2021年辽宁省葫芦岛市兴城市中考数学一模试卷(附答案详解)

2021年辽宁省葫芦岛市兴城市中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1.在1、−1、3、−2这四个数中，最大的数是()
A. 1
B. −1
C. 3
D. −2
2.下列几何体其中左视图是矩形的有()
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
3.下列运算正确的是()
A. 4xy−2y=2x
B. (x−3)2=x2−9
C. (−2a2)3=−8a5
D. a6÷a4=a2
4.下列调查中，适宜采用全面调查方式的是()
A. 调查一批新型节能灯泡的使用寿命
B. 调查一批饮料的防腐剂情况
C. 对某市初中生每天阅读时间的调查
D. 对某班学生视力情况的调查
5.不等式组{x+3>2
4−x>1的解集在数轴上表示为()
A. B.
C. D.
6.若关于x的方程2x(x−1)+mx=−2有两个相等的实数根，则实数m的值为()
A. −2
B. 6
C. −2或6
D. 2或−6
7.一次函数y=kx+b满足kb>0，且y随x的增大而减小，则此函数的图象不经过
()
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
8.如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，CD//AB，∠BCD=30°，
AB=6，则AC⏜的长为()
A. π
B. 4π
C. 2π
D. 45π
9.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，分别以A，C为圆心，
AC的长为半径作弧，两弧分别交于点的D，E，
大于1
2
直线DE交AC于点F，交AB于点G，AC=4，AB=3，
则CG的长为()
A. 4
B. 8
3
C. 4
3
D. 2
10.如图，△ABC中，AB=BC=5，AC=4√5，点D为AC
中点，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折
线A−B−C作匀速运动，点P与点C重合时停止运动.设
点P的运动时间为x秒，△PBD的面积为y，则下列图象中能表示y与x的函数关系的图象大致是()
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11.某种冠状病毒的直径为0.00000012纳米，这个数用科学记数法应表示为______ ．
12.分解因式：2a3−8a=______．
13.在一个不透明的口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球，这些球除颜色外都相同，其
，则随机摸出一个黄球的中有5个红球，4个蓝球．若随机摸出一个蓝球的概率为1
3
概率为______．
14.如图所示，将一副直角三角板按图中所示位置摆放，保持两
条斜边互相平行，则∠1的度数为______．
15.如图，甲，乙两艘船同时从港口A出发，甲船沿北偏东45°的
方向前进，乙船沿北偏东75°方向以每小时30海里的速度前
进，两船航行两小时分别到达B，C处，此时测得甲船在乙船的正西方向，则甲船每小时行驶______海里．
16.如图，正方形ABCD中，将线段AD绕点A顺时针旋转30°得
到线段AE，CE的延长线交正方形ABCD的对角线BD于点
F，则∠DFC的度数为______．
17.如图，在平面直角坐标系中，点A(−2,0)，B(2,0)，点C
从点O出发，在第一象限沿射线y=√3x运动，当△ABC
是直角三角形时，点C的坐标为______ ．
18.如图，等边三角形ABC中，BD是AC边上的中线，点E在
线段BD上，∠ACE=45°，AE的延长线交BC于点F，点G
在线段AF上，GE=EF，连接CG交BD于点H.下面结论：
①CE=AE；②∠ACG=30°；③EB=(√3−1)DE；④CH+
DH=√3
2
AB，其中正确结论的序号为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共96.0分）
19.先化简，再求值2−x
x−1÷(x+1−3
x−1
).其中x=√3−2．
20.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(1,1)，B(5,3)，
C(2,4)．
(1)请作出△ABC绕O点逆时针旋转90°的△A1B1C1；
