浙江省温州中学高中数学 3.3《二元一次不等式与平面区域》教案 新人教版必修5

《二元一次不等式（组）与平面区域》教学设计
【学习内容分析】
二元一次不等式（组）与平面区域是人教版《普通高中课程标准试验教科书•数学（A 版）》必修5第三章3.3.1节的内容，本节课的主要内容是二元一次不等式（组）的概念、几何意义。

本节课是学生在学习了一元二次不等式之后，学习简单的线性规划之前。

它是学生学习不等式后学习的第一个二元不等式。

研究二元一次不等式（组）表示的平面区域可以解决后续线性规划的问题，因此学习本节课是学习线性规划的基础，所以本课既是前期知识的发展，又是后续有关知识研究的前驱，起着承前启后的作用。

通过本节课的学习的能进一步培养学生数形结合、类比的数学思想，认识到数学具有很强的应用性及数学来源于生活。

【学习者分析】
学生需要从中学习二元一次不等式（组）表示的平面区域。

学生在知识上已经掌握了一元一次不等式组表示的图形以及二元一次方程与平面内直线的对应关系。

在能力上已经具备了一定的形象思维和逻辑推理能力；在思想方法上已经具有一定的数形结合、类比、从特殊到一般等数学思想。

可以说学生对本节课的学习已有了一定的知识储备和能力基础。

【教学目标】
（一）知识与技能
1.了解二元一次不等式（组）的概念与几何意义。

2.会用二元一次不等式组表示平面区域；
（二）过程与方法
1.经历从实际情境中抽象出二元一次不等式组的过程，提高数学建模的能力；
（三）情感态度与价值
1.通过本节课的学习，体会数学来源与生活，提高数学学习兴趣。

【教学重难点】
（一）重点：能用二元一次不等式（组）表示平面区域；
（二）难点：理解二元一次不等式（组）的几何意义。

【过程设计】
一、创设情境，引入概念
从实际问题中抽象出二元一次不等式（组）的数学模型
课本第91页的“银行信贷资金分配问题”：
一家银行计划年初投入2500万元用于企业和个人贷款，希望这笔资金至少可以带来3万元的收益，其中从企业贷款中获益12%，从个人贷款中获益10%，那么，银行该如何分配这2500万元呢？
1．建立二元一次不等式模型
把实际问题转化为数学问题：
设用于企业贷款的资金为x元，用于个人贷款的资金为y元。

（把文字语言转化为符号语言）
（资金总数为25 000 000元）⇒25000000x y +≤ （1） （预计企业贷款创收12%，个人贷款创收10%，共创收30 000元以上）
⇒(12%)x+(10%)y 30000≥ 即
12103000000x y +≥ （2）
（用于企业和个人贷款的资金数额都不能是负值）⇒0,0x y ≥≥ （3） 将（1）（2）（3）合在一起，得到分配资金应满足的条件：
2500121030000x y x y x y ⎧
⎪+≤⎪⎪
+≥⎨⎪≥⎪
≥⎪⎩
2．二元一次不等式（组）的定义
（1）二元一次不等式组：有几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组。

（2）二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式（组）的x 和y 的取值构成有序实数对（x,y ），所有这样的有序实数对（x,y ）构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集。

（3）二元一次不等式（组）的解集与平面直角坐标系内的点之间的关系：
二元一次不等式（组）的解集是有序实数对，而点的坐标也是有序实数对，因此，有序实数对就可以看成是平面内点的坐标，进而，二元一次不等式（组）的解集就可以看成是直角坐标系内的点构成的集合。

二、合作学习，探究新知
1.探究二元一次不等式（组）的解集表示的图形 （1）回忆、思考
回忆：初中一元一次不等式（组）的解集所表示的图形——数轴上的区间 思考：在直角坐标系内，二元一次不等式（组）的解集表示什么图形？ （2）探究 从特殊到一般：
先研究具体的二元一次不等式x-y<6的解集所表示的图形。

如图：在平面直角坐标系内，x-y=6表示一条直线。

平面内所有的点被直线分成三类： 第一类：在直线x-y=6上的点；
第二类：在直线x-y=6左上方的区域内的点； 第三类：在直线x-y=6右下方的区域内的点。

设点是直线x-y=6上的点，选取点，使它的坐标满足不等式x-y<6，请同学们完成课本第93页的表格，
横坐标x -3 -2 -1 0 1 2 3 点P 的纵坐标1y 点A 的纵坐标2y
并思考：
（1）当点A 与点P 有相同的横坐标时，它们的纵坐标有什么关系？ 根据此说说，（2）直线x-y=6左上方的坐标与不等式x-y<6有什么关系？ （3）直线x-y=6右下方点的坐标呢？ 学生思考、讨论、交流，达成共识：
在平面直角坐标系中，以二元一次不等式x-y<6的解为坐标的点都在直线x-y=6的左上方；反过来，直线x-y=6左上方的点的坐标都满足不等式x-y<6。

因此，在平面直角坐标系中，不等式x-y<6表示直线x-y=6左上方的平面区域；如图。

类似的：二元一次不等式x-y>6表示直线x-y=6右下方的区
域；如图。

直线叫做这两个区域的边界 由特殊例子推广到一般情况： （3）结论：
二元一次不等式Ax +By +C ＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax +By +C =0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线） 2．二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法
由于对在直线Ax +By +C =0同一侧的所有点(y x ,)，把它的坐标（y x ,)代入Ax +By +C ，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x 0,y 0)，从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax +By +C ＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C ≠0时，常把原点作为此
特殊点）
归纳：画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法。

特殊地，当0≠C 时，常把原点作为此特殊点。

三、巩固新知，应用提升
例1.分别画出下列不等式表示的平面区域
(1)1(2)1(3)22
y x y x y x >+<-+≥- 你能发现什么？
结论：y>kx+b 表示直线上方的平面区域，y<kx+b 表示直线下方的平面区域。

例2.用平面区域表示.不等式组312
2y x x y <-+⎧⎨<⎩
的解集。

分析：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。

解：不等式312y x <-+表示直线312y x =-+右下方的区域，2x y <表示直线
2x y =右上方的区域，取两区域重叠的部分，如图的阴影部分就表示原不等式组的解集。

归纳：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。

1
3.(2,4),(,1),(6,1)4
(1);
ABC A B C ∆-例已知的顶点，
求三角形区域所表示的不等式组 (2).ABC I ∆求内心的坐标与内切圆半径
四、课堂小结，布置作业
教师引导学生对本节课的知识进行小结：
1．二元一次不等式表示的平面区域．
2．二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法．
3．二元一次不等式组表示的平面区域．
布置作业：
1.精编3.3.1第1课时
【板书设计】
二元一次不等式(组)与平面区域同侧同号
线定界，点定域。