高一数学下学期期中联考试题含解析试题_1_1

清江中学等四校2021-2021学年高一数学下学期期中联考试题〔含解
析〕
一、选择题：(每一小题4分，一共40分)
的倾斜角为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由直线方程求出直线的斜率，再由斜率是倾斜角的正切值求解．
【详解】由直线x﹣y+3＝0，得其斜率为k＝1，
设直线的倾斜角为θ〔0≤θ＜π〕，
由tanθ＝1，得θ．
应选：A．
【点睛】此题考察直线的倾斜角，考察直线倾斜角与斜率的关系，是根底题．
2.在△ABC中，，那么等于〔〕
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
设A＝k，B＝2k，C＝3k，由，得6k＝180°，k＝30°，∴A＝30°，B＝60° ，C＝90°，∴a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝1∶∶2．应选C．
3.如图，在正方体中，直线与的位置关系是〔〕
A. 平行
B. 相交
C. 异面但不垂直
D. 异面且垂直
【答案】D
【解析】
由图形可知，两条直线既不相交也不平行，所以是异面直线，应选D.
4.棱长和底面边长均为1的正四棱锥的体积为〔〕
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
底面边长和侧棱长均为1的正四棱锥S﹣ABCD中，连结AC、BD交于点O，连结SO，那么SO⊥底面ABCD，AO，，由此能求出正四棱锥的体积．
【详解】如图，底面边长和侧棱长均为1的正四棱锥S﹣ABCD中，
连结AC、BD交于点O，连结SO，
那么SO⊥底面ABCD，
S正方形ABCD＝AB•BC＝1×1＝1，
AO，
，
∴正四棱锥的体积：
V．
故答案为：C．
【点睛】此题考察正四棱锥的体积的求法，考察空间中线线、线面、面面间的位置关系等根底知识，考察推理论证才能、运算求解才能，考察化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．
过第一、三、四象限，那么实数满足〔〕
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意画出图形，结合图形知a＞0且b＞0．
【详解】直线过第一、三、四象限，如下图；
那么a＞0，-b＜0．
即a＞0且b＞0．
应选：C．
【点睛】此题考察了直线方程的应用问题，是根底题．
6.在△ABC中，角的对边分别为a，b，c,假设，那么〔〕
A. B. C. 3 D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由3b cos C＝c〔1﹣3cos B〕．利用正弦定理可得3sin B cos C＝sin C〔1﹣3cos B〕，化简整理即可得出．
【详解】由正弦定理，设，
∵3b cos C＝c〔1﹣3cos B〕．
∴3sin B cos C＝sin C〔1﹣3cos B〕，
化简可得 sin C＝3sin〔B+C〕
又A+B+C＝π，
∴sin C＝3sin A，
∴因此sin C：sin A＝3：1．
应选：C．
【点睛】此题考察了正弦定理的应用，考察了推理才能与计算才能，属于中档题．在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要根据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现及、时，往往用余弦定理，而题设中假如边和正弦、余弦函数穿插出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进展解答.
7.m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面，那么以下命题中的真命题是 ( )
A. 假设那么
B. 假设，那么
C. 假设，那么
D. 假设，那么
【答案】D
【解析】
试题分析：由A选项假设.那么直线，那么直线，，那么直线，那么成立.所以选D.
考点：1.直线与平面的位置关系.2.平面与平面的位置关系.3.空间想象才能.
与互相垂直，垂足为，那么的值是〔〕
A. 24
B. 20
C. 0
D.
【答案】B
【解析】
∵两直线互相垂直，∴k1·k2＝－1，
∴－·＝－1，∴m＝10.又∵垂足为(1，p)，
∴代入直线10x＋4y－2＝0得p＝－2，
将(1，－2)代入直线2x－5y＋n＝0得n＝－12，
∴m－n＋p＝20.
故答案选B。

9.如图，四边形是边长为1的正方形，，，且，为的中点．那么以下结论中不正确的选项是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
由题意，取中点，易知就是二面角的平面角，有条件可知，，所以平面与平面不垂直，故C错误。

应选C。

，O为坐标原点，P，Q分别在线段AB,BO上运动，那么△MPQ的周长的最小值为( )
A. 4
B. 5
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
分别作点M关于AB和OB的对称点M1，M2，那么周长的最小值就是M1与M2两点间的间隔．【详解】过M〔1，0〕作直线AB的垂线，并延长到M1，连接PM1；过M作直线OB的垂线，并延长到M2，连接QM2，
那么PM＝PM1，QM＝QM2，
所以△MPQ的周长为：PQ+PM+QM＝PQ+PM1+QM2≥M1M2，当且仅当M1、P、Q、M2四点一共线时等号成立，直线，
设根据对称性知道：
求得M1〔3，2〕，M2〔﹣1，0〕
所以M1M2
应选：C．
【点睛】此题考察了点关于直线对称的问题，属根底题．点关于直线的对称点的求法，通常设出对称点的坐标，之后根据两点的中点在对称直线上，以及两点的斜率和对称直线互为负倒数，列出两个方程求解对称点即可.
二、填空题：(每一小题6分，一共36分)
11.过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0垂直的直线方程是______________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题干可得到直线的斜率，再由点斜式方程的写法得到结果.
【详解】过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0垂直的直线方程,可知直线的斜率为-2，根据点斜式方程的写法可得到直线方程为：.整理成一般式得到：
故答案为：
【点睛】这个题目考察了直线的位置关系，求直线方程，属于根底题目.
12.在△ABC中,30,那么B等于__________。

