分式混合运算1
分式的混合运算
x(x 3)
x(x 3)
典例精析
例3、计算：(1)x＋x y＋x2＋yy·x＋xy2y÷1x＋1y； (2)1a＋b12÷a12－b12； (3)34xy22·32xy＋2xy22÷2xy2； (4)aa＋－bb2·23aa－ ＋23bb－a2－a2 b2÷ab.
典例精析
解：(1)（xx＋2yy2）2； (2)ab＋ －ba； (3)3x3y83y＋4 2x3；
两个分式相除,把除式的 分子分母 颠倒位置后,再与被除式 相乘
b d bd a c ac
bd ac
bc ad
bc ad
合作探究
同分母分式加减法的法则
同分母的分式相加减，分母＿不＿变，把分子＿相＿加.减
a b ab cc c
ab ab cc c
异分母的分式相加减，先 通分 ，化为 同分母 的分式，然后再按 同分母 分
2a2＋ab＋2b2 (4)3（a＋b）（a－b）.
学以致用
【解析】 因式分解后约分，再将a2＋2a－1＝0变形为a2＋2a＝1，把 a2＋2a看成一个整体，再利用整体代入的方法求值．
解：原式＝a（aa－＋22）－（aa＋－21）2×aa＋－24 ＝（a－2）（a（a＋a＋2）2）－2a（a－1）×aa－＋42 ＝a（aa－＋42）2×aa＋－24 ＝a2＋1 2a. 当 a 满足 a2＋2a－1＝0 时，a2＋2a＝1，所以原式＝1.
(x 2)(x 2)
x
2x 8.
随堂检测
4.计算：
(1) a b b2 ab ; a2 2ab b2 a2 b2
解：(1) a 2
ab 2ab b2
b2 a2
ab b2
a b b(a b) (a b)2 (a b)(a b)
分式的混合运算专项训练—2023-2024学年七年级数学下册(沪科版)(解析版)
分式的混合运算专项训练考卷信息：本套训练卷共40题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对分式的混合运算各种方法的理解！1．（2023上·山东菏泽·七年级统考期中）计算：(1)3x −61−x−x+5x2−x(2)x−yx+3y ÷x2−y2x2+6xy+9y2−2yx+y【答案】(1)8x(2)1【分析】（1）先对各个分式分子分母因式分解，再通分，利用分式加减运算法则运算后约分即可得到答案；（2）先对各个分式分子分母因式分解，根据分式混合运算顺序，先计算乘除，再利用分式加减运算法则运算后约分即可得到答案．【详解】（1）解：3x −61−x−x+5x2−x=3(x−1)x(x−1)+6xx(x−1)−x+5x(x−1)=8x−8 x(x−1)=8(x−1) x(x−1)=8x；（2）解：x−yx+3y ÷x2−y2x2+6xy+9y2−2yx+y=x−yx+3y ⋅(x+3y)2(x+y)(x−y)−2yx+y=x+3yx+y −2yx+y=x+y x+y=1．【点睛】本题考查分式混合运算，涉及通分、约分、因式分解等知识．掌握分式混合运算法则及运算顺序，熟记因式分解的方法，准确找到最简公分母通分是解决分式混合运算的关键．2．（2023上·天津东丽·七年级统考期末）计算（1）4a 3b⋅b 2a 4÷(1a )2 （2）a a−1÷a 2−a a 2−1−1a−1【答案】（1）23a ；（2）a a−1【分析】（1）先将除法写成乘法，再计算乘法，分子、分母约分化为最简分式；（2）先将除法写成乘法，计算乘法得到最简分式，再与后一项相减即可得到答案.【详解】（1）原式＝4a 3b ⋅b 2a 4⋅a 2＝23a ；（2）原式＝a a−1⋅(a+1)(a−1)a(a−1)−1a−1=a+1a−1−1a−1=a a−1. 【点睛】此题考查分式的混合运算，先将除法化为乘法，再约分结果，再计算加减法.3．（2023上·山东菏泽·七年级统考期末）计算(1)12m 2−9−2m−3(2)(2a −12a a+2)÷a−4a 2+4a+4【答案】(1)−2m+3(2)2a 2+4a【分析】（1）通分计算即可；（2）先通分算减法，再算除法．【详解】（1）解：原式=12−2(m+3)(m+3)(m−3)=−2(m −3)(m +3)(m −3)=−2m+3；（2）解：原式=[2a(a+2)a+2−12a a+2]⋅(a+2)2a−4=2a 2+4a −12a a +2⋅(a +2)2a −4=2a 2−8a a +2⋅(a +2)2a −4=2a(a−4)a+2⋅(a+2)2a−4=2a(a+2)=2a2+4a，【点睛】此题考查分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键．4．（2023下·江苏常州·七年级校考期中）计算：(1)2x+y −1x−y．(2)(1−1m+1)÷m2m+1．【答案】(1)x−3yx2−y2(2)1m【分析】（1）根据异分母分式减法运算法则，先通分，再根据同分母分数减法运算求解即可得到答案；（2）根据分式混合运算法则及运算顺序，先算括号里的异分母分式减法运算，再利用乘除互化将除法转化为乘法运算求解即可得到答案．【详解】（1）解：2x+y −1x−y=2(x−y)(x+y)(x−y)−x+y(x+y)(x−y)=2x−2y−x−y (x+y)(x−y)=x−3y (x+y)(x−y)=x−3yx2−y2；（2）解：(1−1m+1)÷m2m+1=(m+1m+1−1m+1)÷m2m+1=m+1−1m+1×m+1m2=mm+1×m+1m2=1m．【点睛】本题考查分式混合运算，涉及分式加减乘除运算、通分、约分等知识，熟练掌握分式混合运算法则及运算顺序是解决问题的关键．5．（2023下·江苏常州·七年级统考期中）计算：(1)4ac3b ⋅(−6b22ac2)(2)a+2a−3÷a2−42a−6(3)x23x−9−3x−3(4)(4a+2+a−2)÷aa+2【答案】(1)−4bc(2)2a−2(3)x+33(4)a【分析】（1）根据分式的乘法运算法则进行计算即可得到答案；（2）先将分式除法变为乘法，再根据分式的乘法运算法则和平方差公式进行计算即可得到答案；（3）先进行通分，再计算分式减法，最后利用平方差进行约分即可得到答案；（4【详解】（1）解：4ac3b ⋅(−6b22ac2)=−4bc；（2）解：a+2a−3÷a2−42a−6=a+2a−3×2(a−3)(a+2)(a−2)=2a−2；（3）解：x23x−9−3x−3=x23(x−3)−3×33(x−3)=x2−93(x−3)=(x+3)(x−3)3(x−3)=x+33；（4）解：(4a+2+a−2)÷aa+2=(4a+2+(a−2)(a+2)a+2)×a+2a=4+a2−4a+2×a+2a=a．【点睛】本题考查了分式的混合运算，平方差公式，熟练掌握相关运算法则是解题关键．6．（2023下·河南南阳·七年级统考期中）计算：(1)2x−6x2−6x+9÷3−xx2−9(2)(8a+3+a−3)÷a2+2a+1a+3【答案】(1)−2x+6x−3(2)a−1a+1【分析】（1）根据完全平方式、平方差公式化简，再把除法转化成乘法计算即可；（2）括号内先通分，再根据完全平方公式、平方差公式化简，再把除法转化成乘法计算即可．【详解】（1）解：原式=2(x−3)(x−3)2×(x+3)(x−3)3−x=−2x+6x−3（2）解：原式=(8+a2−9a+3)×a+3(a+1)2=(a+1)(a−1)×1(a+1)2=a−1a+1【点睛】本题考查分式计算，掌握完全平方式、平方差公式是关键．7．（2023下·江苏淮安·七年级校考期中）计算：(1)a2a−1−a−1(2)(a+2−42−a )÷(aa−2)【答案】(1)1a−1(2)a【分析】（1）先对原式通分变为同分母的分式，再相减即可解答本题；（2）先将括号内的进行计算，再将除法转换为乘法后，再约分即可得到答案．【详解】（1）a2a−1−a−1=a2 a−1−(a+1)(a−1)a−1=a2−(a+1)(a−1)a−1=a 2−(a 2−1)a−1 =a 2−a 2+1a−1=1a−1（2）(a +2−42−a )÷(a a−2)=(a +2+4a−2)÷(a a−2) =a 2−4+4a−2÷(a a−2) =a 2a−2×a−2a=a 【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，解题的关键是明确分式混合运算的计算方法．8．（2023上·山东泰安·七年级统考期中）计算(1)x x−1−x 2+2x x 2−2x+1÷x+2x ； (2)(a+2a−2−a a+2)÷3a+2a 2+2a ．【答案】(1)−x (x−1)2(2)2a a−2【分析】该题主要考查了分式的混合运算问题；（1）先算除法再算减法即可；（2）先算括号再算除法即可．【详解】（1）原式=x x−1−(x+2)x (x−1)2⋅x x+2=x x −1−x 2(x −1)2=x (x −1)−x 2(x −1)2=−x (x−1)2；=−x x 2−2x +1（2）原式=[(a+2)2(a−2)(a+2)−a(a−2)(a−2)(a+2)]÷3a+2a(a+2)=2(3a+2)(a−2)(a+2)⋅a(a+2)3a+2=2aa−2．9．（2023上·山东烟台·七年级统考期中）计算：(1)b2ca ×acb÷(−ca)2(2)a2−4a ÷(a+1−5a−4a)【答案】(1)a2b(2)a+2a−2【分析】（1）根据分式的乘除运算法则进行化简即可求出答案．（2）根据分式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案．