得m3＋1＝0，即m＝－1.
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若 i 为虚数单位，图中复平面内点 Z 表示复数 z，
则表示复数1＋z i的点是(
)
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• A．E
B．F
• C．G
D．H
• [分析] 若z＝a＋bi(a，b∈R)，则z在复平面内的对应(duìyìng)点为Z(a，b)，
据此可由点的坐标写出点对应(duìyìng)的复数，也可描出复数在复平面内
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3．i 是虚数单位，若21＋＋ii＝a＋bi(a，b∈R)，则 a＋b 的值
是( )
A．0
B．12
C．1
D．2
• [答案(dáàn)] C
[解析] ∵a＋bi＝21＋＋ii＝21＋ ＋ii11－ －ii＝3－2 i，a、b∈R，∴
a＝32，b＝－12，∴a＋b＝1.
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一、复数的概念 1．虚数单位 i：(1)i2＝－1；(2)i 和实数在一起，服从实数 的运算律． 2．代数形式：a＋bi(a、b∈R)，其中 a 叫实部，b 叫虚部． 3．复数的分类 复数 z＝a＋bi(a、b∈R)中， z 是实数⇔b＝0， z 是虚数⇔b≠0 z 是纯虚数⇔ab＝ ≠00 . 4．a＋bi 与 a－bi(a、b∈R)互为共轭复数
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• 另一条主线是用复平面上的点或向量来描述 复数．由此引出了复数运算的几何意义(yìyì)， 使复数在平面几何、解析几何中得到广泛应 用．这两条主线在教材中是交替安排的，这 样能加强学生的“形与数”结合的观念，使 学生在看到代数形式时就能联想到几何图形， 看到几何图形就能联想到对应的复数．有利 于学生深入理解复数概念，开阔学生的思路， 培养和提高用“数形结合”观点来处理问题 的能力．
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二、复数相等的条件 a＋bi＝c＋di(a、b、c、d∈R)⇔a＝c 且 b＝d. 特别 a＋bi＝0(a、b∈R)⇔a＝0 且 b＝0. 三、复平面 建立直角坐标系表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实 轴，y 轴叫做虚轴. 实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴 上的点都表示纯虚数．原点对应复数 0，建立复平面后，复平 面内的点与复数集构成一一对应关系．以原点 O 为起点，复数 z 在复平面内的对应点 Z 为终点的向量O→Z，与复数 z 一一对应， O→Z的模叫做复数 z 的模．
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若 z＝1＋2i，则 z2 008＋z2 012 的值是________． [解析] ∵z＝1＋2i＝1＋2i1－1－ii＝ 212－i， ∴z2＝1－2 i2＝－i， ∴z4＝－1， ∴z2 008＋z2 012＝(z4)502＋(z4)503＝0.
• [答案(dáàn)] 0
∴11＋ －ii4＝i4＝1.
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• 2．复数z1＝3＋i，z2＝1－i，则z＝z1·z2在 复平面内对应的点位于( )
• A．第一象限 B．第二象限 • C．第三象限 D．第四象限 • [答案] D • [解析(jiě xī)] z＝(3＋i)(1－i)＝4－2i，所以
复数z对应的点Z(4，－2)在第四象限．
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典例探究学案
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• 复数(fùshù)的概念
• 熟练掌握复数的代数形式(xíngshì)，复数的 相等及复数表示各类数的条件是熟练解答复 数题的前提．
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已知复数 z＝m(m－1)＋(m2＋2m－3)i 当 m 取何实数值时，复数 z 是： (1)零； (2)纯虚数； (3)z＝2＋5i.
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• 本章有两条主线：一条主线是以复数代数形 式来表示复数的概念．规定了加、乘两种运 算法则，然后把减、除法(chúfǎ)分别定义为 加、乘法的逆运算来推导出其运算法则．利 用复数的四则运算，可把复数代数形式a＋bi 看成由a和bi两个非同类项组成，这样多项式 的运算法则几乎可以全部搬过来照用不误， 于是复数就与多项式、方程联系起来，从而 能帮助解决一些多项式中的因式分解、解方 程等数学问题．