山西省临汾一中、康杰中学、忻州一中、长治二中高三数学第二次四校联考试题 理

数学（理）试题
【满分150分，考试时间为120分钟】
一、选择题(5×12＝60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B 铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号)
1.已知集合{}1,0,1M =-，{}
2,N x x a a M ==∈，则集合M N =I A.{}0
B. {}0,2-
C. {}2,0,2-
D. {}0,2
2. 复数z 为纯虚数，若(3i)i z a -⋅=+ (i 为虚数单位)，则实数a 的值为 A ．1
3
-
B ．3
C ．3-
D ．
13
3. 设双曲线)0,0(12
22
2>>=-
b a b y a x
的渐近线方程为y x =，则该双曲线的离心率为 A ．
223 B ．2 C ．3
3
2 D ．2
4. 如图所示的程序框图，若输入的x 值为0，则输出的y 值为 A ．3
2 B ．0 C ．1
D 5. 已知条件p ：|1|2x
+≤，条件q ：
x a ≤，且p 是
q 不必要条件，则a 的取值范围是 A. 1≥a
B ．1≤a
C ．1-≥a
D ．3-≤a
6. 已知实数,x y 满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≥++≥+-≤-010102y x y x y x ，则y x z +=2 A ．2- B ．1- C ．0 D ．4 7. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若111,3()n n a a S n N *+==∈，则6S =
A ．44
B ．54
C ．61(41)3⋅-
D ．5
1(41)3
⋅-
8. 在三棱锥S ABC -中，AB BC == 2SA SC AC === ,二面角S AC B --的
余弦值是 3
，则 三棱锥S ABC -外接球的表面积是
A. 32
π B. 2π D. 6π 9. 如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为 A ．510+ B. 210+
（第4题图）
正视图
侧视图
C. 6226++
D. 626++
10. 设,A B 为抛物线2
2y px =)0(>p 上不同的两点，O 为坐标原点,且OA OB ⊥,则
OAB ∆面积的最小值为
A ．2p
B ．22p
C ．24p
D ．26p
11. 在平面直角坐标系xOy 中，已知P 是函数()ln (1)f x x x =>的图象上的动点，该图像 在点P 处的切线l 交x 轴于点M .过点P 作l 的垂线交x 轴于点N ，设线段MN 的中
点的横坐标为t ，则t 的最大值是
A ．
21e B ．1
22e e + C ．1 12.已知函数2
|lg |0()10x x f x x
x >⎧=⎨-≤⎩，则方程2
(2)(0)f x x a a +=>的根的个数不可能为 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6
二、填空题(4×5=20分, 把答案填在答题纸的相应位置上)
13. 1=6=，2)(=-⋅a b a ，则向量与的夹角是___________. 14. 若函数)20)(sin()(π
ϕωϕω<
>+=且x x f 在区间⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡ππ326，上是单调减函数，且函数值从1减小到1-，则=)4
(π
f ___________.
15. 抛物线x 4y 2
=的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，若)01
(，-A ，则PA
PF 的最小
值为___________. 16. 已知数列2
sin
2
π
n n a n =，则=+⋅⋅⋅+++100321a a a a ___________. 三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上) 17. (本小题满分12分)
在ABC ∆中角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，面积为S ．已知2
2
)(2c b a S -+= （1）求C sin ; （2）若10=+b a ，求S 的最大值. 18．（本小题满分12分） 如图1，直角梯形ABCD 中，AD ∥,BC 0
90=∠ABC ,BC AB AD 2
1
=
=,E 是底边BC 上的一点，且BE EC 3=. 现将CDE ∆沿DE 折起到DE C 1∆的位置，得到如图2所示的四棱锥,1ABED C -且AB A C =1. （1）求证：⊥A C 1平面ABED ;
（2）若M 是棱E C 1的中点，求直线BM 与平面DE C 1所成角的正弦值.
19．（本小题满分12分）
在等差数列}{n a 中，n S 为其前n 项和，已知366-==S a ;正项数列}{n b 满足：
022121=--++n n n n b b b b ，2042=+b b .
（1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式； （2）设,n
n
n b a c =
求数列}{n c 的前n 项和n T . 20．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy 中，21F F 、分别为椭圆C ：)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左、右焦
点,B 为短轴的一个端点，E 是椭圆C 上的一点，满足OB OF OE 2
2
1+=，且21F EF ∆的周长为)12(2+.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设点M 是线段2OF 上的一点，过点2F 且与x 轴不垂直的直线l 交椭圆C 于Q P 、两点，若MPQ ∆是以M 为顶点的等腰三角形，求点M 到直线l 距离的取值范围. 21. ( 本小题满分12分)
设函数)1()(+=x ae x f x
（其中718.2=e 28．．．），2)(2
++=bx x x g ，已知它们在0=x 处有相同的切线.
(1) 求函数)(x f ,)(x g 的解析式；
(2) 求函数)(x f 在[]1,+t t )3(->t 上的最小值；
(3) 若对2-≥∀x ，)()(x g x kf ≥恒成立，求实数k 的取值范围．
请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑． 22．(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲 如图，CF ABC ∆是边AB 上的高，,.FP BC FQ AC ⊥⊥
A B C
D E 图1
B E
A
D
M C 1 图2
（1）证明：A 、B 、P 、Q 四点共圆；
（2）若CQ =4，AQ =1，PF CB 的长. 23．(本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
已知曲线C 的极坐标方程是θρcos 4=．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的
正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是t t y t x (sin cos 1⎩
⎨⎧=+=αα
是参数)
（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，且14=AB ，求直线的倾斜角α的值． 24．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲
已知函数222)(--+=x x x f （1）解不等式2)(-≥x f ;
（2）设a x x g -=)(，对任意),[+∞∈a x 都有 )()(x f x g ≥，求a 的取值范围.
2015届高三年级第二次四校联考理科数学参考答案
一、选择题（每小题5分，共60分） 1-5：ADCBA 6-10：DBCDC 11-12：BA 二、填空题（每小题5分，共20分） 13.3
π
14. 23 15. 22 16. 5000-
三、解答题：17、 (本小题满分12分)
解：（1）条件可化为ab c b a C ab 2sin 2
1
22
22+-+= …2分
由余弦定理可得1cos sin 2
1
+=C C ，03cos 8cos 52=++C C …6分 0)1)(cos 3cos 5(=++C C )(1cos 5
3
cos 舍或-=-=C C
故54
sin =C …8分
（2）10)2
(
5252sin 212
=+≤==b a ab C ab S 当且仅当5==b a 时“＝”成立 …12分
18、 (本小题满分12分) 解：（1）设12
1
==
=BC AB AD ，则2,111==D C A C 2
12
2
1D C AD A C =+Θ ∴AD A C ⊥1 ………2分
又Θ21=
BE ，2
3
1=E C 45
222=+=∴BE AB AE
∴2
12214
9E C AE A C ==+
∴AE A C ⊥1 ………4分 又AD ∩A AE =
∴⊥A C 1平面ABED ………5分
（2）由（1）知：⊥A C 1平面ABED 且AD AB ⊥,分别
以1AC AD AB 、、为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立空间直角坐标系，如图 ………6分
则)0,1,0(),0,21
,1(),1,0,0(),
0,0,1(1D E C B
ΘM 是E C 1的中点 ∴)21,41,21(M ∴)2
1
,41,21(-= ………8分
设平面DE C 1的法向量为),,(z y x = )1,1,0(),0,2
1
,1(1-=-=D C DE
由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅001D C n DE n 即⎪⎩⎪⎨⎧=-=-0
2
1z y y x 令2=y 得)2,2,1(=n ………10分 设直线BM 与平面DE C 1所成角为θ，则9
4
sin =
=θ ∴ 直线BM 与平面DE C 1所成角的正弦值为
9
4
. ………12分 19、(本小题满分12分) 解：（1）设等差数列}{n a 的公差为d 。

