武城县民族中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

武城县民族中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知向量(1,2)a =，(1,0)b =，(3,4)c =，若λ为实数，()//a b c λ+，则λ=（ ）
A ．
14 B ．1
2
C ．1
D ．2 2． 在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是，，，BH 为AC 边上的高，5BH =，若
2015120aBC bCA cAB ++=，则H 到AB 边的距离为（ ）
A ．2
B ．3 C.1 D ．4 3． 设函数f ′（x ）是奇函数f （x ）（x ∈R ）的导函数，f （﹣2）=0，当x ＞0时，xf ′（x ）﹣f （x ）＜0，则使得f （x ）＞0成立的x 的取值范围是（ ）
A ．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）
B ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
C ．（﹣2，0）∪（2，+∞）
D ．（﹣2，
0）∪（0，2）
4． 已知奇函数()f x 是[1,1]-上的增函数，且1
(3)()(0)3f t f t f +->，则t 的取值范围是（ ） A 、1163t t ⎧
⎫-
<≤⎨⎬⎩⎭ B 、2433t t ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭ C 、16t t ⎧⎫>-⎨⎬⎩
⎭ D 、2
13
3t t ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭
5． 已知向量与的夹角为60°，||=2，||=6，则2﹣在方向上的投影为（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
6． 复数i i
i
z (21+=
是虚数单位）的虚部为（ ） A ．1- B ．i - C ．i 2 D ．2
【命题意图】本题考查复数的运算和概念等基础知识，意在考查基本运算能力．
7． 已知函数f （x ）=2ax 3﹣3x 2+1，若 f （x ）存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则a 的取值范围是（ ） A ．（1，+∞） B ．（0，1） C ．（﹣1，0） D ．（﹣∞，﹣1）
8． 已知M N 、为抛物线2
4y x =上两个不同的点，F 为抛物线的焦点．若线段MN 的中点的纵坐标为2，
||||10MF NF +=，则直线MN 的方程为（ ）
A ．240x y +-=
B ．240x y --=
C ．20x y +-=
D ．20x y --=
9． 已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 4•a 8=2a 52，a 2=1，则a 1=（ ）
A ．
B ．2
C ．
D ．
10．独立性检验中，假设H 0：变量X 与变量Y 没有关系．则在H 0成立的情况下，估算概率P （K 2
≥6.635）
≈0.01表示的意义是（ ）
A ．变量X 与变量Y 有关系的概率为1%
B ．变量X 与变量Y 没有关系的概率为99%
C ．变量X 与变量Y 有关系的概率为99%
D ．变量X 与变量Y 没有关系的概率为99.9%
11．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边长分别是a 、b 、c ．若sinC+sin （B ﹣A ）=sin2A ，则△ABC 的形状为（ ）
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等腰三角形或直角三角形
12．已知函数f （x ）
=﹣log 2x ，在下列区间中，包含f （x ）零点的区间是（ ） A ．（0，1） B ．（1，2） C ．（2，4） D ．（4，+∞）
二、填空题
13．设,y x 满足约束条件2110y x x y y ≤⎧⎪
+≤⎨⎪+≥⎩
，则3z x y =+的最大值是____________．
14．【常熟中学2018届高三10月阶段性抽测（一）】已知函数()()ln R x
f x x a a x =+-∈，若曲线122e e 1
x x y +=+（e 为自然对数的底数）上存在点()00,x y 使得()()00f f y y =，则实数a 的取值范围为__________.
15．有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色的涂料，且三个房间的颜色各不相同．三个房间的粉刷面积和三种颜色的涂料费用如下表：
那么在所有不同的粉刷方案中，最低的涂料总费用是 _______元．
16．若数列{}n a 满足212332n a a a a n n =++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅，则数列{}n a 的通项公式为 .
17．函数f （x ）
=的定义域是 ．
18．在（
2x+
）6
的二项式中，常数项等于 （结果用数值表示）．
三、解答题
19．已知定义在[]3,2-的一次函数()f x 为单调增函数，且值域为[]2,7．
（1）求()f x 的解析式；
（2）求函数[()]f f x 的解析式并确定其定义域．
20．已知函数f （x ）=alnx+x 2+bx+1在点（1，f （1））处的切线方程为4x ﹣y ﹣12=0． （1）求函数f （x ）的解析式； （2）求f （x ）的单调区间和极值．
21．（本小题满分12分）
已知函数2
1()(3)ln 2
f x x a x x =+-+. （1）若函数()f x 在定义域上是单调增函数，求的最小值；
（2）若方程2
1()()(4)02f x a x a x -+--=在区间1[,]e e
上有两个不同的实根，求的取值范围.
