(常考题)北师大版初中数学七年级数学下册第四单元《三角形》检测(含答案解析)(2)

一、选择题
1．如图，△ABC 的面积为9cm 2，BP 平分∠ABC ，AP ⊥BP 于P ，连接PC ，则△PBC 的面积为（ ）
A ．3cm 2
B ．4.5cm 2
C ．5cm 2
D ．6cm 2
2．如图，在△ABC 中，AB=AC ，AB ＞BC ，点D 在BC 边上，BD=12
DC ，∠BED=∠CFD=∠BAC ，若S △ABC =30，则阴影部分的面积为（ ）
A ．5
B ．10
C ．15
D ．20
3．如图，在ABC 中，8AB AC ==厘米，6BC =厘米，点D 为AB 的中点．如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上，由C 点向A 点运动，为了使BPD CPQ △≌△，点Q 的运动速度应为（ ）
A ．1厘米/秒
B ．2厘米/秒
C ．3厘米/秒
D ．4厘米/秒 4．如图，∠ACD 是△ABC 的一个外角，过点D 作直线，分别交AC 和AB 于点
E ，H ．则下列结论中错误的是（ ）
A ．∠HEC ＞∠B
B ．∠B ＋∠ACB ＝180°－∠A
C ．∠B ＋∠ACB ＜180°
D ．∠B ＞∠ACD
5．如图，若MB ND =，MBA NDC ∠=∠，添加下列条件不能直接判定
ABM CDN ≌的是（ ）
A ．AM CN =
B ．A NCD ∠=∠
C ．AB C
D =
D ．M N ∠=∠ 6．已知如图，AB=A
E ，只需再加一个条件就能证明△ABC ≌△AED ，下列选项是所加条件，
请判断哪一个不能判断△ABC ≌△AED （ ）
A ．∠B=∠E
B ．AC=AD
C ．∠ADE=∠ACB
D ．BC=D
E 7．已知三角形的一边长为8，则它的另两边长分别可以是（ ）
A ．2，9
B ．17，29
C ．3，12
D ．4，4 8．如图，在ABC 和DEF 中，,B DEF AB D
E ∠=∠=，添加下列一个条件后，仍然不能证明ABC DE
F ≌，这个条件是（ ）
A ．A D ∠=∠
B ．B
C EF = C ．ACB F ∠=∠
D ．AC DF = 9．工人师傅常用直角尺平分一个角，做法如下：如图所示，在∠AOB 的边OA ，OB 上分别取OM ＝ON ，移动直角尺，使直角尺两边相同的刻度分别与M ，N 重合（即CM ＝CN ）．此时过直角尺顶点C 的射线OC 即是∠AOB 的平分线．这种做法的道理是（ ）
A ．HL
B ．SAS
C ．SSS
D ．ASA
10．在自习课上，小红为了检测同学们的学习效果，提出如下四种说法：
①三角形有且只有一条中线；②三角形的高一定在三角形内部；③三角形的两边之差大于第三边；④三角形按边分类可分为等腰三角形和不等边三角形．其中错误的说法是（ ）
A ．①②
B ．①③
C ．①②③
D ．①②③④ 11．如图，已知AE=CF ，∠AFD=∠CEB ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF ≌△CB
E 的是（ ）
A ．∠B=∠D
B ．BE=DF
C ．AD=CB
D ．AD ∥BC 12．如图，已知AC ⊥BD ，垂足为O ，AO ＝ CO ，AB ＝ CD ，则可得到△AOB ≌△COD ，理由
是( )
A ．HL
B ．SAS
C ．ASA
D ．SSS
二、填空题
13．将一副直角三角板按如图所示的方式放置，若42∠=︒EAC ，则1∠的度为________．
14．如图，已知AC DB =，添加一个条件________，可以得到ABC DCB △≌△．
15．如图，65A ∠=︒，45B ∠=︒，则ACD ∠=________．
16．如图所示的是一张直角ABC 纸片（90C ∠=︒），其中30BAC ∠=︒，如果用两张完全相同的这种纸片恰好能拼成如图2所示的ABD △，若2BC =，则ABD △的周长为______．
17．如图，点D 在BC 上，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥BC 交AC 于点F ，BD ＝CF ，BE ＝CD ．若∠AFD ＝145°，则∠EDF ＝_____．
