北师大九年级基础证明题

基础证明题
1．如图，点E， F 在 AB 上， AD=BC ，∠ A=∠B， AE=BF．求证：△ ADF ≌△ BCE．2．如图， AC =DC ， BC=EC，∠ ACD=∠ BCE．求证：∠ A=∠D ．
3．如图，点B、 E、 C、 F 在一条直线上，AB=DF ， AC=DE ， BE=FC．
（1）求证：△ ABC≌△ DFE ；
（2）连接 AF 、BD ，求证：四边形 ABDF 是平行四边形．
4．如图，已知在四边形ABCD 中，点 E 在 AD 上，∠ BCE=∠ ACD =90°，
∠BAC=∠ D， BC=CE．
（1）求证： AC=CD ；（ 2）若 AC=AE，求∠ DEC 的度数．
5．已知△ ABC 中，∠ ABC=∠ ACB，点 D， E 分别为边AB、 AC 的中点，
求证： BE=CD．
6．如图，∠ A=∠B， AE=BE，点 D 在 AC 边上，∠ 1=∠ 2， AE 和 BD 订交于点 O．
（ 1）求证：△ AEC≌△ BED ；（2）若∠ 1=42°，求∠ BDE 的度数．
7．已知：如图，在 ?ABCD 中，延长 AB 至点 E，延长 CD 至点 F，使得 BE=DF ．连接 EF ，与对角线AC 交于点 O．求证： OE=OF．
8．如图，四边形ABCD 是平行四边形，E，F 是对角线BD 上的两点，且BF=ED，求证： AE ∥CF ．
9．如图，分别以 Rt△ ABC 的直角边 AC 及斜边 AB 向外作等边△ ACD 及等边△ ABE，已知：∠
BAC=30°， EF⊥ AB，垂足为 F ，连接 DF ．
（ 1）试说明 AC=EF；（2）求证：四边形ADFE 是平行四边形．
10．如图，在正方形ABCD 中， E、 F 分别为边AD 和 CD 上的点，且AE=CF，连接AF 、 CE 交于点 G．求证： AG=CG．
11．如图，在矩形ABCD ， AD=AE，DF ⊥AE 于点 F ．求证： AB=DF ．
12．如图，点E，F 分别在菱形ABCD 的边 DC ， DA 上，且 CE=AF ．
求证：∠ ABF=∠ CBE．
13．如图，在菱形ABCD 中，过点 D 作 DE ⊥AB 于点 E，作 DF ⊥ BC 于点 F，连接 EF．
求证：（ 1）△ ADE ≌△ CDF ；
（2）∠ BEF=∠ BFE．
14．如图，四边形ABCD 是正方形， E、 F 分别是 AB 、AD 上的一点，且BF⊥ CE，垂足为G，求证： AF=BE．
15．如图，四边形ABCD 是正方形，点E，F 分别在 AD， DC 上，且 AE=DF ．
求证： BE=AF．
16．已知，如图，正方形ABCD 中， E 为 BC 边上一点， F 为 BA 延长线上一点，且CE=AF ．连接 DE、 DF ．求证： DE =DF ．
17．如图，四边形ABCD 是正方形，△EBC 是等边三角形．
（ 1）求证：△ ABE≌△ DCE ；（2）求∠ AED 的度数．
18．如图，矩形ABCD 中， AC 与 BD 交于点 O， BE⊥ AC， CF⊥ BD ，垂足分别为E， F ．
求证： BE=CF．
19．如图，在正方形ABCD 的外侧，作等边三角形ADE ，连接 BE， CE．
（ 1）求证： BE=CE．（ 2）求∠ BEC 的度数．
20．如图，四边形 ABCD 是正方形，点 E 是 BC 的中点，∠ AEF=90°，EF 交正方形外角的均分线
CF 于 F．求证： AE=EF．
21．如图， AB 是⊙ O 的直径， C 是⊙ O 上一点， D 在 AB 的延长线上，且∠BCD=∠ A．（1）求证： CD 是⊙ O 的切线；
（2）若⊙ O 的半径为 3，CD =4，求 BD 的长．
22．如图， AB 是⊙ O 的直径，∠ ACD=20°，求∠ BAD 的度数．
23．如图，在△ ABC 中， AB=AC，以 AB 为直径作⊙ O 交 BC 于点 D，过点 D 作⊙ O 的切线 DE 交 AC 于点 E，交 AB 延长线于点F．
（1）求证： DE ⊥ AC；（ 2）若 AB=10， AE=8，求 BF 的长．
24．如图，在Rt△ ABC 中，∠ C=90°，以 BC 为直径的⊙ O 交 AB 于点 D ，切线 DE 交 AC 于点E．
（ 1）求证：∠ A=∠ ADE ；（ 2）若 AD =16， DE =10，求 BC 的长．
