台湾数学能力竞赛决赛

2007年台湾数学能力竞赛决赛
笔试一 1. 试求使
x
z z y y x ++
+++2006
20062006为整数的正整数解 2. ()x p 为一整系数多项式，a 、b 为两相异整数，()1a a p =，()21a a p =，…，()20062005a a p =，
()1b b p =，()21b b p =，…，()20062005b b p =，若a a =2006、b b =2006，且a a ≠1003，b b ≠1003，
试证：当b a <时，10031003b a >
3. 锐角ABC ∆，BC 上有一点D ，CA 上有一点E ，AB 上有一点F ，试证：存在唯一一组解，
使ABC AEF ∆∆~，BAC BDF ∆∆~，CAB CDE ∆∆~
笔试二
4. 给定ABC ∆与其外接圆，令P 为劣弧BC 上之一点，异于B 、C ，连AP 交BC 于Q ，试求
QP
AQ
的最小值。

（︒=∠︒=∠45,60B A ）
5. 有一正整数列1，2，3，…，2n －1、2n ，现从中挑出n 个数，从大到小排列依次为a 1，a 2，…，
a n ，另n 个数从小到大排列依次为
b 1，b 2，…，b n ，求n n b a b a b a -++-+- 2211之所有可能的值
6. a 、b 、c 为正实数，试证明：10
39992
2
2
≥
++
++
+ab
c c ca
b b bc
a a
详解
1. 引理：Q c b a ∉++，只要c or b or a 不为有理数即可
设q c b a =++为一有理数，但c b a ,,
皆不为有理数。

因 c c q q ab b a +-=++222c q b a c q ab t
222
---+=⇒
令為
则 c q c qt t ab 2
2
424+-=qt
c
q t ab c 24422++-=⇒唯一有理数，矛盾。

故
Q y
x ∈+2006，令212006k z y =+，2
22006k x z =+，232006k y x =+ 321111k k k ++⇒
为正整数，则11113
21=++k k k 或2或3 故共有8组解
2. 设()()x p x f 1003=，()x f 亦为整系数多项式
()()()()⎪⎩⎪⎨⎧-=--
-=--⇒b a b f a f b a b a b f a f b a 100310031003100310031003 ()10031003b a b a -±=-⇒
故10031003b a b a -=- 或 10031003b a b a +-=- (1)
又()()()()⎪⎩⎪⎨⎧-=---=--100310031003
100310031003b a b f a f b a b
a b f a f b a ()b a b a -±=-⇒10031003
故10031003b a b a +=+ 或 10031003b a b a +-=- (2)
欲使(1)(2)同时成立，唯有()10031003b a b a --=-，故10031003b a > 3. 作三高之垂足，显然成立。

设三垂足分别为D 0，E 0，F 0，若有一D 异于D 0合条
件，欲使BAC BDF ∆∆~，则00//F D DF ，于是
ACB D BF BFD ∠=∠=∠00，同理00//E D DE
于是，若D 在D 0左侧，则E ，F 也在左侧
EF ⇒与00F E 相交，故不平行
ACB E AF AFE ∠=∠≠∠⇒00，不符合要求。

D
D 0
B
若在右侧亦然，故D 0，E 0，F 0为唯一。

4. 设θ=∠CAP ，A 、B 、P 、C 四点共圆
θ-︒=∠=∠⇒60BAP BCP
由
正
弦
定
理
，
)
1(s i n
75sin θCQ
AQ =︒，
())2(45sin 60sin ︒
=-︒CQ
PQ θ
)2()1(()
()134
141
3260cos 21214
1360sin sin 75sin 45sin +=+≤
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-︒--+=
-︒⋅︒⋅︒=θθθPQ AQ
5. 令n +1、n +2、n +3、…、2n 为大数，1、2、3、…、n 为小数。

设i a 中必也有n －k 个小数，则i b 中必有n －k 个大数，k 个小数， 其中Z ∈≤≤=k n k n i ,0,,3,2,1
令a 1，a 2，…，a k ，b k +1，b k +2，…，b n 为大数， b 1，b 2，…，b k ，a k +1，a k +2，…，a n 为小数。

()()()()()()()()()()()2
22112211221122112211321221 n n n n n b a a b a b b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a n n k k k k k k n
n k k k k k k n
n =++++-+++++=-++-+-+-++-+-=-++-+-+-++-+-=-++-+-++++++++ 故 6. 令103
92
⨯++≥+t t t t c
b a a b
c a a
()
bc a a c b a t t t
t t 2222
81910-+≥++⇔
(
)
bc a c
b
a
a c c
b b a
c b a t t t
t
t
t t
t t
t t
t
t
2281
1
60604222281812020201010-≥⋅⋅≥+++++⇔
当⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=181
602281
42
t t t 时，不等式恒成立，
故
10
3920
2720
2720
27
20272⨯
++≥
+c
b a
a bc
a a ，
P
同理
10
3
920
2720
2720
2720272⨯
++≥+c
b a
b
ca
b b ， 10
3920
2720
2720
2720272⨯
++≥+c
b a
c
ab
c c 则 10
39992
2
2
≥
++
++
+ab
c c ca
b b bc
a a。