【详解】（1）解：原式=bc2⋅a2c2=a2b．（2）解：原式=(a+2)(a−2)a ÷a2−4a+4a=(a+2)(a−2)a⋅a(a−2)2=a+2a−2．【点睛】本题考查分式的混合运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算法则以及乘除运算法则，本题属于基础题型．10．（2023上·山东东营·七年级校考期中）计算下列各式．(1)(−a2bc )3⋅(−c2a)2÷(bca)4；(2)a2a−1−a−1．【答案】(1)−a8bc3(2)1a−1【分析】（1）先根据积的乘方等于乘方的积，幂的乘方计算各分式，然后利用同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减；进行分式的乘除运算即可；（2）先加括号，进行通分，根据平方差公式求解多项式乘多项式，然后进行加减运算即可．【详解】（1）解：(−a2bc )3⋅(−c2a)2÷(bca)4=−a6b3c3⋅c4a2÷b4c4a4=−a4b3c⋅a4 b4c4=−a8bc3；（2）解：a2a−1−a−1=a2a−1−(a+1)=a2−(a+1)(a−1)a−1=a2−a2+1a−1=1a−1．【点睛】本题考查了积的乘方，幂的乘方，分式的乘除混合运算，同底数幂的乘除运算，异分母分式的减法运算，平方差公式等知识．解题的关键在于熟练掌握各知识的运算法则并正确的运算．11．（2023上·河南许昌·七年级统考期末）计算：(3xx−1−xx+1)⋅x2−1x+1【答案】2x2+4xx+1【分析】利用分式的混合运算顺序：先括号内的分式减法运算，再括号外的分式2乘法运算即可化简原式．【详解】解：(3xx−1−xx+1)⋅x2−1x+1=3x(x+1)−x(x−1)(x−1)(x+1)⋅(x−1)(x+1)x+1=3x2+3x−x2+xx+1=2x2+4xx+1．【点睛】本题考查分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算法则并正确求解是解答的关键．12．（2023上·重庆沙坪坝·七年级重庆一中校考阶段练习）计算：(1)(x−y)2−x(x−3y)(2)m2−25m+3÷(1−8m+3)【答案】(1)xy+y2(2)m+5【分析】（1）先用完全平方公式与单贡式乘以多项式法则展开，再合并同类项即可．（2）先计算括号内的，再计算除法，用除法法则转化成乘法计算即可．【详解】（1）解：原式=x2−2xy+y2−x2+3xy=xy+y2；（2）解：原式=(m+5)(m−5)m+3÷m−5m+3=(m+5)(m−5)m+3⋅m+3m−5=m+5．【点睛】本题考查多项式混合运算，分式混合运算，熟练掌握多项式与分式混合运算法则是解题的关键．13．（2023上·山东菏泽·七年级统考期中）计算(1)4x22x−3+93−2x(2)3b24a2⋅(a−6b)(3)xx−1−x+3x2−1⋅x2+2x+1x+3(4)(1x−4+1x+4)÷2x2−16【答案】(1)2x+3(2)−b8a(3)−1x−1(4)x【分析】（1）利用分式的加法计算即可．（2）利用分式的乘法计算即可．（3）利用分式的混合运算法则计算即可．（4）利用分式的混合运算法则计算即可．【详解】（1）4x22x−3+93−2x=4x22x−3−92x−3=4x2−92x−3=(2x−3)(2x+3)2x−3=2x+3．（2）3b24a2⋅(a−6b)=−b8a．（3）xx−1−x+3x2−1⋅x2+2x+1x+3=xx−1−x+3(x−1)(x+1)⋅(x+1)2x+3=xx−1−x+1x−1=x−x−1x−1=−1x−1．（4）(1x−4+1x+4)÷2x2−16=(1x−4+1x+4)×(x+4)(x−4)2=1x−4×(x+4)(x−4)2+1x+4×(x+4)(x−4)2=x+42+x−42=x．【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．14．（2023下·重庆南岸·七年级统考期末）计算：(1)a−ba+b ÷a2−aba3−ab2；(2)(2x−3−1x)⋅x2−3xx2+6x+9【答案】(1)a−b(2)1x+3【分析】（1）直接根据分式的除法法则进行计算即可；（2）先将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则计算得出答案．【详解】（1）解：原式=a−ba+b ⋅a3−ab2 a2−ab=a−ba+b⋅a(a2−b2)a(a−b)=(a+b)(a−b)a+b=a−b；（2）解：原式=[2x−(x−3)x(x−3)]⋅x(x−3)(x+3)2=x+3x(x−3)⋅x(x−3)(x+3)2=1x+3．【点睛】本题考查的是分式的混合运算，熟知分式的混合运算法则是解答此题的关键．15．（2023下·重庆北碚·七年级统考期末）计算：(1)2a2b÷(−a2b )2⋅a4b2；(2)(a2+3aa−3−3)÷a2+9a2−9．【答案】(1)2ab(2)a+3【分析】（1）先算乘方，再算乘除，即可解答；（2）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答．【详解】（1）原式=2a2b⋅4b2a2⋅a 4b2=2ab（2）原式=(a2+3aa−3−3a−9a−3)⋅a2−9a2+9=a2+9a−3⋅(a+3)(a−3)a2+9=a+3【点睛】本题考查了分式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．16．（2023下·广东清远·七年级统考期中）分式计算：(1)3x−3−xx−3(2)yxy+x +1xy−x(3)x2x+1−x+1(4)(3xx−2−xx+2)÷xx2−4．【答案】(1)−1(2)y2+1xy2−x(3)1x+1(4)2x+8【分析】（1）根据同分母的分式的加减法进行计算即可求解；（2）根据异分母的分式的加法进行计算即可求解；（3）根据分式与整式的运算进行计算即可求解；（4）先计算括号的分式的减法，再将除法转化为乘法进行计算即可求解．【详解】（1）3x−3−xx−3=3−xx−3 =−1；（2）yxy+x +1xy−x=y(y−1)+y+1x(y+1)(y−1)=y2+1xy2−x；（3）x2x+1−x+1=x2−(x−1)(x+1)x+1=x2−x2+1x+1=1x+1；（4）(3xx−2−xx+2)÷xx2−4=3x(x+2)−x(x−2)(x−2)(x+2)⋅(x+2)(x−2)x=3(x+2)−(x−2)=3x+6−x+2=2x+8．【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．17．（2023上·山东济宁·七年级统考期末）计算：(xx+2−2x+2)÷x2−4x+4x+2．【答案】1x−2【分析】首先运用同分母分式减法法则计算括号内的，再利用分式除法运算法则求解即可．【详解】解：(xx+2−2x+2)÷x2−4x+4x+2=x−2x+2÷x2−4x+4x+2=x−2x+2⋅x+2x2−4x+4=x−2x+2⋅x+2(x−2)2=1x−2．【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，解题的关键是熟练运用分式的减法运算法则和乘除运算法则18．（2023上·山东泰安·七年级统考期中）计算：(1)2x2x−y +yy−2x；(2)1−x−yx+2y ÷x2−y2x2+4xy+4y2．【答案】(1)1(2)−yx+y【分析】（1）本题考查了分式的加减，利用同分母分式加减法法则进行计算，即可解答；（2）本题考查了分式的混合运算，先算分式的除法，再算加减，即可解答；【详解】（1）解：原式=2x−y2x−y=2x−y 2x−y=1；（2）解：原式=1−x−yx+2y ×(x+2y)2(x+y)(x−y)=1−x+2y x+y=−yx+y．19．（2023下·江苏常州·七年级常州市第二十四中学校考期中）计算：(1)6x+3+2xx+3；(2)a2−b2a ÷(a+b2−2aba)．【答案】(1)2(2)a+ba−b【分析】（1）根据同分母分式加法计算法则求解即可；（2）根据分式的混合计算法则求解即可．【详解】（1）解：6x+3+2xx+3=6+2x x+3=2(x+3) x+3=2；（2）解：a2−b2a ÷(a+b2−2aba)=a2−b2a÷a2+b2−2aba=(a+b)(a−b)a÷(a−b)2a=(a+b)(a−b)a⋅a(a−b)2=a+ba−b．【点睛】本题主要考查了分式的混合计算，同分母分式加法，熟知相关计算法则是解题的关键．20．（2023上·山东菏泽·七年级统考期末）计算：(1)4x2−1−2x2+x；(2)(2x2x−2−x−2)÷2x2+8x2−4．【答案】(1)2x2−x(2)x+22【分析】（1）利用提公因式和平方差公式进行计算即可； （2）利用提公因式和平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）4x 2−1−2x 2+x=4(x +1)(x −1)−2x (x +1)=4x −2(x −1)x (x +1)(x −1)=2x +2x (x +1)(x −1)=2x 2−x ； （2）(2x 2x−2−x −2)÷2x 2+8x 2−4=[2x 2x −2−(x +2)(x −2)x −2]÷2x 2+8x 2−4=(2x 2−x 2+4x −2)⋅(x +2)(x −2)2(x 2+4)=x 2+4x −2⋅(x +2)(x −2)2(x 2+4) =x+22．