浙江省温岭市城南中学九年级数学 《圆》课件

③④
③⑤ ④⑤
①②⑤ 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于 ①②④ 弦,并且平分弦所对的另一条弧.
①②③ 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.
挑战自我垂径定理的推论
• 如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所平的弧相 等吗? 这两条弦在圆中位置有两种情况: 1.两条弦在圆心的同侧
的转化关系，是圆的相关性质的核心内容.
7.圆周角
定义：顶点在 圆 上，两边都与圆 相交 的角叫做圆周角.
易错点：图34-3中的∠ABC都不是圆周角.
定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角 相等 ，都等 于这条弧所对的 圆心角 的一半. 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是 直角，90° 圆周角所对 的弦是 直径 . 注意：在圆中，同一条弦所对的圆周角有两个，一个是优弧所 对的角，一 个是劣弧所对的角，这两个角互补.
圆
一、圆的定义
（1）描述性定义 在同一平面内，线段OP绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一端点P运动所形成的图形叫做 圆。定点O叫做圆心。线段OP叫做圆的半径。 （2）从集合观点定义 圆可以看作是平面内到定点距离等于定长 的点的集合，定点为圆心，定长为半径。
圆的对称性
• 圆是轴对称图形吗？ 如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称 轴？ 你是用什么方法解决上述问题的? 圆是中心对称图形吗？ 如果是,它的对称中心是什么? O 你能找到多少条对称轴？ 你又是用什么方法解决这个 问题的?
D
⌒ ⑤AD=BD.
⌒
垂径定理三种语言
• 定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
C
A
M└
●
如图∵ CD是直径, CD⊥AB, B
O
∴AM=BM,
⌒ =BC, ⌒ AC ⌒ ⌒ AD=BD.
D
• 垂径定理是 圆中一个重 要的结论,三 种语言要相 互转化,形成 整体,才能运 用自如.
垂径定理三角形
⌒ ⌒
（一）圆心角、弦、弧、弦心距之间的关系
在同圆或等圆中 ，如果两个圆心角、两条弧、
两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的 其余各组量分别相等。 如图， ∠AOB=∠COD，但它们所对的弧和 弦并不相等。 特别提示： 1、不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，否则虽然圆心角相等， 但其所对的弧、弦、弦心距不一定相等。 能去掉“在同圆或等圆中”这个前 提条件吗？ 2、本定理十分重要，它提供了圆心角、弧、弦、弦心距之间
⌒ ⌒ 只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论. ⑤AD=BD.
C
A
M└
●
B O

你可以写出相应的命题吗? 相信自己是最棒的!
D
C
A
垂径定理及其推论
条件 ①② ①③ 结论 命题 ③④⑤ 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
M└
●
B
O
①④
①⑤ ②③ ②④ ②⑤
D ②④⑤ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧. ②③⑤ 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的 ②③④ 另一条弧. ①④⑤ 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧. ①③⑤ 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且 ①③④ 平分弦和所对的另一条弧.

●
A
弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距. 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做 等弧.
5.圆心角
定义：顶点在 圆心 的角叫做圆心角.
注意：因为圆心角的顶点在圆心，所以圆心角的两边一定和 圆相交. 定理：圆心角的度数和它所对的弧的度数 相等 . 注意：1°的弧是指把圆心角360°分成360等份，那么 1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧，因此n°的圆心角就对 着n°的弧，圆心角的度数与它所对的弧的度数相等.
折叠
垂径定理
每条直径所在的直 每条直径都是 线都是圆的对称轴 圆的对称轴？ ×
1、圆有旋转不变性（即圆绕圆心旋转任何角度后， 仍能与原来的圆重合）， 圆是中心对称图形， 圆心是对称中心。 2、圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它 的对称轴。 图形的对称轴是直线，而直径是线段。
圆的相关概念
• 圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧. 以A,B两点为端点的弧.记作 ⌒ AB,读作“弧 AB”. 连接圆上任意两点间的线段叫做弦(如弦AB). 经过圆心弦叫做直径(如直径AC). • 直径将圆分成两部分,每一部分都叫做半 ⌒ B 圆 ( 如弧 ABC). m ⌒ 小于半圆的弧叫做劣弧,如记作 AB(用 E 两个字母). O ⌒ 大于半圆的弧叫做优弧,如记作 AmB C ( 用三个字母 ). D
O
2.两条弦在圆心的两侧
A
●
A C
●
垂径定理
• AB是⊙O的一条弦. 作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.

做一做
下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
C
A
M└
●
O
• 你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说 说你的想法和理由. B 图中有: ③AM=BM, 由 ① CD是直径 ⌒ ⌒ 可推得 ④ AC=BC, ② CD⊥AB
推论
• 在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两 条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对 应的其余各组量都分别相等. A A
D D
B
●
O
B
●
O
●
O′
┏ A′ D′ B′
如由条件: ③AB=A′B′
可推出
┏ A′ D′ B′ ①∠AOB=∠A′O′B′
②AB=A′B′ ④ OD=O′D′
在a,d,r,h中，已知其中任意两 个量,可以求出其它两个量.
OA=r, OE=d, AB=a, DE=h
C
⑴d + h = r
O E A D B
a 2 ⑵ r d ( ) 2
2 2
垂径定理的推论
• 如图,在下列五个条件中:
⌒ ⌒ ① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM, ④AC=BC,
●
圆的对称性
• 圆是轴对称图形. 圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无 数条对称轴. 可利用折叠的方法即可解决上述问题. 圆也是中心对称图形.
●
O
它的对称中心就是圆心. 用旋转的方法即可解决这个 问题. 这是圆特有的一个性质:圆的 旋转不变性
பைடு நூலகம்
归纳：圆的对称性
旋转 不变性 轴对称性
中心 旋转 弧、弦、圆心角、弦心距这四 对称性 组量之间的对应关系