高中数学 第一章 坐标系 第3节 第2课时 直线的极坐标方程教学案 4数学教学案

第2课时 直线的极坐标方程
[核心必知]
直线的极坐标方程
1．当直线l 过极点，从极轴到l 的角是α，则l 的方程为：θ＝α(ρ∈R )．
2．当直线l 过点M (a ，0)且垂直于极轴时，l 的方程为ρcos_θ＝a ．
3．若直线经过点M (ρ0，θ0)，且从极轴到此直线的角为α，则直线l 的极坐标方程为：ρsin_(θ－α)＝ρ0sin_(θ0－α)．
[问题思考]
1．在直线的极坐标方程中，ρ的取值范围是什么？ 提示：ρ的取值范围是全体实数，即ρ∈R .
2．在极坐标系中，点M (ρ，θ)与点P (－ρ，θ)之间有什么关系？
提示：若ρ<0，则－ρ>0，因此点M (ρ，θ)与点P (－ρ，θ)关于极点对称．
求过点A ⎝
⎛⎭⎪⎫2，π4且平行于极轴的直线的极坐标方程． [精讲详析] 本题考查直线的极坐标方程的求法，解题的关键是通过解直角三角形得到动点M 的等式．然后转化为关于ρ，θ的等式．
如图所示，设M (ρ，θ)为直线l 上的任意一点．
过点M 作MH ⊥x 轴，
∵A (2，π4)， ∴|MH |＝2sin π4＝ 2. 在Rt △OMH 中，|MH |＝|OM |sin θ，即ρsin θ＝ 2.
∴过点A (2，π4
)且平行于极轴的直线的极坐标方程为 ρsin θ＝ 2. ——————————————————
求直线极坐标方程的步骤：
(1)设(ρ，θ)为直线上任一点的极坐标．
(2)写出动点满足的几何条件．
(3)把上述条件转化为ρ，θ的等式．
(4)化简整理．
1．若将例题中的“平行”改为“垂直”，如何求解？ 解：
如图所示，在直线l 上任意取点M (ρ，θ)，∵A (2，π4
)， ∴|OH |＝2cos π4
＝ 2. 在Rt △OMH 中，
|OH |＝|OM |cos θ，
∴2＝ρcos θ，即ρcos θ＝ 2.
∴过A (2，π4
)且垂直于极轴的直线方程为ρcos θ＝ 2.
求出下列直线的极坐标方程． (1)过定点M (ρ0，θ0)，且与极轴成α弧度的角； (2)过定点M (ρ0，θ0)，且与直线θ＝θ0垂直．
[精讲详析] 本题考查直线的极坐标方程的求法．解答本题需要根据已知条件画出极坐标系，然后借助平面几何的知识建立ρ与θ间的关系．
(1)设P (ρ，θ)为直线上任意一点(如图)，且记∠OPM ＝∠1， ∠OMP ＝∠2，
则∠1＝α－θ，∠2＝π－(α－θ0)．
在△OMP 中应用正弦定理：
ρsin ∠2＝ρ0
sin ∠1
， 即ρ＝ρ0·sin （π－∠2）sin ∠1
＝ρ0·sin （α－θ0）sin （α－θ）
. 即直线方程为ρsin (θ－α)＝ρ0sin (θ0－α)．
(2)设P (ρ，θ)为直线上任意一点(如图)，由△OMP 为直角三角形，显然有，ρcos (θ－θ0)＝ρ0.这就是所求直线方程． —————————————————— 对比直角坐标系中直线的方程，可将(1)看成是直线方程的点
斜式，不难验证当θ0＝0，α＝π2
时，直线(1)即ρcos θ＝ρ0；当θ0＝π2
，α＝0时，即ρsin θ＝ρ0.
2．(上海高考)
如图，在极坐标系中，过点M (2，0)的直线l 与极轴的夹角α＝π6.若将l 的极坐标方程写成ρ＝f (θ)的形式，则f (θ)＝________．
解析：在直线l 上任取点P (ρ，θ)，在△OPM 中，由正弦定
理得OM sin ∠OPM ＝OP
sin ∠OMP ，即2sin （π6－θ）＝ρsin 5π6
，化简得ρ＝1sin （π6－θ），故f (θ)＝1sin （π6
－θ）. 答案：1sin （π6
－θ） 已知⊙C ：ρ＝2cos θ，直线l ：ρcos θ－ρsin θ＝4，求过点C 且与直线l 垂直的直线的极坐标方程．
[精讲详析] 本题考查极坐标与直角坐标的互化及直线极坐标方程的求法．解答本题需要先求出直线的一般方程，然后化一般方程为极坐标方程即可．
⊙C 的直角坐标方程是x 2＋y 2－2x ＝0，
即(x －1)2＋y 2＝1.
直线l 的直角坐标方程为x －y －4＝0.
圆心C (1，0)，
所以过点C 与l 垂直的直线方程为x ＋y －1＝0.
化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ－1＝0，
即ρcos (θ－π4)＝22
. ——————————————————
解答此类问题应先将已知条件中的极坐标方程化为直角坐标方程，然后在直角坐标系下研究所要求解的问题，最后再将直角坐标方程转化为极坐标方程即可．
3．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，求曲线ρ(cos θ＋sin θ)＝1与ρ(sin θ－cos θ)＝1的交点的极坐标．
解：由ρ(cos θ＋sin θ)＝1，得x ＋y ＝1；
由ρ(sin θ－cos θ)＝1，得y －x ＝1.