【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练运用分式运算法则和平方差公式是解题的关键． 21．（2023下·江西鹰潭·七年级统考期末）先化简x 2−4x+4x 2−1÷x−2x+1+2x−1，再从−2，−1，1，2中选一个合适的整数作为x 的值代入求值． 【答案】x x−1，x =−2时，原式=23【分析】先把除法转化为乘法，再约分，然后计算加法，由分式有意义的条件确定x 的值，最后代入化简后的式子即可求出答案． 【详解】解：x 2−4x+4x 2−1÷x−2x+1+2x−1=(x −2)2(x +1)(x −1)⋅x +1x −2+2x −1 =x −2x −1+2x −1=xx−1，由分式有意义的条件可知：x ≠−1，x ≠1，x ≠2， ∴x =−2， 当x =−2时， 原式=−2−2−1=23．【点睛】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 22．（2023下·福建宁德·七年级统考期末）先化简，再求值：(1−a a+1)÷a+3a 2+2a+1，其中a =−5．【答案】a+1a+3，2【分析】先根据分式的减法法则算括号内的减法，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算，最后代入求出答案即可． 【详解】解：(1−aa+1)÷a+3a 2+2a+1 =1a +1⋅(a +1)2a +3 =a +1a +3当a =−5时，原式=a+1a+3=−5+1−5+3=2．【点睛】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序． 23．（2023下·江西景德镇·七年级统考期末）先化简，再求值：(x 2+2x+1x 2−1−3x−1)÷x 2−2x x−1其中x =17【答案】1x ，代数式的值为7【分析】根据乘法公式，分式的性质，分式的加减乘除混合运算化简，再代入求出即可． 【详解】解：(x 2+2x+1x 2−1−3x−1)÷x 2−2x x−1=[(x +1)2(x +1)(x −1)−3x −1]÷x(x −2)x −1=(x +1x −1−3x −1)×x −1x(x −2)=x −2x −1×x −1x(x −2)=1x ，当x =17时，原式=1x=117=7．【点睛】本题主要考查分式的化简求值，掌握乘法公式，分式的性质，分式的混合运算法则是解题的关键．24．（2023下·江苏淮安·七年级统考期末）先化简，再求值：当a =2时，求代数式(a −aa+1)÷a 2−2a a 2−4×1a+2的值．【答案】aa+1；23【分析】运用乘法公式，分式的性质，分式的混合运算进行化简，再代入求值即可． 【详解】解：(a −a a+1)÷a 2−2a a 2−4×1a+2=(a 2+a a +1−a a +1)÷a(a −2)(a +2)(a −2)×1a +2=a 2a +1×a +2a ×1a +2 =a a+1，当a =2时，原式=aa+1=22+1=23．【点睛】本题主要考查分式的化简求值，掌握乘法公式，分式的性质，分式的混合运算法则，代入求值等知识是解题的关键．25．（2023上·四川绵阳·七年级校联考阶段练习）先化简，再求值：(2x+2x 2−1+1)÷x+1x 2−2x+1，其中x =4 【答案】x −1，3【分析】根据分式混合运算法则先化简，再代值求解即可得到答案． 【详解】解：(2x+2x 2−1+1)÷x+1x 2−2x+1 =(2x +2x 2−1+x 2−1x 2−1)×x 2−2x +1x +1=x 2+2x+1x 2−1×x 2−2x+1x+1， =(x+1)2(x+1)(x−1)×(x−1)2x+1，=x −1；当x =4时，原式=4−1=3．【点睛】本题考查了分式的混合运算和求值，能正确运用分式的运算法则进行化简是解此题的关键． 26．（2023上·湖北武汉·七年级武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期末）（1）计算：[3a 3⋅a 3+(−3a 3)2]÷(−2a −2)3；（2）先化简，再求值：(a 2a−1−a −1)÷a−a 2a 2−2a+1，其中a =2．【答案】（1）−32a 12；（2）−1a ，−12【分析】（1）根据幂的混合运算法则求解即可；（2）首先根据分式的混合运算法则求解，然后将a =2代入求解即可． 【详解】解：（1）[3a 3⋅a 3+(−3a 3)2]÷(−2a −2)3 =(3a 6+9a 6)÷(−8a −6) =12a 6÷(−8a −6) =−32a 12； （2）(a 2a−1−a −1)÷a−a 2a 2−2a+1=(a 2a −1−a 2−1a −1)÷−a (a −1)(a −1)2=1a −1⋅a −1−a=−1a ，当a =2时，原式=−12．【点睛】此题考查了幂的混合运算，分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握以上运算法则． 27．（2023上·吉林白山·七年级统考期末）先化简，再求值：1﹣x−2y x+y ÷x 2−4xy+4y 2x 2−y 2，其中x ＝﹣2，y ＝12．【答案】﹣yx−2y ，16．【分析】原式利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，之后将x 、y 代入计算即可求得答案． 【详解】解：原式＝1﹣x−2yx+y ⋅(x+y )(x−y )(x−2y )2=1−x−y x−2y ＝﹣yx−2y ，当x ＝﹣2，y ＝12时，原式＝16．【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练的掌握分式的运算法则是解本题的关键，在解题的时候，要注意式子的整理和约分．28．（2023上·广东惠州·七年级统考期末）已知A =xy−y 2y 2−x 2÷(1x−y −1x+y )． （1）化简A ；（2）当x 2+y 2=13,xy =−6时，求A 的值；（3）若|x −y |+√y +2=0，A 的值是否存在，若存在，求出A 的值，若不存在，说明理由．【答案】（1）−x−y2；（2）A=−52或52；（3）不存在，理由见详解.【分析】（1）先把括号里面的通分，再计算整式除法即可；（2）利用完全平方公式，求出x-y的值，代入化简后的A中，求值即可；（3）利用非负数的和为0，确定x、y的关系，把x、y代入A的分母，判断A的值是否存在．【详解】解：（1）A=xy−y2y2−x2÷(1x−y−1x+y)=y(x−y) (y−x)(y+x)×(x+y)(x−y)x+y−x+y=−y(x−y)(x−y)(x+y)×(x+y)(x−y)2y=−x−y2；（2）∵x2+y2=13，xy=-6∴（x-y）2=x2-2xy+y2=13+12=25∴x-y=±5，当x-y=5时，A=−52；当x-y=-5时，A=52．（3）∵|x−y|+√y+2=0，∴x-y=0，y+2=0当x-y=0时，A的分母为0，分式没有意义．∴当|x−y|+√y+2=0时，A的值不存在.【点睛】本题考查了分式的加减乘除运算、完全平方公式、非负数的和及分式有无意义的条件．题目综合性较强．初中阶段学过的非负数有：a的偶次幂，a（a≥0）的偶次方根，a|的绝对值．29．（2023上·山东泰安·七年级统考期中）（1）计算：3x(x−3)2−x3−x（2）计算：(x+1x2−1+xx−1)÷x+1x2−2x+1（3）先化简，再求值：已知ab ＝3，求a2+4ab+4b2a−b÷(3b2a−b−a−b)的值．【答案】（1）x2(x−3)2；（2）x﹣1；（3）a+2b2b−a，﹣5．【分析】（1）直接通分运算进而利用分式的混合运算法则计算得出答案； （2）直接将括号里面通分进而利用分式的混合运算法则计算得出答案； （3）直接将括号里面通分进而利用分式的混合运算法则计算得出答案． 【详解】解：（1）原式=3x+x(x−3)(x−3)2=x 2(x−3)2；（2）原式=x+1+x(x+1)(x−1)(x+1)⋅(x−1)2x+1=(x+1)2(x−1)(x+1)⋅(x−1)2x+1=x −1；（3）原式=(a+2b)2a−b÷3b 2−a(a−b)−b(a−b)a−b=(a+2b)2a−b⋅a−b(2b+a)(2b−a)=a+2b2b−a∵ab =3，∴a ＝3b ，所以原式=3b+2b 2b−3b=−5．【点睛】本题考查的知识点是分式的化简求值，掌握分式化简的一般步骤以及分式的混合运算法则是解此题的关键，注意化简过程中各项的符号变化． 30．（2023上·山东潍坊·七年级统考期中）计算： （1）aa+1+a−1a 2−1；（2）2aa+1−2a−4a 2−1÷a−2a 2−2a+1；（3）先化简再求值：（1−3x+2）÷x−1x 2+x−2，其中x 是﹣2，1，2中的一个数值． 【答案】（1）1；（2）2a+1；（3）x ﹣1，x ＝2时，原式=1． 【分析】（1）先约分，再相加即可求解；（2）先因式分解，将除法变为乘法约分，再通分，相减即可求解；（3）先计算括号里面的减法，再因式分解，将除法变为乘法约分化简，再把x ＝2代入计算即可求解． 