华中师范大学数学院夏令营面试问题

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1. 请描述一下曲线的曲率？
参考答案：
曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，通过微分来定义，表明曲线偏离直线的程度。

数学上表明曲线在某一点的弯曲程度的数值。

曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大。

曲率的倒数就是曲率半径。

通俗的理解是：一个圆半径越小，看起来就越弯曲；半径越大，看起来就越平，半径趋于无穷大，圆看起来就像一条直线，就几乎不弯曲了。

所以我们把圆的半径的倒数，定义为曲率，因为我们希望曲率是一个衡量几何体弯曲程度的量。

2. 阐释行列式的几何意义？
参考答案：
一个解释是行列式就是行列式中的行或列向量所构成的超平行多面体的有向面积或有向体积；另一个解释是矩阵A的行列式detA 就是线性变换A下的图形面积或体积的伸缩因子。

这两个几何解释一个是静态的体积概念，一个是动态的变换比例概念。

但具有相同的几何本质，因为矩阵A表示的（矩阵向量所构成的）几何图形相对于单位矩阵E的所表示的单位面积或体积（即正方形或正方体或超立方体的容积等于1）的几何图形而言，伸缩因子本
身就是矩阵矩阵A表示的几何图形的面积或体积，也就是矩阵A的行列式。

3. 说一说柯西黎曼条件
参考答案：
柯西黎曼条件，即柯西黎曼微分方程，提供了可微函数在开集中为全纯函数的充要条件的两个偏微分方程，以柯西和黎曼得名。

这个方程组最初出现在达朗贝尔的著作中。

后来欧拉将此方程组和解析函数联系起来。

然后柯西采用这些方程来构建他的函数理论。

柯西黎曼方程是函数在一点可微的必要条件。