(2)以点O为位似中心，将△ABC扩大为原来的2倍，在y轴的左侧得到△A2B2C2，
请画出△A2B2C2；
(3)请直接写出∠ABC的正弦值．
21.某校八年级为了解学生课堂发言情况，随机抽取该年级部分学生，对他们某天在课
堂上发言的次数进行了统计，其结果如下表，并绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，已知B、E两组发言人数的比为5：2，请结合图中相关数据回答下列问题：发言次数n
A0≤n<3
B3≤n<6
C6≤n<9
D9≤n<12
E12≤n<15
F15≤n<18
(1)求出样本容量，并补全直方图；
(2)该年级共有学生500人，请估计全年级在这天里发言次数不少于12次的人数；
(3)已知A组发言的学生中恰有1位女生，E组发言的学生中有2位男生．现从A
组与E组中分别抽一位学生写报告，请用列表法或画树状图的方法，求所抽的两位学生恰好是一男一女的概率．
,0)，与反比例函数y= 22.如图，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴交于点A(3
2
a
(a≠0)的图象在第一象限交于点B(4,m)，过点B作BC⊥x轴上点C，△ACD的面x
．
积为15
4
(1)求反比例函数y=a
的解析式；
x
(2)求证：△BCD是等腰三角形．
23.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC交BC于点
D，点O为AB上一点，以O为圆心，AO为半径的圆经过点D．
(1)求证：BC与⊙O相切；
(2)若BD=AD=√3，求阴影部分的面积．
24.兴城泳装在国内外享有较高的知名度，网店经销某品
牌泳装，每件成本30元，网店按单价不低于成本，
且不高于50元销售.在销售过程中发现，泳装每天的
销售量y(件)与销售单价x(元)之间满足一次函数关
系，其图象如图所示．
(1)求该泳装每天的销售量y(件)与x(元)之间的函数关系式；
(2)当每件泳装的售价为多少元时，每天销售泳装获得的利润为1050元？
(3)销售单价定为多少元时，才能使每天销售泳装获得的利润W(元)最大？最大利
润是多少元？
25.如图，在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°(AB<
AD)，△ADE绕点A旋转．
(1)如图1，若连接BD、CE，求证：BD=CE，BD⊥CE；
(2)如图2，若连接CD、BE，取BE中点F，连接AF，试探究AF与CD的数量关
系和位置关系，并证明你的结论；
(3)在(2)的条件下，当△ADE旋转到如图3的位置时，点D落在BC延长线上，若
AF=1.5，AC=2√2，请直接写出线段AD的长．
26.如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中A(3,0)，
B(−1,0)，抛物线的对称轴交x轴于点D，直线y=kx+b1经过点A和点C．
(1)求抛物线和直线AC的解析式；
(2)连接CD，若抛物线上存在一点P，使△ACP的面积是△ACD面积的2倍，求点
P的坐标；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使线段QA绕Q点顺时针旋转90°得到线
段QA1，且A1恰好落在抛物线上？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：根据有理数比较大小的方法，可得
−2<−1<1<3，
∴在1、−1、3、−2这四个数中，最大的数是3．
故选：C．
有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．
2.【答案】C
【解析】解：圆柱的左视图是矩形；三棱柱的左视图是矩形；长方体的左视图是矩形；圆锥的左视图是三角形；
所以其中左视图是矩形的有3个．
故选：C．
根据几何体的左视图是从物体的左面看得到的图形，得到四个图形的左视图，结合选项得到答案．
本题考查了几何体的三种视图，掌握三视图的定义是解题的关键，主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
3.【答案】D
【解析】解：A.4xy与−2y不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
B.(x−3)2=x2−6x+9，故本选项不合题意；
C.(−2a2)3=−8a6，故本选项不合题意；
D.a6÷a4=a2，正确．
故选：D．
