导数在研究函数中的应用

导数在研究函数中的应用
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学习目标：
1．会从几何直观了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间
2．了解函数在某点取得极值的必要条件(导数在极值点两端异号)和充分条件
（）；会用导数求函数的极大值、极小值（多项式函数一般不超过三次）.
3．会求闭区间上函数的最大值、最小值（多项式函数一般不超过三次）.
重点：利用导数判断函数的单调性；会求一些函数的极值与最值。

难点：函数极值与最值的区别与联系.利用导数在解决函数问题时有关字母讨论的问题.
学习策略：
①理解导函数的符号与函数单调性之间的必然关系。

②数形结合，体会函数极值与最值的含义。

③紧紧抓住导函数为0的点，讨论函数的单调区间、极值和最值。

知识要点梳理：仔细阅读教材3.3函数的单调性与导数
一. 知识点一：函数的单调性
(一) 导数的符号与函数的单调性：
一般地，设函数在某个区间内有导数，则在这个区间上，
①若，则在这个区间上为增函数；②若，则在这个
区间上为减函数；③若恒有，则在这一区间上为常函数.
反之，若在某区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；
若在某区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）．
（二）利用导数求函数单调性的基本步骤：
1. 确定函数的定义域；
2. 求导数；
3. 在定义域内解不等式，解出相应的x的范围；当时，
在相应区间上为增函数；当时在相应区间上为减函数.或者令
，求出它在定义域内的一切实数根。

把这些实数根和函数的间断点（即的无定义点）的横坐标按从小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间，判断在各个小区间内的符号。

4. 写出的单调区间.
（三）试一试：认真阅读课本例题1,2,3体会如何用运导数求函数的单调区间，完成下面例题：已知函数32
=-+求()
f x x x x
()44
f x的单调区间；
二. 知识点二：函数的极值
（一）函数的极值的定义
一般地，设函数在点及其附近有定义，
（1）若对于附近的所有点，都有，则是函数的一个极大值，记作；
（2）若对附近的所有点，都有，则是函数的一个极小值，记作.
极大值与极小值统称极值.
在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值.
（二）求函数极值的的基本步骤：
①确定函数的定义域；②求导数；③求方程的根；
④检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法)
（三）试一试：认真阅读例题4并完成以下例题，已知函数32
=-+
()44
f x x x x
求()
f x的极值
三. 知识点三：函数的最值 （一） 函数的最大值与最小值定理 若函数
在闭区间
上连续，则
在
上必有最大值和最小值；在开
区间内连续的函数不一定有最大值与最小值.如.
注意：
①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得。

②函数的极值可以有多个，但最值只有一个。

（二）求函数最值的的基本步骤： 若函数在闭区间
有定义，在开区间
内有导数，则求函数在
上的最大值和最小值的步骤如下：（1）求函数
在内的导数
；
（2）求方程在
内的根；（3）求在
内使
的所有点的函数值和
在闭区间端点处的函数值
，
；（4）比较上面所求的值，其中最大者为函数
在闭区间
上的最大值，最小者为函数 在闭区间
上的最小值.
（三）试一试：认真阅读例题5完成以下例题 。

求函数3
2
()44f x x x x =-+在⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡2
5,0上
的最大值和最小值。

四. 思考：最值与极值的区别与联系
①函数的最大值和最小值是比较整个定义域上的函数值得出的（具有绝对性），是整个定义域上的整体性概念。

最大值是函数在整个定义域上所有函数值中的最大值；最小值是函数在整个定义域上所有函数值中的最小值.函数的极大值与极小值是比较极值点附近两侧的函数值而得出的（具有相对性）， 是局部的概念； ②极值可以有多个，最大(小)值若存在只有一个；极值只能在区间内取得，不能在区间端点取得；最大（小）值可能是某个极大（小）值，也可能是区间端点处的函数值； ③有极值的函数不一定有最值，有最值的函数未必有极值，极值可能成为最值.
五.反馈练习 1.若函数)0((2
>+=
a a
x x x f ）在[)+∞,1上的最大值为
3
3，则a 的值为 。

2.已知函数2
1()l n 2
f x x b x =-+在区间(1,)
+∞上是减函数，则b 的取值范围是 .
3.已知x x x f ln 2(=），3)(2-+-=ax x x g 。

（1）求函数）x f (的最小值；
（2）若存在),,0(+∞∈x 使)((x g x f ≤）成立，求实数a 的取值范围； （3）证明对一切),,0(+∞∈x 都有)2(
2(e
e
x x f x
-
>）成立。

4.已知函数32()4f x x x ax =--在(1,2)上为减函数，在),2(+∞上为增函数，求实数a 的值。

5.已知函数2()()2f x x x c x =-=在处有极小值，求实数c 的值。

6.设函数32()44f x x x x =-+，是否有对任意],2
5
,0[,21∈x x 不等式
()123()2
f x f
x -<
恒成立？说明理由。

六.课堂小结
1.本节课我们利用导数可以解决三类基本问题:
(1)._____________； (2)._____________； (3).______________.
2.本节课的疑惑是
3.我对导学案的建议是。