【详解】（1）a a+1+a−1a 2−1，＝aa+1+1a+1， ＝a+1a+1， ＝1；（2）2aa+1−2a−4a 2−1÷a−2a 2−2a+1， ＝2aa+1−2(a−2)(a+1)(a−1)⋅(a−1)2a−2，＝2a a+1−2(a−1)a+1，＝2a−2(a−1)a+1，＝2a+1； （3）（1−3x+2）÷x−1x 2+x−2，＝x+2−3x+2⋅(x−1)(x+2)x−1，＝x ﹣1，∵x +2≠0，x ﹣1≠0， ∴x ≠﹣2，x ≠1，当x ＝2时，原式＝2﹣1＝1．【点睛】此题考查分式的混合运算及化简求值，正确将分式的分子与分母因式分解是解题的关键. 31．（2023上·吉林白城·七年级统考期末）先化简，再求值：x 2−1x 2−2x+1÷x+1x−1·1−x1+x，其中x ＝12．【答案】1−x1+x ，13．【分析】先将分式的分子和分母分解因式，将分式约分化简得到最简结果，再将未知数的值代入计算即可. 【详解】x 2−1x 2−2x+1÷x+1x−1·1−x1+x , =(x +1)(x −1)(x −1)2⋅x −1x +1⋅1−x1+x=1−x1+x ,当x ＝12时，原式＝1−121+12=13.【点睛】此题考查分式的化简求值，化简时需先分解因式约去公因式得到最简分式，再将未知数的值代入求值即可.32．（2023上·山东烟台·七年级统考期中）先化简（a 2−4a+4a 2−4﹣aa+2）÷a−1a+2，再从a ≤2的非负整数解中选一个适合的整数代入求值． 【答案】−2a−1，2【分析】先将分式的分子和分母分解因式，再根据分式的化简求值的过程计算即可求解． 【详解】解：原式＝[(a−2)2(a−2)(a+2)−aa+2]⋅a+2a−1，=(a−2a+2−aa+2)⋅a+2a−1，=−2a+2⋅a+2 a−1，=−2a−1.∵a≤2的非负整数解有0，1，2，又∵a≠1，2，∴当a＝0时，原式＝2．【点睛】此题考查分式的化简求值，化简时需先分解因式约去公因式得到最简分式，求值时选的数需满足分母不为0的数才可代入求值.33．（2023下·江苏盐城·七年级东台市三仓镇中学校考期中）先化简，再求值：x2−1(x−1)2÷x2+xx−1+2x，其中x为你喜欢的一个使原式有意义的整数．【答案】3x，1【详解】分析：根据据分式的混合运算的法则和步骤，先算乘除，再算加减，然后约分化简，最后代入求值即可，注意选择使分母不为零的数代入.详解：x2−1(x−1)2÷x2+xx−1+2x=(x+1)(x−1)(x−1)2÷x(x+1)x−1+2x=(x+1)(x−1)(x−1)2·x−1x(x+1)+2x=1 x +2x=3x当x=3时，原式=1.点睛：本考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．34．（2023上·四川泸州·七年级统考期中）先化简，再求值：(3a+1−a+1)÷a2−4a+4a+1，其中a=4．【答案】−a+2a−2，-3．【详解】试题分析：先根据分式的混合运算的法则，先算括号里面的（通分后计算），再把除法化为乘法约分化简，最后代入求值即可.试题解析：(3a+1−a+1)÷a2−4a+4a+1=3−a2+1a+1×a+1(a−2)2，=−(a+2)(a−2)a+1×a+1(a−2)2=−a+2a−2，当a=4时，原式=-3．35．（2023上·北京昌平·七年级校考期中）先化简，再求值:xx2−1⋅(x−1x−2)，其中x（x+1）=2（x+1）.【答案】−1x−1，-1【详解】试题分析：先根据分式的混合运算的法则，先把分式的化简，然后再根据方程求出符合条件的x代入求值，注意分式有意义的条件，即分母不能为零.试题解析：原式==.由解得或.因为x不能等于-1，所以当=2时，原式=.36．（2023下·湖南郴州·七年级校考期中）先化简，再求值：(x2x−1+91−x)÷x+3x−1，x在1,2，-3中选取适当的值代入求值．【答案】x-3,当x=2时，原式=-1【详解】解：(x2x−1+91−x)÷x+3x−1=(x+3)(x−3)x−1⋅x−1 x+3=x−3要是原式有意义，则x≠1,−3,则x=2原式=-137．（2023上·浙江杭州·七年级统考期中）先化简，再求值：(4x+6x2−1−2x−1)÷x+2x2−2x+1，其中x是不等式组{x+4>01−2x>3的整数解．【答案】2x−2x+1，4．【分析】原式中先计算分子，约分得到最简结果，求出不等式组的解集，找出解集中的整数解确定出x的值，代入计算即可求出值．【详解】原式= 4x+6−2(x+1)(x+1)(x−1)×(x−1)2x+2= 2(x+2)(x+1)(x−1)×(x−1)2x+2= 2(x−1)x+1=2x−2x+1解不等式组{x+4>01−2x>3得：-4＜x＜-1所以不等式组的整数解为-3，-2，即x=-3，-2．∵x≠-2∴x=-3，∴原式= 2(−3−1)−3+1=4．【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．38．（2023上·重庆·七年级西南大学附中校考期中）先化简，再求值：(2a−2−6a2−2a)÷a2−6a+9a−2，其中a满足2a2−6a+3=0．【答案】2a2−3a ，−43【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．【详解】(2a−2−6a2−2a)÷a2−6a+9a−2=[2aa(a−2)−6a(a−2)]÷(a−3)2a−2=2(a−3)a(a−2)×a−2(a−3)2=2a(a−3)=2a2−3a∵2a2−6a+3=0∴2a2−6a=−3∴a2−3a=−32∴原式=2a2−3a =2−32=−43．【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．39．（2023上·山东聊城·七年级校考期末）（1）计算：(x2−4x+4x2−4−xx+2)÷x−1x+2（2）先化简a2−2aa2−1÷(2a−1a−1−a−1)，然后从−2≤a≤2的范围内选取一个合适的整数作为a的值代入求值．【答案】（1）21−x ；（2）−1a+1，1【分析】（1）先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法即可得；（2）先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法，然后根据分式有意义的条件选取合适的a的值，代入计算即可得．【详解】解：（1）原式=[(x−2)2(x+2)(x−2)−xx+2]⋅x+2x−1=(x−2x+2−xx+2)⋅x+2x−1=−2x+2⋅x+2x−1=21−x；（2）原式=a(a−2)(a+1)(a−1)÷[2a−1a−1−(a+1)(a−1)a−1]=a(a−2)(a+1)(a−1)÷(2a−1a−1−a2−1a−1)=a(a−2)(a+1)(a−1)÷2a−1−a2+1a−1=a(a−2)(a+1)(a−1)÷2a−a2a−1=a(a−2)(a+1)(a−1)⋅a−12a−a2=a(a−2)(a+1)(a−1)⋅a−1a(2−a)=−1a+1，∵a+1≠0,a−1≠0,a≠0,2−a≠0，∴a≠−1,a≠1,a≠0,a≠2，∵a是−2≤a≤2的范围内的一个整数，∴a=−2，则原式=−1−2+1=1．【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题关键． 40．（2023上·山东滨州·七年级统考期末）（1）计算：3(x−1)(x+2)−xx−1+1；（2）先化简，再求值：a−1a 2−4a+4÷(1+1a−2)，请从1，2，3中选一个合适的数作为a 的值，代入求值． 【答案】（1）−1x+2；（2）1a−2，1．【分析】（1）根据分式的四则运算求解即可；（2）根据分式的四则运算进行化简，然后代数求解即可． 【详解】解：（1）3(x−1)(x+2)−xx−1+1 =3(x −1)(x +2)−x (x +2)(x −1)(x +2)+(x −1)(x +2)(x −1)(x +2)=3−x 2−2x +x 2+x −2(x −1)(x +2)=1−x(x −1)(x +2)=−1x +2（2）a−1a 2−4a+4÷(1+1a−2) =a −1(a −2)2÷(a −1a −2) =a −1(a −2)2×(a −2a −1) =1a−2，由题意可得：a −2≠0，a −1≠0 ∴a ≠1，a ≠2将a =3代入得，原式=13−2=1．【点睛】此题考查了分式的四则运算，化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的四则运算以及分式的有关知识．。
分式的混合运算
分式的混合运算分式是数学中常见的一种表达方式，它可以表示两个数之间的比值关系。
而混合运算则是指在一个算式中混合使用了不同的运算符号，如加减乘除等。
在本文中，我们将探讨分式的混合运算及其应用。
一、基本概念在进行分式的混合运算之前，我们需要先了解几个基本概念。
1. 分子与分母：分数由分子和分母组成，分子表示被分成的份数，分母表示总的份数。
例如，分数2/3中，2是分子，3是分母。
2. 真分数和假分数：当分子小于分母时，我们称该分数为真分数；当分子大于等于分母时，我们称该分数为假分数。
例如，分数2/3是一个真分数，而分数8/5是一个假分数。
3. 分式与整数：分式是由一个整数和一个分数组成的数学表达式，其中整数部分表示整体的数量，分数部分则表达整体中的一部分。
例如，分式3 1/4中，3是整数部分，1/4是分数部分。