则⎩⎨⎧-=+-=+31563511d a d a 解得⎩
⎨⎧-==121d a
∴n n a n -=--=3)1(2 ………3分 又0))(2(11=+-++n n n n b b b b ∵01>++n n b b ∴021=-+n n b b 即数列}{n b 是公比为2的等比数列
∵20821142=+=+b b b b 得：21=b ∴n n n b 2221=⋅=- ……6分 （2）n
n n c 2
3-=
n n n n
n T 23242120212214321-+-+⋅⋅⋅+-+++=- ①
14322
32420212221+-+-+⋅⋅⋅+++=n n n n n T ② ①- ②得：
14322
3
)21212121(121+-++⋅⋅⋅+++-=n n n n T ………9分 ∴n n n n n n n T 23
)211(223)21212121(21132-+--=-++⋅⋅⋅+++-=--
n n 2
1
1-+= ………12分
20、(本小题满分12分)解：（1）由已知)0,(1c F -，设),0(b B ，即),0(),0,(1b c OF =-=
∴)22,(b c -=即)22,(b c E - ∴122
2122=+b
b a
c 得：22=a c ①………2分
又21F PF ∆的周长为)12(2+∴ 22222+=+c a ② ………4分
又①②得：2,1==a c ∴1=b ∴所求椭圆C 的方程为：12
22
=+y x …5分 （2）设点)1)(0,(<<m o m M ,直线l 的方程为)0)(1(≠-=k x k y
由⎩⎨
⎧=+-=2
2)1(2
2y x x k y 消去y ，得：0224)21(2
222=-+-+k x k x k 设),(),,(2211y x Q y x P ，PQ 中点为),(00y x N
则2221214k k x x +=+ ∴2
2121212)2(k k
x x k y y +-=-+=+ ∴222102122k k x x x +=+= 2
210212k
k y y y +-=+= 即)21,212(2
22k
k
k k N +-+ ………8分 ∵MPQ ∆是以M 为顶点的等腰三角形 ∴PQ MN ⊥ 即12)21(2
22
-=-+k
k m k ∴)21
,0(121
212
2
2
∈+=+=k k
k m ………10分 设点M 到直线0:=--k y kx l 距离为d ，
则41)21()1()21()1(1)1(2
22224
122222222=
+++<++=+-=k k k k k k k m k d ∴)21,0(∈d 即点M 到直线距离的取值范围是)2
1
,0(。

