八年级初二数学第二学期平行四边形单元 期末复习综合模拟测评学能测试

八年级初二数学第二学期平行四边形单元 期末复习综合模拟测评学能测试
一、选择题
1．如图，正方形ABCD 中，点E F 、分别在边BC CD 、上，且AE EF FA ==，有下列结论：①ABE ADF ∆≅∆；②CE CF =；③75AEB ∠=︒；④BE DF EF +=；⑤A ABE DF CEF S S S ∆∆∆+=；其中正确的有（ ）个．
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
2．七巧板是一种古老的中国传统智力玩具．如图，在正方形纸板ABCD 中，BD 为对角线，E 、F 分别为BC 、CD 的中点，AP ⊥EF 分别交BD 、EF 于O 、P 两点，M 、N 分别为BO 、DO 的中点，连接MP 、NF ，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板．若AB ＝1，则四边形BMPE 的面积是（ ）
A ．17
B ．18
C ．19
D ．110
3．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，连接CD ，过E 作EF ∥DC 交BC 的延长线于F ，若四边形DCFE 的周长为18cm ，AC 的长6cm ，则AD 的长为（ ）
A ．13cm
B ．12cm
C ．5cm
D ．8cm
4．如图，点O （0，0），B （0，1）是正方形OBB 1C 的两个顶点，以它的对角线OB 1为一边作正方形OB 1B 2C 1，以正方形OB 1B 2C 1的对角线OB 2为一边作正方形OB 2B 3C 2，再以正方形OB 2B 3C 2的对角线OB 3为一边作正方形OB 3B 4C 3，…，依次进行下去，则点B 6的坐标是（ ）
A ．(42,0)
B ．(42,0)-
C ．(8,0)-
D ．(0,8)-
5．如图，矩形ABCD 中，O 为AC 中点，过点O 的直线分别与AB ，CD 交于点E ，F ，连结BF ，交AC 于点M ，连结DE ，BO ．若60BOC ∠=︒，FO FC =，则下列结论：①AE CF =；②BF 垂直平分线段OC ；③EOB CMB ∆∆≌；④四边形是BFDE 菱形．其中正确结论的个数是（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
6．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，点,E F 在正方形ABCD 内， ,EAB FDC ∆∆都是等边三角形，则EF 的长为（ ）
A ．23
B ．32-
C 31
D 37．如图，四边形,ABCD AD 与BC 不平行，AB CD =．,AC BD 为四边形ABCD 的对角线，,,
E
F ,
G
H 分别是,,,BD BC AC AD 的中点下列结论：①EG FH ⊥；②四边形
EFGH 是矩形；③HF 平分;EHG ∠④()1 2
EG BC AD =-；⑤四边形EFGH 是菱形．其中正确的个数是 （ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
8．如图，四边形ABCD 为平行四边形，D ∠为锐角，BAD ∠的平分线AE 交CD 于点F ，交BC 的延长线于点E ，且AF FE =．若25AB =，ABCD 面积为300，则AF 的长度为（ ）
A ．30
B ．15
C ．40
D ．20
9．如图，正方形ABCD 中，AB ＝6，点E 在边CD 上，且CD ＝3DE ．将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连结AG 、CF ．下列结论：①△ABG ≌△AFG ；②BG ＝GC ；③AG ∥CF ；④S △FGC ＝185
．其中正确结论的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10．如图，正方形ABCD 的边长为2，Q 为CD 边上（异于C ，D ） 的一个动点，AQ 交BD 于点M ．过M 作MN ⊥AQ 交BC 于点N ，作NP ⊥BD 于点P ，连接NQ ，下面结论：①AM=MN ；②2CNQ 的周长为3；④BD+2BP=2BM ，其中一定成立的是（ ）
A ．①②③④
B ．①②③
C ．①②④
D ．①④
二、填空题
11．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 为CD 边上的一个动点，以CE 为边向外作正方形ECFG ，连结BG ，点H 为BG 中点，连结EH ，则EH 的最小值为______