二、分式的加减乘除运算分式的加减乘除运算与整数的运算类似，只需注意分子和分母的相应运算。
1. 加法运算：对于两个分式的加法运算，我们需要先求出它们的通分，然后将分子相加，分母保持不变。
例如，计算1/2 + 1/3：通分后得到3/6 + 2/6 = 5/6。
2. 减法运算：对于两个分式的减法运算，我们同样需要先求出它们的通分，然后将分子相减，分母保持不变。
例如，计算2/3 - 1/4：通分后得到8/12 - 3/12 = 5/12。
3. 乘法运算：对于两个分式的乘法运算，我们只需将分子相乘，分母相乘。
例如，计算2/3 * 3/4：得到6/12，可以化简为1/2。
4. 除法运算：对于两个分式的除法运算，我们将除数的分子与被除数的分母相乘，除数的分母与被除数的分子相乘。
例如，计算2/3 ÷ 1/4：得到8/3，可以化简为2 2/3。
三、应用举例分式的混合运算在实际问题中有广泛的应用。
下面，我们通过一些实例来说明其具体应用场景。
1. 销售折扣：商场在促销活动中常常会提供折扣，以吸引顾客。
假设某商品原价为150元，现享受7折优惠，请计算折后价格。
分式混合运算教案
分式混合运算教案教案标题：分式混合运算教案教案概述：本教案旨在帮助学生掌握分式混合运算的基本概念和计算方法。
通过多种教学策略和活动，学生将能够理解分式混合运算的意义，并能够熟练地进行相关计算。
教学目标：1. 理解分式混合运算的概念和意义；2. 掌握分式混合运算的基本计算方法；3. 能够应用分式混合运算解决实际问题。
教学资源：1. 教材：包含分式混合运算相关内容的教科书；2. 白板/黑板和可擦写笔/粉笔；3. 分式混合运算练习题。
教学步骤：引入：1. 利用具体的例子引导学生思考分式混合运算的意义和应用场景，例如：如果你想要将一块长方形蛋糕平均分给几个朋友，但蛋糕的长度是一个整数，而你的朋友人数是一个分数，你该如何计算每个人能得到多少蛋糕？概念讲解：2. 通过讲解和示范，介绍分式混合运算的基本概念和符号表示，包括分数、整数和运算符号（加减乘除）的含义和运用。
示范和练习：3. 在白板/黑板上给出一些分式混合运算的示例，逐步引导学生理解计算的步骤和方法。
例如：计算 3 + 1/2 - 1/4。
4. 让学生分组进行练习，提供一些练习题，包括加减乘除的分式混合运算。
鼓励学生相互合作，互相讨论解题思路和方法。
巩固和拓展：5. 带领学生回顾所学的知识点，解答他们可能遇到的问题，并提供更多的练习题供学生巩固和拓展。
应用实例：6. 提供一些实际问题，要求学生运用所学的分式混合运算知识解决。
例如：如果小明每天骑自行车去上学，每天骑行的里程是1/4 英里，一周上学的天数是5天，那么他一周总共骑行了多少英里？总结：7. 总结本节课的重点内容和学习收获，强调分式混合运算的重要性和实际应用。
扩展活动：8. 鼓励学生自主学习和探索更多分式混合运算的应用场景，并分享给全班。
评估：9. 给学生分发一份综合性的分式混合运算练习题，用于评估他们对所学知识的掌握程度。
教学延伸：10. 鼓励学生在日常生活中积极运用分式混合运算的知识，例如在购物、烹饪等实际情境中进行计算和应用。
分式混合运算(习题及答案)
分式混合运算(习题及答案)混合运算（题）例1：混合运算：解：原式可以化简为：frac{4-x}{x-2} \div \frac{12}{x+2-x^2}$$frac{4-x}{x-2} \times \frac{x+2-x^2}{12}$$frac{-(x-4)}{(x-2)(x+4)}$$例2：先化简，然后在$-2\leq x\leq 2$的范围内选取一个合适的整数$x$代入求值．解：先化简原式：frac{x(x+1)}{(x-1)(1-x)} \div \frac{2x}{x+1}$$frac{x(x+1)}{(x-1)(x-1)} \times \frac{x+1}{2x}$$frac{1}{2}$$由于$-2\leq x\leq 2$，且$x$为整数，因此使原式有意义的$x$的值为$-2$，$-1$或$2$。
代入计算可得：当$x=2$时，原式为$-2$。
巩固练1.计算：1)$$\frac{x-y}{x+2y} \div \frac{1}{2x+4y}$$化简原式：frac{x-y}{x+2y} \times \frac{2x+4y}{1}$$frac{2(x-y)}{x+2y}$$2)$$\frac{\frac{a}{a-1}-1}{a^2-2a+1} \div \frac{1}{a+1}$$ 化简原式：frac{\frac{a}{a-1}-1}{(a-1)^2} \times (a+1)$$frac{a-2}{(a-1)^2}$$3)$$\frac{2a-2ab}{a^2-b^2} \div \frac{a+b}{a+b}$$化简原式：frac{2a-2ab}{a^2-b^2} \times \frac{a+b}{a+b}$$frac{2a-2ab}{(a-b)(a+b)} \times \frac{a+b}{1}$$frac{2(1-b)}{a-b}$$4)$$\frac{y-1-\frac{8}{y-1}}{y^2+y} \div\frac{1}{y(y+1)}$$化简原式：frac{y-1-\frac{8}{y-1}}{y(y+1)} \times \frac{y(y+1)}{1}$$ frac{(y-1)^2-8}{y(y+1)^2}$$5)$$\frac{a^2-2ab+b^2}{b}\div \frac{1}{a-b}-1$$化简原式：frac{(a-b)^2}{b} \times \frac{a-b}{1}-1$$frac{(a-b)^3}{b}-1$$6)$$\frac{x^2-4x+4}{x(x-1)} \div \frac{x+2}{x-1}$$化简原式：frac{(x-2)^2}{x(x-1)} \times \frac{x-1}{x+2}$$frac{(x-2)^2}{x(x+2)}$$7)$$\frac{2}{(x-1)^2} - \frac{1}{(x-1)^2(x+1)}$$化简原式：frac{2(x+1)-1}{(x-1)^2(x+1)}$$frac{2x+1}{(x-1)^2(x+1)}$$8)$$\frac{3-x}{2(x-2)} \div \frac{5}{x-2}-\frac{5}{x-3}$$ 化简原式：frac{3-x}{2(x-2)} \times \frac{x-2}{5} - \frac{5}{x-3}$$ frac{(x-3)(x-1)}{2(x-2)5} - \frac{5}{x-3}$$frac{x^2-4x+7}{10(x-2)(x-3)}$$9)$$\frac{x-1}{x+1} \div \frac{x-3}{x-2} - \frac{5}{x^2-3x}$$化简原式：frac{(x-1)(x-2)}{(x+1)(x-3)} - \frac{5}{x(x-3)}$$frac{x^2-3x-2}{x(x-3)(x+1)(x-3)} - \frac{5(x+1)}{x(x-3)(x+1)(x-3)}$$frac{x^2-3x-2-5x-5}{x(x-3)(x+1)(x-3)}$$frac{x^2-8x-7}{x(x-3)(x+1)^2}$$10)$$\frac{1}{(x-1)(x+1)}-\frac{1}{x(x-1)}$$化简原式：frac{x-(x-1)}{x(x-1)(x+1)}$$frac{1}{x(x+1)}$$11)$$\frac{2}{x+y} - \frac{1}{y-x} \times \frac{y^2-x^2}{11}$$化简原式：frac{2(y-x)}{(y-x)(x+y)} - \frac{y+x}{11(x+y)}$$frac{y-x-2}{11(x+y)}$$2.化简求值：1)先化简，再求值：$\frac{x^2+2x+1}{x+2x+2} \div \frac{1}{x+2}$，其中$x=3-1$。
分式混合运算练习题
分式混合运算练习题分式混合运算练习题在数学学习中，分式混合运算是其中一个重要的知识点。
它不仅在数学领域中有着广泛的应用，还在科学、工程和经济学等领域中发挥着重要作用。
为了帮助学生更好地掌握分式混合运算的技巧，本文将提供一些练习题并提供详细的解答过程。
首先，我们来看一下分式混合运算的基本规则。
当进行分式运算时，我们需要遵循以下规则：1、分式乘法：分式与分式相乘时，把分子相乘，分母相乘，作为新的分母。
2、分式除法：分式除以一个分式时，分母与分母相乘，分子与分子相除，作为新的分子。
3、分式乘方：分式的乘方等于分式的分子和分母分别乘方。
现在让我们来看一些练习题：例1：计算 $\frac{x}{y} \div \frac{y}{x}$解： $\frac{x}{y} \div \frac{y}{x} = \frac{x}{y} \times\frac{x}{y} = \frac{x^{2}}{y^{2}}$例2：计算 $\frac{a}{b} \times \frac{c}{d}$解： $\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$例3：计算 $\frac{a}{b} \div \frac{c}{d}$解： $\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times\frac{d}{c} = \frac{ad}{bc}$以上是分式混合运算的基本规则和练习题。