………12分
另解：m m k 212
-= ∴41)1(1
)1(2
222
<-=+-=m m k m k d 法2：∵MPQ ∆是以M 为顶点的等腰三角形 ∴0)(=⋅+PQ MQ MP ∵
),,(11y m x MP -=),(),,(121222y y x x PQ y m x MQ --=-=
∴0))(())(2(12211221=-++--+y y y y x x m x x ………8分
又)(),2(12121212x x k y y x x k y y -=--+=+ ∴0)2()2(212
12=-++-+x x k m x x
∴0)2214()2214(2
22
22=-++-+k
k k m k k ∴2221k k m += ……10分 以下同解法一。

21、 (本小题满分12分)解：（1）)2()(+='x ae x f x
，b x x g +='2)(．由题意两函数在0
=x 处有相同的切线．
∴a f 2)0(='，b g =')0(，∴b a =2．2)0()0(===g a f ，∴4,2==b a ．
∴)1(2)(+=x e x f x ，24)(2++=x x x g ……3分
（2）)2(2)(+='x e x f x
，由0)(>'x f 得2->x ，由0)(<'x f 得2-<x ，
∴)(x f 在),2(+∞-单调递增，在)2,(--∞单调递减． Θ3->t ∴21->+t
当23-<<-t 时，)(x f 在[]2,-t 单调递减，在[]12+-t ，单调递增，
∴2min 2)2()(--=-=e f x f
当2-≥t 时，)(x f 在[]1,+t t 单调递增，
∴)1(2)()(min
+==t e t f x f t
； ⎩⎨⎧-≥+-<<--=-2),1(2)
23(2)(2min t t e t e x f t ……7分
（3）令24)1(2)()()(2
---+=-=x x x ke x g x kf x F x ， 由题意，当2-≥x ，0)(min ≥x F ．
Θ2-≥∀x ，)()(x g x kf ≥恒成立， ∴022)0(≥-=k F ，∴1≥k ．
)1)(2(2422)1(2)(-+=--++='x x x ke x x ke x ke x F ，
Θ2-≥x ，由0)(>'x F 得k e x 1>
，∴k x 1ln >． 由0)(<'x F 得k
x 1
ln <
∴)(x F 在⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-k 1ln ,单调递减，在⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡+∞,1ln k 单调递增．……10分
当21
ln
-<k
，即2e k >时，)(x F 在[)+∞-,2单调递增，0
)(2
22)2()(222min <-=+-=-=-k e e
ke F x F ，不满足0)(min ≥x F ． 当21ln -=k
，即2
e k =时，由知0)(2
)2()(22min =-=-=k e e
F x F 满足0)(min ≥x F ． 当21ln
->k ，即21e k <≤时，)(x F 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-k 1ln ,2单调递减，在⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡+∞,1ln k 单调递增，0
)ln 2(ln )1
(ln )(min >-==k k k
F x F ，满足0)(min ≥x F ． 综上所述，满足题意的k 的取值范围为],1[2
e ． ……12分
22、(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲 (1) 证明:连接QP ，由已知C 、P 、F 、Q 四点共圆，
则四点A 、B 、P 、Q 共圆. ……5分 (2) 解:
……10分 23、(本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
解:（1）4)2(2
2
=+-y x ……4分
（2）将⎩⎨⎧=+=α
α
sin cos 1t y t x 代入圆的方程得
4)sin ()1cos 22=+-ααt t （， ,90.QCF QPF A QCF CPQ QPF A CPQ ∴∠=∠∠+∠=∠+∠=∴∠=∠o
Q 222222
4520,451020()336
CF CQ CA CPF CP CF PF CF CP CB CF CB CP =⨯=⨯==-=-=⨯===直角三角形中，又，
化简得03cos 22
=--αt t .
设A 、B 两点对应的参数分别为1t 、2t ,则⎩⎨
⎧-==+3
cos 22121t t t t α
, ……6分
()1412cos 4422
122121=+=-+=
-=∴αt t t t t t AB ,
∴2cos 42=α,22cos ±
=α,4
πα=或43π. ……10分 24、(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲 解：（1）()
f x ≥-2 当2-≤x 时，24-≥-x , 即2≥x ，∴φ∈x ；
当12<<-x 时，23-≥x ,即32
-
≥x ,∴213
x -≤< 当1≥x 时，24-≥+-x , 即6≤x , ∴1≤x ≤6
综上，{x |2
3
-
≤x ≤6} ……5分
（2）⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+-<<--≤-=1,412,32,4)(x x x x x x x f
函数()f x 的图像如图所示：
∵()g x a x -=，a -表示直线的纵截距，当直线过(1,3)点时，2=-a ； ∴当-a
≥2，即a ≤-2时成立； ……8分
当2<-a ，即2->a 时，令a x x -=+-4， 得2
2a x +=, ∴a ≥2+2
a ,即a ≥4时成立，综上a ≤-2或a ≥4。

……10分。