2020年江苏省淮安市范集中学高二数学文上学期期末试题含解析

2020年江苏省淮安市范集中学高二数学文上学期期末
试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选
项中，只有是一个符合题目要求的
1. 平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，，则的值是( ▲ )
A. B.
C. D.
参考答案：
D
略
2. 下列命题中正确的是 ( )
A．当 B．当，
C．当，的最小值为 D．当无最大值
参考答案：
B
3. 若复数（a∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（）
A. －2
B. 4
C. 6
D. －6
参考答案：
D
【分析】
化简复数为a+bi（a、b∈R）的形式，使实部为0，虚部不为0，可得结论．
【详解】复数，若复数是纯虚数，
则，解得a＝﹣6．
故选：D．
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算和复数的分类，是基础题．
4. （+）2n（n∈N*）展开式中只有第6项系数最大，则其常数项为（）A．120 B．210 C．252 D．45
参考答案：
B
【考点】二项式系数的性质．
【专题】二项式定理．
【分析】由已知得到展开式的通项，得到第6项系数，根据二项展开式的系数性质得到n，可求常数项．
【解答】解：由已知（+）2n（n∈N*）展开式中只有第6项系数为最大，
所以展开式有11项，所以2n=10，即n=5，
又展开式的通项为=，
令5﹣=0解得k=6，
所以展开式的常数项为=210；
故选：B
【点评】本题考查了二项展开式的系数以及求特征项；解得本题的关键是求出n，利用通项求特征项．
5. .若数列，则a5－a4＝（）
A. B. － C. D.
参考答案：
C
试题分析：由
可得
考点：数列通项公式
6. 命题“存在实数，使＞1”的否定是（）
A．对任意实数，都有＞1 B．不存在实数，使≤1
C．对任意实数，都有≤1 D．存在实数，使≤1
参考答案：
C
7. 已知，则( )
A. B. C. D.
参考答案：
C
【分析】
由已知根据三角函数的诱导公式，求得，再由余弦二倍角，即可求解．
【详解】由，得，又由．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了本题考查三角函数的化简求值，其中解答中熟记三角函数的诱导公式及余弦二倍角公式的应用是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．8. 直线与圆相切，则实数等于（）A．或B．或 C．4或－2 D．－4或2
参考答案：
C
9. 一个电路板上装有甲、乙两根保险丝，甲保险丝熔断的概率为0.085，乙保险丝熔断的概率为0.074，两根同时熔断的概率为0.063，则至少有一根熔断的概率为（）A．0.159 B．0.085 C．0.096 D．0.074
参考答案：
C
略
10. 抛物线的焦点坐标为( )
A B C D
参考答案：
A
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. = 。

参考答案：
略
12. 若直线y=﹣x+b与曲线x=恰有一个公共点，则b的取值范围是．
参考答案：
【考点】曲线与方程．
【分析】曲线x=即 x2+y2=1（x≥0）表示一个半径为1的半圆，分类讨论求得当直线y=﹣x+b与曲线x=即恰有一个公共点时b的取值范围．
【解答】解：曲线x=即 x2+y2=1（x≥0）表示一个半径为1的半
圆．
当直线y=﹣x+b经过点A（0，﹣1）时，求得b=﹣1，
当直线y=﹣x+b经过点B（0，1）时，求得b=1，
当直线和半圆相切于点D时，由圆心O到直线y=﹣x+b的距离等于半径，
可得=1=1，求得b=，或b=﹣（舍去）．
故当直线y=﹣x+b与曲线x=即有一个公共点时b的取值范围是
，
故答案为．
13. 若复数z满足：，则______.
参考答案：
【分析】
利用复数的除法求出后可得其模.
【详解】因为，故，故，填.
【点睛】本题考查复数的除法及复数的模，属于容易题.
14. 将, , 由大到小排列为__________.
参考答案：
本题考查指数函数与幂函数的综合运用.
注意到＜0,而＞0, ＞0;
又因为= ,且y= 在［0,+∞）上是增函数,所以＜.
综合得＞＞.
15. 在等差数列中，已知，那么它的前8项和等于_________ 参考答案：
48
16. “”是“”的条件．
（填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要）
参考答案：
必要不充分
17. 在平面直角坐标系中，已知双曲线：（）的一条渐近线与直线：垂直，则实数▲ .
参考答案：
2
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （12分）已知i是虚数单位，m∈R，z=m（m﹣1）+（m2+2m﹣3）i．
（Ⅰ）若z是纯虚数，求m的值；
（Ⅱ）若在复平面C内，z所对应的点在第四象限，求m的取值范围；
（Ⅲ）当m=2时，z是关于x的方程x2+px+q=0的一个根，求实数p，q的值．
参考答案：
（Ⅰ）∵是纯虚数
∴……………………………………………………………2分
解得：；……………………………………………………………………4分
（Ⅱ）∵所对应的点在第四象限
∴…………………………………………………6分
解得：；……………………………………………………………8分
（Ⅲ）当时，
∵是关于的方程的一个根
∴
即：……………………………………………10分
根据复数相等的充要条件得
解得，．………………………………………………………………12分
19. （本题8分）设函数
（1）当时，求在区间上的值域；
（2）若，使，求实数的取值范围.参考答案：
20. 已知函数
（1）若是的极大值点,求在上的最大值；
（2）在（1）的条件下，是否存在实数，使得函数的图像与函数的图像恰有3个交点，若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理
由。