通过不断地练习，学生可以逐步掌握分式混合运算的技巧，提高解题能力。
学生还可以通过参考答案来检查自己的解题过程和结果，进一步加深对分式混合运算的理解。
分数混合运算应用题练习题一分数混合运算应用题练习题一分数混合运算是一种常见的数学问题，它涉及到分数的加减乘除以及各种应用场景。
下面我们通过一道例题来讲解分数混合运算的解题方法和技巧。
例题：某班共有40名学生，其中男生占1/2，女生占1/2。
分式混合运算
分式混合运算分式混合运算是指在一个数学问题中同时涉及到整数、分数和运算符的一种计算方法。
这种运算需要我们熟练掌握分数的加减乘除运算规则，并能够根据问题的要求进行适当的运算操作。
在本文中，我们将介绍分式混合运算的基本概念和常见的运算方法。
1. 加减混合运算在加减混合运算中，我们需要将整数与分数进行相加或相减。
下面是一些例子来帮助我们理解这个概念：例子1：计算：2 + 1/4解答：首先，我们需要将2转换成分数形式，即2可以表示为8/4。
然后，进行分数相加运算，得到： 2 + 1/4 = 8/4 + 1/4 = 9/4例子2：计算：3 - 2/5解答：首先，我们需要将3转换成分数形式，即3可以表示为15/5。
然后，进行分数相减运算，得到： 3 - 2/5 = 15/5 - 2/5 = 13/52. 乘除混合运算在乘除混合运算中，我们需要将整数与分数进行相乘或相除。
下面是一些例子来帮助我们理解这个概念：例子3：计算：4 * 1/3解答：首先，我们将4转换成分数形式，即4可以表示为12/3。
然后，进行分数相乘运算，得到： 4 * 1/3 = 12/3 *1/3 = 12/9 = 4/3例子4：计算：5 ÷ 2/5解答：首先，我们将5转换成分数形式，即5可以表示为25/5。
然后，进行分数相除运算，得到： 5 ÷ 2/5 = 25/5 ÷2/5 = 25/5 * 5/2 = 125/10 = 12.53. 混合运算的综合应用在实际应用中，我们经常会遇到更复杂的混合运算问题，需要我们根据实际情况进行适当的运算操作。
下面是一个综合应用的例子：例子5：计算：3 + 1/2 - 2/3 * 4解答：首先，我们需要按照运算优先级进行计算。
根据乘除优先于加减的原则，我们需要先进行乘法运算，然后再进行加减运算。
具体步骤如下：1.计算乘法部分：2/3 * 4 = 8/32.计算加减部分：3 + 1/2 - 8/33.首先，我们需要将3和1/2转换成相同的分母。
分式的混合运算
授课学校： 授课教师：
分式的混合运算
分式混合运算的顺序与有理数混合运算 的顺序相同，即先乘方，再乘除，最后算加 减，如果有括号，就先算括号里的。
当除法写成乘法的形式时，灵活的应用乘 法交换律和结合律可起到简化运算的作用；
分式的乘除混合运算
例
计算：
2x 5x-3
m2
1 2mn
n2
1 m2
1 n2
mn m3n3
分析与解：原式
(m
2
n)3
mn mn
(m
1
n)2
m2 n2 m2n2
m3n3 mn
(m
2
n)2
1 mn
(m
1
n)2
m2 n2 m2n2
m3n3 mn
2mn m2 n2 mn (m n)2 (m n)2 m n
(3) x 3 x(x 2)
分式的加减运算
1.通分，化成同分母； 2.最后结果化成最简分式或整式.
分式的混合计算
1.计算
(1)1 1 x x 1 x2 1
(1) x 1
(2)( x 2 x 1 ) x 4 x2 2x x2 4x 4 x
(2)
1 (x 2)2
(3) 1 1 m n m n
谢谢聆听，再见！
3 25x2 -9
x. 5x+3
解：
2x 5x-3
3 25x2 -9
x 5x+3
=
2x 5x-3
25x2 -9 3
x 5x+3
= 2x2 . 3
分式的乘除混合运算
1. 除 法 统 一 为 乘 法 （ 分 子 分 母 有 多 项式，要分解因式）； 2.约分，化成最简分式或整式.
分式混合运算练习题及答案
分式混合运算练习题及答案分式混合运算练习题及答案数学是一门需要不断练习和巩固的学科，而分式混合运算是其中一个重要的知识点。
通过练习分式混合运算，可以提高我们的计算能力和逻辑思维能力。
下面，我将给大家提供一些分式混合运算的练习题及答案，希望能对大家的学习有所帮助。
题目一：计算下列分式的值：(2/3 + 4/5) × (3/4 - 1/6)解答一：首先，我们需要先计算括号内的两个分式的值。
对于(2/3 + 4/5)，我们可以找到它们的最小公倍数，即15。
然后，将分子乘以15除以分母，得到10/15 +12/15 = 22/15。
同样地，对于(3/4 - 1/6)，我们可以找到它们的最小公倍数，即12。
然后，将分子乘以12除以分母，得到9/12 - 2/12 = 7/12。
所以，括号内的两个分式的值分别为22/15和7/12。
接下来，我们需要将这两个分式相乘。
将分子相乘，得到22 × 7 = 154；将分母相乘，得到15 × 12 = 180。
所以，最终的结果为154/180。
我们可以进一步化简这个分式，将分子和分母同时除以它们的最大公约数，即2。
得到77/90。
所以，(2/3 + 4/5) × (3/4 - 1/6)的值为77/90。
题目二：计算下列分式的值：(5/6 ÷ 2/3) + (3/4 × 1/2)解答二：首先，我们需要先计算除法运算。
对于5/6 ÷ 2/3，我们可以将除法转化为乘法，即5/6 × 3/2。
将分子相乘，得到5 × 3 = 15；将分母相乘，得到6 × 2 = 12。
所以，5/6 ÷ 2/3的值为15/12。
接下来，我们需要计算乘法运算。
对于3/4 × 1/2，我们将分子相乘，得到3 ×1 = 3；将分母相乘，得到4 ×2 = 8。
所以，3/4 × 1/2的值为3/8。
人教版八年级数学上册15.2.2.2《分式的混合运算》教案
人教版八年级数学上册15.2.2.2《分式的混合运算》教案一. 教材分析人教版八年级数学上册15.2.2.2《分式的混合运算》一节，主要让学生掌握分式的加减乘除运算规则，以及混合运算的运算顺序。
这一节内容在分式知识体系中占据重要地位，为后续分式方程和不等式的学习打下基础。
教材通过例题和练习，使学生熟练掌握分式混合运算的方法和技巧。
二. 学情分析八年级的学生已经学习了分式的基本概念和运算规则，对分式有了一定的认识。
但学生在混合运算方面，可能会存在运算顺序混乱、对运算规则理解不深等问题。
因此，在教学过程中，需要引导学生理清运算顺序，加深对运算规则的理解。
三. 教学目标1.让学生掌握分式的加减乘除运算规则。
2.培养学生解决分式混合运算问题的能力。
3.提高学生对数学运算的兴趣和自信心。
四. 教学重难点1.重点：分式的加减乘除运算规则，混合运算的运算顺序。
2.难点：理解并运用运算规则解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究分式混合运算的规则。
2.用实例讲解，让学生在实际问题中体会运算规则的应用。
3.运用小组合作学习，培养学生团队合作精神。
4.及时反馈，激发学生学习兴趣。
六. 教学准备1.准备相关例题和练习题，涵盖分式混合运算的各种情况。
2.制作课件，辅助讲解和展示。
3.准备黑板，用于板书关键步骤和结论。
七. 教学过程1. 导入（5分钟）以一个实际问题引入：某商店举行打折活动，原价100元的商品，打8折后售价是多少？让学生尝试用分式混合运算解决这个问题。
2. 呈现（10分钟）讲解分式混合运算的规则，通过PPT展示各种类型的题目，让学生观察和分析，引导学生发现运算规律。
3. 操练（10分钟）让学生独立完成PPT上的练习题，教师巡回指导，及时解答学生的疑问。
4. 巩固（10分钟）学生分组讨论，互相检查答案，教师随机抽取学生回答，检验掌握情况。
5. 拓展（10分钟）让学生举例说明分式混合运算在实际生活中的应用，分享给其他同学。
分式混合运算专题练习(经典集合)
分式的运算一、典型例题例1、下列分式a bc 1215，a b b a --2)(3，)(222b a b a ++，b a b a +-22中最简分式的个数是( ).A.1B.2C.3D.4例2.计算：3234)1(x y y x ∙ a a a a 2122)2(2+⋅-+ x y xy 2263)3(÷41441)4(222--÷+--a a a a a 例3、 若432z y x ==,求222zy x zxyz xy ++++的值.例4、计算（1）3322）（c b a - （2）43222)()()(xy x y y x -÷-⋅-（3）2332)3()2(c b a bc a -÷- （4）232222)()()(xy xy xy x y y x -⋅+÷-例5计算：1814121111842+-+-+-+--x x x x x练习：1.计算：8874432284211x a x x a x x a x x a x a --+-+-+--例6.计算：2018119171531421311⨯+⨯++⨯+⨯+⨯练习1、()()()()()()()()1011001431321211++++++++++++x x x x x x x x例7、已知21)2)(1(12++-=+-+x Bx A x x x ,求A. B 的值。