18．如图，AB 与CD 相交于点O ，OC ＝OD ．若要得到△AOC ≌△BOD ，则应添加的条件是__________．（写出一种情况即可）
19．如图，ABC DEF △≌△，点B 、F 、C 、E 在同一条直线上，AC 、DF 交于点M ，30ACB ∠=︒，则AMF ∠的度数是______°．
20．如图，在△ABC 中，AD 、AE 分别是边BC 上的中线与高，AE ＝4，△ABC 的面积为12，则CD 的长为_____．
三、解答题
21．已知ABC 的周长为37cm ，AD 是BC 边上的中线，23
AC BC =．
（1）如图，当15AB cm =时，求BD 的长．
（2）若14AC cm =，能否求出DC 的长？为什么？
22．如图，90B C ∠=∠=︒，BAE CED ∠=∠，且AB CE =．
（1）试说明：ADE 是等腰直角三角形；
（2）若2CDE BAE ∠=∠，求CDE ∠的度数．
23．如图，直线AB 分别与x 轴，y 轴交于A B 、两点，OC 平分∠AOB 交AB 于点C ，点D 为线段AB 上一点，过点D 作//DE C 交y 轴于点E ，已知,AO m BO n ==，且m n 、满足2123620n n n m -++-=．
（1）求A B 、两点的坐标；
（2）若点D 为AB 中点，延长DE 交x 轴于点F ，在ED 的延长线上取点G ，使DG DF =，连接BG ．
①BG 与y 轴的位置关系怎样？说明理由；
②求OF 的长．
24．如图，已知点D ，E 分别在ABC 的边AB ，AC 上，//DE BC ．
（1若80ABC ∠=︒，40AED ∠=︒，求A ∠的度数：
（2）若180BFD CEF ∠+∠=︒，求证：EDF C ∠=∠．
25．如图，在△ABC 中，∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E ，F ，连接EF ．写出两个结论（∠BAD ＝∠CAD 和DE ＝DF 除外），并选择一个结论进行证明．
（1）____________；
（2）____________．
26．如图，CB 为ACE ∠的角平分线，F 是线段CB 上一点，,CA CF B E =∠=∠，延长EF 与线段AC 相交于点D ．
（1）求证：AB FE =；
（2）若,//ED AC AB CE ⊥，求A ∠的度数．
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一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
根据已知条件证得△ABP ≌△EBP ，根据全等三角形的性质得到AP=PE ，得出S △ABP =S △EBP ，S △ACP =S △ECP ，推出S △PBC
=12
S △ABC ，代入求出即可． 【详解】
解：延长AP 交BC 于E ，
∵BP 平分∠ABC ，
∴∠ABP=∠EBP ，
∵AP ⊥BP ，
∴∠APB=∠EPB=90°，
在△ABP 和△EBP 中，
ABP EBP PB PB
APB EPB ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩
＝＝＝， ∴△ABP ≌△EBP （ASA ），
∴AP=PE ，
∴S △ABP =S △EBP ，S △ACP =S △ECP ，
∴S △PBC =12S △ABC =12
×9cm 2=4.5cm 2， 故选：B ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，注意：等底等高的三角形的面积相等．
2．D
解析：D
【分析】
根据△ABE ≌△CAF 得出△ACF 与△ABE 的面积相等，可得S △ABE +S △CDF =S △ACD ，即可得出答案．
【详解】
∵∠BED=∠CFD=∠BAC ，∠BED=∠BAE+∠ABE ，
∠BAC=∠BAE+∠CAF ，∠CFD=∠FCA+∠CAF ，
∴∠ABE=∠CAF ，∠BAE=∠FCA ，
在△ABE 和△CAF 中，ABE CAF AB AC BAE FCA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
，