分别根据合并同类项法则，完全平方公式，积的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．
本题主要考查了合并同类项、同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方以及完全平方公式，
熟记相关运算法则是解答本题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：A、调查一批新型节能灯泡的使用寿命，适宜采用抽样调查方式，故本选项不合题意；
B、调查一批饮料的防腐剂情况，适宜采用抽样调查方式，故本选项不合题意；
C、对某市初中生每天阅读时间的调查，适宜采用抽样调查方式，故本选项不合题意；
D、对某班学生视力情况的调查，适宜采用全面调查，故本选项符合题意；
故选：D．
根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．
本题考查的是抽样调查和全面调查，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．5.【答案】B
【解析】解：解不等式x+3>2，得：x>−1，
解不等式4−x>1，得：x<3，
则不等式组的解集为−1<x<3，
故选：B．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：方程整理为2x2+(m−2)x+2=0，
根据题意得△=(m−2)2−4×2×2=0，
解得m1=6或m2=−2．
故选：C．
先把方程化为一般式，再根据判别式的意义得到△=(m−2)2−4×2×2=0，然后解关于m的方程即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程无实数根．
7.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了一次函数的性质.能够根据k，b的符号正确判断直线所经过的象限．根据y 随x的增大而减小得：k<0，又kb>0，则b<0.再根据k，b的符号判断直线所经过的象限．
【解答】
解：根据y随x的增大而减小得：k<0，
又kb>0，则b<0，
故此函数的图象经过第二、三、四象限，
即不经过第一象限．
故选：A．
8.【答案】A
【解析】解：连接OC，如图：
∵AB是⊙O的直径，
AB=3，
∴OA=1
2
∵CD//AB，
∴∠ABC=∠BCD=30°，
∴∠AOC=2∠ABC=60°，
=π；
∴AC⏜的长为60π×3
180
故选：A．
连接OC，由平行线的性质得出∠ABC=∠BCD=30°，由圆周角定理得出∠AOC=
2∠ABC=60°，再由弧长公式即可得出答案．
本题考查了圆周角定理、平行线的性质以及弧长公式等知识；熟练掌握圆周角定理和弧长公式是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：由基本作图方法得出，DG垂直平分AC，
则AG=GC，
设GC=x，则BG=3−x，
∵∠B=90°，AC=4，AB=3，
∴BC=√42−32=√7，
∴BG2+BC2=CG2，
即(3−x)2+(√7)2=x2，
解得：x=8
3
．
故选：B．
直接利用基本作图方法得出AG=GC，再利用勾股定理得出答案．
此题主要考查了基本作图以及勾股定理，正确应用勾股定理是解题关键．10.【答案】A
【解析】解：∵AB=BC=5，点D为AC中点，
∴S△ABD=S△BDC=1
2S△ABC，BD⊥AC，AD=CD=1
2
AC=2√5，
∴BD=√AB2−AD2=√52−(2√5)2=√5，
∴S△ABC=1
2AC⋅BD=1
2
×4√5×√5=10，
∴S△ABD=S△BDC=5，
设点D到AB的距离为h，
∴1
2
AB⋅ℎ=5，
即1
2
×5ℎ=5，
解得ℎ=2，
∴点D到AB的距离为2，
同理可得点D到BC的距离为2，
当P在AB上时，PB的长为：5−x，高为2，
∴S△PDB=1
2
×2×(5−x)=5−x(0≤x≤5)；当P在BC上时，PB的长为：x−5，高为2，
∴S△PDB=1
2
×2(x−5)=x−5(5<x≤10)，
故只有选项A符合题意．
故选：A．
根据等腰三角形的性质，勾股定理以及三角形的面积公式求出△ABD和△BDC的面积为5，进而得出点D到AB和点D到BC的距离为2，从而得出P在AB上与P在BC上时
y与x的函数关系式，再进行判断即可．
此题考查函数动点问题，关键是根据题意得出解析式，然后根据解析式判断函数图象．11.【答案】1.2×10−7
【解析】解：0.00000012=1.2×10−7．
