脉冲随机微分系统的均方指数稳定性分析

脉冲随机微分系统的均方指数稳定性分析
陈涵;杨树杰;牟朝霞
【摘要】In this paper, the mean square exponential stability analysis of impulsive stochastic functional differential sys-tems with delays was concerned. On the basis of the Lyapunov-Razumikhin method and stochastic analysis techniques, some general criteria were established for mean square exponential stability.%研究了脉冲随机时滞微分泛函方程的均方指数稳定性问题。

利用Lyapunov-Razumikhin型方法及随机分析的一些技巧，建立了一类脉冲随机泛函微分方程的均方指数稳定性定理。

【期刊名称】《海军航空工程学院学报》
【年(卷),期】2014(000)003
【总页数】5页(P296-300)
【关键词】脉冲随机微分方程;均方指数稳定;Lyapunov-Krasovskii函数
【作者】陈涵;杨树杰;牟朝霞
【作者单位】海军航空工程学院研究生管理大队，山东烟台264001;海军航空工程学院基础部，山东烟台264001;海军航空工程学院军事教育与训练系，山东烟台264001
【正文语种】中文
【中图分类】O175.21
近年来，脉冲泛函微分系统（IFDSs）的稳定性的问题吸引着越来越多的学者在理论和实际应用方面的研究[1-3]，特别是在针对IFDS指数稳定性方面的研究，并且建立了一些相应的稳定性理论。

但随机扰动在现实系统中也是不可避免的，随机模型在自然科学和工程领域的许多分支中正扮演着重要的角色。

近几年，脉冲随机微分系统（ISDSs）稳定性分析和脉冲随机泛函微分系统的镇定性问题引起了学者们的广泛兴趣[4-14]。

文献[10]利用了一些微积分不等式和随机分析的技巧，而非借助Lyapunov-Razumikhin方法研究了一类带有混合时滞的脉冲随机切换系统的均方指数稳定性。

文献[4]利用数学分析方法和泛函Razumikhin方法，建立了基于Lyapunov-Krasovskii函数的一类IFDSs的均方稳定的充分性判据。

受到上述文献的启发，并借助于其Lyapunov方法和随机分析的技巧，本文进一步探究了此类IFDSs的指数稳定性问题，得到了系统指数稳定的充分性判据。

然而，根据作者所知，目前大部分学者对脉冲随机泛函微分方程指数稳定性的研究，都是借助于Lyapunov函数V(t,φ)在脉冲点处左右极限的一些对应关系来探究系统的稳定性问题的[12，14]。

本文直接利用系统状态x(t)在脉冲点处左右极限的关系研究一类脉冲随机泛函微分系统的稳定性问题，建立了不同于文献[12]的指数稳定判定定理。

以下给出本文中的记号‖表示对应向量的Euclid范数或者对应矩阵的谱范数；设为一完备的概率空间，σ代数流满足通常条件，即右连续且F0包含所有的零概集；对正常数τ，定义为所有分段右连续函数的集合，且范数定义为
设表示所有F0可测的值随机过程且满足其中是对概率测度P的数学期望。

L表示由I公式定义的算子，记分别表示满足和的一族脉冲序列。

还需要如下引理。

引理1：[15]（Chaplygin比较定理）假定f,F∈C() G，如果分别是两个初值问题的解，则对所有对于所有的
考虑如下脉冲随机时滞泛函系统的均方指数稳定性问题：
下面将分2种情况考虑系统（1）的均方指数稳定问题。

定义1：对于任意可容许的脉冲时刻序列N，系统（1）的解称为均方指数稳定的，是指存在一个常数λ＞0且对任意的ε＞0，都存在常数δ=δ(ε)＞0，使得对任意的初值函数，对于任意t≥t0，都有
定义2：[2]称函数属于V(1,2)，如果：
1）在每个集合，函数V(t,x)关于t连续可微且关于x二阶连续可微，并且对所有
恒成立；
2）V(t,x)关于x是局部Lipschitz的；
3）对任意k=1,2,…，以下极限存在且有限：，且
定理1：假定存在常数b＞a＞0，λτ＞0，β＞0，及Lyapunov-Krasovskii函数，使得以下条件成立：，则系统（1）关于脉冲集是均方指数稳定的。

证明：对任意给定的ε＞0，选取假定初值函数，并记系统（1）通过() t0,φ的解
对于，根据公式，对于t≠tk，k=1,2,…，有
式中
对取充分小的Δt＞0，满足
即有，式中，
选取充分小常数，令，同理有：
式中，
以下将证明对于
成立。

显然，对，由条件C1）及，可以得到
因此只需证明，对任意t∈(t0,t1)，式（5）成立即可。

如果不成立，则一定存在
s∈(t0,t1)，使得
成立。

设则由式（6），（7）以及的连续性知s1∈() t0,t1，且
并且对，式（5）成立。

设
则由式（6）及的连续性知且
此外，对还成立。

进而得到
故有
结合式（3）、（4）及条件C2）、C3），对，有
这就与式（8）及（9）矛盾，假设不成立，从而式（5）成立。

现在假定对任意的，式（5）成立。

对m=k+1，将证明式（5）也成立。

为此，首先证明对于，有
注意到，假设存在某个，使得
于是需要考虑以下2种情形。

情形Ⅰ：对于所有的
在这种情况下，对于所有，式（10）和
（11）成立。

于是根据条件C3），式（5）及引理1，得到
这就与假设矛盾。

情形Ⅱ：存在某个
成立，且对于，式（10）及（11）成立，这就与式（13）矛盾，即式（12）成立。

由式（1）、（2）及（12）有：
现在证明对于，式（5）成立。

否则，存，使得式（7）成立。

设，则由式（12）、（15）及的连续性知，且有
如果存在，使得，则设否则，令s2=tk。

于是对，有式（10）和（11）成立，于
是产生矛盾。

由数学归纳法，对任意m=1,2,…,式（5）成立，从而系统（1）是均方指数稳定的，证毕。

如果用条件D1）代替定理1中的条件C1），则得到如下结果。

定理2：假定存在常数b＞a＞0、λτ＞0、β＞0、及Lyapunov-Krasovskii函数，
使得条件：D1）、C2）及C3）成立，则系统（1）对任意脉冲序列Ninf(β)是均方指数稳定的。

