2015届高三数学一轮总复习课件：10.7离散型随机变量及其分布列、超几何分布

题型二 求离散型随机变量的分布列
例2
点拨提示
迁移训练2
在一袋中装着标有数字 1,2,3,4,5 的小球各 2 个,从袋中任取 3
个小球,按 3 个小球上最大数字的 9 倍计分,每个小球被取出的可能
性都相等,用 X 表示取出的 3 个小球上的最大数字,求:
(1)取出的 3 个小球上的数字互不相同的概率;
第7讲
离散型随机变量及其分布列、
超几何分布
第一页，编辑于星期五：八点 三十三分。
考纲考向
考纲展示
1.掌握取有限个值的离散型随机变量
及其分布列.
2.了解超几何分布.
命题分析
从近两年高考试题来看,分布列的求
法单独命题较少,多与期望和方差的
求法相结合,常在解答题中考查,属中
档题,有一定的难度.
第二页，编辑于星期五：八点 三十三分。
点拨提示
迁移训练3
在一次购物抽奖活动中,假设某 10 张券中有一等奖券 1 张,可获
价值 50 元的商品;有二等奖券 3 张,每张可获价值 10 元的奖品;其余
6 张没有奖.某顾客从此 10 张奖券中任抽 2 张,求:
(1)该顾客中奖的概率;
(2)该顾客获得的奖品总价值 X 元的概率分布列.
解:(1)该顾客中奖,说明是从有奖的 4 张奖券中抽到了 1 张或 2
2
4
3
5
8
30
15
10
15
(3)由于按 3 个小球上最大数字的 9 倍计分,所以当计分介于 20
分 到 40 分 之 间 时 ,X 的 取 值 为 3 或 4. 所 以 所 求 概 率 为
2
3
13
P(X=3)+P(X=4)= + = .
15 10 30
题型一
题型二
题型三
第十七页，编辑于星期五：八点 三十三分。
张,由于是等可能地抽取,
41 61 +42 30 2
所以该顾客中奖的概率为
2
10
= 45= 3.
62
15 2
或用间接法,即所求概率为 1- 2 = 1= .
45 3
10
题型一
题型二
题型三
第二十四页，编辑于星期五：八点 三十三分。
重点难点
题型三
超几何分布
例3
点拨提示
迁移训练3
(2)依 题 意 可 知 X 的 所 有 可 能 取 值 为 0,10,20,50,60,且
(ⅰ)pi≥0,i=1,2,…,n;
n
(ⅱ)∑ pi=1.
i=1
③离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范
围内各个值的概率之和.
基础梳理
自我检测
第四页，编辑于星期五：八点 三十三分。
考点基础
基础梳理
1
2
2.常见离散型随机变量的分布列
(1)两点分布
若随机变量 X 服从两点分布,即其分布列为
例1
设随机变量 X 的分布列为 P X =
3
k
5
,P X ≥ 5 =
值为
迁移训练1
点拨提示
=ak(k=1,2,3,4,5),则常数 a 的
.
思路分析：直接根据分布列的性质求解.
1
4
15
5
答案:
解析:随机变量 X 的分布列为
1
2
X
5
5
3
5
4
5
1
P
3a
4a
5a
a
2a
1
由 a+2a+3a+4a+5a=1,解得 a=15.
重点难点
题型二
求离散型随机变量的分布列
例2
点拨提示
迁移训练2
(1)求解离散型随机变量 X 的分布列的步骤:
①理解 X 的意义,写出 X 可能取的全部值;
②求 X 取每个值的概率;
③写出 X 的分布列.
(2)求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率,在
求解时,要注意应用计数原理、古典概型等知识.
例1
点拨提示
迁移训练1
随机变量 X 的分布列如下:
X
-1
0
1
P
a
b
c
其中 a,b,c 成等差数列,求 P(|X|=1).
解:∵ a,b,c 成等差数列,∴ 2b=a+c.
1
又 a+b+c=1,∴ b=3.
2
∴ P(|X|=1)=a+c=3.
题型一
题型二
题型三
第十四页，编辑于星期五：八点 三十三分。
重点难点
5
4
2.下列 4 个表格中,可以作为离散型随机变量分布列的一个是(
)
B.
A.
X
0
1
2
X
0
1
2
P
0.3
0.4
0.5
P
0.3
-0.1
0.8
D.
