2008年数学高考模拟试题(理科)

2008年数学高考模拟试题 （理科）
参考公式：①、如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）= P （A ） +P （B ）；②、如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）= P （A ）·P （B ）；③、如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中，这个事件恰好发生．．．．k 次的概率是P n (k)=C n k P k (1-P)n-k ；④、正态分布函数ƒ（x ）= 1 2π σ 2()2x u e σ--
(x ∈R ）；⑤、锥体
的体积公式：V 锥体=1
3sh,其中s 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高。

一、选择题（每题仅有一个正确答案，每题5分，共50分） ★1、函数ƒ（x)=cos(π-x)·lg|x|在区间[-π2，π
2]内的图象是（ ）
★2、设直线y=mx 与圆(x-3)2+y 2=4相交于点A 、B ，O 为坐标原点，则|→OA|·|→
OB|的值为（ ）
A 10
B 5
C m 2
+1 D 5m 2+1
★3、设函数ƒ（x)=x m
+ax ，若ƒ′(x)=2x+1，则数列｛
1
ƒ(n)
｝(n ∈N*)的前n 项之和是（ ） A n n-1 B n+1n C n n+1 D n+2n+1
★4、设（n
展开式中各项系数之和为a ，其二顶式系数之和为b ，且a+b=272,则这个展开式中x 2
的系数
为（ ）
A 1
B 3
C 12
D 18
★5、将函数y=sin ωx(ω>0)的图象按向量→a =(-π
6,0)平移，平移后的图
象如图所示，则该图象所对应的函数的解析式是（ ）
A y=sin(x+π6)
B y=sin(x-π
6)
C y=sin(2x+π3)
D y=sin(2x-π
3
)
★ 6题、在如图所示的坐标平面的可行域（阴影部分且包
括边界）内，目标函数z=2x-ay 取得最大值的最优解有无数个，则a 的值为（ ）
A -2
B 2
C -6
D 6
★7、在三棱锥P-ABC 中，PA ⊥平面ABC ，∠BAC=90°，AB ≠AC ，D 、E 分别是BC 、AB 的中点，AC>AD ，设PC 与DE 所成的角为α，PD 与平面ABC 所成的角为β，二面角P-BC-A 的平面角为γ，则α、β、γ的大小关系为（ ）
A 、 α<β<γ
B 、 α<γ<β
C 、 β<α<γ
D 、 γ<β< ★ 8、已知两定点M （0，3）、N （0，-3），若某曲线上存在点P ，使|PM|- |PN|=4,则称该曲线为“等差曲线”； 给出
下列曲线方程：
① x 2+(y-2)2=1；② y=x ；③ x 2=5y ；④ x-2y-5=0；其中是“等差曲线”的方程 的序号是（ ） A ①③ B ②④ C ①② D ③④
★9、在直角坐标系中，横坐标和纵坐标均为整数的点叫做格点，若函数y=ƒ(x)的图象恰好经过k 个格点，则称函数
y=ƒ(x)为k 阶格点函数 。

给出下列四个函数:① y=sinx;② y=log 2x;③ y=e x -1;④ y=x 2
;其中为一阶格点函数的函数个数共有（ ）个
A 1
B 2
C 3
D 4
★ 10、已知数列｛a n ｝是首项为1，公差为2的等差数列，将数列｛a n ｝中的各
项排成如图所示的一个三角形数表，记A （i,j)表示第i 行从左至右的第j 个数，例如A （4，3）=a 9,则A （10，2）=（ ）
A 91
B 93
C 95
D 97
二、填空题（5×5=25分）
★11、定义运算a ◆b 为： a ◆b= a (a ≤b)
b (a >b) 则1◆2x 的取值范围是______
★12、过双曲线22
221x y a b
-=（a>0,b>0)的右焦点F 作倾斜角为60°的直线L ，若直线L 与双曲线的右支有且只有一
个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是____
★13、湖南省2007年的高考数学测验成绩经统计发现服从正态分布N （88，400），本次参考学生50万，则其中数学成绩在108分以上者（含108分）的人数为______（已知ϕ（1）=0.8413,ϕ(0.1)=0.5389,ϕ(2)=0.9772)
★14、如果对某对象连续施加两次相同的变换，其结果还是变换前的对象，则称这种变换叫做“回归变换”，例如，对于一个实数a,其相反数的相反数仍是a ，所以“取实数的相反数”是一种回归变换。