25．如图，在△ ABC 中，以 BC 为直径的⊙ O 交 AC 于点 E，过点 E 作⊙ O 的切线且 EF ⊥ AB 于点 F，延长 EF 交 CB 的延长线于点 G，
（1）求证：∠ ABG=2∠ C．
（2）若 sin∠ EGC= ，⊙ O 的半径是 3，求 AF 的长．
26．如图， AB 是⊙ O 的直径，点 C 在 AB 的延长线上且直线CE 是⊙ O 的切线，AE⊥ CD ，垂
足为点 E．
（ 1）求证：， AD 均分∠ CAE
（ 2）若 BC=3， CD =3，求弦AD的长．
27．如图， Rt△ ABC 中，∠ C=90°，BC =3，点 O 在 AB 上， OB=2，以 OB 为半径的⊙ O 与 AC
相切于点 D ，交 BC 于点 E，求弦 BE 的长．
28．如图， AB 为⊙ O 的直径， C 为⊙ O 上一点， AD 与过点 C 的切线相互垂直，垂足为点
D，AD 交⊙ O 于点 E，连接 CE，CB．
（ 1）求证： CE=CB；（ 2）若 AC=2，CE=，求AE的长．
29．如图， AB 是⊙ O 的直径， CD 与⊙ O 相切于点C，与 AB 的延长线交于 D ．
（1）求证：△ ADC∽△ CDB；
（2）若 AC=2， AB= CD ，求⊙ O 半径．
30．如图， AB 与⊙ O 相切于点B，BC 为⊙ O 的弦， OC⊥OA， OA 与 BC 订交于点P．
（1）求证： AP=AB；
（2）若 OB =4， AB=3，求线段 BP 的长．
31．如图，已知AB 是⊙ O 的直径，点P 为圆上一点，点 C 为 AB 延长线上一点，PA=PC，∠C=30°．
（1）求证： CP 是⊙ O 的切线．
（2）若⊙ O 的直径为 8，求暗影部分的面积．
32．如图，矩形ABCD 中， AB=4， AD=3， M 是边 CD 上一点，将△ADM 沿直线 AM 对折，得到△ ANM ．
（1）当 AN 均分∠ MAB 时，求 DM 的长；
（2）连接 BN，当 DM=1 时，求△ ABN 的面积；
（3）当射线 BN 交线段 CD 于点 F 时，求 DF 的最大值．
33．如图 1，在正方形ABCD 中，P 是对角线BD 上的一点，点 E 在 AD 的延长线上，且 PA=PE，PE交CD于F．
（1）证明： PC=PE；（ 2）求∠ CPE 的度数；
（3）如图 2，把正方形 ABCD 改为菱形 ABCD ，其余条件不变，当∠ ABC=120°时，连接 CE，尝试究线段 AP 与线段 CE 的数目关系，并说明原由．
2018 年 04 月 04 日十二中数学 2 的初中数学组卷
参照答案与试题分析
一．解答题（共37 小题）
1．如图，点E， F 在 AB 上， AD=BC ，∠ A=∠B， AE=BF．求证：△ ADF ≌△ BCE．
【解答】解：∵ AE=BF ，
∴AE +EF =BF +EF ，
∴AF =BE ，
在△ ADF 与△ BCE 中，
∴△ ADF ≌△ BCE（ SAS）
2．如图， AC =DC ， BC=EC，∠ ACD=∠ BCE．求证：∠ A=∠D ．
【解答】证明：∵∠ ACD =∠BCE ，
∴∠ ACB =∠DCE ，
在△ ABC 和△ DEC 中，，
∴△ ABC ≌△ DEC （ SAS），
∴∠ A=∠D ．
3．如图，点B、 E、 C、 F 在一条直线上，AB=DF ， AC=DE ， BE=FC．
（1）求证：△ ABC≌△ DFE ；
（2）连接 AF 、BD ，求证：四边形 ABDF 是平行四边形．
【解答】证明：（ 1）∵ BE=FC，
∴BC=EF ，
在△ ABC 和△ DFE 中，，
∴△ ABC ≌△ DFE （ SSS）；
（ 2）解：以下列图：
由（ 1）知△ ABC ≌△ DFE ，
∴∠ ABC =∠DFE ，
∴AB ∥DF ，
∵AB=DF ，
∴四边形 ABDF 是平行四边形．
4．如图，已知在四边形ABCD 中，点 E 在 AD 上，∠ BCE=∠ ACD=90°，∠ BAC=∠ D，BC=CE．（1）求证： AC=CD ；
（2）若 AC=AE，求∠ DEC 的度数．
【解答】解：∵∠ BCE=∠ ACD=90°，
∴∠ 3+∠ 4=∠ 4+∠ 5，
∴∠ 3=∠ 5，
在△ ABC 和△ DEC 中，，
∴△ ABC ≌△ DEC （AAS），
∴AC=CD ；
（2）∵∠ ACD =90°，AC=CD，
∴∠ 2=∠D =45°，
