(新课标 通用版)2015届高考数学一轮复习 4-1变化率与导数、导数的计算检测试题(2)文

【状元之路】（新课标，通用版）2015届高考数学一轮复习 4-1变化
率与导数、导数的计算检测试题（2）文
一、选择题
1．曲线y ＝－x 3
＋3x 2
在点(1,2)处的切线方程为( )
A ．y ＝3x －1
B ．y ＝－3x ＋5
C ．y ＝3x ＋5
D ．y ＝2x
解析：y′＝－3x 2
＋6x ，y′|x ＝1＝－3×12
＋6×1＝3，又切线过点(1,2)，则切线方程为y －2＝3(x －1)，整理得y ＝3x －1.
答案：A 2．曲线y ＝
sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4，0处的切线的斜率为( ) A ．－1
2
B .12
C ．－
2
2
D .
22
解析：y′＝
cos sin x ＋cos －sin
cos x －sin
sin x ＋cos
2
＝11＋sin 2x ，所以y′|x＝π4＝11＋sin
π
2＝12
. 答案：B
3．已知点P 在曲线y ＝
4
e x
＋1
上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( ) A .⎣
⎢⎡⎭
⎪⎫
0，π4
B .⎣
⎢⎡⎭
⎪⎫π4，π
2 C .⎝ ⎛⎦
⎥⎤
π2，
3π4 D .⎣⎢
⎡⎭
⎪
⎫3π4，π
解析：y′＝－4e
x
e x
＋2
＝
－4
e x ＋2＋1
e
x
≥－1(当且仅当e x
＝1，即x ＝0时取等号)，即－1≤tan α＜
0，所以3π
4
≤α＜π.
答案：D
4．若曲线y ＝x 2
＋ax ＋b 在点(0，b)处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( )
A ．a ＝1，b ＝1
B ．a ＝－1，b ＝1
C ．a ＝1，b ＝－1
D ．a ＝－1，b ＝－1
解析：∵y′＝2x ＋a ，
∴k＝y′|x ＝0＝a ＝1，将(0，b)代入切线：0－b ＋1＝0. ∴b＝1，故a ＝1，b ＝1. 答案：A
5．若函数f(x)＝ax 4
＋bx 2
＋c 满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于( )
A ．－1
B ．－2
C ．2
D ．0
解析：∵f′(x)＝4ax 3
＋2bx 为奇函数，∴f′(－1)＝－f′(1)＝－2. 答案：B
6．[2014·大庆高三质检]下列四个图像中，有一个是函数f(x)＝13
x 3＋ax 2＋(a 2
－4)x ＋1(a ∈R ，
a ≠0)的导函数y ＝f ′(x )的图像，则f (1)＝( )
A.103
B.43 C ．－23
D ．1
解析：f ′(x )＝x 2
＋2ax ＋a 2
－4，因为a ≠0，所以f ′(x )不是偶函数，排除第一、二个图像，
由于开口向上，所以第三个图像是f ′(x )的图像，⎩⎪⎨⎪
⎧
f ＝0，－2a
2>0.a ＝－2，f (x )＝1
3
x 3－2x 2＋1，
f (1)＝－2
3
.选C.
答案：C
7．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)，则f ′(0)等于( )
A ．26
B ．29
C ．212
D ．215
解析：∵f ′(x )＝(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)＋x ·[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]′， ∴f ′(0)＝a 1a 2·…·a 8.
∵{a n }为等比数列，a 1＝2，a 8＝4， ∴f ′(0)＝a 1a 2·…·a 8＝(a 1a 8)4
＝84
＝212
. 答案：C
8．设函数f (x )＝sin θ3x 3＋3cos θ2x 2＋tan θ，其中θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12，则导数f ′(1)的取值范围
是( )
A ．[－2,2]
B ．[2，3]
C ．[3，2]
D ．[2，2]
解析：∵f ′(x )＝sin θx 2
＋3cos θx ， ∴f ′(1)＝sin θ＋3cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3.
∵θ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12，∴θ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，3π4，
∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3∈[2，2]． 答案：D
9．设x ∈R ，函数f (x )＝e x ＋a e －x
的导函数y ＝f ′(x )是奇函数，若曲线y ＝f (x )的一条切线的斜率为3
2
，则切点的横坐标为( )
A.ln23 B ．－ln22
C ．ln2
D ．－ln2
解析：y ＝f ′(x )＝e x
－a e －x ，∵y ＝f ′(x )为奇函数， ∴f ′(0)＝1－a ＝0，∴a ＝1，∴f ′(x )＝e x
－e －x
， 由e x －e －x ＝32，得e x
＝2，∴x ＝ln2.