12．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，点D 是BC 的中点，点E 、F 分别是直线AB 、AC 上的动点，∠EDF ＝90°，M 、N 分别是EF 、AC 的中点，连结AM 、MN ，若AC =6，AB =5，则AM -MN 的最大值为________．
13．如图，动点E F 、分别在正方形ABCD 的边AD BC 、上，AE CF =，过点C 作CG EF ⊥，垂足为G ，连接BG ，若4AB =，则线段BG 长的最小值为_________．
14．如图，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，则EF 的最小值为_____．
15．如图，在矩形ABCD 中，∠ACB =30°，BC =3E 是边BC 上一动点（点E 不与B ，
C 重合），连接AE ，AE 的中垂线FG 分别交AE 于点F ，交AC 于点G ，连接DG ，GE ．设AG =a ，则点G 到BC 边的距离为_____（用含a 的代数式表示），ADG 的面积的最小值为_____．
16．如图，在正方形ABCD 中，AC=62，点E 在AC 上，以AD 为对角线的所有平行四边形AEDF 中，EF 最小的值是_________．
17．如图，在菱形ABCD 中，AC 交BD 于P ，E 为BC 上一点，AE 交BD 于F ，若AB=AE ，EAD 2BAE ∠∠=，则下列结论：①AF=AP ；②AE=FD ；③BE=AF ．正确的是______（填序号）．
18．如图，正方形ABCD 面积为1，延长DA 至点G ，使得AG AD =，以DG 为边在正方形另一侧作菱形DGFE ，其中45EFG ︒∠=，依次延长, , AB BC CD 类似以上操作再作三个形状大小都相同的菱形，形成风车状图形，依次连结点, , , ,F H M N 则四边形FHMN 的面积为___________．
19．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，E ，F 分别是BC ，AC 的中点，以AC 为斜边作Rt △ADC ，若∠CAD ＝∠BAC ＝45°，则下列结论：①CD ∥EF ；②EF ＝DF ；③DE 平分∠CDF ；④∠DEC ＝30°；⑤AB ＝2CD ；其中正确的是_____（填序号）
20．如图，在平行四边形ABCD 中，5
3AB AD ==，，BAD ∠的平分线AE 交CD 于点E ，连接BE ，若BAD BEC ∠=∠，则平行四边形ABCD 的面积为__________．
三、解答题
21．综合与探究
如图1,在ABC ∆中,ACB ∠为锐角,点D 为射线BC 上一点,连接AD ,以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ,解答下列问题:
（1）研究发现:如果AB AC =,90BAC ∠=︒
①如图2,当点D 在线段BC 上时（与点B 不重合）,线段CF 、BD 之间的数量关系为______,位置关系为_______．
②如图3,当点D 在线段BC 的延长线上时,①中的结论是否仍成立并说明理由． （2）拓展发现:如果AB AC ≠,点D 在线段BC 上,点F 在ABC ∆的外部,则当
ACB =∠_______时,CF BD ⊥．
22．综合与实践．
问题情境：
如图①，在纸片ABCD □中，5AD =，15ABCD S =，过点A 作AE BC ⊥，垂足为点E ，沿AE 剪下ABE △，将它平移至DCE '的位置，拼成四边形AEE D '．
独立思考：（1）试探究四边形AEE D '的形状．
深入探究：（2）如图②，在（1）中的四边形纸片AEE D '中，在EE '．上取一点F ，使4EF =，剪下AEF ，将它平移至DE F ''的位置，拼成四边形AFF D '，试探究四边形AFF D '的形状；
拓展延伸：（3）在（2）的条件下，求出四边形AFF D '的两条对角线长；
（4）若四边形ABCD 为正方形，请仿照上述操作，进行一次平移，在图③中画出图形，标明字母，你能发现什么结论，直接写出你的结论．
23．如图，点P 是正方形ABCD 内的一点，连接,CP 将线段CP 绕点C 顺时针旋转90,︒得到线段,CQ 连接,BP DQ .
()1如图甲，求证：CBP CDQ ∠=∠；
()2如图乙，延长BP 交直线DQ 于点E .求证：BE DQ ⊥；
()3如图丙，若BCP 为等边三角形，探索线段,PD PE 之间的数量关系，并说明理由.