∵ AE =AC，
∴∠ 4=∠°，
∴∠ DEC =180°﹣∠°．
5．已知△ ABC 中，∠ ABC=∠ ACB，点 D， E 分别为边AB、 AC 的中点，求证：BE=CD ．
【解答】证明：∵∠ ABC =∠ ACB，
∴AB =AC，
∵点 D、 E 分别是 AB、 AC 的中点．
∴AD =AE，
在△ ABE 与△ ACD 中，
，
∴△ ABE ≌△ ACD ，
∴BE =CD ．
6．如图，∠ A=∠B， AE=BE，点 D 在 AC 边上，∠ 1=∠ 2， AE 和 BD 订交于点 O．（1）求证：△ AEC≌△ BED ；
（2）若∠ 1=42°，求∠ BDE 的度数．
【解答】解：（ 1）证明：∵ AE 和 BD 订交于点 O，
∴∠ AOD =∠ BOE ．
在△ AOD 和△ BOE 中，
∠A=∠ B，∴∠ BEO=∠ 2．
又∵∠ 1=∠ 2，
∴∠ 1=∠BEO，
∴∠ AEC =∠BED ．
在△ AEC 和△ BED 中，
，
∴△ AEC ≌△ BED （ ASA）．
（2）∵△AEC≌△BED，
∴ EC=ED ，∠ C=∠ BDE ．
在△ EDC 中，
∵ EC=ED ，∠ 1=42°，
∴∠ C=∠ EDC =69°，
∴∠ BDE =∠ C=69°．
7．已知：如图，在 ?ABCD 中，延长 AB 至点 E，延长 CD 至点 F，使得 BE=DF ．连接 EF ，与对角线AC 交于点 O．
求证： OE=OF．
【解答】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB ∥CD， AB=CD，
∵BE=DF ，
∴AB +BE =CD +DF ，即 AE=CF ，
∵ AB ∥CD，
∴AE ∥CF，
∴∠ E=∠F，∠ OAE=∠OCF ，
在△ AOE 和△ COF 中，，
∴△ AOE ≌△ COF （ASA），
∴OE=OF ．
8．如图，在 ?ABCD 中， BE⊥ AC，垂足 E 在 CA 的延长线上， DF ⊥ AC，垂足 F 在 AC 的延长
线上，求证：AE=CF．
【解答】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB ∥CD， AB=CD，
∴∠ BAC =∠DCA ，
∴180°﹣∠ BAC=180°﹣∠
DCA，∴∠ EAB =∠FCD ，
∵ BE ⊥AC， DF ⊥ AC，
∴∠ BEA =∠DFC =90°，
在△ BEA 和△ DFC 中，，
∴△ BEA ≌△ DFC （ AAS），
∴AE =CF ．
9．如图，四边形ABCD 是平行四边形，E，F 是对角线BD 上的两点，且BF=ED，求证： AE ∥CF ．
【解答】证明：连接AC，交 BD 于点 O，以下列图：
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD ，
∵BF =ED，
∴OE=OF ，
∵OA=OC，
∴四边形AECF 是平行四边形，
∴AE ∥CF．
10．如图，分别以Rt△ ABC 的直角边AC 及斜边 AB 向外作等边△ ACD 及等边△ ABE ，已知：∠BAC=30°， EF⊥ AB，垂足为 F，连接 DF ．
（ 1）试说明 AC=EF；
（ 2）求证：四边形 ADFE 是平行四边形．
【解答】证明：（ 1）∵ Rt△ ABC 中，∠ BAC=30°，
∴AB =2BC，
又∵△ ABE 是等边三角形，EF⊥ AB，
∴AB =2AF
∴AF =BC，
在 Rt△ AFE 和 Rt△BCA 中，
，
∴Rt△ AFE ≌ Rt△BCA（ HL ），
∴AC=EF ；
（2）∵△ ACD 是等边三角形，
∴∠ DAC =60°， AC=AD ，∴∠
DAB =∠ DAC +∠BAC =90°
又∵ EF ⊥ AB，
∴ EF ∥AD，
∵AC=EF， AC=AD，
∴EF =AD，
∴四边形 ADFE 是平行四边形．
11．如图，在正方形ABCD 中， E、F 分别为边AD 和 CD 上的点，且AE=CF，连接AF 、 CE 交于点 G．求证： AG=CG．
【解答】证明：∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠ ADF =CDE =90°， AD=CD．
∵AE =CF ，
∴DE=DF ，
在△ ADF 和△ CDE 中，