22．一个几何体的三视图如图所示，已知正（主）视图是底边长为1的平行四边形，侧（左）视图
1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形．
（1）求该几何体的体积V ；111] （2）求该几何体的表面积S ．
23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()|21|f x x =-．
（1）若不等式1()21(0)2
f x m m +≤+>的解集为(][),22,-∞-+∞，求实数m 的值；
（2）若不等式()2|23|2
y
y a
f x x ≤+
++，对任意的实数,x y R ∈恒成立，求实数a 的最小值． 【命题意图】本题主要考查绝对值不等式的解法、三角不等式、基本不等式等基础知识，以及考查等价转化的能力、逻辑思维能力、运算能力．
24．已知α、β、是三个平面，且c αβ=，a βγ=，b αγ=，且a b O =．求证：、
、三线共点．
武城县民族中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】B
【解析】
试题分析：因为(1,2)a =，(1,0)b =，所以()()1,2a b λλ+=+，又因为()//a b c λ+，所以
()1
4160,2
λλ+-==
，故选B. 考点：1、向量的坐标运算；2、向量平行的性质. 2． 【答案】D 【解析】
考
点：1、向量的几何运算及平面向量基本定理；2、向量相等的性质及勾股定理.
【方法点睛】本题主要考查向量的几何运算及平面向量基本定理、向量相等的性质及勾股定理，属于难题，平面向量问题中，向量的线性运算和数量积是高频考点，当出现线性运算问题时，注意两个向量的差
OA OB BA -=，这是一个易错点，两个向量的和2OA OB OD +=（D 点是AB 的中点）,另外，要选好基底
向量，如本题就要灵活使用向量,AB AC ，当涉及到向量数量积时，要记熟向量数量积的公式、坐标公式、几何意义等. 3． 【答案】A
【解析】解：设g （x ）=，则g （x ）的导数为：
g ′（x ）=
，
∵当x ＞0时总有xf ′（x ）﹣f （x ）＜0成立， 即当x ＞0时，g ′（x ）＜0，
∴当x ＞0时，函数g （x ）为减函数，
又∵g （﹣x ）=
=
=
=g （x ），
∴函数g （x ）为定义域上的偶函数，
∴x＜0时，函数g（x）是增函数，
又∵g（﹣2）==0=g（2），
∴x＞0时，由f（x）＞0，得：g（x）＜g（2），解得：0＜x＜2，
x＜0时，由f（x）＞0，得：g（x）＞g（﹣2），解得：x＜﹣2，
∴f（x）＞0成立的x的取值范围是：（﹣∞，﹣2）∪（0，2）．
故选：A．
4．【答案】A
【解析】
考点：函数的性质。

5．【答案】A
【解析】解：∵向量与的夹角为60°，||=2，||=6，
∴（2﹣）•=2﹣=2×22﹣6×2×cos60°=2，
∴2﹣在方向上的投影为=．
故选：A．
【点评】本题考查了平面向量数量积的定义与投影的计算问题，是基础题目．
6．【答案】A
【解析】
()
12(i)
12
2
(i)
i
i
z i
i i
+-
+
===-
-
，所以虚部为-1，故选A.
7．【答案】D
【解析】解：若a=0，则函数f（x）=﹣3x2+1，有两个零点，不满足条件．
若a≠0，函数的f（x）的导数f′（x）=6ax2﹣6x=6ax（x﹣），若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，
若a＞0，由f′（x）＞0得x＞或x＜0，此时函数单调递增，
由f′（x）＜0得0＜x＜，此时函数单调递减，
故函数在x=0处取得极大值f（0）=1＞0，在x=处取得极小值f（），若x0＞0，此时还存在一个小于0的零点，此时函数有两个零点，不满足条件．
若a＜0，由f′（x）＞0得＜x＜0，此时函数递增，
由f′（x）＜0得x＜或x＞0，此时函数单调递减，
即函数在x=0处取得极大值f（0）=1＞0，在x=处取得极小值f（），
若存在唯一的零点x0，且x0＞0，
则f（）＞0，即2a（）3﹣3（）2+1＞0，
（）2＜1，即﹣1＜＜0，
解得a＜﹣1，
故选：D
【点评】本题主要考查函数零点的应用，求函数的导数，利用导数和极值之间的关系是解决本题的关键．注意分类讨论．
8．【答案】D
【解析】解析：本题考查抛物线的焦半径公式的应用与“中点弦”问题的解法．
设
1122
(,)(,)
M x y N x y
、，那么
12
||||210
MF NF x x
+=++=，
12
8
x x
+=，∴线段MN的中点坐标为(4,2).
