2018-2019学年北京市一六一中学八年级(下)期中数学试卷

2018-2019学年北京市一六一中学八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共8道小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）下列二次根式中，最简二次根式是（）
A．B．C．D．
2．（3分）下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（）
A．4，5，6B．11，12，13C．2，3，4D．8，15，17
3．（3分）平行四边形ABCD中，若∠B＝2∠A，则∠C的度数为（）
A．120°B．60°C．30°D．15°
4．（3分）正方形的一条对角线长为4，则这个正方形的面积是（）
A．8B．4C．8D．16
5．（3分）若A（1，y1），B（2，y2）两点都在反比例函数y＝的图象上，则y1与y2的大小关系是（）A．y1＜y2B．y1＝y2C．y1＞y2D．无法确定
6．（3分）如图，菱形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，若AC＝4，BD＝6，则菱形ABCD的周长为（）
A．16B．24C．4D．8
7．（3分）如图，正方形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，点E在BD上，且BE＝CD，则∠BEC的度数为（）
A．22.5°B．60°C．67.5°D．75°
8．（3分）如图1，分别沿长方形纸片ABCD和正方形纸片EFGH的对角线AC，EG剪开，拼成如图2所示的▱KLMN，若中间空白部分四边形OPQR恰好是正方形，且▱KLMN的面积为50，则正方形EFGH的面积为（）
A．24B．25C．26D．27
二、填空题（本大题共8道小题，每小题3分，本题共24分）
9．（3分）化简的结果是．
10．（3分）如图，为估计池塘岸边A，B两点间的距离，在池塘的一侧选取点O，分别取OA，OB的中点M，N，测得MN＝32m，则A，B两点间的距离是m．
11．（3分）三角形三边长分别为3，4，5，那么最长边上的中线长等于．
12．（3分）如图，一棵大树在离地面9米高的B处断裂，树顶A落在离树底BC的12米处，则大树断裂之前的高度为米．
13．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC＝4cm，∠AOD＝120°，则BC的长为cm．
14．（3分）反比例函数y＝在第一象限的图象如图，请写出一个满足条件的k值，k＝．
15．（3分）如图，正方形ABCD的面积是2，E，F，P分别是AB，BC，AC上的动点，PE+PF的最小值等于．
16．（3分）在数学课上，老师提出如下问题：
如图1，将锐角三角形纸片ABC（BC＞AC）经过两次折叠，得到边AB，BC，CA上的点D，E，F．使得四边形DECF恰好为菱形．
小明的折叠方法如下：
如图2，（1）AC边向BC边折叠，使AC边落在BC边上，得到折痕交AB于D；（2）C点向AB边折叠，使C 点与D点重合，得到折痕交BC边于E，交AC边于F．
老师说：“小明的作法正确．”
请回答：小明这样折叠的依据是．
三、计算题（本大题共3道小题，每小题12分，本题共12分）
17．（12分）计算：
（1）
（2）
（3）
四、解答题（本大题共8道小题，其中23小题4分，24小题6分，其它每小题5分，本题共40分）
18．（5分）如图，已知平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上的两个点，且BE＝DF．求证：四边形AECF为平行四边形．
19．（5分）如图，凹四边形ABCD中，CD⊥AD，AD＝8，CD＝6，AB＝26，BC＝24，求凹四边形ABCD的面积．
20．（5分）利用勾股定理可以在数轴上画出表示的点，请依据以下思路完成画图，并保留画图痕迹：
第一步：（计算）尝试满足＝，使其中a，b都为正整数，你取的正整数a＝，b＝；
第二步：（画长为的线段）以第一步中你所取的正整数a，b为两条直角边长画Rt△OEF，使O为原点，点E落在数轴的正半轴上，∠OEF＝90°，则斜边OF的长即为，请在下面的数轴上画图；（第二步不要求尺规作图，不要求写画法）
第三步：（画表示的点）在下面的数轴上画出表示的点M，并描述第三步的画图步骤：．21．（5分）已知，如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，如果AB＝8cm，BC＝10cm （1）求FC的长；
（2）求EC的长．
22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b的图象与y轴交于点B（0，1），与反比例函数y＝的图象交于点A（3，﹣2）．
（1）求反比例函数的表达式和一次函数表达式；