24．矩形ABCD 中，AB =3，BC =4．点E ，F 在对角线AC 上，点M ，N 分别在边AD ，BC 上．
（1）如图1，若AE =CF =1，M ，N 分别是AD ，BC 的中点．求证：四边形EMFN 为矩形． （2）如图2，若AE =CF =0.5，02AM CN x x ==<<（）
，且四边形EMFN 为矩形，求x 的值．
25．已知，如图，在三角形ABC ∆中，20AB AC cm ==，BD AC ⊥于D ，且16BD cm =．点M 从点A 出发，沿AC 方向匀速运动，速度为4/cm s ；同时点P 由B 点出发，沿BA 方向匀速运动，速度为1/cm s ，过点P 的动直线//PQ AC ，交BC 于点Q ，连结PM ，设运动时间为()t s ()05t <<，解答下列问题：
（1）线段AD =_________cm ；
（2）求证：PB PQ =；
（3）当t 为何值时，以P Q D M 、、、为顶点的四边形为平行四边形？
26．在平面直角坐标中，四边形OCNM 为矩形，如图1，M 点坐标为（m ，0），C 点坐标
为（0，n ），已知m ，n 满足550n m -+-=．
（1）求m ，n 的值；
（2）①如图1，P ，Q 分别为OM ，MN 上一点，若∠PCQ ＝45°，求证：PQ ＝OP+NQ ； ②如图2，S ，G ，R ，H 分别为OC ，OM ，MN ，NC 上一点，SR ，HG 交于点D ．若∠SDG ＝135°，55HG 2=，则RS ＝______； （3）如图3，在矩形OABC 中，OA ＝5，OC ＝3，点F 在边BC 上且OF ＝OA ，连接AF ，动点P 在线段OF 是（动点P 与O ，F 不重合），动点Q 在线段OA 的延长线上，且AQ ＝FP ，连接PQ 交AF 于点N ，作PM ⊥AF 于M ．试问：当P ，Q 在移动过程中，线段MN 的长度是否发生变化？若不变求出线段MN 的长度；若变化，请说明理由．
27．（解决问题）如图1，在ABC ∆中，10AB AC ==，CG AB ⊥于点G ．点P 是BC 边上任意一点，过点P 作PE AB ⊥，PF AC ⊥，垂足分别为点E ，点F ．
（1）若3PE =，5PF =，则ABP ∆的面积是______，CG =______．
（2）猜想线段PE ，PF ，CG 的数量关系，并说明理由．
（3）（变式探究）如图2，在ABC ∆中，若10AB AC BC ===，点P 是ABC ∆内任意一点，且PE BC ⊥，PF AC ⊥，PG AB ⊥，垂足分别为点E ，点F ，点G ，求PE PF PG ++的值．
（4）（拓展延伸）如图3，将长方形ABCD 沿EF 折叠，使点D 落在点B 上，点C 落在
点C '处，点P 为折痕EF 上的任意一点，过点P 作PG BE ⊥，PH BC ⊥，垂足分别为点G ，点H ．若8AD =，3CF =，直接写出PG PH +的值．
28．如图，等腰直角三角形OAB 的三个定点分别为(0,0)O 、(0,3)A 、(3,0)B -，过A 作y 轴的垂线1l .点C 在x 轴上以每秒3的速度从原点出发向右运动，点D 在1l 上以每秒332
+的速度同时从点A 出发向右运动，当四边形ABCD 为平行四边形时C 、D 同时停止运动，设运动时间为t .当C 、D 停止运动时，将△OAB 沿y 轴向右翻折得到△1OAB ，1AB 与CD 相交于点E ，P 为x 轴上另一动点.
(1)求直线AB 的解析式，并求出t 的值.
(2)当PE+PD 取得最小值时，求222PD PE PD PE ++⋅的值.
(3)设P 的运动速度为1，若P 从B 点出发向右运动，运动时间为x ，请用含x 的代数式表示△PAE 的面积.
29．阅读下列材料，并解决问题：
如图1，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，8AC =，6BC =，点D 为AC 边上的动点（不与A 、C 重合），以AD ，BD 为边构造ADBE ，求对角线DE 的最小值及此时AD AC 的值是多少．
在解决这个问题时，小红画出了一个以AD ，BD 为边的ADBE （如图2），设平行四边形对角线的交点为O ，则有AO BO =．于是得出当OD AC ⊥时，OD 最短，此时DE 取最小值，得出DE 的最小值为6．
参考小红的做法，解决以下问题：
（1）继续完成阅读材料中的问题：当DE 的长度最小时，AD AC =_______； （2）如图3，延长DA 到点F ，使AF DA =．以DF ，DB 为边作FDBE ，求对角线DE 的最小值及此时AD AC
的值．
30．已知：如图，在ABC 中，直线PQ 垂直平分AC ，与边AB 交于点E ，连接CE ，过点C 作//CF BA 交PQ 于点F ，连接AF ．
(1)求证：四边形AECF 是菱形；