∴△ABE ≌△CAF （ASA ），
∴S △ABE =S △ACF ，
∴阴影部分的面积为S △ABE +S △CDF =S △ACD ，
∵S △ABC =30，BD=
12
DC ， ∴S △ACD =20，
故选：D ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积，三角形的外角性质等知识点，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 3．D
解析：D
【分析】
根据三角形全等的性质与路程、速度、时间的关系式求解．
【详解】
解：设△BPD ≌△CPQ 时运动时间为t ，点Q 的运动速度为v ，则由题意得：
BP CP BD CQ
=⎧⎨=⎩， 即3634t t vt
=-⎧⎨=⎩， 解之得：14t v =⎧⎨
=⎩， ∴点Q 的运动速度为4厘米/秒，
故选D ．
【点睛】
本题考查三角形全等的综合应用，熟练掌握三角形全等的判定与性质、路程、速度、时间的关系式及方程的思想方法是解题关键．
4．D
解析：D
【分析】
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的一个内角，根据以上定理逐个判断即可．【详解】
解：A、∵∠HEC＞∠AHD，∠AHD＞∠B，
∴∠HEC＞∠B，故本选项不符合题意；
B、∵∠B+∠ACB+∠A=180°，
∴∠B+∠ACB=180°-∠A，故本选项不符合题意；
C、∵∠B+∠ACB+∠A=180°，
∴∠B+∠ACB＜180°，故本选项不符合题意；
D、∠B＜∠ACD，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理和三角形的外角性质的应用，能灵活运用定理进行推理是解题的关键．
5．A
解析：A
【分析】
根据全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，结合选项进行判定，然后选择不能判定全等的选项．
【详解】
A、添加条件AM=CN，仅满足SSA，不能判定两个三角形全等；
B、添加条件AB=CD，可用SAS判定△ABM≌△CDN；
C、添加条件∠M=∠N，可用ASA判定△ABM≌△CDN；
D、添加条件∠A=∠NCD，可用AAS判定△ABM≌△CDN．
故选：A．
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
6．D
解析：D
【分析】
根据全等三角形的判定条件结合AE=AB、∠A=∠A逐项判定即可．
【详解】
解：∵AE=AB、∠A=∠A
∴A、补充∠B=∠E，根据ASA可证明△ABC≌△AED，不符合题意；
B、补充AC=AD，根据SAS可证明△ABC≌△AED，不符合题意；
C、补充∠ADE=∠ACB，根据AAS可证明△ABC≌△AED，不符合题意；
D、补充BC=DE，为SSA不能证明△ABC≌△AED，符合题意．
故答案为D．
【点睛】
本题考查了三角形全等的证明，掌握AAA、SSA不能判定普通三角形全等是解答本题的关键．
7．A
解析：A
【分析】
根据三角形三边关系判断即可；
【详解】
+=＞8，927
9211
-=＜8，故A正确；
-=＞8，故B错误；
172946
+=＞8，291712
-=＞8，故C错误；
12315
+=＞8，1239
+=，故D错误；
448
故答案选A．
【点睛】
本题主要考查了三角形三边关系，准确分析判断是解题的关键．
8．D
解析：D
【分析】
根据全等三角形的判定，利用ASA、SAS、AAS即可得答案．
【详解】
解：∵∠B=∠DEF，AB=DE，
∴添加∠A=∠D，利用ASA可得△ABC≌△DEF；
添加BC=EF，利用SAS可得△ABC≌△DEF；
添加∠ACB=∠F，利用AAS可得△ABC≌△DEF；
=，不符合任何一个全等判定定理，不能证明△ABC≌△DEF；
添加AC DF
故选：D．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法：SSS、ASA、SAS、AAS和HL 是解题的关键．
9．C
解析：C
【分析】
根据题中的已知条件确定有三组边对应相等，由此证明△OMC≌△ONC(SSS)，即可得到结论.