（2）若点C是y轴上一点，且BC＝BA，直接写出点C的坐标．
23．（4分）如图，六个完全相同的小长方形拼成一个大长方形，AB是其中一个小长方形的对角线，请在大长方形中完成下列画图：要求：①仅用无刻度直尺，②保留必要的画图痕迹．
（1）在图（1）中画一个45°角，使点A或点B是这个角的顶点，且AB为这个角的一边；
（2）在图（2）中利用所学特殊四边形的知识，画出线段AB的垂直平分线．
24．（6分）我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．
（1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH 是平行四边形；
（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足P A＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；
（3）若改变（2）中的条件，使∠APB＝∠CPD＝90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．（不必证明）
25．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为（x1，y1），点N的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，以
MN为边构造菱形，若该菱形的两条对角线分别平行于x轴，y轴，则称该菱形为边的“坐标菱形”，
（1）已知点A（2，0），B（0，2），则以AB为边的“坐标菱形”的面积为；
（2）若点C（1，2），点D在直线y＝5上，以CD为边的“坐标菱形”为正方形，求直线CD解析式．
四、填空题（本题6分）
26．（6分）如图，OP＝1，过P作PP1⊥OP且PP1＝1，根据勾股定理，得OP1＝；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，得OP2＝；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2；OP4＝，…：依此继续，得OP2019＝，OP n＝（n为自然数，且n＞0）
五、解答题（本题共14分，2小题6分，3小题8分）
27．（6分）如图1，将边长为1的正方形ABCD压扁为边长为1的菱形ABCD．在菱形ABCD中，∠A的大小为α，面积记为S．
（1）请补全表：
（2）填空：
由（1）可以发现单位正方形在压扁的过程中，菱形的面积随着∠A大小的变化而变化，不妨把单位菱形的面积S记为S（α）．例如：当α＝30°时，S＝S（30°）＝；当α＝135°时，S＝S（135°）＝．由上表可以得到S（60°）＝S（°）；S（150°）＝S（°），…，由此可以归纳出S（180°﹣α）＝（°）．（3）两块相同的等腰直角三角板按图2的方式放置，AD＝，∠AOB＝α，试探究图中两个带阴影的三角形面积是否相等，并说明理由（注：可以利用（2）中的结论）．
28．（8分）已知如图1，正方形ABCD，△CEF为等腰直角三角形，其中∠CFE＝90°，CF＝EF，连接CE，AE，AC，点G是AE的中点，连接FG
（1）用等式表示线段BF与FG的数量关系是．
（2）若将△CEF绕顶点C旋转，使得点F恰好在线段AC上，并且点E在线段AC的上方，点G仍是AE的中点，连接FG，DF
①在图2中依据题意补全图形；
②求证：DF＝FG．
2018-2019学年北京市一六一中学八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8道小题，每小题3分，共24分）
1．【解答】解：A、是最简二次根式，本选项正确；
B、＝3，不是最简二次根式，本选项错误；
C、＝，不是最简二次根式，本选项错误；
D、＝3a，不是最简二次根式，本选项错误．
故选：A．
2．【解答】解：A、∵42+52＝41≠62，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∵112+122＝265≠132，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、∵22+32＝13≠42，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、∵82+152＝289＝172，∴能够构成直角三角形，故本选项符合题意．
故选：D．
3．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A+∠B＝180°，∠A＝∠C，
∵∠B＝2∠A，
∴∠A+2∠A＝180°，
∴∠A＝∠C＝60°．
故选：B．
4．【解答】解：∵正方形的一条对角线长为4，
∴这个正方形的面积＝×4×4＝8．
故选：A．
5．【解答】解：∵A（1，y1），B（2，y2）两点都在反比例函数y＝的图象上，
∴1•y1＝1，2•y2＝1，