故答案为：1.2×10−7．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n
为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
12.【答案】2a(a+2)(a−2)
【解析】解：原式=2a(a2−4)=2a(a+2)(a−2)，
故答案为：2a(a+2)(a−2)
原式提取2a，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方程是解本题的关键．
13.【答案】1
4
【解析】解：设袋子中黄球有x个，
根据题意，得：4
4+5+x =1
3
，
解得：x=3，
即袋中黄球有3个，
所以随机摸出一个黄球的概率为3
3+4+5=1
4
，
故答案为：1
4
．
设黄球有x个，根据摸出一个球是蓝球的概率是1
，得出黄球的个数，再根据概率公式
3
即可得出随机摸出一个黄球的概率．
此题主要考查了概率公式的应用，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．得到所求的情况数是解决本题的关键．
14.【答案】75°
【解析】解：∵两三角板的斜边互相平行，
∴∠3=∠2=45°．
∵∠3=∠4+∠5，
∴∠5=∠3−∠4=45°−30°=15°．
又∵∠1+∠5+90°=180°，
∴∠1=75°．
故答案为：75°．
利用平行线的性质可得出∠3的度数，结合三角形外角的性质可求出∠5的度数，再结合∠1+∠5+90°=180°，即可求出∠1的度数．
本题考查了平行线的性质、三角形外角的性质以及角的计算，利用平行线的性质及三角形外角的性质，求出∠5的度数是解题的关键．
15.【答案】15(√3−1)
【解析】解：设甲船每小时行驶x海里，则AB=2x海里，
如图，
作BD⊥AC于点D，在AC上取点E，使BE=CE，
根据题意可知：
∠BAD=30°，∠C=15°，
∴∠BED=30°，
∴AD=DE=√3x，
CE=BE=AB=2x，
∴AD+DE+CE=60，
即√3x+√3x+2x=60，
解得x=15(√3+1)(海里)．
答：甲船每小时行驶15(√3+1)海里．
故答案为：15(√3+1)．
设甲船每小时行驶x海里，则AB=2x海里，如图，作BD⊥AC于点D，在AC上取点E，使BE=CE，根据题意可得，∠BAD=30°，∠C=15°，可得AD=DE=√3x，CE=BE= AB=2x，根据AD+DE+CE=60，列出方程即可求出x的值．
本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角．
16.【答案】120°
【解析】解：如图，连接DE，BE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB=BC，∠ADB=∠BDC=45°，
∵将线段AD绕点A顺时针旋转30°得到线段AE，
∴AD=AE，∠DAE=30°，
∴AB=AE，∠EAB=60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AB=BE，∠ABE=60°，
∴BE=BC，∠CBE=30°，
∴∠BCE=75°，
∴∠DCF=15°，
∴∠DFC=180°−∠BDC−∠DCF=120°，
故答案为：120°．
如图，连接DE，BE，由正方形的性质可得AD=AB=BC，∠ADB=∠BDC=45°，由旋转的性质可得AD=AE，∠DAE=30°，可证△ABE是等边三角形，可得AB=BE，∠ABE=60°，由等腰三角形的性质可求∠DCF=15°，即可求解．
本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等边三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
17.【答案】(1,√3)或(2,2√3)
【解析】解：∵点A(−2,0)，B(2,0)，
∴OA=OB=2，
设点C的坐标为(x,√3x)，
①当∠ACB=90°时，如图，过点C作CD⊥OB于点D，
∵O是AB的中点，
∴OC=OA=OB=2，
∵OD2+CD2=OC2，
∴x2+(√3x)2=22，
解得x=1(负值舍去)，
∴OD=1，CD=√3，
∴点C的坐标为(1,√3)；
②当∠ABC=90°时，如图，
∴x=OB=2，
∴BC=√3x=2√3，
∴点C的坐标为(2,2√3)；
综上所述：点C的坐标为(1,√3)或(2,2√3).
故答案为：(1,√3)或(2,2√3).