针对性练习：1.计算下列各题:（1）2222223223xy yx y x y x y x y x ----+--+ （2）1111322+-+--+a a a a .(3)29631a a --+ (4) 21x x -－x －1 (5)3a a --263a a a +-+3a ，(6)xy yy x x y x xy --++-222 ⑺b a b b a ++-22 ⑻293261623x x x -+--+⑼xy y x y x y x 2211-⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-- ⑽ 222x x x +--2144x x x --+（11）a a a a a a 4)22(2-⋅+--．2．已知x 为整数，且918232322-++-++x x x x 为整数，求所有的符合条件的x 的值的和．3、混合运算：⑴2239(1)x x x x ---÷ ⑵232224xx x x x x ⎛⎫-÷ ⎪+--⎝⎭⑶ a a a a a a 112112÷+---+⑷ 444)1225(222++-÷+++-a a a a a a ⑸ )1x 3x 1(1x 1x 2x 22+-+÷-+-⑹ )252(23--+÷--x x x x ⑺ 221111121x x x x x +-÷+--+⑻2224421142x x x x x x x -+-÷-+-+ ⑼2211xy x y x y x y ⎛⎫÷- ⎪--+⎝⎭⑽ (ab b a 22++2)÷ba b a --22 ⑾22321113x x x x x x x +++-⨯--+⑿ x x x x x x x x x 416)44122(2222+-÷+----+ (13)、22234()()()x y y y x x-⋅-÷-（14）、)252(423--+÷--m m m m （15）、x x x x xx x --+⋅+÷+--36)3(446222（16）、 ()3212221221------⎪⎭⎫ ⎝⎛ba cb b a （17）、⎪⎭⎫ ⎝⎛---÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--x x x x x 23441823224．计算：x xx x x x x x -÷+----+4)44122(22，并求当3-=x 时原式的值．5、先化简，x x x x x x11132-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+--再取一个你喜欢的数代入求值：6、有这样一道题：“计算22211x x x -+-÷21x x x -+-x 的值，其中x=2 004”甲同学把“x=2 004”错抄成“x=2 040”，但他的计算结果也正确，你说这是怎么回事？7、计算、)1(1+a a ＋)2)(1(1++a a ＋)3)(2(1++a a ＋…＋)2006)(2005(1++a a 。
分式的混合运算练习题及答案
分式的混合运算练习题及答案分式的混合运算练习题及答案分式是数学中常见的一种数形式，它由分子和分母组成，分子表示被分割的部分，分母表示总共的部分。
在实际生活中，我们经常会遇到需要进行分式的混合运算的情况，比如在购物时计算折扣、在烹饪中调整食材的比例等等。
下面我将给大家提供一些分式的混合运算练习题及答案，希望对大家的数学学习有所帮助。
1. 小明有1/4千克的苹果，他打算分给5个朋友，每人分多少千克？解答：将1/4千克除以5，即1/4 ÷ 5 = 1/4 × 1/5 = 1/20千克。
所以每人分到的苹果重量为1/20千克。
2. 一桶果汁有3/5升，小红喝了1/4升后，还剩下多少升？解答：将3/5升减去1/4升，即3/5 - 1/4 = 12/20 - 5/20 = 7/20升。
所以还剩下7/20升果汁。
3. 小明用1/2小时走完了全程，他一共用了多少分钟？解答：将1/2小时转换成分钟，即1/2 × 60 = 30分钟。
所以小明一共用了30分钟。
4. 一辆汽车以每小时80公里的速度行驶，行驶了1/4小时后停下来休息，此时汽车行驶了多少公里？解答：将每小时80公里的速度乘以1/4小时，即80 × 1/4 = 20公里。
所以汽车行驶了20公里。
5. 一张长方形的纸片的长是2/3米，宽是1/4米，求纸片的面积。
解答：将长和宽相乘，即2/3 × 1/4 = 2/12 = 1/6平方米。
所以纸片的面积为1/6平方米。
通过以上的练习题，我们可以看到分式的混合运算并不复杂，只需要将题目中的分式进行相应的运算即可得到答案。
在进行分式的混合运算时，我们需要注意分式的基本运算规则，比如分数的加减乘除运算规则，以及分数的化简等等。
熟练掌握这些规则，我们就能够轻松地解决分式的混合运算问题。
当然，在实际生活中，我们还会遇到更加复杂的分式混合运算问题，比如多个分式的加减乘除运算，或者分式与整数的混合运算等等。
分式四则混合运算
第6讲 分式的四则混合运算模块一：分式的加减分式的加减法与分数的加减法一样，分为同分母分式相加减和异分母分式相加减两种．分式的加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减．异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减． 用式子表示为：a c a cb b b ±±=；ac ad bc ad bc b d bd bd bd±±=±= 【注意】：(1)分式的加减运算结果必须是最简分式或整式，运算中要适当约分．(2)如果一个分式与一个整式相加减，那么可以把整式看成分母为1的分式，先通分，再进行加减运算． 模块二：分式的混合运算含有分式的乘除、乘方、加减的多种运算叫做分式的混合运算．分式的混合运算顺序：先乘方，在乘除，然后加减．有括号时，按照小括号、中括号、大括号的顺序，先做括号内的运算，再做括号外的运算．同级运算，从左往右依次计算．模块三：先化简再求值一般情况，我们只需要先化简到最简，然后再将数值带入即可。
但有时需要利用整体思想，把某个式子看作整体，再将这个式子整体代入到化简后的式子中求值。
模块一：分式的加减例1、(1)如果3y x =−+，且x y ≠，那么代数式22x y x y y x +−−的值为（ ） A ．3B ．3−C ．13D ．13− (2)若1a x −+1b x +＝231x x −−，那么a ＝_____，b ＝_____． 例2、已知23723(1)(1)11x x A B x x x x −+=++−+−+，其中A 、B 为常数，求42A B −的值．例3、我们知道，假分数可以化为带分数．例如：83=2+23=2．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：2111x x x x −+−，这样的分式就是假分式；23211x x x ++，这样的分式就是真分式 ．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式和的形式）． 例如：11x x −+=121x x +−+（）=1-2211x x x ++；=2111x x −++=1111x x x +−++=111x x −++． （1）将分式12x x −+化为带分式；（2）若分式211x x −+的值为整数，求x 的整数值．例4、计算： 2411111111x x x x +++−+++模块二：分式的混合运算例5、22521132x x x x x x x x −+++−÷−+−例6、先化简，再求值，221211111x x x x x x ⎛⎫−+−+÷ ⎪+−+⎝⎭，其中x =2．例7、已知2210250x xy y −+=，且0xy ≠，求代数式22232393x x x x y x y x y −÷+−−的值．例8、化简1111(1)(1)(2)(2)(3)(2019)(2020)x x x x x x x x +++++++++++模块三：先化简再求值 例9、(1)如果x ﹣3y ＝0，那么代数式222()x y x x y y ⎛⎫+−÷− ⎪⎝⎭的值为（ ） A ．﹣2 B ．2 C ．12 D ．3(2)已知20a b −=，求代数式222216313969b a b a b a b a ab b +⎛⎫−+÷ ⎪+−−+⎝⎭的值．例10、(1)已知a b −=，求代数式22()2a b a b a a b +−⋅−的值.(2)已知2340m m +−=，求代数式253(2)22m m m m m−+−÷−−的值.例11、若223a b −=，则22766a ab b ab b a−−+−的值为（ ） A. 13 B.14− C. 13− D.14课后作业1、如果2220x x +−=，那么代数式214422x x x x x x −+⋅−−+的值为（ ） A ．2− B ．1− C ．1 D ．22、先化简，再求值：21111x x x ⎛⎫−÷⎪+−⎝⎭，其中2x =．3、已知2 3721553x A B x x x x +=++−+−，求,A B 的值4、阅读下面材料： 在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：11x x −+，21x x −这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：31x +，221x x +这样的分式就是真分式.我们知道，假分数可以化为带分数，例如：86222223333+==+=，类似地，假分式也可以化为“带分式”（即整式与真分式的和的形式）参考上面的方法解决下列问题：()1将分式11x x −+，422311x x x +−+化为带分式． ()2当x 取什么整数值时，分式212x x −+的值也为整数？5、已知115x y−=，则2322x xy y x xy y −+++的值。