解得：y1＝1，y2＝，
∵1＞，
∴y1＞y2．
故选：C．
6．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BO＝OD＝AC＝2，AO＝OC＝BD＝3，AC⊥BD，
∴AB＝＝，
∴菱形的周长为4．
故选：C．
7．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠DBC＝45°，
∵BE＝CD，
∴BE＝BC，
∴∠BEC＝∠BCE＝（180°﹣45°）÷2＝67.5°，
故选：C．
8．【解答】解：如图，设PM＝PL＝NR＝KR＝a，正方形ORQP的边长为b．
由题意：a2+b2+（a+b）（a﹣b）＝50，
∴a2＝25，
∴正方形EFGH的面积＝a2＝25，
故选：B．
二、填空题（本大题共8道小题，每小题3分，本题共24分）
9．【解答】解：＝3，
故答案为：3．
10．【解答】解：∵M、N是OA、OB的中点，即MN是△OAB的中位线，
∴MN＝AB，
∴AB＝2MN＝2×32＝64（m）．
故答案为：64．
11．【解答】解：∵32+42＝25＝52，
∴该三角形是直角三角形，
∴×5＝2.5．
故答案为：2.5．
12．【解答】解：由题意得BC＝9，在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：AB＝＝15米．所以大树的高度是15+9＝24米．
故答案为：24．
13．【解答】解：在矩形ABCD中，OA＝OB＝AC＝×4＝2cm，
∵∠AOD＝120°，
∴∠AOB＝180°﹣120°＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝2cm，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得，BC＝＝＝2cm．
故答案为：2．
14．【解答】解：∵反比例函数y＝的图象在第一象限，
∴k＞0，
∴k＝3，
故答案为：3．
15．【解答】解：过点P作MN∥AD交AB于点M，交CD于点N，如图所示．
∵四边形ABCD为正方形，
∴MN⊥AB，
∴PM≤PE（当PE⊥AB时取等号），PN≤PF（当PF⊥BC时取等号），
∴MN＝AD＝PM+PN≤PE+PF，
∵正方形ABCD的面积是2，
∴AD＝．
故答案为：．
16．【解答】解：如图，连接DF、DE．
根据折叠的性质知，CD⊥EF，且OD＝OC，OE＝OF．
则四边形DECF恰为菱形．
故答案是：CD和EF是四边形DECF对角线，而CD和EF互相垂直且平分（答案不唯一）．
三、计算题（本大题共3道小题，每小题12分，本题共12分）
17．【解答】解：（1）原式＝2+3﹣﹣5
＝﹣2；
（2）原式＝2×÷
＝2××3×
＝2；
（3）原式＝
＝+2．
四、解答题（本大题共8道小题，其中23小题4分，24小题6分，其它每小题5分，本题共40分）18．【解答】证明：连接对角线AC交对角线BD于点O．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵点E，F是对角线BD上的两点，且BE＝DF，
∴OB﹣BE＝OD﹣DF，
即OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形．
19．【解答】解：连接AC，在Rt△ACD中，AD＝8，CD＝6，
∴AC＝＝＝10，
在△ABC中，
∵AC2+BC2＝102+242＝262＝AB2，
∴△ABC为直角三角形；
∴图形面积为：
S△ABC﹣S△ACD＝×10×24﹣×6×8＝96．
20．【解答】解：第一步：a＝4，b＝2；
第二步：如图，OF为所作；
第三步：如图，以原点为圆心，OF为半径画弧交数轴的正半轴于点M，则点M为所作．
故答案为4，2；以原点为圆心，OF为半径画弧交数轴的正半轴于点M，则点M为所作．
21．【解答】解：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴DC＝AB＝8，AD＝BC＝10，∠B＝∠D＝∠C＝90°，
∵折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处
∴AF＝AD＝10，DE＝EF，
在Rt△ABF中，BF＝BF＝＝＝6，
∴FC＝BC﹣BF＝4；
（2）设EC＝x，则DE＝8﹣x，EF＝8﹣x，
在Rt△EFC中，
∵EC2+FC2＝EF2，
∴x2+42＝（8﹣x）2，
解得x＝3
∴EC的长为3．
22．【解答】解：（1）∵双曲线y＝过A（3，﹣2），将A（3，﹣2）代入y＝，解得：m＝﹣6．
∴所求反比例函数表达式为：y＝﹣．
∵点A（3，﹣2），点B（0，1）在直线y＝kx+b上，
∴﹣2＝3k+b，b＝1，
∴k＝﹣1，
∴所求一次函数表达式为y＝﹣x+1．
（2）由A（3，﹣2），B（0，1）可得，AB＝＝3，
∴BC＝3，