根据点A(−2,0)，B(2,0)，可得OA=OB=2，设点C的坐标为(x,√3x)，分两种情况讨论：①当∠ACB=90°时，过点C作CD⊥OB于点D，根据勾股定理可得x的值，进而可得点C的坐标；②当∠ABC=90°时，可得x=OB=2，BC=√3x=2√3，进而可得点C的坐标．
本题考查了直角三角形的性质，一次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是掌握直角三角形的性质．
18.【答案】①②③④
【解析】解：∵△ABC是等边三角形，BD是AC边上的中线，
∴BD⊥AC，AD=DC，∠CAB=∠ACB=∠ABC=60°，
∴EC=EA，故①正确，
∵EC=EA，
∴∠ECA=∠EAC=45°，
∴∠BAF=∠BAC−∠EAC=15°，
∴∠AFC=∠FAB+∠ABC=75°，
∵EG=EF，CE⊥FG，
∴CF=CG，
∴∠ECF=∠ECG=15°，
∴∠ACG=∠GCF=30°，故②正确，
设AD=DC=m，则AB=AC=2m，BD=√3m，
∵AD=DE=m，
∴BE=√3m−m，
∴EB
DE =√3m−m
m
=√3−1，
∴EB=(√3−1)DE，故③正确，
在Rt△CDH中，∵∠DCH=30°，CD=m，
∴DH=√3
3CD=√3
3
m，CH=2√3
3
m，
∴CH+DH=√3m=√3
2
AB，故④正确，
故答案为：①②③④．
①正确．证明ED垂直平分线段AC即可．
②正确．想办法证明∠ECF=∠ECG=15°即可解决问题．
③正确．设AD=DC=m，则AB=AC=2m，BD=√3m，用m表示出EB，DE即可解决问题．
④错误．求出CH+DH(用m表示)即可判断．
本题考查等边三角形的性质，解直角三角形，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
19.【答案】解：原式=−x−2
x−1÷(x+1)(x−1)−3
x−1
=−
x−2
x−1
⋅
x−1
(x+2)(x−2)
=−1
x+2
，
当x=√3−2时，原式=
√3−2+2=−√3
3
．
【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1为所作；
(2)如图，△A2B2C2为所作；
(3)∵BC=√12+32=√10，AC=√12+32=√10，AB=√22+42=√20，
∴BC2+AC2=AB2，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴sin∠ABC=sin45°=√2
2
．
【解析】(1)利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点A1、B1、C1即可；
(2)把A、B、C点的横纵坐标都乘以−2得到对应点A2、B2、C2的坐标，然后描点即可；
(3)利用勾股定理的逆定理证明△ABC为等腰直角三角形，然后利用特殊角的三角函数值求解．
本题考查了作图−位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k.也考查了旋转变换和解直角三
角形．
21.【答案】解：(1)∵B、E两组发言人数
的比为5：2，E组发言人数占8%，
∴B组发言的人数占20%，
由直方图可知B组人数为10人，
所以，被抽查的学生人数为：10÷20%=
50人，
C组人数为：50×30%=15人，
×100%=20%，
B组人数所占的百分比为：10
50
F组的人数为：50×(1−6%−20%−30%−26%−8%)，
=50×(1−90%)，
=50×10%，
=5，
∴样本容量为50人．补全直方图如图；
(2)F组发言的人数所占的百分比为：10%，
所以，估计全年级在这天里发言次数不少于12次的人数为：500×(8%+10%)=90人；
(3)A组发言的学生：50×6%=3人，所以有1位女生，2位男生，
E组发言的学生：50×8%=4人，所以有2位女生，2位男生，
列表如下：
画树状图如下：
共12种情况，其中一男一女的情况有6种，
所以P(一男一女)=612=12．
【解析】(1)根据B 、E 两组的发言人数的比求出B 组发言人数所占的百分比，再根据条形统计图中B 组的人数为10，列式计算即可求出被抽取的学生人数，然后求出C 组、F 组的人数，补全直方图即可；
(2)根据扇形统计图求出F 组人数所占的百分比，再用总人数乘以E 、
F 两组人数所占的百分比，计算即可得解；
(3)分别求出A 、E 两组的人数，确定出各组的男女生人数，然后列表或画树状图，再根据概率公式计算即可得解．
本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题，本题根据B 组的人数与所占的百分比求解是解题的关键，也是本题的突破口．