C.
X
1
2
3
4
X
0
1
2
P
0.2
0.5
0.3
0
P
0.5
0.1
0.2
答案:C
解析:利用离散型随机变量的分布列的性质检验即可.
基础梳理
自我检测
第八页，编辑于星期五：八点 三十三分。
点中任取两点分别为终点得到两个向
量,记这两个向量的数量积为 X.若 X=0
就参加学校合唱团,否则就参加学校排
球队.
(1)求小波参加学校合唱团的概率;
(2)求 X 的分布列.
题型一
题型二
题型三
第十九页，编辑于星期五：八点 三十三分。
重点难点
题型二 求离散型随机变量的分布列
例2
点拨提示
迁移训练2
解:(1)从 8 个点中任取两点为向量终点的不同取法共有82 =28
生人数不超过 1 人的概率是
4
答案:5
.
解析:设所选女生人数为 X,则 X 服从超几何分布,
其中 N=6,M=2,n=3,则
20 43 21 42 4
P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=
基础梳理
63
+
63
= .
5
自我检测
第十一页，编辑于星期五：八点 三十三分。
重点难点
题型一 离散型随机变量分布列的性质
种,
X=0 时,两向量夹角为直角共有 8 种情形,
8 2
所以小波参加学校合唱团的概率为 P(X=0)= = .
28 7
(2)两向量数量积 X 的所有可能取值为-2,-1,0,1,X=-2 时,有 2 种情
形;X=1 时,有 8 种情形;X=-1 时,有 10 种情形.
所以 X 的分布列为
X
P
题型一
题型二
题型一
题型二
题型三
第十八页，编辑于星期五：八点 三十三分。
重点难点
题型二
求离散型随机变量的分布列
例2
点拨提示
迁移训练2
(2013·江西,理 18 节选)小波以游
戏方式决定是参加学校合唱团还是参
加学校排球队.游戏规则为:以 O 为起点,
再从 A1,A2,A3,A4,A5,A6,A7,A8(如图)这 8 个
考点基础
基础梳理
1
2
1.离散型随机变量 X 的概率分布
(1)如果随机试验的结果可以用一个变量来表示,那么这样的变
量叫做随机变量;所有取值可以一一列出的随机变量,称为离散型随
机变量.
(2)① 一 般 地 ,若 离 散 型 随 机 变 量 X 可 能 取 的 不 同 值 为
x1,x2,…,xi,…,xn,X 取每一个值 xi(i=1,2,…,n)的概率 P(X=xi)=pi,则表
-2
-1
1
5
2
2
14
14
7
7
0
1
题型三
第二十页，编辑于星期五：八点 三十三分。
重点难点
题型三
超几何分布
例3
点拨提示
迁移训练3
一袋中装有 10 个大小相同的黑球和白球.已知从袋中任意摸出
7
2 个球,至少得到 1 个白球的概率是9.
(1)求白球的个数;
(2)从袋中任意摸出 3 个球,记得到白球的个数为 X,求随机变量 X
得黑球则另换 1 个红球放回袋中,直到取到红球为止.若抽取的次数
为 X,则表示事件“放回 5 个红球”的是(
)
A.X=4
B .X=5
C .X=6
D .X≤5
答案:C
解析:由条件知事件“放回 5 个红球”对应的 X 为 6.
基础梳理
自我检测
第七页，编辑于星期五：八点 三十三分。
考点基础
自我检测
1
3
2
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
称为离散型随机变量 X 的概率分布列,简称为 X 的分布列,有时
为了表达简单,也用等式 P(X=xi)=pi(i=1,2,…,n)表示 X 的分布列.
基础梳理
自我检测
第三页，编辑于星期五：八点 三十三分。
考点基础
基础梳理
1
2
②离散型随机变量的分布列的性质
3
3
4
4
P X ≥ 5 =P X = 5 +P X = 5 +P(X=1)=3a+4a+5a=12a=5.
3
2
4
或 P X ≥ 5 = 1-P X ≤ 5 = 1-3a = 5 .
题型一
题型二
题型三
第十二页，编辑于星期五：八点 三十三分。
重点难点
题型一 离散型随机变量分布列的性质
例1
点拨提示
迁移训练1
(2)随机变量 X 的概率分布列;
(3)计分介于 20 分到 40 分之间的概率.