∴△ ADF ≌△ CDE （SAS），
∴∠ DAF =∠ DCE ，
在△ AGE 和△ CGF 中，，
∴△ AGE ≌△ CGF （AAS），
∴AG=CG．
12．如图，在矩形ABCD ， AD=AE， DF ⊥ AE 于点 F ．求证： AB=DF ．
【解答】证明：∵四边形ABCD 是矩形，
∴AD ∥ BC，∠ B=90°，
∴∠ AEB =∠DAE ，
∵DF ⊥AE，
∴∠ AFD =∠ B=90°，
在△ ABE 和△ DFA 中
∵
∴△ ABE ≌△ DFA，
∴AB =DF ．
13．如图，点E，F 分别在菱形ABCD 的边 DC ， DA 上，且 CE=AF ．
求证：∠ ABF=∠ CBE．
【解答】证明：∵四边形ABCD 是菱形，
∴AB =BC，∠ A=∠ C，
∵在△ ABF 和△ CBE 中，，
∴△ ABF ≌△ CBE（ SAS），
∴∠ ABF =∠CBE．
14．如图，在菱形ABCD 中，过点 D 作 DE ⊥AB 于点 E，作 DF ⊥ BC 于点 F，连接 EF．求证：（ 1）△ ADE ≌△ CDF ；
（2）∠ BEF=∠ BFE．
【解答】证明：（ 1）∵四边形ABCD 是菱形，
∴AD =CD ，∠A=∠C，
∵DE⊥BA，DF ⊥CB，
∴∠ AED =∠ CFD =90°，
在△ ADE 和△ CDF ，
∵，
∴△ ADE ≌△ CDF ；
（2）∵四边形 ABCD 是菱形，
∴ AB =CB，
∵△ADE ≌△CDF ，
∴AE=CF，
∴BE =BF ，
∴∠ BEF =∠BFE ．
15．如图，四边形ABCD 是正方形， E、 F 分别是 AB 、AD 上的一点，且BF⊥ CE，垂足为G，求证： AF=BE．
【解答】证明：∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB =BC，∠ A=∠ CBE
=90°，∵ BF ⊥CE，
∴∠BCE +∠CBG =90°，
∵∠ABF +∠CBG =90°，
∴∠ BCE =∠ABF ，
在△ BCE 和△ ABF 中
，
∴△ BCE ≌△ ABF （ ASA），
∴BE =AF ．
16．如图，四边形ABCD 是正方形，点E，F 分别在 AD， DC 上，且 AE=DF ．求证： BE=AF．
【解答】证明：∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB =DA ，∠ BAE=∠ADF =90°，
在△ BAE 和△ ADF 中，
，
∴△ BAE ≌△ ADF （ SAS），
∴BE =AF ．
17．如图，四边形ABCD 是正方形，△EBC 是等边三角形．
（1）求证：△ ABE≌△ DCE ；
（2）求∠ AED 的度数．
【解答】（ 1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，△ ABC 是等边三角形，
∴BA =BC=CD =BE=CE，∠ ABC=∠ BCD =90°，∠ EBC=∠
ECB=60°，∴∠ ABE =∠ECD =30°，
在△ ABE 和△ DCE 中，
，
∴△ ABE ≌△ DCE （ SAS）．
（2）∵ BA=BE，∠ ABE=30°，∴∠
BAE = （ 180°﹣ 30°） =75°，
∵∠ BAD =90°，
∴∠ EAD =90°﹣75°=15°，同理可得∠ ADE =15°，
∴∠ AED =180°﹣ 15°﹣ 15°=150°．
18．如图，四边形ABCD 是正方形，点 E 是 BC 的中点，∠ AEF=90°，EF 交正方形外角的均分线 CF 于 F．求证： AE=EF．
【解答】证明：取 AB 的中点 H，连接 EH；
∵∠ AEF =90°，
∴∠ 2+∠AEB=90°，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠ 1+∠AEB=90°，
∴∠ 1=∠ 2，
∵E 是 BC 的中点， H 是 AB 的中点，
∴BH =BE， AH=CE，
∴∠ BHE =45°，
∵ CF 是∠ DCG 的角均分线，
∴∠ FCG =45°，
∴∠ AHE =∠ ECF =135°，
在△ AHE 和△ ECF 中，
，
∴△ AHE ≌△ ECF （ ASA），
∴AE =EF ．