答案：C
10．[2014·石家庄质检一]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
14
x ＋1，x
ln x ，x ＞
则方程f (x )＝ax 恰有两个
不同实根时，实数a 的取值范围是(注：e 为自然对数的底数)( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e
B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，1e
C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，14 D.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫14，e 解析：当x ＞1时，设函数f (x )图像上任意一点P (x ，ln x )，它与原点O 的连线的斜率为k ＝ln x
x
，则k ′＝1－ln x x
2
.令k ′＝0，得x ＝e.当x ∈(0，e)时，k ′＞0；当x ∈(e ，＋∞)时，k ′＜0，所以
k max ＝1e .画出函数y ＝f (x )与y ＝ax 的图像，如图所示．由图像可知，当14≤a ＜1e
时，两函数的图像有
两个不同的交点，即方程f (x )＝ax 恰有两个不同的实数根，故选B.
答案：B 二、填空题
11．若f (x )＝2xf ′(1)＋x 2
，则f ′(0)＝__________.
解析：f ′(x )＝2f ′(1)＋2x .令x ＝1，得f ′(1)＝2f ′(1)＋2，即f ′(1)＝－2.令x ＝0，得
f ′(0)＝2f ′(1)＝－4.
答案：－4
12．若以曲线y ＝13x 3＋bx 2
＋4x ＋c (c 为常数)上任意一点为切点的切线的斜率恒为非负数，则
实数b 的取值范围为__________．
解析：y ′＝x 2
＋2bx ＋4，∵y ′≥0恒成立， ∴Δ＝4b 2
－16≤0，∴－2≤b ≤2. 答案：[－2,2]
13．已知函数f (x )，g (x )满足f (5)＝5，f ′(5)＝3，g (5)＝4，g ′(x )＝1，则函数y ＝f x ＋2
g x
的图像在x ＝5处的切线方程为__________．
解析：由y ＝
f x ＋2
g x
＝h (x )知
y ′＝h ′(x )＝
f
x g x －f x ＋
g x
[g x 2
，
得h ′(5)＝f
g
－f ＋
g
[g
2
＝
3×4－＋
4
2
＝516
.
又h (5)＝
f ＋2
g ＝5＋24＝74，所以切线方程为y －74＝516
(x －5)，即5x －16y ＋3＝0.
答案：5x －16y ＋3＝0
14．若函数f (x )＝－13x 3＋12f ′(1)x 2
－f ′(2)x ＋5，则曲线f (x )在点(0，f (0))处的切线l 的方
程为__________．
解析：f ′(x )＝－x 2
＋f ′(1)·x －f ′(2)，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
f
＝－1＋f －f f ＝－4＋2f
－f
，
∴f ′(2)＝－1，f ′(1)＝1.
∴f (x )＝－13x 3＋12x 2＋x ＋5，f ′(x )＝－x 2
＋x ＋1.
∴f ′(0)＝1，f (0)＝5.
∴曲线f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝x ＋5. 答案：x －y ＋5＝0 三、解答题
15．已知函数f (x )＝x 在x ＝14处的切线为l ，直线g (x )＝kx ＋9
4与l 平行，求f (x )的图像上的
点到直线g (x )的最短距离．
解析：∵f (x )＝x ，∴f ′(x )＝1
2x
.
∴切线l 的斜率为k ＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1，切点为T ⎝ ⎛⎭
⎪⎫14，12. ∴切线l 的方程为x －y ＋1
4＝0.
∵切线l 与直线g (x )＝kx ＋9
4平行，
∴k ＝1，即g (x )＝x ＋9
4
.
f (x )的图像上的点到直线
g (x )＝x ＋94的最短距离为切线l ：x －y ＋14＝0与直线x －y ＋94
＝0之
间的距离，∴所求最短距离为|94－14
|2
＝ 2.
答案： 2
16．设函数f (x )＝ax －b x
，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.
(1)求f (x )的解析式；
(2)证明曲线f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．
解析：(1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝7
4x －3.
当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋b
x
2，
于是⎩⎪⎨⎪
⎧
2a －b 2＝12
，
a ＋
b 4＝7
4，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝1，
b ＝3.
故f (x )＝x －3
x
.
(2)设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3
x
2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝
⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)， 即y －⎝
⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋3x
20
(x －x 0)．
令x ＝0，得y ＝－6
x 0
，
从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，－6x 0.
令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，
从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．
所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为S ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪
－6x 0|2x 0|＝6.
故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为定值，且此定值为6.