那么，对于任意的实数x,线性变换y=kx+b(k 、b ∈R ，b ≠0)是回归变换的充要条件是_____
★15、某公司拟投资13亿元进行项目开发，现有6个项目可供选择，其投资额和利润如下表所示：
设计一个投资方案,使投资13亿元所获得的利润最大,则应选的项目是______(只需写出投资方案中的项目的代号)
三、解答题（12+12+12+12+13+14=75分）
★16、设a 为实常数，函数ƒ(x)=sin 22x
cos3x-cosx + 3 sinx,①求函数ƒ(x)的单调递增区间；②若存在x 0∈(π2
,π)，使得
a ƒ(x 0)=1+a 成立，求出a 的取值范围。

（12分）
★17、因需要进行商业谈判,我急于要从北京出发前往智利的圣地亚哥,航空公司开出了两条路线供我选择:其一:从北
京−−−→向西 纽约 −−−→向南 圣地亚哥；其二:从 北京 −−−→向南 澳大利亚的弗里曼特尔−−−
→向西
圣地
亚哥。

已知这四个城市的经纬度为：北京（东经120°、北纬40°）；纽约（西经70°、北纬40°）；圣地亚哥（西经70°、南纬30°）；弗里曼特尔（东经120°、南纬30°）
请帮我比较策划这两种方案中哪一种飞行距离更短些，请说明理由。

（12分）
★ 18、某工厂有容量为300吨的水塔一个，每天从早上6点起到晚上10点止供应该厂生活和生产用水，已知该厂生
活用水是10吨/小时，工业用水W 吨与时间t (单位：小时，且定义早上6点时t=0) 的函数关系式为
水塔进水量有10级，第一级每小时进水10吨，以后每提高一级，每小时进水就增加10吨，若某天水塔原有水量是100吨，且在供水的同时又打开进水管，请你设计进水量的级数，使得水塔既能保证该厂用水 (水塔中的水不空)，又不会使水溢出。

（12分）
★ 19、已知椭圆C 1：22221x y a b +=（a>b>0)的左、右顶点分别为A 、B ，点P 是双曲线C 2：22
221x y a b
-=在第一象限
内图象上的一点，直线AP 、BP 与椭圆C 1分别交于点C 、D ，若△ACD 与△PCD 的面积相同；①求出点P 的坐
标；②能否使直线CD 经过椭圆C 1的右焦点，若能，求出此时双曲线C 2的离心率，若不能，请说明理由。

（12分）
★ 20、已知函数ƒ（x)=ln(1+x)-x, 函数g(x)=xlnx,
证明：① ƒ（x)≤0；②当0<a<b 时，g(a)+g(b)>2g(a+b
2
) （13分）
★21、一个同心圆形花坛,分为两部分,中间小圆部分种植草坪和绿色灌木,周围的圆环分为n(n ≥3,n ∈N*)等份,种植红、
黄、蓝三色不同的花，要求相邻两部分种植不同颜色的花； （Ⅰ）、如图1，圆环被分成a 1,a 2,a 3三等份时，共有多少种不同的种植方法？ （Ⅱ）、如图2，圆环被分成a 1,a 2,a 3,a 4四等份时，共有多少种不同的种植方法？ （Ⅲ）、如图3，圆环被分成a 1,a 2,a 3,…,a n-1,a n 这 n 等份时，共有不同的种植方法数记为S （n),试写出S （n ）与S （n-1)满足的关系式，并求出S （n)关于n 的表达式。

（14分）
2008年高考模拟试题（理科数学）参考答案
一、选择题： 二、填空题：
11题： (0,1] 12题：[2,+∞) 13题： 79350人 14题： k=-1 15题：BDEF 三、解答题：
★16题：①ƒ(x)=2sin(x-π6)，则其单调递增区间为[2k π-π3,2k π+2π3](k ∈z)；②由于ƒ(x)∈(1,2],则1<1
a +1≤2,
∴a ≥1为所求。

