阶段滚动训练(九) 与圆有关的计算与证明-中考数学一轮复习知识考点习题课件(共15张)
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(2)若AB＝10，BC＝6，求CD的长.
解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，
AC AB2 - BC2 102 - 62 8.
∵AB＝AE＝10，AC⊥BE，∴CE＝BC＝6.
S△ACE
1 AE CD 2
1 AC CE, 2
CD AC CE 8 6 24 .
AE
10
5
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5.(202X·威海)如图，△ABC的外角∠BAM的平分线与它的外接圆⊙O相交于 点E，连接BE，CE，过点E作EF∥BC，交CM于点D. (1)求证：BE＝CE；
证明：∵四边形ACBE是⊙O的内接四边形， ∴∠EAM＝∠EBC. ∵AE平分∠BAM，∴∠BAE＝∠EAM. ∵∠BAE＝∠BCE，∴∠BCE＝∠EAM， ∴∠BCE＝∠EBC，∴BE＝CE.
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(2)求证：AF＝EF.
证明：连接AE.由(1)可知∠ADF＝∠B， 又∵∠ADF＝∠AEF，∴∠AEF＝∠B. ∵四边形AECF是⊙O的内接四边形， ∴∠ECF＋∠EAF＝180°. 由(1)可知BD∥CF，∴∠ECF＋∠B＝180°， ∴∠EAF＝∠B，∴∠EAF＝∠AEF，∴AF＝EF.
AB 4
24
2
∵∠AFE＝∠ACE，∠GFH＝∠AFE，∴∠GFH＝∠ACE.
∵DH⊥MN，∴∠FHG＝90°，∴∠GFH＋∠AGC＝90°.
∵∠ACB＝∠ACE＋∠ECD＝90°，∴∠ECD＝∠AGC.
又∵∠DEC＝∠CAG，∴△EDC∽△ACG，
ED EC ， AG DE AC CE 3 5 5 .
点A，在l上取一点D使得DA＝DC，DC，AB的延长线交于点E.
(1)求证：直线DC是⊙O的切线； 证明：连接OC. ∵AB是⊙O的直径．直线l与⊙O相切于点A， ∴∠DAB＝90°.∵DA＝DC，OA＝OC， ∴∠DAC＝∠DCA，∠OAC＝∠OCA， ∴∠DCA＋∠OCA＝∠DAC＋∠OAC， 即∠DCO＝∠DAO＝90°，∴OC⊥DC. ∵OC是⊙O的半径，∴直线DC是⊙O的切线．
阶段滚动训练(九) 与圆有关的计算与证明
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类型1 与圆的基本性质有关的计算与证明 1.(202X·衢州)如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB＝10，AC＝6
，连接OC，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中E是AD的中点. (1)求证：∠CAD＝∠CBA； 证明：∵E是AD的中点，OC是半径，
解：连接DF5.由(1)可知 BC BD.
又∵AB是⊙O的直径，∴AB⊥CD，
CE＝DE，∴DF＝CF＝10.
∵点C，F关于DG对称，∴DC＝DF＝10，∴DE＝5.
∵ tan1 2 ,∴BE＝DE·tan∠1＝2.
5 ∵∠1＝∠2， tan2
2 , 5
AE
DE tan2
25 , 2
∴AB＝AE＋BE＝
AC BA 6 10 ∴CE＝3.6.∵OC＝ 1 AB＝5，
2
∴OE＝OC－CE＝5－3.6＝1.4.
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2.(202X·南京)如图，在△ABC中，AC＝BC，D是AB上一点，⊙O经过点A， C，D，交BC于点E，过点D作DF∥BC，交⊙O于点F. (1)求证：四边形DBCF是平行四边形； 证明：∵AC＝BC，∴∠BAC＝∠B. ∵DF∥BC，∴∠ADF＝∠B. ∵∠BAC＝∠CFD，∴∠ADF＝∠CFD，∴BD∥CF. 又∵DF∥BC，∴四边形DBCF是平行四边形．
∴ AC CD ，∴∠CAD＝∠CBA.
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(2)求OE的长. 解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°. ∵E是AD的中点，OC是半径，∴OC⊥AD， ∴∠AEC＝90°，∴∠AEC＝∠ACB. 又∵∠CAE＝∠ABC，∴△AEC∽△BCA， CE = AC ,即 CE = 6 ，
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(2)求证：EF为⊙O的切线. 证明：连接EO并延长，交BC于点H，连接OB，OC. ∵OB＝OC，EB＝EC，∴直线EO垂直平分BC， ∴EH⊥BC.∵EF∥BC，∴EH⊥EF. ∵OE是⊙O的半径，∴EF为⊙O的切线．
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6.(202X·郴州)如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径.直线l与⊙O相切于
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3.(202X·温州)如图，C，D为⊙O上两点，且在直径AB两侧，连接CD，交AB 于点E，G是上一点，∠ADC＝∠G. (1)求证：∠1＝∠2；
证明：∵∠ADC＝∠G， AC AD, ∵AB为⊙O的直径，BC BD,
∴∠1＝∠2.
