考研数学二(解答题)模拟试卷183(题后含答案及解析)

考研数学二（解答题）模拟试卷183(题后含答案及解析)
题型有：1.
1．设3阶矩阵A=(α1，α2，α3)，｜A｜=1，B=(α1+α2+α3，α1+2α2+3α3，α1+4α2+9α3)，求｜B｜．
正确答案：B=(α1+α2+α3，α1+2α2+3α3，α1+4α2+9α3)=(α1，α2，α3)｜B｜=｜α1，α2，α3｜=2．涉及知识点：矩阵
2．设f(x)在(0，1)内有定义，且exf(x)与e-f(x)在(0，1)内都是单调增函数，证明：f(x)在(0，1)内连续．
正确答案：对任意的c∈(0，1)，当x＜c时，由exf(x)≤ecf(c)及e-f(x)≤e-f(x)得f(c)≤f(x)≤ec-xf(c)，令x→c-得f(c一0)=f(c)；当x＞c时，由exf(x)≥exf(c)及e-f(x)≥e-f(c)得f(c)≥f(x)≥ec-xf(c)，令x→c+得f(c+0)=f(c)，因为f(c-0)=f(c+0)=f(c)，所以f(x)在x=c处连续，由c的任意性得f(x)在(0，1)内连续．涉及知识点：高等数学
3．若＝0，求．
正确答案：得＝36 涉及知识点：函数、极限、连续
4．设矩阵A＝，矩阵B满足(A*)-1BA*＝BA*＋8A，其中A*为A的伴随矩阵，求矩阵
B．
正确答案：(A*)-1＝A＝A，给题设方程两端右乘(A*)-1＝A，得AB＝B ＋8A2，涉及知识点：矩阵
5．设二次型f(x1，x2，x3)=x12+5x22+2x32+4x1x2+2x1x3+2ax2x3的秩为2，求常数a。

正确答案：二次型f的矩阵A=。

因为二次型f的秩为2，所以R(A)=2，而因此由1—(a—2)2=0，解得a=3或1。

涉及知识点：二次型
6．设u=u(x，y，z)连续可偏导，令(1)若，证明：u仅为θ与φ的函数．(2)若，证明：u仅为r的函数．
正确答案：(1)因为所以u是不含r的函数，即u仅为θ与φ的函数．(2)因为从而=t(r2cos2θcosφsinχ)+t(r2sin2θcosφsinφ)+t(-r2sinφcosφ)=0，故u仅是r的函数，即u不含θ与φ．涉及知识点：高等数学
7．假设：①函数y=f(x)(0≤x≤+∞)满足条件f(0)=0和0≤f(x)≤ex一1；
②平行于y轴的动直线MN与曲线y=f(x)和y=ex一1分别相交于点P1和P2；
③曲线y=f(x)，直线MN与x轴所围成的封闭图形的面积S恒等于线段P1P2的长度。

求函数y=f(x)的表达式。

正确答案：由题设可得∫0xf(x)dx=ex一1一f(x)，两端求导，得f(x)=ex-f’(x)，即有f’(x)+f(x)=ex。

由一阶线性方程求解公式，得由f(0)=0得，因此所求函数为涉及知识点：常微分方程
8．设矩阵A与B相似，且求可逆矩阵P，使得P一1AP=
B．
正确答案：由于A—B，则有，于是得a=5，b=6．且由A一B，知A与B 有相同的特征值，于是A的特征值是λ1=λ2=2，λ3=6．当λ=2时，解齐次线性方程组(2E—A)x=0得到基础解系为α1=(1，一1，0)T，α2=(1，0，1)T，即属于λ=2的两个线性无关的特征向量．当λ=6时，解齐次线性方程组(6E—A)x=0，得到基础解系是(1，一2，3)T，即属于λ=6的特征向量．那么，令，则有P一1AP=
B．涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量
9．设f(χ)在(a，b)内可导，且＝A．求证：存在ξ∈(a，b)使得f′(ξ)＝0．
正确答案：设g(χ)＝则g(χ)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且g(a)＝g(b)，把罗尔定理用于g(χ)即知存在ξ∈(a，b)使得g′(ξ)＝f′(ξ)＝0．涉及知识点：微分中值定理及其应用
10．证明方程lnχ＝在(0，＋∞)内有且仅有两个根．
正确答案：，令f(χ)＝lnχ－，令f′(χ)＝＝0，得χ＝e，因为f〞(e)＝－，所以f(e)＝2＞0为f(χ)的最大值，又因为f(χ)＝－∞，f(χ)＝－∞，所以f(χ)＝在(0，＋∞)内有且仅有两个实根．涉及知识点：一元函数微分学
11．∫χtanχsec4χdχ
正确答案：∫χtanχsec4χdχ＝∫χsec3χd(secχ) 涉及知识点：不定积分
12．已知I(α)=∫0π，求积分∫一32I(α)dα．
正确答案：(1)当a≠0，±1时，涉及知识点：一元函数积分学
13．设A为n阶可逆矩阵，A*为A的伴随矩阵，证明：(A*)T=(AT)*。