(2)若8AC =，AE=5，则求菱形AECF 的面积．
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一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
由已知得AB AD =，AE AF =，利用“HL ”可证ABE ADF ∆≅∆，利用全等的性质判断①②③正确，在AD 上取一点G ，连接FG ，使AG GF =，由正方形，等边三角形的性质可知15DAF ∠=︒，从而得30DGF ∠=︒，设1DF =，则2AG GF ==，3DG =AD ，CF ，EF 的长，判断④⑤的正确性．
【详解】
解：
AB AD =，AE AF EF ==，
()ABE ADF HL ∴∆≅∆，AEF ∆为等边三角形， BE DF ∴=，又BC CD =，
CE CF ∴=，
11()(9060)1522
BAE BAD EAF ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒， 9075AEB BAE ∴∠=︒-∠=︒，
∴①②③正确，
在AD 上取一点G ，连接FG ，使AG GF =，
则15DAF GFA ∠=∠=︒，
230DGF DAF ∴∠=∠=︒，
设1DF =，则2AG GF ==，3DG =
23AD CD ∴==+13CF CE CD DF ==-=
226EF CF ∴==2BE DF +=，
∴④错误， ⑤12232
ABE ADF S S AD DF ∆∆+=⨯⨯= 1232
CEF S CE CF ∆=⨯=∴⑤正确．
∴正确的结论有：①②③⑤．
故选C ．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的运用．关键是利用全等三角形的性质，把条件集中到直角三角形中，运用勾股定理求解．
2．B
解析：B
【分析】
根据三角形的中位线的性质得到EF ∥BD ，EF=12BD ，推出点P 在AC 上，得到PE=12EF ，得到四边形BMPE 平行四边形，过M 作MF ⊥BC 于F ，根据平行四边形的面积公式即可得到结论．
【详解】
∵E ，F 分别为BC ，CD 的中点，
∴EF ∥BD ，EF=12
BD ， ∵四边形ABCD 是正方形，且AB=BC=1，
∴2，
∵AP ⊥EF ，
∴AP ⊥BD ，
∴BO=OD ，
∴点P 在AC 上，
∴PE=1
2 EF，
∴PE=BM，
∴四边形BMPE是平行四边形，
∴BO=1
2 BD，
∵M为BO的中点，
∴BM=1
4
BD=
2
4
，
∵E为BC的中点，
∴BE=1
2
BC=
1
2
，
过M作MF⊥BC于F，
∴2
BM=
1
4
，
∴四边形BMPE的面积=BE•MF=1
8
，
故选B．
【点睛】
本题考查了七巧板，正方形的性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正确的识别图形是解题的关键．
3．C
解析：C
【分析】
由三角形中位线定理推知ED∥FC，2DE=BC，然后结合已知条件“EF∥DC”，利用两组对边相互平行得到四边形DCFE为平行四边形，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半得到AB=2DC，即可得出四边形DCFE的周长=AB+BC，故BC=18-AB，然后根据勾股定理即可求得．
【详解】
∵D、E分别是AB、AC的中点，F是BC延长线上的一点，
∴ED是Rt△ABC的中位线，
∴ED∥FC．BC＝2DE，
又EF∥DC，
∴四边形CDEF是平行四边形；
∴DC＝EF，
∵DC是Rt△ABC斜边AB上的中线，
∴AB＝2DC，
∴四边形DCFE的周长＝AB+BC，
∵四边形DCFE的周长为18cm，AC的长6cm，
∴BC＝18﹣AB，
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴AB2＝BC2+AC2，即AB2＝（18﹣AB）2+62，
解得：AB＝10cm，
∴AD＝5cm，
故选C．
【点睛】
本题考查了三角形的中位线定理，直角三角形斜边中线的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理的应用等，熟练掌握性质定理是解题的关键．
4．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据已知条件如图可得到B1，B2所在的正方形的对角线
长为2,B3所在的正方形的对角线长为3,依据规律可得B6所在的正方形的对角线长
为6=8，再根据B6在x轴的负半轴，就可得到B6的坐标。

【详解】
根据图可得四边形OBB1C为正方形
因此OB1，B1在第一象限；
OB2=2，B2在x轴正半轴；
OB3=3，B3在第四象限；