19．已知，如图，正方形ABCD 中， E 为 BC 边上一点， F 为 BA 延长线上一点，且CE=AF ．连接 DE、 DF ．求证： DE =DF ．
【解答】证明：∵四边形ABCD 是正方形，
∴AD =CD ，∠DAB=∠C=90°，
∴∠FAD =180°﹣∠DAB
=90°．在△ DCE 和△ DAF 中，
，
∴△ DCE ≌△ DAF （SAS），
∴DE =DF ．
20．如图，矩形ABCD 中， AC 与 BD 交于点 O， BE⊥ AC， CF⊥ BD ，垂足分别为E， F ．求证： BE=CF．
【解答】证明：∵四边形ABCD 为矩形，
∴AC=BD ，则 BO=CO．
∵BE ⊥AC 于 E，CF⊥ BD 于 F，
∴∠ BEO =∠ CFO =90°．
又∵∠ BOE=∠ COF，
∴△ BOE ≌△
COF ．∴BE=CF．
21．如图，在正方形ABCD 的外侧，作等边三角形ADE ，连接 BE， CE．
（1）求证： BE=CE．
（2）求∠ BEC 的度数．
【解答】（ 1）证明：∵四边形ABCD 为正方形
∴AB =AD =CD ，∠ BAD=∠ ADC=90°
∵三角形 ADE 为正三角形
∴AE =AD =DE ，∠ EAD=∠ EDA =60°
∴∠ BAE =∠CDE =150°
在△ BAE 和△ CDE 中，
∴△ BAE ≌△ CDE
∴BE =CE；
（2）∵ AB=AD ，AD=AE，
∴AB=AE，
∴∠ABE =∠AEB，
又∵∠ BAE=150°，
∴∠ ABE =∠AEB=15°，
同理：∠ CED =15°
∴∠ BEC =60°﹣15°×2=30°．
22．如图， AB 是⊙ O 的直径， C 是⊙ O 上一点， D 在 AB 的延长线上，且∠BCD=∠ A．（1）求证： CD 是⊙ O 的切线；
（2）若⊙ O 的半径为 3，CD =4，求 BD 的长．
【解答】（ 1）证明：如图，连接OC．
∵AB 是⊙O 的直径， C 是⊙O 上一点，
∴∠ ACB =90°，即∠ ACO+∠ OCB=90°．
∵OA=OC，∠ BCD =∠ A，
∴∠ ACO =∠ A=∠BCD ，
∴∠ BCD +∠ OCB =90°，即∠ OCD =90°，
∴ CD 是⊙ O 的切线．
（2）解：在 Rt△ OCD 中，∠ OCD =90°，OC=3， CD=4，
∴OD==5，
∴BD =OD ﹣ OB=5﹣ 3=2．
23．如图， AB 是⊙ O 的直径，∠ ACD=25°，求∠ BAD 的度数．
【解答】解：∵ AB 为⊙ O 直径
∴∠ ADB =90°
∵同样的弧所对应的圆周角相等，且∠ ACD =25°
∴∠ B=25°
∴∠ BAD =90°﹣∠ B=65°．
24．如图，在△ ABC 中， AB=AC，以 AB 为直径作⊙ O 交 BC 于点 D，过点 D 作⊙ O 的切线 DE
交 AC 于点 E，交 AB 延长线于点
F．（ 1）求证： DE ⊥ AC；
（ 2）若 AB=10， AE=8，求 BF 的长．
【解答】解：（ 1）连接 OD 、AD ，
∵DE 切⊙O于点 D，
∴OD⊥DE，
∵AB 是直径，
∴∠ ADB =90°，
∵AB =AC，
∴D 是BC 的中点，
又∵O是 AB中点，
∴OD ∥ AC，
∴DE ⊥ AC；
（2）∵ AB=10，
∴OB=OD =5，
由（ 1）得 OD∥ AC，
∴△ ODF ∽△ AEF ，
∴==，
设 BF=x， AE=8，
∴=，
解得： x=，
经检验 x=是原分式方程的根，且吻合题意，
∴BF=．
25．如图，在△ ABC 中，以 BC 为直径的⊙ O 交 AC 于点 E，过点 E 作 EF ⊥ AB 于点 F ，延长 EF 交CB 的延长线于点 G，且∠ ABG=2∠ C．
（1）求证： EF 是⊙ O 的切线；
（2）若 sin∠ EGC= ，⊙ O 的半径是 3，求 AF 的长．
【解答】解：（ 1）如图，连接EO，则 OE=OC，
∴∠ EOG=2∠ C，
∵∠ ABG =2∠ C，
∴∠ EOG=∠ ABG ，
∴AB ∥EO，
∵ EF ⊥AB，
∴EF ⊥OE，
又∵ OE 是⊙ O 的半径，
∴ EF 是⊙ O 的切线；
（2）∵∠ ABG =2∠C，∠ ABG=∠ C+∠ A，
∴∠ A=∠C，
∴ BA =BC=6，
在 Rt△ OEG 中，∵ sin∠ EGO=，
∴OG===5，
∴BG=OG ﹣ OB=2，