【答案】
【解析】
【分析】
根据三角形正弦定理得到角，再由三角形内角和关系得到结果.
【详解】根据三角形的正弦定理得到，
故得到角，当角时，有三角形内角和为，得到，
当角时，角
故答案为：
【点睛】在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要根据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现及、时，往往用余弦定理，而题设中假如边和正弦、余弦函数穿插出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进展解答.
13.外表积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，那么该圆锥的底面直径为________．【答案】2
【解析】
【分析】
设展开的半圆的半径为，底面圆的半径为，圆锥的外表积为侧面积加底面积，列式得到，
【详解】设展开的半圆的半径为，底面圆的半径为，圆锥的外表积为侧面积加底面积，
侧面积就是这个半圆的面积：，底面积为：，因为半圆的弧长等于底面圆周的周长，故，根据外表积为3π得到：
故底面直径为：2.
故答案为：2.
【点睛】这个题目考察了扇形的面积公式和圆锥的外表积的组成，属于简单题.
14.点(x，y)在直线2x＋y＋5＝0上运动，那么的最小值是________.
【答案】
【解析】
【分析】
x2+y2的最小值可看成直线2x+y+5＝0上的点与原点连线长度的平方最小值，由点到直线的间隔公式可得．
【详解】x2+y2的最小值可看成直线2x+y+5＝0上的点与原点连线长度的平方最小值，
即为原点到该直线的间隔平方d2，
可看成直线2x+y+5＝0上的点与原点连线的长度，由点到直线的间隔公式易得
d．
∴的最小值为，
故答案为：.
【点睛】此题考察点到直线的间隔公式，转化是解决问题的关键，属根底题．
中，两两成角，点分别为线段上的点，且
，那么三棱锥的体积与三棱柱体积之比为_________。

【答案】
【解析】
【分析】
根据题干和体积公式，用得到相应的体积表达式，进而得到比值.
【详解】设棱柱的高为：，棱锥的高为，
棱锥的体积是，三棱锥的体积等于
设三角形的高为，根据E点为中点得到三角形的高为，
三棱锥的体积等于
棱柱的体积为：
故体积之比为：.
故答案为：
【点睛】这个题目考察了三棱锥的体积的公式，棱柱的体积公式的应用，属于根底题.
中，，那么．
【答案】
【解析】
试题分析：
，因此
所以
考点：正余弦定理
【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合条件灵敏转化边和角之间的关系，从而到达解决问题的目的.其根本步骤是：
第一步：定条件
即确定三角形中的和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.
第二步：定工具
即根据条件和所求合理选择转化的工具，施行边角之间的互化.
第三步：求结果.
三、解答题：
17.如图，在四棱锥P‐ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．
求证：〔1〕PB∥平面AEC；
〔2〕平面PCD⊥平面PAD．
【答案】〔1〕详证见解析；〔2〕详证见解析.
【解析】
【分析】
〔 1〕可通过连接交于，通过中位线证明和平行得证平面。

〔 2〕可通过正方形得证，通过平面得证，然后通过线面垂直得证面面垂直。

【详解】〔 1〕证明：连交于O,
因为四边形是正方形 ,
所以 ,
连，那么是三角形的中位线, ,
平面，平面
所以平面 .
〔2〕因为平面 ,
所以 ,
因为是正方形，所以,
所以平面,
所以平面平面.
【点睛】证明线面平行可通过线线平行得证，证明面面垂直可通过线面垂直得证。

18.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，.
〔1〕求角C；
〔2〕假设，△ABC的面积为，求的值。

【答案】〔1〕；〔2〕.
【解析】
试题分析：〔1〕利用二倍角公式和正弦定理把化成
，从而得到，也就是.〔2〕利用面积公式和余弦定理可以得到以及，配凑后得到也就是. 解析：〔1〕由，得，由正弦定理得
，∵，，∴，∵角为的内角，∴.
〔2〕∵，的面积为，∴，即，①，∵，由余弦定理得，即，②，将①代入②得，
∴.
〔1〕求平行四边形ABCD的顶点D的坐标；
〔2〕求四边形ABCD的面积
〔3〕求的平分线所在直线方程。

