高考数学压轴题(教师版(文))

（ -2， 0）及 AB 的中点， 求直线 l 在 y 轴上的截距 b 的取值范围；
（Ⅲ）若 Q 是双曲线 C 上的任一点， F1F2 为双曲线 C 的左， 右两个焦点， 从
F1 引 F1QF2 的平分线的垂线， 垂足为 N ， 试求点 N 的轨迹方程．
9．解：（Ⅰ）设双曲线 C 的渐近线方程为 y=kx ， 则 kx-y=0
3．如图， 已知点 F（ 0， 1）， 直线 L ： y=-2， 及圆 C： x 2 ( y 3) 2 1 。
（ 1） （ 2）
（ 3）
若动点 M 到点 F 的距离比它到直线 L 的距离小 1， 求动点 M 的轨迹 E 的方程； 过点 F 的直线 g 交轨迹 E 于 G（x1 ， y1）、 H（ x 2， y2）两点， 求证： x1x2 为 定值； 过轨迹 E 上一点 P 作圆 C 的切线， 切点为 A 、B， 要使四边形10 PACB 的面积 S 最小， 求点 P 的坐标及 S 的最小值。
4分
（Ⅱ）由
y x2
mx y2
1 得 (1
1
m2 ) x2
2mx 2
0．
令 f ( x) (1 m 2 )x 2 2mx 2
直线与双曲线左支交于两点，
等价于方程 f(x)=0 在 (
,0) 上有两个不等实根．
0
2m
因此
1 m2
0
解得 1 m
2．
2 1 m2 0
又 AB 中点为
( 1
m
m2
, 1
1 )， m2
g（ x）的最大值 g（1） =t－ 1=1,得 t=2 （不合题意 ,舍去）
② 当 0≤ t≤ 3 时 , g ' x
3x2 t
令 g ' x =0,得 x= t 3
列表如下 :
x
g' x
g（x）
（0, t ） 3
＋
↗
t 3
0
极大值
( t ,1] 3
－
↘
g（ x）在 x= t 处取最大值－ 3
3
t
（ 2）令 f ' x =3x 2－ 6x=0 得 x=0 或 x=2
∵ f （0） =1， f（ 2） =23－ 3×22＋ 1= － 3 f （－ 1） =－ 3， f（ 4） =17 ∴ x∈ [－ 1， 4] ， － 3≤f （ x）≤ 17 要使 f （ x）≤ A － 1987 对于 x∈ [ － 1， 4]恒成立， ∴ A ≥ 2004。
则 f（ x）的最大值 17≤ A －1987
（ 1） 已知 g（ x） =－ x 3 3 x 2 1
3x 2 tx 1
4
x3 tx
∴ g' x
3x 2 t
∵ 0＜ x≤ 1， ∴－ 3≤－ 3x2＜ 0，
① 当 t＞3 时， t－ 3x2＞0， 即 g ' x 0
∴ g（ x）在 (0.1] 上为增函数，
3a( a 0), an 1
a
2 n
a2
2an
, 设bn
an an
a a
6
（ 1）求数列 {b n} 的通项公式；
（ 2）设数列 {b n} 的前项和为 Sn，
8.（ 1） bn
1 2n 1
试比较 Sn 与 7 的大小， 8
并证明你的结论 .