答案：(1)f (x )＝x －3
x
；(2)定值为6，证明略．
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教师用书独具
1．[2014·甘肃诊断]若曲线y ＝x 4
的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则切线l 的方程为( )
A ．4x －y －3＝0
B ．x ＋4y －5＝0
C ．4x －y ＋3＝0
D ．x ＋4y ＋3＝0
解析：设切点为P (x 0，y 0)，则斜率k ＝4x 3
0＝4，
∴x 0＝1，故切点为P (1,1)，所求切线方程为y －1＝4(x －1)，即4x －y －3＝0. 答案：A
2．[2014·南宁测试]曲线y ＝x 3
＋3x 2
＋6x －10，x ∈R 的切线中，斜率最小的切线方程为( ) A ．y ＝3x －17 B ．y ＝3x －11 C ．y ＝3x ＋11
D ．y ＝6x －10
解析：斜率k ＝3x 2
＋6x ＋6＝3(x ＋1)2
＋3≥3，k 最小时切点为(－1，－14)，此时切线方程为y ＝3x －11.
答案：B
3．[2014·山西测试]已知函数f (x )＝x 3
＋ax 2
－2ax ＋3a 2
，且在f (x )的图像上点(1，f (1))处的切线在y 轴上的截距小于0，则a 的取值范围是( )
A ．(－1,1)
B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫23，1 C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－23，1
D.⎝
⎛⎭⎪⎫－1，23 解析：∵f ′(x )＝3x 2
＋2ax －2a ，∴f ′(1)＝3，又f (1)＝1－a ＋3a 2
，∴在点(1，f (1))处的切线为y ＝3(x －1)＋1－a ＋3a 2，则可得3a 2
－a －2＜0，解得－23
＜a ＜1.
答案：C
4．[2014·河南测试]已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ∈(－∞，0]时，f (x )＝e －x
－e x 2
＋a ，则函数f (x )在x ＝1处的切线方程为( )
A ．x ＋y ＝0
B ．e x －y ＋1－e ＝0
C ．e x ＋y －1－e ＝0
D ．x －y ＝0
解析：由题意f (0)＝1＋a ＝0，∴a ＝－1，当x ∈(－∞，0]时，f (x )＝e －x
－e x 2
－1，当x ＞0时，
f (x )＝－f (－x )＝－e x ＋e x 2＋1，此时f ′(x )＝－e x ＋2e x ，f ′(1)＝－e ＋2e ＝e ，切点为(1,1)，故
切线方程为e x －y ＋1－e ＝0.
答案：B
5．[2014·济宁期末]已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，记f 2(x )＝f ′1(x )，f 3(x )＝f ′2(x )，…，f n (x )
＝f ′n －1(x )(n ∈N *
且n ≥2)，则f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋…＋f 2 012⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＝__________.
解析：f 2(x )＝f ′1(x )＝cos x －sin x ，f 3(x )＝f ′2(x )＝－sin x －cos x ，f 4(x )＝f ′3(x )＝sin x －cos x ，f 5(x )＝f ′4(x )＝sin x ＋cos x ，运算周期为4，四项和为0，故2 012项和为0.
答案：0
6．设函数f (x )＝ax ＋
1
x ＋b
(a ，b ∈Z )，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝3. (1)求f (x )的解析式；
(2)证明函数y ＝f (x )的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；
(3)证明曲线y ＝f (x )上任一点的切线与直线x ＝1和直线y ＝x 所围三角形的面积为定值，并求出此定值．
解析：(1)f ′(x )＝a －1
x ＋b
2
，
于是⎩⎪⎨⎪⎧
2a ＋12＋b ＝3，a －1
＋b
2
＝0.解得⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝1，
b ＝－1，
或⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝94，
b ＝－8
3.
因为a ，b ∈Z ，故f (x )＝x ＋
1x －1
. (2)已知函数y 1＝x ，y 2＝1
x
都是奇函数，
所以函数g (x )＝x ＋1
x
也是奇函数，其图像是以原点为中心的中心对称图形．
而f (x )＝x －1＋
1
x －1
＋1， 故函数f (x )的图像是以点(1,1)为中心的中心对称图形． (3)在曲线上任取一点⎝
⎛⎭
⎪⎫
x 0，x 0＋1x 0－1， 由f ′(x 0)＝1－
1x 0－
2
知，过此点的切线方程为
y －x 20－x 0＋1x 0－1＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1－
1x 0－2
(x －x 0)．
令x ＝1，得y ＝
x 0＋1x 0－1，切线与直线x ＝1交点为⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，x 0＋1x 0－1.
令y ＝x ，得y ＝2x 0－1，切线与直线y ＝x 交点为(2x 0－1,2x 0－1)； 直线x ＝1与直线y ＝x 的交点为(1,1)，
从而所围三角形的面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋1x 0－1－1·|2x 0－1－1|＝1
2·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 0－1|2x 0－2|＝2.
所以，所围三角形的面积为定值2.
答案：(1)f (x )＝x －3
x
；(2)函数f (x )的图像是以点(1,1)为中心的中心对称图形，证明略；(3)
证明略，定值为2.。