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(2)点C关于DG的对称点为F，连接CF.当点F落在直径AB上时，CF＝10， tan∠1＝ 2 ，求⊙O的半径.
29
2(29
)，∴⊙O的半径为
29
.
2
4Leabharlann 上一页 下一页类型2 与圆的切线有关的计算与证明 4.(202X·深圳)如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互
相垂直，垂足为D.连接BC并延长，交AD的延长线于点E. (1)求证：AE＝AB；
证明：连接AC，OC.∵CD为⊙O的切线，∴OC⊥CD. ∵CD⊥AD，∴OC∥AD，∴∠OCB＝∠E. ∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠B，∴∠E＝∠B，∴AE＝AB.
1 2 2 2
3
60 π 22 360
2
3
2π . 3
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7.(202X·株洲)AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，BC，直线MN过 点C，满足∠BCM＝∠BAC＝α. (1)如图1，求证：直线MN是⊙O的切线； 证明：连接OC. ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°， ∴∠BAC＋∠B＝90°.∵OC＝OB，∴∠B＝∠OCB. ∵∠BCM＝∠BAC，∴∠OCB＋∠BCM＝90°， 即∠OCM＝90°，∴OC⊥MN. ∵OC是⊙O的半径，∴MN是⊙O的切线．
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(2)如图2，点D在线段BC上，过点D作DH⊥MN于点H，直线DH交⊙O于点E，
F，连接AF并延长交直线MN于点G，连接CE，且CE＝ 5 .若⊙O的半径为
3
1，cosα＝ 3 ，求AG·DE的值.
4
解：∵AB是⊙O的直径，⊙O的半径为1，∴AB＝2.
cos cos BAC AC 3，即 AC 3 , AC 3 .
AC AG
23 2
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(2)若BC＝2，∠CAB＝30°，求图中阴影部分的面积.(结果保留π)
解：∵∠CAB＝30°，∴∠BOC＝2∠CAB＝60°.
∵OC＝OB，∴△COB是等边三角形，∴OC＝OB＝BC＝2.
由(1)可知OC⊥DC，∴∠OCE＝90°， CE 3OC 2 3,
∴S阴影＝S△OCE－S扇形OBC
(2)若AB＝10，BC＝6，求CD的长.
解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，
AC AB2 - BC2 102 - 62 8.
∵AB＝AE＝10，AC⊥BE，∴CE＝BC＝6.
S△ACE
1 AE CD 2
1 AC CE, 2
CD AC CE 8 6 24 .
AE
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5.(202X·威海)如图，△ABC的外角∠BAM的平分线与它的外接圆⊙O相交于 点E，连接BE，CE，过点E作EF∥BC，交CM于点D. (1)求证：BE＝CE；
证明：∵四边形ACBE是⊙O的内接四边形， ∴∠EAM＝∠EBC. ∵AE平分∠BAM，∴∠BAE＝∠EAM. ∵∠BAE＝∠BCE，∴∠BCE＝∠EAM， ∴∠BCE＝∠EBC，∴BE＝CE.
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(2)求证：AF＝EF.
证明：连接AE.由(1)可知∠ADF＝∠B， 又∵∠ADF＝∠AEF，∴∠AEF＝∠B. ∵四边形AECF是⊙O的内接四边形， ∴∠ECF＋∠EAF＝180°. 由(1)可知BD∥CF，∴∠ECF＋∠B＝180°， ∴∠EAF＝∠B，∴∠EAF＝∠AEF，∴AF＝EF.
AB 4
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2
∵∠AFE＝∠ACE，∠GFH＝∠AFE，∴∠GFH＝∠ACE.
∵DH⊥MN，∴∠FHG＝90°，∴∠GFH＋∠AGC＝90°.
∵∠ACB＝∠ACE＋∠ECD＝90°，∴∠ECD＝∠AGC.
又∵∠DEC＝∠CAG，∴△EDC∽△ACG，
ED EC ， AG DE AC CE 3 5 5 .
点A，在l上取一点D使得DA＝DC，DC，AB的延长线交于点E.