在 Rt△ FGB 中，∵ sin∠ EGO=，
∴BF =BGsin ∠ EGO=2× = ，
则 AF=AB﹣ BF =6﹣=．
26．如图，在Rt△ ABC 中，∠ C=90°，以 BC 为直径的⊙ O 交 AB 于点 D ，切线 DE 交 AC 于点E．
（1）求证：∠ A=∠ ADE ；
（2）若 AD =16， DE=10，求 BC 的长．
【解答】（ 1）证明：连接OD，
∵DE 是切线，
∴∠ ODE =90°，
∴∠ADE +∠BDO =90°，
∵∠ ACB =90°，
∴∠ A+∠B=90°，
∵OD =OB，
∴∠ B=∠BDO ，
∴∠ ADE =∠ A．
（2）连接 CD．
∵∠ADE =∠A，
∴AE=DE，
∵BC 是⊙O 的直径，∠ACB=90°，∴ EC 是⊙ O 的切线，
∴ED =EC，
∴AE =EC，
∵ DE =10，
∴AC=2DE=20，
在 Rt△ ADC 中， DC==12，
设 BD=x，在 Rt△BDC 中， BC2 =x2+122，在 Rt△ ABC 中， BC2=（ x+16）2﹣202，
2
+1222
﹣20
2
∴ x=（ x+16），
解得 x=9，
∴ BC==15．
27．如图， AB 是⊙ O 的直径，点 C 在 AB 的延长线上， AD 均分∠ CAE 交⊙ O 于点 D，且 AE ⊥CD ，垂足为点 E．
（ 1）求证：直线CE 是⊙ O 的切线．
（ 2）若 BC=3， CD =3，求弦AD的长．
【解答】（ 1）证明：连接OD，如图，
∵AD 均分∠ EAC ，
∴∠ 1=∠ 3，
∵OA=OD ，
∴∠ 1=∠ 2，
∴∠ 3=∠ 2，
∴OD ∥ AE，
∵AE ⊥DC，
∴OD ⊥ CE，
∴CE 是⊙ O 的切线；
（ 2）连接 BD．
∵∠ CDO =∠ ADB =90°，
∴∠ 2=∠CDB =∠ 1，∵∠ C=∠ C，
∴△ CDB ∽△ CAD ，
∴==，
∴CD 2=CB?CA，∴
（ 3 ）2=3CA，
∴CA=6，
∴ AB =CA﹣ BC=3，==，设BD =K， AD =2K，
在 Rt△ ADB 中， 2k2+4k2=9，
∴ k=，
∴AD= ．
28．如图，已知AB 是⊙ O 的直径， CD 与⊙ O 相切于 C， BE∥ CO．（1）求证： BC 是∠ ABE 的均分线；
（2）若 DC =8，⊙ O 的半径 OA=6，求 CE 的长．
【解答】（ 1）证明：∵ DE 是切线，
∴OC⊥DE ，
∵ BE ∥CO，
∴∠OCB =∠CBE ，
∵ OC=OB，
∴∠ OCB =∠ OBC ，
∴∠ CBE =∠CBO ，
∴BC 均分∠ ABE ．
（2）在 Rt△ CDO 中，∵ DC=8， OC=0A=6，
∴ OD ==10，
∵OC∥ BE，
∴= ，
∴=，
∴．
29．如图， Rt△ ABC 中，∠ C=90°，BC =3，点 O 在 AB 上， OB=2，以 OB 为半径的⊙ O 与 AC 相切于点 D ，交 BC 于点 E，求弦 BE 的长．
【解答】解：连接 OD，作 OF⊥BE 于点 F．
∴BF = BE，
∵AC 是圆的切线，
∴OD⊥AC，
∴∠ ODC =∠ C=∠ OFC =90°，
∴四边形 ODCF 是矩形，
∵OD =OB=FC=2， BC=3，
∴BF =BC﹣ FC=BC﹣ OD =3﹣2=1，
∴BE =2BF=2．
30．如图，已知：AB 是⊙ O 的直径，点 C 在⊙ O 上， CD 是⊙ O 的切线， AD ⊥ CD 于点 D ，E
是 AB 延长线上一点， CE 交⊙ O 于点 F ，连接 OC、
AC ．（ 1）求证： AC 均分∠ DAO ．
（ 2）若∠ DAO =105°，∠ E=30°
①求∠ OCE 的度数；
②若⊙ O 的半径为2，求线段EF 的长．
【解答】解：（ 1）∵ CD 是⊙ O 的切线，
∴OC⊥CD ，
∵AD⊥CD，
∴AD ∥OC，
∴∠ DAC =∠ OCA ，
∵OC=OA，
∴∠ OCA =∠ OAC ，
∴∠ OAC =∠ DAC ，
∴AC 均分∠ DAO ；
（2）①∵ AD ∥ OC，
∴∠ EOC =∠ DAO
=105°，∵∠ E=30°，
∴∠ OCE =45°；
②作 OG⊥CE 于点 G，
则 CG=FG=OG，
∵OC=2 ，∠ OCE=45°，
∴CG=OG=2，
∴FG =2，