【详解】
在△OMC和△ONC中，
OM ON CM CN OC OC =⎧⎪=⎨⎪=⎩
, ∴△OMC ≌△ONC(SSS)，
∴∠MOC=∠NOC ，
∴射线OC 即是∠AOB 的平分线，
故选：C.
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定及性质，比较简单，注意利用了三边对应相等，熟记三角形全等的判定定理并解决问题是解题的关键.
10．C
解析：C
【分析】
三角形有三条中线对①进行判断；钝角三角形三条高，有两条在三角形外部，对②进行判断；根据三角形三边的关系对③进行判断；根据三角形的分类对④进行判断．
【详解】
①三角形有三条中线，故①错误；
②钝角三角形三条高，有两条在三角形外部，故②错误；
③三角形的任意两边之差小于第三边，故③错误；
④三角形按边分类可分为等腰三角形、不等边三角形，故④正确；
综上，选项①②③错误，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了三角形的有关概念，属于基础题型．要注意等腰三角形与等边三角形两个概念的区别．
11．C
解析：C
【分析】
求出AF=CE ，再根据全等三角形的判定定理判断即可．
【详解】
解：∵AE=CF ，
∴AE+EF=CF+EF ，
∴AF=CE ，
A 、∠B=∠D ，∠AFD=∠CE
B ，AF=CE ，满足AAS ，能判定△ADF ≌△CBE ；
B 、BE=DF ，∠AFD=∠CEB ，AF=CE ，满足SAS ，能判定△ADF ≌△CBE ；
C 、AD=CB ，AF=CE ，∠AFD=∠CEB ，满足SSA ，不能判定△ADF ≌△CBE ；
D 、AD ∥BC ，则∠A=∠C ，又AF=C
E ，∠AFD=∠CEB ，满足ASA ，能判定△AD
F ≌△CBE ； 故选：C ．
【点睛】
本题考查了平行线性质，全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
12．A
解析：A
【分析】
根据三角形全等的判定定理进行判断.
【详解】
A. AC⊥BD，垂足为O，AO＝CO，AB＝CD，所以由HL可得到△AOB≌△COD，所以A正确；
B.错误；
C.错误；
D.错误.
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定定理，熟练掌握定理是本题解题的关键.
二、填空题
13．93°【分析】根据∠1＝∠C+∠CAD求出∠C∠CAD即可【详解】解：
∵∠EAD＝90°∴∠CAD＝90°﹣∠EAC＝90°﹣42°＝48°∵∠C＝45°∴∠1＝
∠C+∠CAD＝45°+48°＝93
解析：93°
【分析】
根据∠1＝∠C+∠CAD，求出∠C，∠CAD即可．
【详解】
解：∵∠EAD＝90°，
∴∠CAD＝90°﹣∠EAC＝90°﹣42°＝48°，
∵∠C＝45°，
∴∠1＝∠C+∠CAD＝45°+48°＝93°，
故答案：93°．
【点睛】
本题考查三角形的外角性质，余角等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于常考题型．
14．（答案不唯一）【分析】要使△ABC≌△DCB由于BC是公共边若补充一组边相等则可用SSS判定其全等；【详解】解：添加
AB=DC∵AC=BDBC=BCAB=DC∴△ABC≌△DCB（SSS）∴加一个适
（答案不唯一）
解析：AB DC
【分析】
要使△ABC≌△DCB，由于BC是公共边，若补充一组边相等，则可用SSS判定其全等；【详解】
解：添加AB=DC，
∵ AC=BD，BC=BC，AB=DC，
∴△ABC ≌△DCB （SSS ），
∴ 加一个适当的条件是AB=DC ，
故答案为：AB=DC ．
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ，根据已知图形以及判定方法选择添加的条件是正确解答本题的关键． 15．【分析】根据三角形外角性质计算即可【详解】∵∠ACD 是△ABC 的外角∴∠ACD=∠A+∠B ∵∴∠ACD=故应填【点睛】本题考查了三角形外角的性质熟记三角形外角的性质并准确计算是解题的关键
解析：110︒.