OB4=4，B4在x轴负半轴；
依照规律可得：
OB6=6，B6在x轴负半轴；
所以B6（-8,0），故选C
【点睛】
本题主要考查学生的归纳总结能力，在结合考查点的坐标问题，关键在于推理总结出规律。

5．C
解析：C
【分析】
通过证△AEO ≌CFO 可判断①；利用矩形的性质证△OCB 是正三角形，可得②；因OB≠MB ，得到③错误；通过证△EOB ≌△FCB 得到EB=FB ，从而证④．
【详解】
∵四边形ABCD 是矩形
∴AB ∥DC,AO=OC
∴∠AEO=∠CFO,∠EAO=∠FCO
∴△AEO ≌CFO(AAS)
∴AE=FC ，①正确
∵四边形ABCD 是矩形
∴OC=OB
∵∠BOC=60°
∴△OCB 是正三角形，∴OB=OC
∵FO=FC
∴FB 是线段OC 的垂直平分线，②正确
∵BM ⊥OC ，∴△OMB 是直角三角形，∴OB ＞BM
∴EOB CMB ∆∆≌是错误的，即③错误
∵四边形ABCD 是矩形
∴EB ∥DF ，AB=DC
∵AE=FC
∴EB=DF
∴四边形EBFD 是平行四边形
∵△AEO ≌△CFO ，OF=FC ，∴AE=EO=OF=FC
∵△OBC 是正三角形，∴∠BOC=60°=∠BCO ，BC=BO
∴∠FCO=30°，∴∠FOC=30°
∴∠FOB=30°+60°=90°
∴∠EOB=90°=∠FCB
∴△EOB ≌△FCB(SAS)
∴EB=FB
∴平行四边形EBFD 是菱形，④正确
故选：C
【点睛】
本题考查矩形的性质和证明，解题关键是证明△AOE ≌△COF 和证明△BOC 是正三角形．
6．B
解析：B
【分析】
连接,,,FA FB ED ED ，延长FE 交CD 于点G ，延长EF 交AB 于点H ，说明EF 是DFC ∠，AEB ∠的平分线，得出,EG FH 的长度，进而求出EF 的长度．
【详解】
解：连接,,,FA FB ED ED ，延长FE 交CD 于点G ，延长EF 交AB 于点H ，
∵ABE ∆是等边三角形，
∴60EAB EBA ∠=∠=︒，
∴30DAE CBE ∠=∠=︒，
在DAE ∆和CBE ∆中，
∵AD BC DAE CBE AE BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴DAE CBE ∆≅∆，
∴ED EC =，
在EDF ∆和ECF ∆中，
∵FD FC EF EF ED EC =⎧⎪=⎨⎪=⎩
，
∴EDF ECF ∆≅∆，
∴DFE CFE ∠=∠
∴EF 是DFC ∠的平分线，
∴FG 是等边DFC ∆的DFC ∠的平分线，
∴FG DC ⊥，
∴GE GF EF =-，
同理可证：EH AB ⊥，FH EH EF =-,
∵,EAB FDC ∆∆都是等边三角形，且边长都等于正方形的边长，
∴GF EH =，
∴GE FH =,
∵FG DC ⊥,EH AB ⊥,
∴,,,G E F H 四点共线，且GH AD =，
∵正方形ABCD 的边长为2，DFC ∆是等边三角形，
∴2DF =，
∵FG 是等边DFC ∆的DFC ∠的平分线，
∴FG 也是DC 边上的中线，即：1DG GC ==，
∴在Rt DFG ∆中，由勾股定理得：
222DF DG GF =+，即：2222=1GF +，
∴GF =
∴2FH =，
同理可得：2GE =-，
∴(
(
22222EF GE FH =--=--=，
故选：B ．
【点睛】
本题目主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，以及全等三角形的判定，利用,,,G E F H 四点共线是解决本题的关键．
7．C
解析：C
【分析】
先根据三角形中位线定理，得出EF=FG=GH=HE ，进而得到四边形EFGH 是菱形，据此可判断结论是否正确，最后取AB 的中点P ，连接PE ，PG ，根据三角形三边关系以及三角形中位线定理，即可得出()1 2EG BC AD >
-． 【详解】
解：∵E ，F 分别是BD ，BC 的中点，
∴EF 是△BCD 的中位线，
∴EF=12
CD ， 同理可得，GH=
12CD ，FG=12AB ，EH=12AB ， 又∵AB=CD ，
∴EF=FG=GH=HE ，
∴四边形EFGH 是菱形，故⑤正确，②错误，
∴EG ⊥FH ，HF 平分∠EHG ，故①、③正确，
如图所示，取AB 的中点P ，连接PE ，PG ，
∵E 是BD 的中点，G 是AC 的中点，
∴PE 是△ABD 的中位线，PG 是△ABC 的中位线，
∴PE=
12AD ，PG=12
BC ，PE ∥AD ，PG ∥BC ， ∵AD 与BC 不平行，
∴PE 与PG 不平行，
∴△PEG 中，EG ＞PG -PE ， ∴EG ＞12BC 12
-AD ， 即EG ＞
12
（BC -AD ），故④错误． 综上所述，正确的有①③⑤．