(1)求证：直线DC是⊙O的切线； 证明：连接OC. ∵AB是⊙O的直径．直线l与⊙O相切于点A， ∴∠DAB＝90°.∵DA＝DC，OA＝OC， ∴∠DAC＝∠DCA，∠OAC＝∠OCA， ∴∠DCA＋∠OCA＝∠DAC＋∠OAC， 即∠DCO＝∠DAO＝90°，∴OC⊥DC. ∵OC是⊙O的半径，∴直线DC是⊙O的切线．
阶段滚动训练(九) 与圆有关的计算与证明
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类型1 与圆的基本性质有关的计算与证明 1.(202X·衢州)如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB＝10，AC＝6
，连接OC，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中E是AD的中点. (1)求证：∠CAD＝∠CBA； 证明：∵E是AD的中点，OC是半径，
解：连接DF5.由(1)可知 BC BD.
又∵AB是⊙O的直径，∴AB⊥CD，
CE＝DE，∴DF＝CF＝10.
∵点C，F关于DG对称，∴DC＝DF＝10，∴DE＝5.
∵ tan1 2 ,∴BE＝DE·tan∠1＝2.
5 ∵∠1＝∠2， tan2
2 , 5
AE
DE tan2
25 , 2
∴AB＝AE＋BE＝
AC BA 6 10 ∴CE＝3.6.∵OC＝ 1 AB＝5，
2
∴OE＝OC－CE＝5－3.6＝1.4.
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2.(202X·南京)如图，在△ABC中，AC＝BC，D是AB上一点，⊙O经过点A， C，D，交BC于点E，过点D作DF∥BC，交⊙O于点F. (1)求证：四边形DBCF是平行四边形； 证明：∵AC＝BC，∴∠BAC＝∠B. ∵DF∥BC，∴∠ADF＝∠B. ∵∠BAC＝∠CFD，∴∠ADF＝∠CFD，∴BD∥CF. 又∵DF∥BC，∴四边形DBCF是平行四边形．
∴ AC CD ，∴∠CAD＝∠CBA.
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(2)求OE的长. 解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°. ∵E是AD的中点，OC是半径，∴OC⊥AD， ∴∠AEC＝90°，∴∠AEC＝∠ACB. 又∵∠CAE＝∠ABC，∴△AEC∽△BCA， CE = AC ,即 CE = 6 ，
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(2)求证：EF为⊙O的切线. 证明：连接EO并延长，交BC于点H，连接OB，OC. ∵OB＝OC，EB＝EC，∴直线EO垂直平分BC， ∴EH⊥BC.∵EF∥BC，∴EH⊥EF. ∵OE是⊙O的半径，∴EF为⊙O的切线．
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6.(202X·郴州)如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径.直线l与⊙O相切于
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3.(202X·温州)如图，C，D为⊙O上两点，且在直径AB两侧，连接CD，交AB 于点E，G是上一点，∠ADC＝∠G. (1)求证：∠1＝∠2；
证明：∵∠ADC＝∠G， AC AD, ∵AB为⊙O的直径，BC BD,
∴∠1＝∠2.
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(2)点C关于DG的对称点为F，连接CF.当点F落在直径AB上时，CF＝10， tan∠1＝ 2 ，求⊙O的半径.
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2(29
)，∴⊙O的半径为
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相垂直，垂足为D.连接BC并延长，交AD的延长线于点E. (1)求证：AE＝AB；
证明：连接AC，OC.∵CD为⊙O的切线，∴OC⊥CD. ∵CD⊥AD，∴OC∥AD，∴∠OCB＝∠E. ∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠B，∴∠E＝∠B，∴AE＝AB.
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7.(202X·株洲)AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，BC，直线MN过 点C，满足∠BCM＝∠BAC＝α. (1)如图1，求证：直线MN是⊙O的切线； 证明：连接OC. ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°， ∴∠BAC＋∠B＝90°.∵OC＝OB，∴∠B＝∠OCB. ∵∠BCM＝∠BAC，∴∠OCB＋∠BCM＝90°， 即∠OCM＝90°，∴OC⊥MN. ∵OC是⊙O的半径，∴MN是⊙O的切线．
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(2)如图2，点D在线段BC上，过点D作DH⊥MN于点H，直线DH交⊙O于点E，
F，连接AF并延长交直线MN于点G，连接CE，且CE＝ 5 .若⊙O的半径为
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1，cosα＝ 3 ，求AG·DE的值.
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解：∵AB是⊙O的直径，⊙O的半径为1，∴AB＝2.
cos cos BAC AC 3，即 AC 3 , AC 3 .
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(2)若BC＝2，∠CAB＝30°，求图中阴影部分的面积.(结果保留π)
解：∵∠CAB＝30°，∴∠BOC＝2∠CAB＝60°.
∵OC＝OB，∴△COB是等边三角形，∴OC＝OB＝BC＝2.
由(1)可知OC⊥DC，∴∠OCE＝90°， CE 3OC 2 3,
∴S阴影＝S△OCE－S扇形OBC