在 Rt△ OGE 中，∠ E=30°，
∴ GE=2，
∴．
31．如图，AB 为⊙ O 的直径， C 为⊙O上一点，AD 与过点 C 的切线相互垂直，垂足为点D，AD交⊙O于点E，连接CE，CB．
（ 1）求证： CE=CB；
（ 2）若 AC=2，CE=，求AE 的长．
【解答】（ 1）证明：连接OC，
∵CD 是⊙ O 的切线，
∴OC⊥CD．
∵AD⊥CD，
∴OC∥AD ，
∴∠ 1=∠ 3．
又 OA=OC，
∴∠ 2=∠ 3，
∴∠ 1=∠ 2，
∴ CE=CB；
（2）解：∵ AB 是直径，
∴∠ ACB =90°，
∵ AC=2 ，CB=CE= ，
∴AB===5．
∵∠ ADC =∠ ACB =90°，∠ 1=∠ 2，
∴△ ADC ∽△ ACB，
∴==，即==，
∴AD =4， DC =2．
在直角△ DCE 中， DE==1，
∴AE =AD ﹣ ED=4﹣ 1=3．
32．如图， AB 是⊙ O 的直径， CD 与⊙ O 相切于点C，与 AB 的延长线交于 D ．（1）求证：△ ADC∽△ CDB；
（2）若 AC=2， AB= CD ，求⊙ O 半径．
【解答】（ 1）证明：如图，连接CO，
，
∵CD 与⊙ O 相切于点 C，
∴∠ OCD =90°，
∵ AB 是圆 O 的直径，
∴∠ ACB =90°，
∴∠ ACO =∠ BCD ，
∵∠ ACO =∠ CAD ，
∴∠ CAD =∠ BCD ，
在△ ADC 和△ CDB 中，
∴△ ADC ∽△ CDB ．
（2）解：设 CD 为 x，
则 AB= x，OC=OB= x，
∵∠ OCD =90°，
∴ OD ===x，
∴BD =OD ﹣ OB= x﹣ x= x，
由（ 1）知，△ ADC∽△ CDB，
∴=，
即，
解得 CB=1，
∴AB==，
∴⊙O半径是．
33．如图，已知AB 是⊙ O 的直径，过O 点作 OP⊥ AB，交弦 AC 于点 D，交⊙ O 于点 E，且使∠PCA=∠ ABC．
（1）求证： PC 是⊙ O 的切线；
（2）若∠ P=60°， PC=2，求 PE 的长．
【解答】解：（ 1）连接 OC，
∵AB 是⊙ O 的直径，
∴∠ ACB =90°，
∴∠ BCO +∠ ACO =90°，
∵OC=OB，
∴∠ B=∠BCO，
∵∠ PCA =∠ABC，
∴∠ BCO =∠ ACP ，
∴∠ ACP +∠OCA =90°，
∴∠ OCP =90°，
∴ PC 是⊙ O 的切线；
（2）∵∠ P=60°， PC=2，∠
PCO=90°，∴ OC=2 ， OP=2PC=4，
∴ PE =OP﹣ OE=OP﹣ OC=4﹣ 2．
34．如图， AB 与⊙ O 相切于点B，BC 为⊙ O 的弦， OC⊥OA， OA 与 BC 订交于点P．（1）求证： AP=AB；
（2）若 OB =4， AB=3，求线段 BP 的长．
【解答】（ 1）证明：∵ OC=OB，
∴∠ OCB =∠ OBC ，
∵AB 是⊙ O 的切线，
∴ OB⊥ AB，
∴∠ OBA =90°，
∴∠ ABP +∠OBC =90°，
∵OC⊥ AO，
∴∠ AOC =90°，
∴∠ OCB +∠ CPO =90°，
∵∠ APB =∠CPO ，
∴∠ APB =∠ABP，
∴AP =AB ．
（2）解：作OH⊥ BC 于 H ．
在 Rt△ OAB 中，∵ OB=4，AB =3，
∴ OA==5，
∵AP =AB =3，
∴ PO=2．
在 Rt△ POC 中， PC==2 ，
∵?PC?OH= ?OC?OP，
∴OH==，
∴CH==，
∵OH ⊥ BC，
∴CH=BH，
∴ BC=2CH=，
∴PB=BC﹣PC=﹣2 =．
35．如图，已知AB 是⊙ O 的直径，点P 为圆上一点，点 C 为 AB 延长线上一点，PA=PC，∠C=30°．
（1）求证： CP 是⊙ O 的切线．
（2）若⊙ O 的直径为 8，求暗影部分的面积．
【解答】（ 1）证明：连接OP，以下列图：
∵PA=PC，∠ C=30°，
∴∠ A=∠C=30°，
∴∠ APC =120°，
∵OA=OP，
∴∠ OPA=∠ A=30°，
∴∠ OPC =120°﹣ 30°=90°，
即 OP⊥ CP，
∴ CP 是⊙ O 的切线．
（2）解：∵ AB 是⊙ O 的直径，
∴∠ APB =90°，
∴∠ OBP =90°﹣∠
A=60°，∵ OP=OB=4，
∴△ OBP 是等边三角形，
∴∠ POC =60°，