【分析】
根据三角形外角性质计算即可.
【详解】
∵∠ACD 是△ABC 的外角，
∴∠ACD=∠A+∠B ，
∵65A ∠=︒，45B ∠=︒，
∴∠ACD=110︒.
故应填110︒.
【点睛】
本题考查了三角形外角的性质，熟记三角形外角的性质，并准确计算是解题的关键. 16．12【分析】根据题意证明三角形全等即可得解；【详解】如图所示由题可知∴∴∴BCD 在一条直线上∵∴△ABD 是等边三角形∴△ABD 的周长；故答案是12【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质结合等边
解析：12
【分析】
根据题意证明三角形全等即可得解；
【详解】
如图所示，
由题可知ABC ADC ≅△△，
∴30BAC DAC ∠=∠=︒，90ACB ACD ∠=∠=︒，2BC BD ==，
∴60BAD ∠=︒，180BCD ∠=︒，
∴B ，C ，D 在一条直线上，
∵60B D ∠=∠=︒，
∴△ABD 是等边三角形，
∴△ABD 的周长()33
12BD BC CD ==+=； 故答案是12．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，结合等边三角形的性质计算是解题的关键． 17．55°【分析】由∠AFD ＝145°可求得∠CFD=35°证明Rt △BDE ≌△Rt △CFD 根据对应角相等推知∠BDE=∠CFD=35°进而可求出∠EDF 的值【详解】解：∵∠DFC+∠AFD=180°∠
解析：55°
【分析】
由∠AFD ＝145°可求得∠CFD=35°，证明Rt △BDE ≌△Rt △CFD ，根据对应角相等推知∠BDE=∠CFD=35°，进而可求出∠EDF 的值．
【详解】
解：∵∠DFC+∠AFD=180°，∠AFD=145°，
∴∠CFD=35°．
又∵DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，
∴∠BED=∠CDF=90°，
在Rt △BDE 与△Rt △CFD 中，
BE CD BD CF =⎧⎨=⎩
， ∴Rt △BDE ≌△Rt △CFD （HL ），
∴∠BDE=∠CFD=35°，
∴∠EDF =180°-90°-35°=55°．
故答案是：55°．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
18．OA=OB （答案不唯一）【分析】全等三角形的判定方法有SASASAAASSSS 只要添加一个符合的条件即可【详解】解：OA=OB 理由是：在△AOC 和△BOD 中∴△AOC ≌△BOD （SAS ）故答案为：O
解析：OA=OB ．（答案不唯一）
【分析】
全等三角形的判定方法有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，只要添加一个符合的条件即可．
【详解】
解：OA=OB ，
理由是：在△AOC 和△BOD 中，
OA OB AOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△AOC ≌△BOD （SAS ）．
故答案为：OA=OB ．（答案不唯一）
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定的应用，通过做此题培养了学生的发散思维能力和对全等三角形的判定方法的灵活运用能力，题目答案不唯一，是一道比较好的题目．
19．60【分析】根据全等三角形的性质得到∠DFE=∠ACB=30°根据三角形的外角性质计算得到答案【详解】解：∵△ABC ≌△DEF ∴∠DFE=∠ACB=30°∵∠AMF 是△MFC 的一个外角∴∠AMF=∠
解析：60
【分析】
根据全等三角形的性质得到∠DFE=∠ACB=30°，根据三角形的外角性质计算，得到答案．
【详解】
解：∵△ABC ≌△DEF ，
∴∠DFE=∠ACB=30°，
∵∠AMF 是△MFC 的一个外角，
∴∠AMF=∠DFE+∠ACB=60°，
故答案为：60．
