六年级下册数学培优讲义- 数论.整除问题 (ABC级)(解析版)全国通用

数的整除
知识框架
一、整除的定义：
当两个整数a和b（b≠0）,a被b除的余数为零时（商为整数）,则称a被b整除或b整除a,也把a叫做b的倍数,b叫a的约数,记作b|a,如果a被b除所得的余数不为零,则称a不能被b整除,或b不整除a,记作b a.
二、常见数字的整除判定方法
1.一个数的末位能被2或5整除,这个数就能被2或5整除；
一个数的末两位能被4或25整除,这个数就能被4或25整除；
一个数的末三位能被8或125整除,这个数就能被8或125整除；
2.一个位数数字和能被3整除,这个数就能被3整除；
一个数各位数数字和能被9整除,这个数就能被9整除；
3.如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除,那么这个数能被11整除；
4.如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除,那么这个数能被7、11
或13整除；
5.如果一个数从数的任何一个位置随意切开所组成的所有数之和是9的倍数,那么这个数能被9整除；
6.如果一个数能被99整除,这个数从后两位开始两位一截所得的所有数（如果有偶数位则拆出的数都有
两个数字,如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数）的和是99的倍数,这个数一定是99的倍数。

7.若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,减去个位数的2倍,如果差是7的倍数,则原数能被7整除。

如果差太大或心算不易看出是否7的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程,直到能清楚判断为止。

例如,判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7,所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 , 59－5×2＝49,所以6139是7的倍数,余类推。

8.若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,加个位数的4倍,如果和是13的倍数,则原数能被13整除。

如果和太大或心算不易看出是否13的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程,直到能清楚判断为止。

9.若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,减去个位数的5倍,如果差是17的倍数,则原数能被17整
除。

如果差太大或心算不易看出是否17的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程,直到能清楚判断为止。

10. 若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,加上个位数的2倍,如果和是19的倍数,则原数能被19整
除。

如果和太大或心算不易看出是否19的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程,直到能清楚判断为止。

11. 若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除,则这个数能被17整除。

12. 若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除,则这个数能被19整除. 13. 若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或29)整除,则这个数能被23整除。

【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.）
三、整除性质
性质1 如果数a 和数b 都能被数c 整除,那么它们的和或差也能被c 整除．即如果c ︱a ,
c ︱b ,那么c ︱(a ±b )．
性质2 如果数a 能被数b 整除,b 又能被数c 整除,那么a 也能被c 整除．即如果b ∣a ,
c ∣b ,那么c ∣a ．
用同样的方法,我们还可以得出：
性质3 如果数a 能被数b 与数c 的积整除,那么a 也能被b 或c 整除．即如果bc ∣a ,那
么b ∣a ,c ∣a ．
性质4 如果数a 能被数b 整除,也能被数c 整除,且数b 和数c 互质,那么a 一定能被b
与c 的乘积整除．即如果b ∣a ,c ∣a ,且(b ,c )=1,那么bc ∣a ．
例如：如果3∣12,4∣12,且(3,4)=1,那么(3×4) ∣12．
性质5 如果数a 能被数b 整除,那么am 也能被bm 整除．如果 b ｜a ,那么bm ｜am （m 为非0整数）； 性质6 如果数a 能被数b 整除,且数c 能被数d 整除,那么ac 也能被bd 整除．如果 b ｜a ,且d ｜c ,那么bd ｜
ac ；
四、其他重要结论
1、 能被2和5,4和25,8和125整除的数的特征是分别在这个数的未一位、未两位、未三位上。

我们可以
概括成一个性质：未n 位数能被2n (或5n )整除的数,本身必能被2n (或5n )整除；反过来,末n 位数不能被
2n (或5n )整除的数,本身必不能被2n (或5n )整除。

例如,判断19973216、91688169能否能被16整除,只需考虑未四位数能否被16（因为16=42）整除便可,这样便可以举一反三,运用自如。

2、 利用连续整数之积的性质：
任意两个连续整数之积必定是一个奇数与一个偶数之积,因此一定可被2整除；
任意三个连续整数之中至少有一个偶数且至少有一个是3的倍数,所以它们之积一定可以被2整除,也可被3整除,所以也可以被2×3=6整除。