由2114y x =，2224y x =两式相减得121212()()4()y y y y x x +-=-，
而1222y y +=，∴12
12
1y y x x -=-，∴直线MN 的方程为24y x -=-，即20x y --=，选D ． 9． 【答案】D
【解析】解：设等比数列{a n }的公比为q ，则q ＞0，
∵a 4•a 8=2a 52，∴a 62=2a 52
， ∴q 2
=2，∴q=
，
∵a 2=1，∴a 1=
=
．
故选：D
10．【答案】C
【解析】解：∵概率P （K 2
≥6.635）≈0.01， ∴两个变量有关系的可信度是1﹣0.01=99%，
即两个变量有关系的概率是99%，
故选C ． 【点评】本题考查实际推断原理和假设检验的应用，本题解题的关键是理解所求出的概率的意义，本题是一个
基础题．
11．【答案】D
【解析】解：∵sinC+sin （B ﹣A ）=sin2A ， ∴sin （A+B ）+sin （B ﹣A ）=sin2A ， ∴sinAcosB+cosAsinB+sinBcosA ﹣cosBsinA=sin2A ，
∴2cosAsinB=sin2A=2sinAcosA ， ∴2cosA （sinA ﹣sinB ）=0， ∴cosA=0，或sinA=sinB ，
∴A=
，或a=b ，
∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形
故选：D ． 【点评】本题考查三角形形状的判断，涉及三角函数公式的应用，本题易约掉cosA 而导致漏解，属中档题和
易错题．
12．【答案】C
【解析】解：∵f （x ）=﹣log 2x ， ∴f （2）=2＞0，f （4）=﹣＜0， 满足f （2）f （4）＜0，
∴f （x ）在区间（2，4）内必有零点， 故选：C
二、填空题
13．【答案】73
【解析】
试题分析：画出可行域如下图所示，由图可知目标函数在点12,
33A ⎛⎫
⎪⎝⎭
处取得最大值为73.
考点：线性规划． 14．【答案】1,e
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
【解析】结合函数的解析式：1
22e e 1x x y +=+可得：()
()
122
221'1
x x x e e y e +-=+， 令y ′=0，解得：x =0，
当x >0时，y ′>0，当x <0，y ′<0，
则x ∈（-∞，0），函数单调递增，x ∈（0，+∞）时，函数y 单调递减， 则当x =0时，取最大值，最大值为e ，
∴y 0的取值范围（0，e ]，
结合函数的解析式：()()R lnx f x x a a x =+-∈可得：()22ln 1'x x f x x
-+=， x ∈（0，e ），()'0f x >，
则f （x ）在（0，e ）单调递增，
下面证明f （y 0）=y 0．
假设f （y 0）=c >y 0，则f （f （y 0））=f （c ）>f （y 0）=c >y 0，不满足f （f （y 0））=y 0．
同理假设f （y 0）=c <y 0，则不满足f （f （y 0））=y 0．
综上可得：f （y 0）=y 0．
令函数()ln x f x x a x x
=
+-=． 设()ln x g x x =，求导()21ln 'x g x x -=， 当x ∈（0，e ），g ′（x ）>0，
g （x ）在（0，e ）单调递增，
当x =e 时取最大值，最大值为()1g e e =
， 当x →0时，a →-∞，
∴a 的取值范围1,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦
. 点睛：（1）利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．而解答本题（2）问时，关键是分离参数k ，把所求问题转化为求函数的最小值问题．
（2）若可导函数f （x ）在指定的区间D 上单调递增（减），求参数范围问题，可转化为f ′（x ）≥0（或f ′（x ）≤0）恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．
15．【答案】1464
【解析】【知识点】函数模型及其应用
【试题解析】显然，面积大的房间用费用低的涂料，所以房间A 用涂料1，房间B 用涂料3，
房间C 用涂料2，即最低的涂料总费用是
元。

故答案为：1464 16．【答案】 6,12,2,n n a n n n n *=⎧⎪=+⎨≥∈⎪⎩N
【解析】【解析】()()12312n a a a a n n =++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
11:6n a ==；
()()
()
123112312:12 1n n n n a a a a a n n a a a a n n --≥⋅=++=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 故22:n n n a n
+≥= 17．【答案】 {x|x ＞2且x ≠3} ．
【解析】
解：根据对数函数及分式有意义的条件可得
解可得，x ＞2且x ≠3
故答案为：{x|x ＞2且x ≠3}
18．【答案】 240
【解析】解：由（
2x+）6，得
=
．
由6﹣3r=0，得r=2． ∴常数项等于
． 故答案为：240．
三、解答题
19．【答案】（1）()5f x x =+，[]3,2x ∈-；（2）[]()10f f x x =+，{}3x ∈-.