【点睛】
本题考查的是全等三角形的性质、三角形的外角性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
20．3【分析】利用三角形的面积公式求出BC 即可解决问题【详解】
∵AE ⊥BCAE ＝4△ABC 的面积为12∴×BC×AE ＝12∴×BC×4＝12∴BC ＝6∵AD 是△ABC 的中线∴CD ＝BC ＝3故答案为3【点
解析：3
【分析】
利用三角形的面积公式求出BC 即可解决问题．
【详解】
∵AE ⊥BC ，AE ＝4，△ABC 的面积为12， ∴
12×BC×AE ＝12， ∴12
×BC×4＝12， ∴BC ＝6，
∵AD 是△ABC 的中线，
∴CD ＝12
BC ＝3， 故答案为3．
【点睛】
本题考查三角形的面积，三角形的中线与高等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中基础题．
三、解答题
21．（1）6cm ；（2）不能求出DC 的长，理由见解析
【分析】
（1）根据23
AC AB =，15AB cm =及ABC 的周长为37cm ，可求得BC ，再根据三角形中线的性质解答即可；
（2）利用（1）中的方法，求得BC 的长度，然后根据构成三角形的条件，可判断出△ABC 不存在，进而可知没法求DC 的长．
【详解】
解：（1）∵23
AC AB =，15AB cm =， ∴215103
AC cm =⨯=， 又∵ABC 的周长为37cm ，
∴37AB AC BC ++=， ∴()3737151012BC AB AC cm =--=--=，
又∵AD 是BC 边上的中线， ∴()1112622
BD BC cm ==⨯=； （2）不能，理由如下： ∵23AC AB =
，14AC cm =，
∴()314212
AB cm =⨯=， 又∵
ABC 的周长为37cm ，
∴37AB AC BC ++=， ∴()373721142BC AB AC cm =--=--=，
∴BC+AC=16<AB=21，
∴不能构成三角形，故不能求出DC 的长．
【点睛】
此题考查三角形的中线、三角形的周长、构成三角形的条件，关键是根据三角形中线的性质解答．
22．（1）见解析；（2）60°．
【分析】
（1）利用ASA 证明△BAE ≌△CED ，可证AE=DE ，后利用∠BAE+∠BEA=90°，证明∠BEA+∠CED=90°，问题得证；
（2）利用直角三角形的两个锐角互余，求解即可．
【详解】
（1）∵90B C ∠=∠=︒，BAE CED ∠=∠，且AB CE =，
∴△BAE ≌△CED ，
∴AE=DE ，
∵∠BAE+∠BEA=90°，
∴∠BEA+∠CED=90°，
∴∠AED=90°，
∴△AED 是等腰直角三角形；
（2）∵2CDE BAE ∠=∠，BAE CED ∠=∠，
∴2CDE CED ∠=∠，
∵∠CDE+∠CED=90°，
∴∠CDE=60°．
【点睛】
本题考查了三角形的全等，等腰直角三角形的定义，直角三角形的锐角互余的性质，根据图形，结合条件选择对应判定方法，根据性质构造基本的计算等式是解题的关键． 23．（1）A （3，0），B （0，6）；（2）①BG ⊥y 轴，理由见解析；②
32
． 【分析】
（1）根据非负性列出关于,m n 的二元一次方程组求解即可；
（2）①先证明△BDG ≌△ADF ，得出BG=AF ，∠G=∠DFA ，根据平行线的性质得出∠DFA=45°，∠G=45°，最后根据同角的余角相等及对顶角相等即可得出结论； ②利用等腰三角形的性质，建立方程即可得出结论．
【详解】
解：（1）由n 2﹣12n+36+|n ﹣2m|=0
得：（n ﹣6）2+|n ﹣2m|=0
6020n n m -=⎧∴⎨-=⎩
解得：63n m =⎧⎨=⎩
． ∴A （3，0），B （0，6）．
（2）①BG ⊥y 轴．
在△BDG 与△ADF 中，BD DA BDG FDA DG DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△BDG ≌△ADF ．