（ 2） Sn
7 8
1 ( 24
1 28
1 216
1 1 11 1 1
∵该直线与圆 x2 ( y 2 ) 2 1 相切，
∴双曲线 C 的两条渐近线方程为 y=± x．………………………………………… 2 分
故设双曲线 C 的方程为 x 2 y 2 1． a2 a2
又双曲线 C 的一个焦点为 ( 2 ,0)
∴ 2a 2 2 ， a 2 1 ．
∴双曲线 C 的方程为 x 2 y 2 1 ．………………………………………………
|A 1B 1|2＝
4b 2 4ac a2
4(a c) 2 4ac a2
3
42 2 a2 (a c ac) 4 ( c )2 c 1 (**)
aa
abc 0
∵
ab
2a c 0 ， 而 a＞ 0， ∴ c 2 a
abc 0
∵
cb
a 2c 0， ∴ c 1 a2
∴2 c 1 a2
∴ 4［（ c ） 2＋ c ＋ 1］∈（ 3，
5
︱是 2 和 PM PN 的等比中项。
（ 1） 求动点 P 的轨迹方程， 并指出方程所表示的曲线； （ 2） 若以点 M 、 N 为焦点的双曲线 C 过直线 x+y=1 上的点 Q， 求实轴最长的双曲线
C 的方程。
7、解 :（ 1）设动点的坐标为 P（x,y ） ,则 H（ 0,y） , PH
x,0 , PM =（－ 2－ x,－ y）
f ( x) | x 1 |。
（ 1） x [ 2k,2k 2]( k Z ) 时， 求 f ( x) 的表达式。
（ 2） 证明 f (x) 是偶函数。
（ 3）
试问方程 f ( x)
若没有实数根，
1 log 4
0 是否有实数根？若有实数根，
x
请说明理由。
指出实数根的个数；
2．① f(x)= x 2k 1 (2k ≦x≦2k+2, k ∈Z) ②略 ⑶方程在 [1 ， 4] 上有 4 个实根
x2 y2 1,
62 y k(x 3)
得 (3k2 1) x2 18k 2x 27k 2 6 0 ，
依题意
12(2 3k 2 ) 0 ，
得
6
6
k
。
3
3
设 P( x1 , y1), Q( x2, y2) ， 则 x1
x2
18k2 ， 3k2 1
①
x1 x2
27k 2 6 。 3k 2 1
②
由直线 PQ的方程得 y1 k ( x1 3), y2 k( x2 3) 。 于是
7
∴直线 l 的方程为 y
1 2m2 m
(x 2
2) ．………………………………
6分
令 x=0 ， 得 b
2 2m2 m 2
2 2(m 1 ) 2
4
．
17 8
∵ m (1, 2) ，
∴ 2(m 1) 2 17 ( 2 2,1) 48
∴ b ( , 2 2) (2, ) ．……………………………………………… 8 分
点 T 的轨迹方程是
( x 2) 2 y2 4( x 0)
①………………………………………… 10 分
由于点 N 是线段 F1T 的中点， 设 N (x, y) ， T ( xT , yT ) ．
PN =（ 2－x,－ y） ∴ PM ·PN =（－ 2－ x,－ y）·（ 2－ x,－ y） = x2 4 y 2
PH x
由题意得∣ PH∣ 2=2· PM ·PN 即 x2 2 x2 4 y2
即 x2 8
y 2 1 ， 所求点 P 的轨迹为椭圆 4
（ 2）由已知求得 N（ 2， 0）关于直线 x+y=1 的对称点 E（ 1， － 1）， 则∣ QE∣=∣ QN∣
双曲线的 C 实轴长 2a= QM QN QM QE ME 10 （当且仅当 Q、 E、 M
共线时取“ =”）， 此时， 实轴长 2a 最大为 10
所以， 双曲线 C 的实半轴长 a= 10 2
1 又 c NM
2
2, b2 c 2 a2 3 2
∴双曲线 C 的方程式为 x 2 5
y2 1 3
22
8．已知数列 { an} 满足 a1
f x 3x2 tx 1。 是否存在一个实数 t， 使得当 x (0,1] 时， g
（ x）有最大值 1？
'
2
6、解：（ 1） f x = 3x 2ax
依题意得 k= f ' 1 =3+2a=－ 3， ∴ a=－ 3
f x x3 3x 2 1 ， 把 B（ 1， b）代入得 b= f 1 1
∴ a=－ 3， b=－ 1
)
8
( 16
24 2
24 22
1
1 )
16
1 0
811 8
2
9．已知焦点在 x 轴上的双曲线 C 的两条渐近线过坐标原点，
且两条渐近线与以点
A(0, 2 ) 为圆心， 1 为半径的圆相切， 又知 C 的一个焦点与 A 关于直线 y x 对称．
（Ⅰ）求双曲线 C 的方程；
（Ⅱ）设直线 y mx 1 与双曲线 C 的左支交于 A ， B 两点， 另一直线 l 经过 M
a
a
12）
∴ |A1B1|∈（ 3 ， 2 3 ）
6． 已知过函数 f（ x）= x 3 ax 2 1的图象上一点 B（ 1， b）的切线的斜率为－ 3。
（ 1） 求 a、 b 的值； （ 2） 求 A 的取值范围，
使不等式 f（ x）≤ A －1987 对于 x∈ [ － 1， 4]恒成立；
（ 3） 令 g x
8
y
6
x -15
-1 0
4
C
2
F
-5
O
-2
5
10
X
3．① x2=4y ② x 1x2=-4 ⑶P(±2,1) S 7 = MIN
x2 4．以椭圆 a 2
y 2 ＝ 1（a＞ 1）短轴一端点为直角顶点，
试判断并推证能作出多少个符合条件的三角形
.