∵ OP⊥ CP，
∴∠ C=30°，
∴ OC=2OP=2OB=8，
∴PC===4，
∴暗影部分的面积=扇形OBP 的面积﹣△OBP的面积=﹣××4×4=﹣4．
36．如图，矩形 ABCD 中， AB=4， AD=3， M 是边 CD 上一点，将△ ADM 沿直线 AM 对折，获得△ANM ．
（ 1）当 AN 均分∠ MAB 时，求 DM 的长；
（2）连接 BN，当 DM=1 时，求△ ABN 的面积；
（3）当射线 BN 交线段 CD 于点 F 时，求 DF 的最大值．
【解答】解：（ 1）由折叠性质得：△ANM ≌△ ADM ，∴∠ MAN =∠ DAM ，
∵AN 均分∠ MAB ，∠ MAN =∠NAB，
∴∠ DAM =∠ MAN=∠ NAB，
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠ DAB =90°，
∴∠ DAM =30°，
∴ DM =AD?tan∠DAM =3× tan30°=3×=；
（2）延长 MN 交 AB 延长线于点 Q，如图 1 所示：∵
四边形 ABCD 是矩形，
∴ AB ∥DC，
∴∠ DMA =∠ MAQ ，
由折叠性质得：△ ANM ≌△ ADM ，
∴∠ DMA =∠ AMQ ， AN=AD =3， MN =MD
=1，∴∠ MAQ =∠ AMQ ，
∴ MQ =AQ，
设 NQ=x，则 AQ=MQ =1+x，
∵∠ ANM =90°，
∴∠ ANQ =90°，
在 Rt△ ANQ 中，由勾股定理得：AQ2 =AN 2+NQ2，
∴（ x+1）2=32+x2，
解得： x=4，
∴NQ=4，AQ=5，
∵ AB =4， AQ=5，
∴ S△NAB = S△NAQ=×AN ?NQ=×× 3× 4=；
（3）过点 A 作 AH ⊥BF 于点 H，如图 2 所示：∵
四边形 ABCD 是矩形，
∴ AB ∥DC，
∴∠ HBA =∠ BFC ，∵∠
AHB =∠ BCF =90°，
∴△ ABH ∽△ BFC ，
∴= ，
∵AH ≤ AN=3， AB=4，
∴当点N、H 重合（即AH =AN）时， AH 最大， BH 最小， CF 最小， DF 最大，此时点M、F 重合， B、 N、M 三点共线，如图 3 所示：
由折叠性质得：AD =AH ，
∵AD =BC，
∴ AH =BC，
在△ ABH 和△ BFC 中，
∴△ ABH ≌△ BFC （ AAS），
CF =BH
由勾股定理得：BH =
∴CF=，
∴ DF 的最大值 =DC ﹣ CF=4﹣=
．
，
=，
37．如图 1，在正方形ABCD 中，P 是对角线BD 上的一点，点 E 在 AD 的延长线上，且 PA=PE，PE交CD于F．
（1）证明： PC=PE；
（2）求∠ CPE 的度数；
（3）如图 2，把正方形 ABCD 改为菱形 ABCD ，其余条件不变，当∠ ABC=120°时，连接 CE，尝试究线段 AP 与线段 CE 的数目关系，并说明原由．
【解答】（ 1）证明：在正方形ABCD 中， AB=BC，
∠ABP=∠ CBP=45°，
在△ ABP 和△ CBP 中，
，
∴△ ABP ≌△ CBP（ SAS），
∴PA=PC，
∵ PA=PE ，
∴PC=PE；
（2）由（ 1）知，△ ABP ≌△ CBP，
∴∠BAP =∠BCP，
∴∠DAP =∠DCP ，
∵ PA=PE ，
∴∠ DAP =∠ E，
∴∠ DCP =∠ E，
∵∠ CFP =∠EFD （对顶角相等），
∴ 180°﹣∠ PFC﹣∠ PCF =180°﹣∠ DFE ﹣∠
E，即∠ CPF =∠EDF =90°；
（3）在菱形 ABCD 中， AB=BC，∠ ABP=∠ CBP=60°，在△ ABP 和△ CBP 中，
，
∴△ ABP ≌△ CBP（ SAS），
∴PA=PC，∠ BAP=∠BCP，
∵PA=PE ，
∴ PC=PE，
∴∠ DAP =∠ DCP ，
∵PA=PC，
∴∠ DAP =∠ AEP，
∴∠ DCP =∠ AEP
∵∠ CFP =∠EFD （对顶角相等），
∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF =180°﹣∠DFE ﹣∠AEP，即∠CPF =∠EDF =180°﹣∠ADC =180°﹣120°=60°，∴△ EPC 是等边三角形，
∴PC=CE，
∴AP =CE．。