【答案】〔1〕；〔2〕24；〔3〕.
【解析】
【分析】
(1)根据中点坐标公式得到结果；〔2〕以为底，有点线间隔求得四边形的高，进而得到面积；〔3〕根据正弦定理得到,再由向量坐标化得到点E的坐标，进而得到直线方程. 【详解】(1)AC中点为，
该点也为BD中点，设，根据中点坐标公式得到：
解得：；
〔2〕故得到斜率为：，
代入点坐标可得到直线BC：，
∴A到BC的间隔为，
又根据两点间间隔公式得到：，∴四边形ABCD的面积为.
(3) 在三角形ACD中，设的平分线与CD交于点E，
由角平分线定理可得,所以，设
从而E的坐标为，又，所以所求的方程为。

【点睛】这个题目考察了直线方程的求法，点斜式方程的写法，以及点线间隔公式的应用，角平分线定理的证明，即通过正弦定理得证的结论，属于有一定的综合性的题目.
20.如图，在四棱锥中，平面平面，，是等边三角形.，
，.
〔1〕设是上的一点，证明：平面平面；
〔2〕当点位于线段什么位置时，平面？
〔3〕求四棱锥的体积.
【答案】〔1〕见解析〔2〕M点位于线段PC靠近C点的三等分点处时〔3〕24.
【解析】
试题分析：〔1〕证明面面垂直，首先根据断定定理，先找线面垂直，证明平面；〔2〕根据线面平行，线线平行，所以连接，连接，那么，先
证明点的位置，再说明的位置；〔3〕根据前两问的过程，可知等边三角形的高，就是棱锥的高，求梯形的面积，．
试题解析：解：〔1〕平面平面，平面平面=AD
〔2〕当M为PC的三等分点，即2CM=MP时，结论成立．
证明：连AC交BD与点O
〔3〕易证平面
考点：1．面面垂直的断定；2．线面平行的性质；3．几何体的体积．
21.矩形ABCD的边AB=2，BC=1，以A为坐标原点，AB，AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，建立直角坐标系。

将矩形折叠，使A点落在线段DC上，重新记为点
(1)当点坐标为(1,1)时，求折痕所在直线方程.
(2)假设折痕所在直线的斜率为k，试求折痕所在直线的方程；
(3)当时，设折痕所在直线与轴交于点E，与轴交于点F，将沿折痕EF 旋转．使二面角的大小为，设三棱锥的外接球外表积为，试求最小值.
【答案】〔1〕；〔2〕；〔3〕.
【解析】
【分析】
〔1〕根据两个点关于直线对称得到对称直线的斜率，由中点坐标公式得到中点，代入直线可得到结果；〔2〕当时，此时A点与D点重合，折痕所在直线方程为；当时，A 点落在线段同DC上的点记为G(，1)，根据对称性得到直线斜率和直线上的点，由点斜式得到结果；〔3〕根据题意可得到EF的中点G为外接球的球心，根据两点间间隔公式可得到半径，进而求解.
【详解】(1)折叠后，根据点关于线对称得到直线的斜率为：，两个点的中点为：在直线上，故易求所在直线方程为：.
(2)当时，此时A点与D点重合，折痕所在直线方程为
当时，将矩形折叠后A点落在线段同DC上的点记为G(，1) ()，那么A与G 关于折痕所在直线对称，得故
线段OG中点，所以折痕所在直线方程为：
即
综上所述，所求折痕所在直线方程为.
(3)由〔2〕当时，折痕所在直线与轴交于点E，与轴交于点F，那么，记EF的中点为G点，根据直角三角形中线的性质得到：，故得到G点为球的直径；球的直径即为，
所以所以,
所以最小值为.
【点睛】这个题目考察了点关于直线的对称问题，以及翻折问题，翻折问题需要注意翻起之前和翻起之后哪变哪里不变，也涉及椎体的外接球问题。

一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点间隔相等，这样可先确定几何体
中局部点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的间隔相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点间隔相等的直线〔这两个多边形需有公一共点〕，这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的间隔，球心到底面中心的间隔，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.
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翻手为云，覆手为雨。

二人同心，其利断金。

短暂辛苦，终身幸福。

东隅已逝，桑榆非晚。

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大智若愚，大巧若拙。

聪明出于勤奋，天才在于积累。

把握机遇，心想事成。

奥运精神，永驻我心。

“想”要壮志凌云，“干”要脚踏实地。

**燃烧希望，励志赢来成功。

楚汉名城，喜迎城运盛会，三湘四水，欢聚体坛精英。

乘风破浪会有时，直挂云帆济沧海。

不学习，如何养活你的众多女人。

不为失败找理由，要为成功想办法。

不勤于始，将悔于终。

不苦不累，高三无味;不拼不搏，高三白活。

不经三思不求教不动笔墨不读书，人生难得几回搏，此时不搏，何时搏。

不敢高声语，恐惊读书人。

不耻下问，学以致用，锲而不舍，孜孜不倦。

博学强识，时不我待，黑发勤学，自首不悔。

播下希望，充满**，勇往直前，永不言败。

保定宗旨，砥砺德行，远见卓识，创造辉煌。

百尺高梧，撑得起一轮月色;数椽矮屋，锁不住五夜书声。