-4 -6
作椭圆内接等-8腰直角三角形，
-10
4．解：因 a＞ 1， 不防设短轴一端点为 B（ 0， 1） 设 BC∶ y＝kx＋ 得 a＝ 3 ， 此时， k＝1
故， 由 Δ≤ 0， 即 1＜ a≤ 3 时有一解
由 Δ＞0 即 a＞ 3 时有三解
5．已知， 二次函数 f（ x）＝ ax2＋ bx＋ c 及一次函数 g（ x）＝－ bx， 其中 a、b、c∈ R， a＞ b＞c， a＋ b＋ c＝ 0.
（Ⅲ）若 Q 在双曲线的右支上， 则延长 QF2 到 T， 使 | QT | | QF1 | ， 若 Q 在双曲线的左支上， 则在 QF2 上取一点 T， 使 | QT | | QF1 | ．
根据双曲线的定义 | TF2 | 2 ， 所以点 T 在以 F2 ( 2 ,0) 为圆心， 2 为半径的圆上， 即
（Ⅰ）求证： f（ x）及 g（x）两函数图象相交于相异两点； （Ⅱ） 设 f（ x）、g（ x）两图象交于 A、B 两点， 当 AB 线段在 x 轴上射影为 A1B1 时， 试
求 |A1B1 |的取值范围 . 5． 解：依题意， 知 a、 b≠0
∵ a＞ b＞ c 且 a＋b＋ c＝ 0 ∴a＞0 且 c＜0 （Ⅰ）令 f（ x）＝ g（x）， 得 ax2＋ 2bx＋ c＝ 0.（ *） Δ＝ 4（ b2－ ac） ∵ a＞ 0， c＜ 0， ∴ ac＜ 0， ∴ Δ＞ 0 ∴ f（ x）、 g（x）相交于相异两点 （Ⅱ）设 x1、 x2 为交点 A、 B 之横坐标 则 |A1B1 |2＝ |x1－ x2|2， 由方程（ * ）， 知
2020 年高考数学 30 道压轴题训练 (教师版 )
1．椭圆的中心是原点 O， 它的短轴长为 2 2 ， 相应于焦点 F ( c,0) （ c 0 ）的准线 l
与 x 轴相交于点 A ， OF 2 FA ， 过点 A 的直线与椭圆相交于 P 、 Q 两点。
（ 1）求椭圆的方程及离心率；
uuur uuur （ 2）若 OP OQ 0 ， 求直线 PQ 的方程；
2
则
AB∶ y＝－
1
x＋1
k
把 BC 方程代入椭圆，
是（ 1＋ a2k2 ）x2 ＋2a2kx＝ 0
∴ |BC|＝ 1
k2
2a 2k 1 a2k2
，
同理 |AB|＝ 1
k2
2a2 k2 a2
由 |AB|＝ |BC|， 得 k3－a2 k2＋ ka2－ 1＝ 0 （ k－ 1）［ k2＋（ 1－ a2）k＋ 1］＝ 0 ∴ k＝ 1 或 k2＋（ 1－ a2）k＋ 1＝ 0 当 k2＋（ 1－ a2） k＋ 1＝0 时， Δ＝（ a2－ 1）2－ 4
1．（ 1）解：由题意，
2
2
x 可设椭圆的方程为 a2
y 2
1( a
由已知得
a2 c2 2,
a2
解得 a
c 2( c).
c
6, c 2
所以椭圆的方程为 x2 6
y2 1 ， 离心率 e 2
（ 2）解：由（ 1）可得 A（ 3， 0 ）。
6 。
3
2) 。
设直线 PQ的方程为 y k( x 3) 。 由方程组
y1y2 k 2( x1 3)( x2 3) k 2[ x1 x2 3( x1 x2 ) 9] 。
③
uuur uuur
∵ OP OQ 0 ， ∴ x1 x2 y1 y2 0 。
④
由①②③④得 5k2 1 ， 从而 k
5
66
(
, )。
5
33
所以直线 PQ的方程为 x
5y 3 0或 x
1
5y 3 0
2 ． 已 知 函 数 f ( x) 对 任 意 实 数 x 都 有 f ( x 1) f (x) 1 ， 且 当 x [0,2] 时 ，
＋t
t
=1
3
3
27 33 2
t
∴ t= 3
=
＜3
42
3
t
∴ x= ＜ 1
3 ③当 t＜ 0 时， g ' x
3 x2 t ＜ 0， ∴ g（x）在 (0.1] 上为减函数，
∴ g（ x）在 (0.1] 上为增函数，
∴存在一个
33
a=
2
，
使 g（ x）在 (0.1] 上有最大值 1。
2
7． 已知两点 M （－ 2， 0）， N （2， 0）， 动点 P 在 y 轴上的射影为 H， ︱ PH