★17题：解:不妨用
AB
L
表示地球上两点间的球面距离，用各城市的头一个字母Ｂ、Ｎ、Ｆ、Ｓ分别代表北京、纽约、
弗里曼特尔、圣地亚哥。

甲方案的空中航线长为：
BN
L
＋
NS
L
;乙方案的空中航线长为：
BF
L
＋
FS
L
；由于向南飞行是同经度，沿经度线飞行，经度线所在就是地球的大圆线，它们间纬度差正好相等，则有NS
L
=
BF
L
，从而只要
比较
BN
L
和
FS
L
就可以了。

在
BN
L
中，北纬40°的小圆半径ｒ=Ｒ·cos40° ,经度差为170°，它的弦长ＢＮ= 2
Ｒsin85°·cos40° ；同理有ＦＳ= 2Ｒsin85°·cos30°； ∵cos40°＜cos30° ∴ＢＮ＜ＦＳ；∵对于同一个球，较长的弦对应的球心角也较大，则
BN
L
＜
FS
L
∴两个方案中第一个方案飞行的距离要短些。

★ 18题： 解：设进水量选用第n 级，则每小时进水量为10n ，∴t 时刻进水量为10nt ，又生活用水为10t ，工业用
水为100t ，则t 时刻水塔中水的存量为y=100+10nt-10t-100t (0<t ≤16)，要求水塔中的水不空也不溢出，
则0<y ≤300(t ∈(0,16])恒成立，则0<100+10nt-10t-100t ≤300(t ∈(0,16])恒成立 ，分离参数有：-10t + 10
t
+1<n ≤20t + 10 t +1(t ∈(0,16]);左边函数y ≤72,右边函数y ≥194,则72<n ≤194即n=4，故应选择第四级进水管。

★ 19题：①由S △ACD =S △PCD ，则C 为AP 的中点，则C （x 0-a 2,y 0
2
)；代入椭圆和双曲线方程并联立得x 0=2a (x 0=-a 舍去），
∴y 0= 3 b,∴P(2a, 3 b)为所求。

②由K PD = 3 b a ,则直线PD 方程为：y= 3 b a (x-a),代入椭圆方程则得X D =a
2,
又有X C =a 2,∴CD 垂直于x 轴，若CD 过椭圆C 1的右焦点，则a 2 = a 2-b 2
,∴b= 3 2 a,,则C 2的离心率为e 2= 7 2
★20题：①求导知ƒ（x)在（-1，0)为↗；在[0，+∞）上为↘，则ƒ（x)≤ƒ（0）=0
②g(a)+g(b)-2g(a+b 2)=aln(2a a+b )+bln 2b a+b =-aln a+b 2a -bln a+b 2b =-aln(1+b-a 2a )-bln(1+a-b 2b ),∵0<a<b,∴b-a 2a >0,-1<a-b
2a <0,
由①知，当x>-1,且x ≠0时，ln(1+x)<x,即-ln(1+x)>-x ∴-ln(1+b-a 2a )>-b-a 2a ,则-ln(1+a-b 2b )>-a-b
2b ,∴
-aln(1+b-a 2a )-bln(1+a-b 2b )>-b-a 2 - a-b
2 =0,∴g(a)+g(b)-2g(a+b/2)>0
★21题：解：①S （3）=C 13C 12C 11=6； ②S （4）=C 13C 12（C 12+C 11）=18
③如图3，圆环分成n 等分，a 1有3种不同的种法，对a 2,a 3,…,a n-1,a n 都有两种不同的种法，但这样种法只能保证a 1
与a i (i=2,3,…,n -1)不同颜色，但不能保证a 1与a n 不同颜色；
于是，分为两类：一类是a n 与a 1不同色的种法，这是符合要求的种法，记为 S （n ）(n ≥3)种；另一类是a n 与a 1同色的种法，这时可以把．．．．．a ．n ．与．a ．1．看成一个整体，这样的种法相当于对．．．．．．．．．．．．．．．．n ．-．1．部分符合要求的种法，记为．．．．．．．．．．．．S ．（．n ．-．1．）．；两类合计共有3×2n-1
种种法，
则S （n ）+ S （n-1）=3×2n-1 = 2n +2n-1
，
则有S （n ）-2n =-[ S （n-1）-2n-1]，则数列｛S （n ）-2n ｝是首项为S （3）-23
=-2，公比为-1的等比数列，则S
（n ）-2n =-2·（-1）n-3
∴S （n ）=2n -2·（-1）n-3
(n ≥3)。