故选：C ．
【点睛】 本题主要考查了中点四边形，三角形三边关系以及三角形中位线定理的运用，解题时注意：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
8．B
解析：B
【分析】
由题意先根据ASA 证明△ADF ≌△ECF ，推出300ABE ABCD S S ==，再证明BE=AB=25，根据等腰三角形三线合一的性质得出BF ⊥AE ．设AF=x ，BF=y ，由∠ABF ＜∠BAF 可得x ＜y ，进而根据勾股定理以及△ABE 的面积为300列出方程组并解出即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD 为平行四边形，
∴AD//BC 即AD//BE ，AB//CD ，
∴∠DAF=∠E ．
在△ADF 与△ECF 中，
DAF E AF EF
AFD EFC ⎧⎪⎨⎪∠∠∠⎩
∠＝＝＝， ∴△ADF ≌△ECF （ASA ），
∴ADF ECF S S =△△，
∴300ABE ABCD S S ==．
∵AE 平分∠BAD ，
∴∠BAE=∠DAF ，
∵∠DAF=∠E ，
∴∠BAE=∠E ，
∴BE=AB=25，
∵AF=FE ，
∴BF ⊥AE ．
设AF=x ，BF=y ，
∵∠D 为锐角，
∴∠DAB=180°-∠D 是钝角，
∴∠D ＜∠DAB ， ∴12∠ABC ＜12
∠DAB ， ∴∠ABF ＜∠BAF ，
∴AF ＜BF ，x ＜y ． 则有222
2
2520013x y x y ⎧+⎪⎨⎪⎩＝＝，解得：1520x y ⎧⎨⎩＝＝或2015x y ＝＝（舍去）， 即AF=15．
故选：B ．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质和等腰三角形的性质和勾股定理等知识．由题意证明出300ABE ABCD S S ==以及BF ⊥AE 是解题的关键．
9．D
解析：D
【分析】
由正方形和折叠的性质得出AF ＝AB ，∠B ＝∠AFG ＝90°，由HL 即可证明
Rt △ABG ≌Rt △AFG ，得出①正确；
设BG ＝x ，则CG ＝BC−BG ＝6−x ，GE ＝GF ＋EF ＝BG ＋DE ＝x ＋2，由勾股定理求出x ＝3，得出②正确；
由等腰三角形的性质和外角关系得出∠AGB ＝∠FCG ，证出平行线，得出③正确； 根据三角形的特点及面积公式求出△FGC 的面积＝
185
，得出④正确． 【详解】
∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB ＝AD ＝DC ＝6，∠B ＝D ＝90°，
∵CD ＝3DE ，
∴DE ＝2，
∵△ADE 沿AE 折叠得到△AFE ，
∴DE ＝EF ＝2，AD ＝AF ，∠D ＝∠AFE ＝∠AFG ＝90°，
∴AF ＝AB ，
∵在Rt △ABG 和Rt △AFG 中， AG AG AB AF =⎧⎨=⎩
， ∴Rt △ABG ≌Rt △AFG （HL ），
∴①正确；
∵Rt△ABG≌Rt△AFG，
∴BG＝FG，∠AGB＝∠AGF，
设BG＝x，则CG＝BC−BG＝6−x，GE＝GF＋EF＝BG＋DE＝x＋2，在Rt△ECG中，由勾股定理得：CG2＋CE2＝EG2，
∵CG＝6−x，CE＝4，EG＝x＋2
∴（6−x）2＋42＝（x＋2）2
解得：x＝3，
∴BG＝GF＝CG＝3，
∴②正确；
∵CG＝GF，
∴∠CFG＝∠FCG，
∵∠BGF＝∠CFG＋∠FCG，
又∵∠BGF＝∠AGB＋∠AGF，
∴∠CFG＋∠FCG＝∠AGB＋∠AGF，
∵∠AGB＝∠AGF，∠CFG＝∠FCG，
∴∠AGB＝∠FCG，
∴AG∥CF，
∴③正确；
∵△CFG和△CEG中，分别把FG和GE看作底边，
则这两个三角形的高相同．
∴
3
5
CFG
CEG
S FG
S GE
==，
∵S△GCE＝1
2
×3×4＝6，
∴S△CFG＝3
5
×6＝
18
5
，
∴④正确；
正确的结论有4个，
故选：D．
【点睛】
本题考查了正方形性质、折叠性质、全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质和判定、平行线的判定等知识点的运用；主要考查学生综合运用性质进行推理论证与计算的能力，有一定难度．
10．C
解析：C
【分析】
连接AC交BD于O，作ME⊥AB于E，MF⊥BC于F，延长CB到H，使得BH=DQ．
①正确．只要证明△AME≌△NMF即可；
②正确．只要证明△AOM≌△MPN即可；
③错误．只要证明∠ADQ≌△ABH，由此推出△ANQ≌△ANH即可；
④正确．只要证明△AME≌△NMF，证得四边形EMFB是正方形即可解决问题；【详解】