∴BG =AF ，∠G =∠DFA ．
∵OC 平分∠AOB ，
∴∠COA =45°．
∵DE ∥OC ，
∴∠DFA =45°，∠G =45°．
∵∠FOE =90°，
∴∠FEO=45°．
∵∠BEG =45°，
∴∠EBG =90°．
即BG 与y 轴垂直．
②由①可知，BG=FA ，△BGE 为等腰直角三角形．
∴BG=BE ．
设OF=x ，则有OE=x ，3+x=6﹣x ， 解得32x =
． 即：OF=32
． 【点睛】
本题考查了非负性的性质、全等三角形的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
24．（1）60A ∠=︒；（2）证明见解析．
【分析】
（1）根据平行线的性质可得80ADE ABC ∠=∠=︒，再根据三角形内角和定理即可求得A ∠的度数；
（2）根据三角形外角的性质可得BFD EDF DEF ∠=∠+∠，再结合
180BFD CEF ∠+∠=︒可得180EDF DEC ∠+∠=︒，根据两直线平行同旁内角互补即可证明结论．
【详解】
解：（1）∵//DE BC ，80ABC ∠=︒，
∴80ADE ABC ∠=∠=︒，
∵40AED ∠=︒，
∴18060AE A ADE D ∠=︒-∠=∠-︒；
（2）∵BFD EDF DEF ∠=∠+∠,180BFD CEF ∠+∠=︒，
∴180EDF DEF CEF ∠+∠+∠=︒，即180EDF DEC ∠+∠=︒，
∵//DE BC ，
∴180C DEC ∠+∠=︒，
∴EDF C ∠=∠．
【点睛】
本题考查三角形外角的性质，平行线的性质，三角形内角和定理．能正确理解定理，根据图形得出角度之间的关系是解题关键．
25．（1）∠ADE=∠ADF ；证明见解析；（2）AE=AF ；证明见解析．
【分析】
（1）∠ADE=∠ADF ，根据DE ⊥AB ，DF ⊥AC 及AD 为∠BAC 的角平分线，即可证得∠ADE=∠ADF ；
（2）AE=AF ，根据（1）可知证明△AED ≌△AFD ，即可证得AE=AF ．
【详解】
（1）结论1：∠ADE=∠ADF ，证明如下：
∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，
∴∠AED=∠AFD=90︒，
∵AD 为∠BAC 的角平分线，
∴∠EAD=∠FAD ，
∴∠ADE=∠ADF ；
（2）结论2：AE=AF ，证明如下：
由（1）可知：△AED ≌△AFD ，
∴AE=AF ．
【点睛】
本题考查全等三角形的性质和判定，解题的关键是灵活运用全等三角形的判定和性质解决问题．
26．（1）证明见解析；（2）120︒．
【分析】
（1）先根据角平分线的定义可得ACB FCE ∠=∠，再根据三角形全等的判定定理与性质即
可得证；
（2）先根据平行线的性质可得B FCE ∠=∠，从而可得E FCE B ACB ∠∠=∠=∠=，再根据直角三角形的性质可得30ACB ∠=︒，然后根据三角形的内角和定理即可得．
【详解】
（1）CB 为ACE ∠的角平分线，
ACB FCE ∴∠=∠， 在ABC 和FEC 中，B E ACB FCE CA CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()ABC FEC AAS ∴≅，
AB FE ∴=；
（2）//AB CE ，
F E B C ∴∠=∠，
E FCE B B AC ∠=∴∠=∠∠=，
ED AC ⊥，即90CDE ∠=︒，
90E FCE ACB ∠∠+∠∴+=︒，即390ACB ∠=︒，
解得30ACB ∠=︒，
30B ∴∠=︒，
180120B A ACB ∠=︒-∠=∴∠-︒．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义、三角形全等的判定定理与性质、三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握三角形全等的判定定理与性质是解题关键．。