由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1y －x ＝1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1.
∴两条直线的交点的直角坐标为(0，1)，
化为极坐标为(1，π2
)． 直线的极坐标方程与直角坐标方程的转化及直线与圆的位置关系的判断是高考命题的重点内容．陕西高考以填空题的形式考查了直线和圆的极坐标方程以及直线与圆的位置关系．
[考题印证]
(陕西高考)直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长为________．
[命题立意] 本题主要考查直线和圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化以及直线与圆的位置关系．
[解析] 直线的方程为2x ＝1，圆的方程为x 2＋y 2
－2x ＝0，圆
心为(1，0)，半径r ＝1，圆心到直线的距离为d ＝|2－1|22＋0＝12，设所求的弦长为l ，则12
＝(12)2＋(l 2)2，解得l ＝ 3. 答案：3
一、选择题
1．极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是
( )
A ．两个圆
B ．两条直线
C ．一个圆和一条射线
D ．一条直线和一条射线
解析：选C 由(ρ－1)(θ－π)＝0得ρ＝1或θ＝π， 又ρ ≥0，
故该方程表示的图形是一个圆和一条射线．
2．在极坐标系中与圆ρ＝4sin θ相切的一条直线的方程为
( )
A ．ρcos θ＝2
B ．ρsin θ＝2
C ．ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3
D ．ρ＝4sin ⎝
⎛⎭⎪⎫θ－π3 解析：选A ρ＝4sin θ的普通方程为x 2＋(y －2)2
＝4，ρcos θ＝2的普通方程为x ＝2，圆x 2＋(y －2)2＝4与直线x ＝2显然相切．
3．直线θ＝α和直线ρsin(θ－α)＝1的位置关系是( )
A ．垂直
B ．平行
C ．相交但不垂直
D ．重合
解析：选B 直线θ＝α化为直角坐标方程为y ＝x tan α，ρsin(θ－α)＝1化为
ρsin θcos α－ρcos θsin α＝1，
即y ＝x tan α＋1cos α
. 所以两直线平行．
4．在极坐标系中，曲线ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3关于( )
A ．直线θ＝π3对称
B ．直线θ＝5π6
对称 C ．点⎝
⎛⎭⎪⎫2，π3对称 D ．极点对称 解析：选B 由方程ρ＝4sin (θ－π3
)，得ρ2＝2ρsin θ－23ρcos θ，
即x 2＋y 2＝2y －23x .
配方，得(x ＋3)2＋(y －1)2＝4.
它表示圆心在(－3，1)、半径为2、且过原点的圆．
所以在极坐标系中，它关于直线θ＝5π6
成轴对称． 二、填空题
5．(北京高考)在极坐标系中，点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6到直线ρsin θ＝2
的距离等于________．
解析：由题意知，点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6的直角坐标是(3，1)，直线ρsin
θ＝2的直角坐标方程是y ＝2，所以所求的点到直线的距离为1.
答案：1
6．在极坐标系中，圆ρ＝4被直线θ＝π4
分成两部分的面积之比是________．
解析：∵直线θ＝π4
过圆ρ＝4的圆心， ∴直线把圆分成两部分的面积之比是1∶1.
答案：1∶1
7．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，曲线ρ＝2sin θ与ρcos θ＝－1的交点的极坐标为________．
解析：由ρ＝2sin θ，得ρ2
＝2ρsin θ，
其普通方程为x 2＋y 2＝2y ， ρcos θ＝－1的普通方程为x ＝－1，
联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝2y x ＝－1
， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝1，点(－1，1)的极坐标为(2，3π4
)． 答案：(2，3π4
) 8．在极坐标系中，定点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2，点B 在直线l ：ρcos θ＋
ρsin θ＝0上运动，当线段AB 最短时，点B 的极坐标是________．
解析：
将ρcos θ＋ρsin θ＝0化为直角坐标方程为x ＋y ＝0，点
A (1，π2
)化为直角坐标得A (0，1)，如图，过A 作AB ⊥直线l 于B ，因为△AOB 为等腰直角三角形，又因为|OA |＝1，
则|OB |＝22，θ＝3π4，故B 点的极坐标是B (22，3π4
)． 答案：(22，3π4
) 三、解答题
9．求过(－2，3)点且斜率为2的直线的极坐标方程． 解：由题意知，直线的直角坐标方程为y －3＝2(x ＋2)， 即：2x －y ＋7＝0，
设M (ρ，θ)为直线上任意一点，
将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入直角坐标方程
2x －y ＋7＝0得：2ρcos θ－ρsin θ＋7＝0，
这就是所求的极坐标方程．
10．在极坐标系中，圆C ：ρ＝10cos θ和直线l ：3ρcos θ－4ρsin θ－30＝0相交于A 、B 两点，求线段|AB |的长．
解：分别将圆C 和直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程： 圆C ：x 2＋y 2＝10x ，即(x －5)2＋y 2＝25，圆心C (5，0)． 直线l ：3x －4y －30＝0.
因为圆心C 到直线l 的距离d ＝|15－0－30|5
＝3. 所以|AB |＝225－d 2＝8.
11．在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：
ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22
， (1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；
(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标． 解：(1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2
＝ρcos θ＋ρsin θ，圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝x ＋y ，
即x 2＋y 2－x －y ＝0.
直线l ：ρsin (θ－π4)＝22
， 即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的直角坐标方程为y －x ＝1.
即x －y ＋1＝0.
(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1.故直线l 与圆O 公共点的
一个极坐标为(1，π2)．。