分式的混合运算
分式的混合运算（复习）教案
隆昌县双凤镇初级中学：段绪彪
【教学目标】
1、知识与技能：（1）进一步理解分式的乘除、乘方、加减法则。
（2）熟练的运用运算法则进行分式的混合运算。
（3）提高学生代数式变形的能力。
2、过程与方法：经历复习分式混合运算的过程，使学生初步理解转化思想、类比思想、整体思想。
3、情感态度与价值观：在活动中培养学生乐于探索、合作学习的习惯，培养学生“用数学”的意识能力。
【教学重点】熟练掌握分式的混合运算。
【教学重点】异分母分式的加减运算、分式的混合运算。
【教学过程】
一、透析中考
本节在中考中常以选择题、填空题和计算题的形式出现，分式的运算是历年来各地中考的重点，可结合一元二次方程、绝对值方程、不等式、函数等相关知识来考查，也可将分式的基本性质渗透到综合题的约分和通分中，本节在中考中的分值为
7—10分。
二、知识回顾
（一）课前热身
1、约分与通分：（1）282x xy
（2）22y x y x （3）a 1和31。
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2 x+ y x + y x 2 2 = − ⋅ + ⋅ ⋅ x+ y 1 x− y 5x x + y 5x 2 2 x = − + 2 ⋅ 5x 5x x− y
= 2x x− y
∵x + y是分式中的分母 ∴x + y ≠ 0
∴x − 5y = 0
(
)(
)
x = 5y 10 y 10 y 5 ∴原式= = = 5y − y 4y 2
( x − 3)( x + 2) = ( x + 4)( x − 2)
x − x−6 = 2 x + 2x − 8
2
巩固检验： 巩固检验： 3. 计算
x ab x bc x −1 x − 4 ⋅ (2) 2 2 ÷ 2 2 (1) y c y a x − 2 x +1
2 2
2
2
x − 6x + 9 x + x ⋅ (3) 2 x −1 x−3 a 2 1 − 2 ) ÷ (1 − ) (4) ( a −1 a −1 a +1
2x +1 (5) x + 2 − x +1
（6）计算： x + y 计算：
x y2 − + 2 x x − y x − xy 2 x+ y x y 解： x − x − y + x 2 − xy 2 2 ( x + y )( x − y ) x y = − + x( x − y ) x( x − y ) x( x − y ) 2 2 2 2 x −y −x +y = =0 2 x − xy
x x+6 1 （7）当 x = 200 时，求 − 2 + x − 3 x − 3x x 的值. 的值. x x+6 1 解: − 2 + x − 3 x − 3x x x2 x+6 x−3 = − + x ( x − 3) x ( x − 3 ) x ( x − 3 )
x2 − 9 ( x − 3)( x + 3) x+3 = = = x ( x − 3) x ( x − 3) x 200 + 3 203 = 原式= 当 x = 200 时,原式= 200 200
= 2x + 6 2( x + 3) =2 = x +3 x +3
x2 + x − 6 2x − 6 (1). ÷ (x + 3) ⋅ 2 3− x 4 − 4x + x
点评：1.注意符号的变化 2.通过约分也能达到通分的目的
练习
a −b b −a (1). ⋅ ab − a
2 2
巩固检验： 巩固检验： 先化简，后求值： 3. 先化简，后求值：
3− m 5 ÷ (m + 2 − )， = 2 − 3 m 2m − 4 m−2
例题3 计算：
x2 + 9x x2 − 9 (2). 2 + 2 x + 3x x + 6x + 9 2( x − 3) ⋅ 1 ( x + 3)( x − 2) x( x + 9) ( x + 3)( x − 3) ⋅ 原式= 解: 原式= + 2 x +3 − ( x − 3) x( x + 3) ( x − 2) ( x + 3)2 x + 9 x −3 2 + = =− x +3 x +3 x −2
整数指数幂有以下运算性质： 整数指数幂有以下运算性质：
（1）am·an=am+n (a≠0) （2）(am)n=amn (a≠0) ） （3）(ab)n=anbn (a,b≠0) ） （4）am÷an=am-n (a≠0) ）
a a ( （5） b ) = b ）
n
n
n
（b≠0） ）
当 时 。 （6） a≠0时，a0=1。 ）
解答下列问题： 1 + 1 + 1 + … （ 1 ） 在 和 式 1× 3 3 × 5 5 × 7 中，第5项为 ___________，第n项为___________，上述求和的想法 是：将和式中的各分数转化为两个数之差，使得首末两 面外的中间各项可以__________，从而达到求和目的。 （2）利用上述结论计算
2
a2 + 4 1 1 8 (10).1− 2 −1 ÷ − a −4 4a 2 a
例2.解答题
1.计算 计算
4 (1)a + 2 − 2−a
2.解方程 2.解方程
1 a −b ab − a ( 2) 2 ÷ 2 2 ⋅ 4 a + ab a b − a b − a
点评：在化简中要有整体思想意识，运用技巧。 要注意分式中的隐含条件，分母不为0是分式学习的要点。
x+3 A B = + 2 2 求A、B （8） 已知 ( x − 2) ） 、 x − 2 ( x − 2)
1 x +3 x − 2x +1 (9). − 2 ⋅ 2 x −3 x −1 x − 4x +3
(7)n是正整数时 a-n属于分式。 是正整数时, 属于分式。 是正整数时 并且 a− n = 1
n (a≠0) a
4 3 (1) − a a
x +1 2x +1 − ( 2) x −1 1 − x
x +1 2x +1 x +1 2x +1 ( 4) 2 − (3) + x −1 x + 1 x −1 x + 2
2 −3
÷
1 a2 − b2
1 x + 3 x2 − 2x +1 (2). − 2 ⋅ 2 x − 3 x −1 x − 4x + 3
a2 + 4 1 1 (3).1− 2 −1 ÷ − 2 a a − 4 4a 8
例4.
4 4 x+ y x − y : − − x − y ÷ . 已知 x2 − 4xy − 5y2 = 0求: 的值 x 5x x + y 5x 2 2 x + y x + y x ∵x2 − 4xy − 5y2 = 0 − − 解: 原式= ⋅ 1 x − y 5x x + y 5x ∴ x + y x − 5y = 0
1 42
1:下列等式是否正确 为什么 下列等式是否正确?为什么 下列等式是否正确 为什么? (1)am÷an= am.a-n;
a n (2) ( ) = a n b − n b
.
2. 0.000000879用科学计数法表示为 用科学计数法表示为
3.如果（2x-1）-4有意义，则 4.(2×10-3)2×(2×10-2)-3= × × 5、（an+1bm）-2÷anb=a-5b-3，则m= 、 ．
1 1 1 1 + + + ⋯+ x( x + 2) ( x + 2)(x + 4) ( x + 4)(x + 6) ( x + 2000)(x + 2002)
拓展延伸
观察下列各式： 1 1 1 1； 1 = = = −
6 2×3 2 3 1 1 1 1 = = − 30 5 × 6 5 6
1 1 1 = − 12 3 × 4 3 4
。
，n=
计算
a −b (6). ab
2
1 b −a ⋅ ÷ 2 2 −a a −b
−3
(7 )
− 5 x − 2 y 3 )( 2 x 4 y − 2 z ) ( 10 x y
2
1 1 1 1 = ( − ) 1× 3 2 3 3× 5 2 3 5 1 1 1 1 ) = ( − 2001× 2003 2 2001 2003
1 1 1 1 + + +…+ = 1× 3 3 × 5 5 × 7 2001× 2003
1 1 1 1 = ( − ) 5× 7 2 5 7
……
1 1 1 1 1 1 1 1 ) (1− + − + − +⋯+ − 2 3 3 5 5 7 2001 2003
3、分式乘除
x + 4x + 4 x+2 ÷ 2 2 x −4 x − 2x
2
2b 2 a −1 2 − a
x −x− y x− y
2
2m n 5 p q 5mnp (6) ⋅ ÷ 2 2 3 pq 4mn 3q
16 − a a−4 a−2 (7) 2 ÷ ⋅ a + 8a + 16 2a + 8 a + 2
1 1 1 1 ； = = − ； 20 4 × 5 4 5
……
由此可推断 =_______________。 （2）请猜想能表示（1）的特点的一般规律， 用含字m的等式表示出来，并证明(m表示整数) （3）请用（2）中的规律计算
1 1 1 − 2 + 2 2 x − 5x + 6 x − 4x + 3 x − 3x + 2
2
7 1 6 + 2 = 2 2 x + x x − x x −1
a2 + b2 a −b 2 ab ( 2 − )÷ 2 3.先化简 a − b 先化简: 先化简 a +b ( a − b )( a + b ) 2 ,
然后请你自取一组a,b值代入求值 然后请你自取一组 值代入求值. 值代入求值