连接AC交BD于O，作ME⊥AB于E，MF⊥BC于F，延长CB到H，使得BH=DQ．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，222，∠DBA=∠DBC=45°，
∴ME=MF，
∵∠MEB=∠MFB=∠EBF=90°，
∴四边形EMFB是矩形，
∵ME=MF，
∴四边形EMFB是正方形，
∴∠EMF=∠AMN=90°，
∴∠AME=∠NMF，
∵∠AEM=∠MFN=90°，
∴△AME≌△NMF（ASA），
∴AM=MN，故①正确；
∵∠OAM+∠AMO=90°，∠AMO+∠NMP=90°，
∴∠AMO=∠MNP，
∵∠AOM=∠NPM=90°，
∴△AOM≌△MPN（AAS），
∴2，故②正确；
∵DQ=BH，AD=AB，∠ADQ=∠ABH=90°，
∴∠ADQ≌△ABH（SAS），
∴AQ=AH，∠QAD=∠BAH，
∴∠BAH+∠BAQ=∠DAQ+∠BAQ=90°，
∵AM=MN，∠AMN=90°，
∴∠MAN=45°，
∴∠NAQ=∠NAH=45°，
∴△ANQ≌△ANH（SAS），
∴NQ=NH=BN+BH=BN+DQ，
∴△CNQ的周长=CN+CQ+BN+DQ=4，故③错误；
∵BD+2BP=2BO+2BP=2AO+2BP=2PM+2BP，
∴BD+2BP=2BM，故④正确．
故选：C．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
二、填空题
11．2
【分析】
过B点作HE的平行线交AC于O点，延长EG交AB于I点，得到BO=2HE，其中O点在线段AC上运动，再由点到直线的距离垂线段最短求出BO的长即可求解．
【详解】
解：过B点作HE的平行线交AC于O点，延长EG交AB于I点，如下图所示：
∵H是BG的中点，且BO与HE平行，
∴HE为△BOG的中位线，且BO=2HE，
故要使得HE最短，只需要BO最短即可，
当E点位于C点时，则O点与C点重合，
当E点位于D点时，则O点与A点重合，
故E点在CD上运动时，O点在AC上运动，
由点到直线的距离垂线段最短可知，当BO⊥AC时，此时BO最短，
∵四边形ABCD是正方形，
∴△BOC为等腰直角三角形，且BC=4，、
BO,
∴22
22
∴122HE BO ，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，点到直线的距离垂线段最短等知识点，本题的关键是要学会将要求的HE 线段长转移到线段BO 上．
12．52
【分析】
连接DM ，直角三角形斜边中线等于斜边一半，得AM=DM ，利用两边之差小于第三边得到AM MN DN -≤，又根据三角形中位线的性质即可求解．
【详解】
连接DM ，如下图所示，
∵90BAC EDF ∠=∠=︒
又∵M 为EF 中点 ∴AM=DM=12EF ∴AM MN DM MN DN -=-≤（当D 、M 、N 共线时，等号成立） ∵D 、N 分别为BC 、AC 的中点，即DN 是△ABC 的中位线
∴DN=12AB=52
∴AM MN -的最大值为
52 故答案为
52
． 【点睛】 本题考查了直角三角形斜边中线的性质，三角形的三边关系，关键是确定AM MN -的取值范围．
13102【分析】
连结AC ，取OC 中点M ，连结 MB ，MG ，则MB ，MG 为定长，利用两点之间线段最短解决问题即可．
【详解】
连接AC，交EF于O，
∵AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO，
∵AE＝CF，
∴△AEO≌△CFO（ASA），
∴OA＝OC，
∴O是正方形的中心，
∵AB＝BC＝4，
∴AC＝2OC＝2，
取OC中点M，连结 MB，MG，过点M作MH⊥BC于H，
∵MC＝1
2
OC2，
∴MH＝CH＝1，
∴BH＝4−1＝3，
由勾股定理可得MB22
31
10
在Rt△GOC中，M是OC的中点，则MG＝1
2
OC2
∵BG≥BM−MG102，
当B，M，G三点共线时，BG102，
102．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质，根据正方形的性质得出当E，F运动到AD，BC的中点时，MG最小是解决本题的关键．
14．4
【分析】
根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形AEPF是矩形，根据矩形的对角线相等，得EF＝AP，则EF的最小值即为AP的最小值，根据垂线段最短，知：AP的最小值即等于直角三角形ABC斜边上的高．
【详解】
解：连接AP，
∵在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，
∴AB2+AC2＝BC2，
即∠BAC ＝90°．
又∵PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，