参考答案：
解：(1) 得a=4.
在区间上, 在上为减函数,在上为增函数.
而，，所以……5分
(2)问题即为是否存在实数b，使得函数恰有3个不同实根.
方程可化为等价于有两个不等于
0的实根则，所以
……10分
略
21. 设函数φ（x）=e x﹣1﹣ax，
（ I）当a=1时，求函数φ（x）的最小值；
（Ⅱ）若函数φ（x）在（0，+∞）上有零点，求实数a的范围；
（ III）证明不等式e x≥1+x+．
参考答案：
【考点】6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．
【分析】（ I）求出导函数，利用导函数的符号，判断函数的单调区间求解最小值．
（ II）φ'（x）=e x﹣a，若a≤0，求解函数的极值，若a＞0，求出函数的最小值，当0＜a≤1时，求解极值，当a＞1时，求出极值点，设g（a）=a﹣1﹣alna，求出导数，然后求解最小值，推出a的取值范围．
（ III）设函数通过（1）当x≤0时，判断函
数的单调性，（2）当x＞0时，设，构造设h （x）=e x﹣x，判断函数的单调性求解函数的最值，推出结果．
【解答】（本题满分14分）
解：（ I）?（x）=e x﹣1﹣x，?'（x）=e x﹣1x＜0时，?'（x）＜0．?（x）递减；
x＞0时，?'（x）＞0，?（x）递增?（x）min=?（0）=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（ II）φ'（x）=e x﹣a
若a≤0，φ'（x）=e x﹣a＞0，φ（x）在R上递增，且φ（0）=0，所以φ（x）在（0，+∞）
上没有零点﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
若a＞0，φ'（x）＜0，x＜lna，φ'（x）＞0，x＞lnaφ（x）在（﹣∞，lna）↓，
（lna，+∞）↑，所以φ（x）min=φ（lna）=a﹣1﹣alna﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
当0＜a≤1时，极值点x0=lna≤0，又φ（0）=0，?（x）在（0，+∞）无零点
当a＞1时，极值点x0=lna＞0，设g（a）=a﹣1﹣alnag'（a）=﹣lna＜0，g（a）在（1，+∞）上递减，
∴φ（x）min=g（a）＜g（1）=0﹣﹣﹣﹣φ（2a）=e2a﹣1﹣2a2
∴φ'（2a）=2e2a﹣4a=2（e2a﹣2a）＞0，φ（2a）在（1，+∞）上递增
所以φ（2a）＞φ（2）=e2﹣5＞0，所以φ（x）在（0，+∞）上有零点
所以，a的取值范围是（1，+∞）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（ III）证明：设函数
（1）当x≤0时，f'（x）≤0，f（x）在（﹣∞，0）上递减﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（2）当x＞0时，设，
设h（x）=e x﹣x，h'（x）=e x﹣1＞0（x＞0）h（x）=e x﹣x在（0，+∞）上递增，
∴h（x）＞h（0）=1＞0，
即当x＞0时，，f（x）在（0，+∞）上递增，﹣﹣﹣﹣
由（1）（2）知，f（x）min=f（0）=0∴f（x）≥0
即﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
22. （本小题满分14分）
如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD.
⑴ 求证：AB⊥PD；
⑵ 若M为PC的中点，求证：PA∥平面BDM.
参考答案：
证明： (1)因为ABCD为矩形，所以AB⊥AD. ………………2分
又平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD＝AD，
所以AB⊥平面PAD，………………5分因为PD?平面PAD，故AB⊥PD.………………7分
(2)连接AC交BD于点O，连接OM.
因为ABCD为矩形，所以O为AC的中点．………………9分
又M为PC的中点，所以MO∥PA.………………11分
因为MO?平面BDM，PA?平面BDM，
所以PA∥平面
BDM. ………………14分。