又∵BO＝1，
∴CO＝3+1或3﹣1，
∴C（0，3+1 ）或C（0，1﹣3）．
23．【解答】解：（1）如图1，∠ABC＝45°，∠DAB＝45°；
（2）如图2，MN为所作．
24．【解答】（1）证明：如图1中，连接BD．
∵点E，H分别为边AB，DA的中点，
∴EH∥BD，EH＝BD，
∵点F，G分别为边BC，CD的中点，
∴FG∥BD，FG＝BD，
∴EH∥FG，EH＝GF，
∴中点四边形EFGH是平行四边形．
（2）四边形EFGH是菱形．
证明：如图2中，连接AC，BD．
∵∠APB＝∠CPD，
∴∠APB+∠APD＝∠CPD+∠APD
即∠APC＝∠BPD，
在△APC和△BPD中，
，
∴△APC≌△BPD，
∴AC＝BD
∵点E，F，G分别为边AB，BC，CD的中点，
∴EF＝AC，FG＝BD，
∵四边形EFGH是平行四边形，
∴四边形EFGH是菱形．
（3）四边形EFGH是正方形．
证明：如图2中，设AC与BD交于点O．AC与PD交于点M，AC与EH交于点N．∵△APC≌△BPD，
∴∠ACP＝∠BDP，
∵∠DMO＝∠CMP，
∴∠COD＝∠CPD＝90°，
∵EH∥BD，AC∥HG，
∴∠EHG＝∠ENO＝∠BOC＝∠DOC＝90°，
∵四边形EFGH是菱形，
∴四边形EFGH是正方形．
25．【解答】解：（1）如图1
∵点A（2，0），B（0，2），
∴OA＝2，OB＝2，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB＝＝＝4，∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝2，OB＝OD＝2
∴AC＝4，BD＝4
∴以AB为边的“坐标菱形”的面积＝＝8，
故答案为：8；
（2）如图2，
∵以CD为边的“坐标菱形”为正方形，
∴直线CD与直线y＝5的夹角是45°，
过点C作CE⊥DE于E，
∴D（4，5）或（﹣2，5），
设直线CD解析式为y＝kx+b，
由题意可得或
解得：或
∴直线CD的表达式为：y＝x+1或y＝﹣x+3；
四、填空题（本题6分）
26．【解答】解：由勾股定理得：
OP1＝＝；
得OP2＝＝；
得OP3＝＝＝2；
OP4＝＝；
依此类推可得OP n＝，
∴OP2019＝＝＝2．
故答案为：，2，．
五、解答题（本题共14分，2小题6分，3小题8分）
27．【解答】解：
（1）当α＝45°时，如图1，过D作DE⊥AB于点E，
则DE＝AD＝，
∴S＝AB•DE＝，
同理当α＝60°时S＝，
当α＝120°时，如图2，过D作DF⊥AB，交BA的延长线于点F，
则∠DAE＝60°，
∴DF＝AD＝，
∴S＝AB•DF＝，
同理当α＝150°时，可求得S＝，
故表中依次填写：；；；；
（2）由（1）可知S（60°）＝S（120°），
S（150°）＝S（30°），
∴S（180°﹣α）＝S（α）
故答案为：120；30；α；
（3）两个带阴影的三角形面积相等．
证明：如图3将△ABO沿AB翻折得到菱形AMBO，将△CDO沿CD翻折得到菱形OCND．
∵∠AOD＝∠COB＝90°，
∴∠COD+∠AOB＝180°，
∴S△AOB＝S菱形AMBO＝S（α）
S△CDO＝S菱形OCND＝S（180°﹣α）
由（2）中结论S（α）＝S（180°﹣α）
∴S△AOB＝S△CDO．
28．【解答】解：（1）BF＝FG，
理由是：如图1，连接BG，CG，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABC＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC，
∵EF⊥BC，FE＝FC，
∴∠CFE＝90°，∠ECF＝45°，
∴∠ACE＝90°，
∵点G是AE的中点，
∴EG＝CG＝AG，
∵BG＝BG，
∴△AGB≌△CGB（SSS），
∴∠ABG＝∠CBG＝∠ABC＝45°，
∵EG＝CG，EF＝CF，FG＝FG，
∴△EFG≌△CFG（SSS），
∴∠EFG＝∠CFG＝（360°﹣∠BFE）＝（360°﹣90°）＝135°，∵∠BFE＝90°，
∴∠BFG＝45°，
∴△BGF为等腰直角三角形，
∴BF＝FG．
故答案为：BF＝FG；
（2）①如图2所示，
②如图2，连接BF、BG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠ABC＝∠BAD＝90°，AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC＝45°，
∵AF＝AF，
∴△ADF≌△ABF（SAS），
∴DF＝BF，
∵EF⊥AC，∠ABC＝90°，点G是AE的中点，
∴AG＝EG＝BG＝FG，
∴点A、F、E、B在以点G为圆心，AG长为半径的圆上，
∵＝，∠BAC＝45°，
∴∠BGF＝2∠BAC＝90°，
∴△BGF是等腰直角三角形，
∴BF＝FG，
∴DF＝FG．。