正确答案：因为A可逆，所以｜A｜=｜AT｜，且AA-1=E。

在AA-1=E两边同时取转置可得(A-1)TAT=E，即(AT)-1=(A-1)T，所以(A*)T=(｜A｜A-1)T=｜A｜(A-1)T=｜AT｜(AT)-1=(AT)*。

涉及知识点：矩阵
14．设曲线=1(0
正确答案：曲线与x轴和y轴的交点坐标分别为(a，0)，(0，b)，其中b=4-a．曲线可化为y=，对任意的[x，x+dx][0，a]，dV2=2πx．ydx=2πxdx于是V2=2π∫0a．，根据对称性，有V1=于是V(a)=V1(a)+V2(a)=(4-a)．令V’(a)=(4-2a)=0a=2，又V”(2) 涉及知识点：高等数学部分
15．求
正确答案：因为[ln(tanχ)]′＝，所以＝∫ln(tanχ)d[ln(tanχ)]＝ln2(tan χ)＋
C．涉及知识点：一元函数积分学
设A为n阶非奇异矩阵，a为n维列向量，b为常数．记分块矩阵其中A*是矩阵A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵．
16．计算并化简PQ；
正确答案：涉及知识点：线性代数
17．证明：矩阵Q可逆的充分必要条件是αTA-1α≠b．
正确答案：由上题得故Q可逆涉及知识点：线性代数
18．设f(x)=存在，求a．
正确答案：f(0-0)=f(0+0)=因为存在，所以f(0-0)=f(0+0)，故a= 涉及知识点：函数、极限、连续
19．设二维非零向量口不是二阶方阵A的特征向量．(1)证明α，Aα线性无关；(2)若A2α＋Aα－6α＝0，求A的特征值，讨论A可否对角化．
正确答案：(1)若α，Aα线性相关，则存在不全为零的数k1，k2，使得k1α＋k2Aα＝0，可设k2≠0，所以Aα＝－α，矛盾，所以α，Aα线性无关．(2)由A3α＋Aα－6α＝0，得(A2＋A－6E)α＝0，因为α≠0，所以r(A2＋A －6E)＜2，从而｜A2＋A－6E｜＝0，即｜3E＋A｜.｜2E－A｜＝0，则｜3E ＋A｜＝0或｜2E－A｜＝0．若｜3E＋A｜≠0，则3E＋A可逆，由(3E＋A)(2E－A)α＝0，得(2E－A)α＝0，即Aα＝2α，矛盾；若｜2E－A｜≠0，
则2E－A可逆，由(2E－A)(3E＋A)α＝0，得(3E＋A)α＝0，即Aα＝－3α，矛盾，所以有｜3E＋A｜＝0且｜2E－A｜＝0，于是二阶矩阵A有两个特征值－3，2，故A可对角化．涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量
20．设某产品在时期t的价格、总供给与总需求分别为Pt，St与D。

，并设对于t＝0，1，2，…，有(1)St＝2Pt＋1 (2)Dt＝－4Pt－1＋5 (3)St＝Dt(Ⅰ)求证：由(1)、(2)、(3)可推出差分方程Pt＋1＋2Pt＝2；(Ⅱ)已知P。

时，求上述方程的解．
正确答案：。