【解析
】
试
题解析：
（1）设()(0)f x kx b k =+>，111]
由题意有：32,27,k b k b -+=⎧⎨
+=⎩解得1,5,k b =⎧⎨=⎩ ∴()5f x x =+，[]3,2x ∈-．
（2）(())(5)10f f x f x x =+=+，{}3x ∈-．
考点：待定系数法．
20．【答案】
【解析】解：（1）求导f ′（x ）=+2x+b ，由题意得：
f ′（1）=4，f （1）=﹣8，
则，解得，
所以f （x ）=12lnx+x 2﹣10x+1；
（2）f （x ）定义域为（0，+∞），
f ′（x ）=，
令f ′（x ）＞0，解得：x ＜2或x ＞3，
所以f （x ）在（0，2）递增，在（2，3）递减，在（3，+∞）递增，
故f （x ）极大值=f （2）=12ln2﹣15，
f （x ）极小值=f （3）=12ln3﹣20．
21．【答案】（1）；（2）01a <<.1111]
【解析】
则
'()0f x ≥对0x >恒成立，即1()3a x x
≥-++对0x >恒成立， 而当0x >时，1()3231x x
-++≤-+=，
∴1a ≥.
若函数()f x 在(0,)+∞上递减，
则'()0f x ≤对0x >恒成立，即1()3a x x ≤-++对0x >恒成立，
这是不可能的.
综上，1a ≥.
的最小值为1. 1
（2）由21()()(2)2ln 02f x a x a x x =-+-+=， 得2
1
()(2)2ln 2a x a x x -+-=， 即2ln x x a x +=，令2ln ()x x r x x +=，233
1(1)2(ln )12ln '()x x x x x x x r x x x +-+--==， 得12ln 0x x --=的根为1，
考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、函数零点问题及不等式恒成立问题. 【方法点晴】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数零点问题及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≤恒成立（min ()a f x ≤即可）或()a f x ≥恒成（max ()a f x ≥即可）；②数形结合；③讨论最值min ()0f x ≥或max ()0f x ≤恒成立；④讨论参数.本题（2）就是先将问题转化为不等式恒成立问题后再利用①求得的最小值的.
请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.
22．【答案】（1
2
）6+．
【解析】
（2）由三视图可知，
该平行六面体中1A D ⊥平面ABCD ，CD ⊥平面11BCC B ，
∴12AA =，侧面11ABB A ，11CDD
C 均为矩形，
2(11112)6S =⨯++⨯=+ 1
考点：几何体的三视图；几何体的表面积与体积．
【方法点晴】本题主要考查了空间几何体的三视图、解题的表面积与体积的计算，其中解答中涉及到几何体的表面积和体积公式的应用，着重考查了推理和运算能力及空间想象能力，属于中档试题，解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相等、高平齐”的原则，还原出原几何体的形状是解答的关键．
23．【答案】
【解析】（1）由题意，知不等式|2|21(0)x m m ≤+>解集为(]
[),22,-∞-+∞． 由|2|21x m ≤+，得1122
m x m --≤≤+，……………………2分 所以，由122m +=，解得32
m =．……………………4分 （2）不等式()2|23|2y y a f x x ≤+++等价于|21||23|22
y y a x x --+≤+， 由题意知max (|21||23|)22
y y a x x --+≤+．……………………6分
24．【答案】证明见解析．【解析】
考点：平面的基本性质与推论．。