这个性质可以推广到任意个整数连续之积。

3、 一个奇位数,原序数与反序数的差一定是99的倍数,一个偶位数,原序数与反序数的差一定是9的倍数。

4、 100113117=⨯⨯；abcabc abc =⨯1001,abcabc 这样的数一定能被7、11、13整除。

5、 9992737;111337;117913;1337481;719133;71391=⨯=⨯=⨯⨯=⨯=⨯=等等。

数的整除概念、性质及整除特征为解决一些整除问题带来了很大方便,在实际问题中应用广泛。

要学好数的整除问题,就必须找到规律,牢记上面的整除性质,不可似是而非。

【例 1】 975935972⨯⨯⨯□,要使这个连乘积的最后4个数字都是0,那么在方框内最小应填什么数？
【巩固】
从50到100的这51个自然数的乘积的末尾有多少个连续的0？
【例 2】 把若干个自然数1、2、3、……连乘到一起,如果已知这个乘积的最末十三位恰好都是零,那么最
后出现的自然数最小应该是多少？
【巩固】
201202203300⨯⨯⨯⨯的结果除以10,所得到的商再除以10……重复这样的操作,在第
____次除以10时,首次出现余数
.
重难点
例题精讲
【例 3】11个连续两位数的乘积能被343整除,且乘积的末4位都是0,那么这11个数的平均数是多少？
【巩固】用1～9这九个数字组成三个三位数(每个数字都要用),每个数都是4的倍数。

这三个三位数中最小的一个最大是。

【例 4】在方框中填上两个数字,可以相同也可以不同,使4□32□是9的倍数. 请随便填出一种,并检查自己填的是否正确。

【巩固】一个六位数2727
口口被3除余l,被9除余4,这个数最小是。

【例 5】连续写出从1开始的自然数,写到2008时停止,得到一个多位数：1234567891011……20072008,请说明：这个多位数除以3,得到的余数是几？为什么？
【巩固】1234567891011121314…20082009除以9,商的个位数字是_________ 。

【例 6】1至9这9个数字,按图所示的次序排成一个圆圈．请你在某两个数字之间剪开,分别按顺时针和逆时针次序形成两个九位数(例如,在1和7之间剪开,得到两个数是193426857和758624391)．如果要求剪开后所得到的两个九位数的差能被396整除,那么剪开处左右两个数字的乘积是多少?
9
8
7
6
5
4
3
2
1
【巩固】207,2007,20007,等首位是2,个位是7,中间数字全部是0的数字中,能被27整除而不被81整除的最小数是。

三、7、11、13系列
【例 7】 一个4位数,把它的千位数字移到右端构成一个新的4位数.已知这两个4位数的和是以下5个数
的一个：①9865；②9866；③9867；④9868；⑤9869.这两个4位数的和到底是多少?
【巩固】 88888ab ab ab ab ab 是77的倍数,则ab 最大为_________?
【例 8】 三位数的百位、十位和个位的数字分别是5,a 和b ,将它连续重复写2008次成为：20095555ab
ab ab
ab 个.
如果此数能被91整除,那么这个三位数5ab 是多少？
【巩固】
称一个两头（首位与末尾）都是1的数为“两头蛇数”。

一个四位数的“两头蛇数”去掉两头,得
到一个两位数,它恰好是这个“两头蛇数”的约数。

这个“两头蛇数”是 。

（写出所有可能）
【例 9】学生问数学老师的年龄老师说：“由三个相同数字组成的三位数除以这三个数字的和,所得结果就是我的年龄。

”老师今年岁。

【巩固】已知两个三位数abc与def的和abc def
能被37整除,试说明：六位数abcdef也能被37整除．
【例 10】一个4位数,把它的千位数字移到右端构成一个新的4位数.再将新的4位数的千位数字移到右端构成一个更新的四位数,已知最新的4位数与最原先的4位数的和是以下5个数的一个：①9865；
②9867；③9462；④9696；⑤9869.这两个4位数的和到底是多少?
【巩固】一个六位数各个数字都不相同,且这个数字能被17整除,则这个数最小是________？
【例 1】在六位数11□□11中的两个方框内各填入一个数字,使此数能被17和19整除,那么方框中的
两位数是多少?
【巩固】将数字4,5,6,7,8,9各使用一次,组成一个被667整除的6位数,那么,这个6位数除以667的结果是多少？
【例 11】若4232
b c d,试问abcd能否被8整除?请说明理由．
++=
【巩固】证明abcde能被6整除,那么2()
a b c d e也能被6整除．
+++-
【例 2】甲、乙两个三位数的乘积是一个五位数,这个五位数的后四位为1031．如果甲数的数字和为10,乙数的数字和为8,那么甲乙两数之和是_________．
【巩固】有5个不同的正整数,它们中任意两数的乘积都是12的倍数,那么这5个数之和的最小值是________．
【例 3】某住宅区有12家住户,他们的门牌号分别是1,2,…,12．他们的电话号码依次是12个连续的六位自然数,并且每家的电话号码都能被这家的门牌号整除,已知这些电话号码的首位数字都小于6,并且门牌号是9的这一家的电话号码也能被13整除,问：这一家的电话号码是什么数？
【巩固】用数字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9拼成一个十位数。