证明：证明方法类似于定理1，故略去。

证毕。

注1：对比定理1和定理2，可发现系统（1）的均方指数稳定性受到函数V(t,x(t))中时滞的影响。

注2：当μ≥1时，脉冲可能破坏稳定性，所以需要脉冲发生得不要太频繁，即脉冲间距要比较大。

定理3：假定存在常数及Lyapunov-Krasovskii函数，使下列成立：
条件C1）成立；
D2）：只要成立，就有成立，则：
Ⅰ）若，则对脉冲序列是均方指数稳定；，则系统（1）对任意脉冲序列是均方指数稳定的。

证明：证明结论Ⅰ），Ⅱ）的证明与Ⅰ）类似，故略去。

考虑到μ＜1，故存在充分小的常数使
现在要证明式（5）在(t0,t1)成立。

否则，存在s∈(t0,t1)，使得式（7）成立。

设，则根据式（7）、（17）及的连续性，知道，且
设则由式（7）及的连续性，得到，且
对，有
进而得到
再由条件D2），意味着对
由引理1，式（19）、（21）及D3）有
这就与式（18）矛盾。

现在假设对，式（5）成立。

对m=k+1，下面要证明式（5）也成立。

为此，首先证明
事实上，根据式（1）、（2）、（16）条件C1）和D3），有
其次，假定存在，使得式（7）成立。

设，若存在使得成立，则设，否则，令¯=tk。

于是对，式（20）、（21）成立，出现矛盾，即式（5）对也成立。

由数学归纳法，对于任意m=1,2,…，式（5）成立，即系统（1）均方指数稳定。

本文研究了一类脉冲随机泛函微分系统的均方指数稳定性问题。

利用Lyapunov
函数和Razumikhin型方法，建立了系统均方指数稳定的充分性判据。

本文为了
方便，仅讨论了系统的均方指数稳定性，其结果可以推广到p阶矩指数稳定性上来。

【相关文献】
[1]GOPALSAMY K，ZHANG B.On delay differential equations with impulses[J].Journal of Mathematical Analysis andApplications，1989，139：100-122.
[2]STAMOVA I，STAMOV G.Lyapunov-Razumikhin method for impulsive functional equations and applications to the population dynamic[J].Journal of Computational and Applied Mathematics，2001，130：163-171.
[3]NAGHSHTABRIZI P，HESPANHAJ.Exponential stability of impulsive systems with application to uncertain sampled-date systems[J].Systems and Control Letters，2008，57：378-385.
[4]YANG S J，SHI B，LI M.Mean square stability of impulsive stochastic differential systems[J/OL].International JournalofDifferentialEquations.Doi:10.1155/2211/
613695.2011.
[5]YANG J，ZHONG S M.Mean square stability analysis of impulsive stochastic differential equations with delay[J]. Journal of Computational and Applied mathematics，2008，216：474-483.
[6]LIU X，BALLINGER G.Uniform asymptotic stability of impulsive delay differential equations[J].Computers and Mathematics withApplications，2011，41：903-915.
[7]WANG Q，LIU X.Impulsive stabilization of delay differential systems via the Lyapunov-Razumikhin method[J]. Applied Mathematics Letters，2007，20：839-845.
[8]FU X L，LIU D.Razumikhin-type theorems on exponential stability of impulsive infinite delay differential sys-tems[J].Journal of Computational and Applied mathematics，2009，224：1-10.
[9]ZHU Q X，SONG B.Exponential stability of impulsive nonlinear stochastic differential equations with mixed delays[J].Nonlinear Analysis：Real World Applications，2011，12：2851-2860.
[10]XU L G，HE D H.Mean square exponential stability analysis of impulsive stochastic switched systems with mixed delays[J].Computers and Mathematics with Applications，2011，62：109-117.
[11]XU L G，HE D H，MA Q.Impulsive stabilization of stochastic differential equations with time delays[J].Mathematics and Computer Modelling，2013，57：997-1004. [12]LIU J，LIU X Z，XIE W C.Impulsive stabilization of stochastic functional differential equations[J].Applied Mathematics Letters，2011，24：264-269.
[13]CHENG P，DENG F Q，YAO F Q.Exponential stability analysis of impulsive stochastic functional differential systems with delayed impulses[J].Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation，2014，19：2104-2114.
[14]WU X T，ZHANG W B，TANG Y.pth Moment stability of impulsive stochastic delay differential systems with Markovian switching[J].Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation，2013，18：870-1879.
[15]时宝，张德存，盖明久.微分方程理论及其应用[M].北京：国防工业出版社，2005：40-41. SHI BAO，ZHANG DECUN，GAI MINGJIU.Theory and applications of differential equations[M].Beijng：National Defense Industry Press，2005：40-41.（in Chinese）。