22.【答案】解：(1)∵B(4,m)，
∴点C 坐标为(4,0)，
点A(32,0)，
故AC =4−32=52，
∴S △ACD =12×AC ×OD =12×52×OD =
154， ∴OD =3，
故点D 坐标为(0,−3)，
设直线AD 的表达式为：y =kx +b ，则{b =−332
k +b =0，解得：{k =2b =−3， 故直线的解析式为y =2x −3，
把点B 的坐标代入上式得：m =2×4−3=5，
故点B(4,5)，
将点B 的坐标代入反比例函数表达式得：5=a 4，解得：a =20，
故反比例函数的解析式为y =
20x ；
(2)由点B(4,5)，点C(4,0)得：BC =5，
在Rt △COD 中，CD =√DO 2+OC 2=√9+16=5，
∴BC =5=CD ，
故△BCD为等腰三角形．
【解析】(1)S△ACD=1
2×AC×OD=1
2
×5
2
×OD=15
4
，求出点D坐标为(0,−3)，则直线
的解析式为y=2x−3，求出点B(4,5)，将点B的坐标代入反比例函数表达式，即可求解；
(2)由B、C的坐标得BC=5，而在Rt△COD中，CD=√DO2+OC2=√9+16=5，即可求解．
本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到一次函数的性质、勾股定理的运用、三角形面积的计算等，有一定的综合性，但难度不大．
23.【答案】解：(1)连接OD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAC，
∵OD=OA，
∴∠ODA=∠OAD，
∵∠ODA=∠DAC，
∴OD//AC，
∴∠BDO=∠ACB=90°，
∴DC⊥DO，
∵DO为⊙O的半径，
∴BC与⊙O相切；
(2)∵BD=AD=√3，
∴∠B=∠DAB，
∵∠BAD=∠DAC，
∴∠B=∠BAD=∠DAC，
∵∠C=90°，
∴∠B=∠BAD=30°，
∴∠BOD=60°，
在Rt△BDO中，BO=2DO，BO2=DO2+BD2，
∵BD=√3，
∴DO=1，
∴S △BDO =12×1×√3=
√32， ∴S 扇形ODE =60⋅π×1360=π6，
∴阴影部分的面积=√32−π6
．
【解析】(1)连接OD ，根据角平分线的定义得到∠BAD =∠DAC ，根据平行线的性质得到∠BDO =∠ACB =90°，于是得到结论；
(2)根据等腰三角形的性质得到∠B =∠BAD =∠DAC ，求得∠BOD =60°，解直角三角形得到DO =1，根据扇形和三角形的面积即可得到结论．
本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，勾股定理，扇形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．
24.【答案】解：(1)设y 与销售单价x 之间的函数关系式为：y =kx +b ，
将点(30,100)、(45,70)代入一次函数表达式，
得：{30k +b =10045k +b =70
， 解得：{k =−2b =160
， 故函数的表达式为：y =−2x +160；
(2)∵利润为W ，
由题意得：W =(x −30)(−2x +160)=−2(x −55)2+1250，
∵获得的利润为1050元，
∴−2(x −55)2+1250=1050，
解得：x =65或45，
∵30≤x ≤50，
∴x =45，
故当每件泳装的售价为45元时，每天销售泳装获得的利润为1050元；
(3)∵W =−2(x −55)2+1250，
∵−2<0，故当x <55时，W 随x 的增大而增大，而30≤x ≤50，
∴当x =50时，W 有最大值，此时，W =1200，
故销售单价定为50元时，该超市每天的利润最大，最大利润1200元．
【解析】(1)将点(30,100)、(45,70)代入一次函数表达式，即可求解；
(2)由题意得W =(x −30)(−2x +160)=−2(x −55)2+1250，令w =1050，即可求
解；
(3)由题意得W=−2(x−55)2+1250，∵−2<0，故当x<55时，W随x的增大而增大，所以x=50时，有最大值．
此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次不等式的应用、待定系数法求一次函数解析式等知识，正确利用销量×每件的利润=W得出函数关系式是解题关键．
25.【答案】证明：(1)如图1，设EC与BD交于点O，
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
{AD=AE
∠BAD=∠CAE AB=AC