要求前1位数能被2整除,前2位数能被3整除,……,前9位数能被10整除．已知最高位数为8．这个十位数是
【例 4】在六位数ABCDEF中,不同的字母表示不同的数字,且满足
A,AB,ABC,ABCD,ABCDE,ABCDEF依次能被2,3,5,7,11,13整除．则ABCDEF的最小值
是；已知当ABCDEF取得最大值时0
F=,那么ABCDEF的最大值是________．
C=,6
【巩固】有一个九位数abcdefghi的各位数字都不相同且全都不为0,并且二位数ab可被2整除,三位数abc可被3整除,四位数abcd可被4整除,……依此类推,九位数abcdefghi可被9整除．请问这个九位数abcdefghi是多少？
【例 5】N是一个各位数字互不相等的自然数,它能被它的每个数字整除．N的最大值是．
【巩固】a,b,c,d各代表一个不同的非零数字,如果abcd是13的倍数,bcda是11的倍数,cdab是9的
倍数,dabc
是7的倍数,那么abcd 是 。

【随练1】 若9位数2008□2008能够被3整除,则□里的数是__________
【随练2】 六位数2008□□能被99整除,□□是多少？
【随练3】 应当在如下的问号“？”的位置上填上哪一个数码,才能使得所得的整数505066
6?555个6
个5
可被7整
除？
课堂检测
【随练4】 王老师在黑板上写了这样的乘法算式:12345679(
)⨯=□□□□□□□□□,然后说道:“只要同
学们告诉我你们喜欢1,2,3,4,5,6,7,8,9中的哪个数,我在括号里填上适当的乘数,右边的积一定全由你喜欢的数字组成。

”小明抢着说：“我喜欢3。

”王老师填上乘数“27”结果积就出现九个3；12345679(27)333333333⨯=小宇举手说：
“我喜欢7。

”只见王老师填上乘数“63”,积久出现九个7：12345679(63)777777777⨯=,小丽说：“我喜欢8。

”
那么算式中应填上的乘数是
.
【随练5】 有四个非零自然数,,,a b c d ,其中c a b =+, d b c =+.如果a 能被2整除, b 能被3整除, c 能被5
整除, d 能被7整除,那么d 最小是 ．
【作业1】 一个收银员下班前查账时发现：现金比账面记录少了153元,她知道实际收钱不会错,只能是记账
时有一个数点错了小数点,那么记错的那笔帐实际收到的现金是__________元。

【作业2】 一个五位数恰好等于它各位数字和的2007倍,则这个五位数是 ．
【作业3】 一个19位数997777044444⋅⋅⋅⋅⋅⋅个
个
能被13整除,求О内的数字．
家庭作业
【作业4】已知四十一位数555999
□（其中5和9各有20个）能被7整除,那么中间方格内的数字是多少？
【作业5】一位后勤人员买了72本笔记本,可是由于他吸烟不小心,火星落在帐本上,把这笔帐的总数烧去两个数字.帐本是这样的：72本笔记本,共□67.9□元(□为被烧掉的数字),请把□处数字补上,并求笔记本的单价.
【作业6】小红为班里买了33个笔记本。

班长发现购物单上没有表明单价,总金额的字迹模糊,只看到□□元,班长问小红用了多少钱,小红只记得不超过95元,她实际用了元。

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【作业7】1872
a a是2008的倍数．a _________
【作业8】有15位同学,每位同学都有编号,他们是1号到15号,1号同学写了一个自然数,其余各位同学都说这个数能被自己的编号数整除．1号作了检验：只有编号连续的两位同学说的不对,其余同学都对,问：⑴说的不对的两位同学,他们的编号是哪两个连续自然数？⑵如果告诉你1号写的数是五位数,请找出这个数．
【作业9】若四位数98a a能被15整除,则a代表的数字是多少？
【作业10】0～6这7个数字能组成许多个没有重复数字的7位数,其中有些是55的倍数,最大的一个是（）。