思路分析：(1)是古典概型;(2)关键是确定 X 的所有可能取值;(3)
计分介于 20 分到 40 分之间的概率等于 X=3 与 X=4 的概率之和.
题型一
题型二
题型三
第十五页，编辑于星期五：八点 三十三分。
重点难点
P(X=2)=
21 82
3
10
+
43
=
1
3
10
30
22 81 8
3
10
,P (X =3)=
21 42
3
10
+
22 41
3
10
=
2
15
,P(X=4)=
21 62
3
10
+
22 61
3
10
=
3
10
,P (X =5)=
= 15.
故随机变量 X 的概率分布列为
X
2
3
1
P
重点难点
题型三
超几何分布
例3
点拨提示
迁移训练3
对于服从某些特殊分布的随机变量,其分布列可以直接应用公式给出.超几何分
布描述的是不放回抽样问题,随机变量为抽到的某类个体的个数,随机变量取值
的概率实质上是古典概型.
题型一
题型二
题型三
第二十三页，编辑于星期五：八点 三十三分。
重点难点
题型三
超几何分布
例3
(1)利用分布列中各概率之和为 1 可求参数的值,此时要注意检验,以保证每
个概率值均为非负数.
(2)求随机变量在某个范围内的概率时,根据分布列,将所求范围内随机变
量对应的概率相加即可,其依据是互斥事件的概率加法公式.
题型一
题型二
题型三
第十三页，编辑于星期五：八点 三十三分。
重点难点
题型一
离散型随机变量分布列的性质
7
设袋中白球的个数为 x,则 P(A)=1-
2
10
= ,得到 x=5.故白球有 5 个.
9
(2)X 服从超几何分布,
3-k
5k 5
其中 N=10,M=5,n=3,P(X=k)=
3
10
,k=0,1,2,3.
于是可得其分布列为
X
0
1
12
P
题型一
题型二
1
5
12
2
5
12
3
1
12
题型三
第二十二页，编辑于星期五：八点 三十三分。
*
m =m in{M,n},且 n≤N,M≤N,n,M,N∈N ,称分布列
X
0
C0 C-0
-
P
C
为超几何分布.
基础梳理
1
…
m
C1 C-1
-
C
…
-
C
C-
C
自我检测
第六页，编辑于星期五：八点 三十三分。
考点基础
自我检测
1
2
3
4
5
1.在一袋中装有 10 个红球、5 个黑球.每次随机抽取 1 个球后,若取
X
0
1
P
1-p
p
其中 p=P(X=1)称为成功概率.
基础梳理
自我检测
第五页，编辑于星期五：八点 三十三分。
考点基础
基础梳理
1
2
(2)超几何分布
一般地,在含有 M 件次品的 N 件产品中,任取 n 件,其中恰有 X
件次品,则事件{X=k}发生的概率为 P(X=k)=
n -k
N -M
Nn
k
M

,k=0,1,2,…,m ,其中
和事件 B 是对立事件.
51 22 81 1
因为 P(B)=
3
10
= ,
3
1 2
所以 P(A)=1-P(B)=1- = .
3 3
题型一
题型二
题型三
第十六页，编辑于星期五：八点 三十三分。
重点难点
题型二 求离散型随机变量的分布列
点拨提示
例2
迁移训练2
(2)随机变量 X 的可能取值为 2,3,4,5,取相应值的概率分别为
考点基础
自我检测
2
1
3
5
4
1
3.已知随机变量 X 的分布列为 P(X=k)= k ,k=1,2,…,则 P(2<X≤4)等于
2
(
)
3
1
A.16
1
B .4
C .16
5
D .16
答案:A
1
1
3
解析:P(2<X≤4)=P(X=3)+P(X=4)=23 +24 =16.
基础梳理
自我检测
第九页，编辑于星期五：八点 三十三分。
的分布列.
思路分析：(1)列出符合题意的关于袋中白球个数 x 的方程;
(2)随机变量 X 服从超几何分布.
题型一
题型二
题型三
第二十一页，编辑于星期五：八点 三十三分。
重点难点
题型三
超几何分布
例3
点拨提示
迁移训练3
解:(1)记“从袋中任意摸出 2 个球,至少得到 1 个白球”为事件 A,