，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴BD=EC，∠ABD=∠ACE，
∵∠ABD+∠CBD+∠ACB=90°，
∴∠CBD+∠ACB+∠ACE=90°，
∴∠BOC=90°，
∴BD⊥CE；
(2)CD=2AF，CD⊥AF，
理由如下：如图2，延长EA至H，使AH=AE，连接BH，延长FA交CD于G，
∵BF=EF，AE=AH，
∴BH=2AF，BH//AF，
∴∠EAF=∠H，
∵∠DAH=∠BAC=90°，
∴∠BAH=∠DAC，
又∵AB=AC，DA=AE=AH，
∴△ABH≌△ACD(SAS)，
∴BH=CD，∠ADC=∠H，
∴∠EAF=∠ADC，CD=2AF，
∵∠EAF+∠DAG=90°，
∴∠ADC+∠DAG=90°，
∴∠AGD=90°，
∴AF⊥CD；
(3)如图3，过点A作AN⊥BC于N，
由(2)可知：CD=2AF=3，
∵AB=AC=2√2，∠BAC=90°，AN⊥BC，
∴BC=4，AN=BN=CN=2，
∴DN=5，
∴AD=√AN2+DN2=√25+4=√29．
【解析】(1)由“SAS”可证△BAD≌△CAE，可得BD=EC，∠ABD=∠ACE，即可得结论；
(2)延长EA至H，使AH=AE，连接BH，延长FA交CD于G，由三角形中位线定理可得BH=2AF，BH//AF，由“SAS”可证△ABH≌△ACD，可得BH=CD=2AF，∠ADC=∠H，即可得结论；
(3)过点A作AN⊥BC于N，由等腰直角三角形的性质可求AN=CN=2，由勾股定理可求解．
本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
26.【答案】解：(1)把A(3,0)，B(−1,0)代入y =−x 2
+bc +c 中，得{−9+3b +c =0−1−b +c =0c =3，
解得{b =2c =3
， ∴抛物线的解析式为y =−x 2+2x +3；
当x =0时，y =3，
∴点C 的坐标是(0,3)，
把A(3,0)和C(0,3)代入y =kx +b 1中，得{3k +b 1=0b 1=3
，解得{k =−1b 1=3， ∴直线AC 的解析式为y =−x +3；
(2)当点P 在直线AC 下方时，如图1，连接BC ，
∵点D 是抛物线与x 轴的交点，
∴AD =BD ，
∴S △ABC =2S △ACD ，
∵S △ACP =2S △ACD ，
∴S △ACP =S △ABC ，此时，点P 与点B 重合，
即：P(−1,0)，
过B 点作PB//AC 交抛物线于点P ，则直线BP 的解析式为y =−x −1①， ∵抛物线的解析式为y =−x 2+2x +3②，
联立①②解得，{x =−1y =0(是点B 的纵横坐标)或{x =4y =−5
， ∴P(4,−5)，
当点P 在AC 上方时，如图2，
过点P作PH//y轴交AC于H，
设点P(m,−m2+2m+3)，
∴H(m,−m+3)，
∴PH=−m2+2m+3−(−m+3)=−m2+3m，
∵S△ACD=1
2AD⋅y C=1
2
×(3−1)×3=3，
∴1
2
(−m2+3m)=2×3=6，
∴m2−3m+12=0，
此方程无实数根，此种情况不存在，
∴即点P的坐标为(−1,0)或(4,−5)；
(3)存在，理由：
如图3，①当点Q在x轴上方时，设AC与对称轴交点为Q′，
由(1)知，直线AC的解析式为y=−x+3，
当x=1时，y=2，
∴Q′坐标为(1,2)，
∵Q′D=AD=BD=2，
∴∠Q′AB=∠Q′BA=45°，
∴∠AQ′B=90°，
∴点Q′为所求；
②当点Q在x轴下方时，设点Q(1,m)，
过点A1′作A1′E⊥DQ于E，
∴∠A1′EQ=∠QDA=90°，
∴∠DAQ+∠AQD=90°，
由旋转知，AQ=A1′Q，∠AQA1′=90°，
∴∠AQD+∠A1′QE=90°，
∴∠DAQ=∠A1′QE，
∴△ADQ≌△QEA1′(AAS)，
∴AD=QE=2，DQ=A1′E=−m，
∴点A1′的坐标为(−m+1,m−2)，
代入y=−x2+2x+3中，
解得，m=−3或m=2(舍)，
∴Q的坐标为(1,−3)，
∴点Q的坐标为(1,2)和(1,−3)．
【解析】(1)将点A，B坐标代入抛物线解析式中，求出b，c得出抛物线的解析式，进而求出点C的坐标，再将点A，C坐标代入直线AC的解析式中，即可得出结论；(2)当点P在AC下方时，利用抛物线的对称性得出BD=AD，进而判断出△ABC的面积和△ACP的面积相等，当点P在AC下方时，利用三角形面积公式建立方程，判断出此方程无实数根，即可得出结论；
(3)分点Q在x轴上方和在x轴下方，构造全等三角形即可得出结论．
此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积的计算方法，全等三角形的判定和性质，构造全等三角形是解本题的关键．。