∴四边形AEPF 是矩形，
∴EF ＝AP ，
∵AP 的最小值即为直角三角形ABC 斜边上的高，
设斜边上的高为h ，
则S △ABC =1122
BC h AB AC ⋅=⋅ ∴1153422h ⨯⋅=⨯⨯ ∴h=2.4，
∴EF 的最小值为2.4，
故答案为：2.4．
【点睛】
本题考查了矩形的性质和判定，勾股定理的逆定理，直角三角形的性质的应用，要能够把要求的线段的最小值转化为便于求的最小值得线段是解此题的关键．
15．42a - 33
【分析】
先根据直角三角形含30度角的性质和勾股定理得AB =2，AC =4，从而得CG 的长，作辅助线，构建矩形ABHM 和高线GM ，如图2，通过画图发现：当GE ⊥BC 时，AG 最小，即a 最小，可计算a 的值，从而得结论．
【详解】
∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠B =90°，
∵∠ACB =30°，BC =3，
∴AB =2，AC =4，
∵AG =a ，
∴CG =4a -，
如图1，过G 作MH ⊥BC 于H ，交AD 于M ，
Rt△CGH中，∠ACB=30°，
∴GH=1
2
CG=
4
2
a
-
，
则点G到BC边的距离为4
2
a
-
，
∵HM⊥BC，AD∥BC，
∴HM⊥AD，
∴∠AMG=90°，
∵∠B=∠BHM=90°，
∴四边形ABHM是矩形，∴HM=AB=2，
∴GM=2﹣GH=
4
2
2
a
-
-=
2
a
，
∴S△ADG
113
23
222
a a
AD MG
=⋅=⨯⨯=，
当a最小时，△ADG的面积最小，
如图2，当GE⊥BC时，AG最小，即a最小，
∵FG是AE的垂直平分线，
∴AG=EG，
∴4
2
a
a -
=，
∴
4
3
a=，
∴△ADG 3423
3
=，
故答案为：4
2
a
-
，
23
3
．
【点睛】
本题主要考查了垂直平分线的性质、矩形的判定和性质、含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，确定△ADG 的面积最小时点G 的位置是解答此题的关键．
16．【详解】
解析：∵在正方形ABCD 中，AC=
∴AB=AD=BC=DC=6，∠EAD=45°
设EF 与AD 交点为O ，O 是AD 的中点,
∴AO=3
以AD 为对角线的所有▱AEDF 中，当EF ⊥AC 时，EF 最小，
即△AOE 是直角三角形，
∵∠AEO=90°，∠EAD=45°，OE=
2OA=2，
∴EF=2OE=17．②③
【分析】
根据菱形的性质可知AC ⊥BD ，所以在Rt △AFP 中，AF 一定大于AP ，从而判断①；设∠BAE=x ，然后根据等腰三角形两底角相等表示出∠ABE ，再根据菱形的邻角互补求出∠ABE ，根据三角形内角和定理列出方程，求出x 的值，求出∠BFE 和∠BE 的度数，从而判断②③．
【详解】
解：在菱形ABCD 中，AC ⊥BD ，
∴在Rt △AFP 中，AF 一定大于AP ，故①错误；
∵四边形ABCD 是菱形，
∴AD ∥BC ，
∴∠ABE+∠BAE+∠EAD=180°，
设∠BAE=x°，
则∠EAD=2x°，∠ABE=180°-x°-2x°，
∵AB=AE ，∠BAE=x°，
∴∠ABE=∠AEB=180°-x°-2x°，
由三角形内角和定理得：x+180-x-2x+180-x-2x=180，
解得：x=36，
即∠BAE=36°，
∠BAE=180°-36°-2×36°=70°，
∵四边形ABCD 是菱形，
∴∠BAD=∠CBD=12
∠ABE=36°， ∴∠BFE=∠ABD+∠BAE=36°+36°=72°，
∴∠BEF=180°-36°-72°=72°，
∴BE=BF=AF．故③正确
∵∠AFD=∠BFE=72°，∠EAD=2x°=72°
∴∠AFD=∠EAD
∴AD=FD
又∵AD=AB=AE
∴AE=FD，故②正确
∴正确的有②③
故答案为：②③
【点睛】
本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，熟记各性质并列出关于∠BAE的方程是解题的关键，注意：菱形的对边平行，菱形的对角线平分一组对角．
18．1382
+
【分析】
如图所示，延长CD交FN于点P，过N作NK⊥CD于点K，延长FE交CD于点Q，交NS于点R，首先利用正方形性质结合题意求出AD=CD=AG=DQ=1，然后进一步根据菱形性质得出DE=EF=DG=2，再后通过证明四边形NKQR是矩形得出QR=NK=2，进一步可得2221382
=+=+，再延长NS交ML于点Z，利用全等三角形性质与判定证FN FR NR
明四边形FHMN为正方形，最后进一步求解即可.
【详解】
如图所示，延长CD交FN于点P，过N作NK⊥CD于点K，延长FE交CD于点Q，交NS于点R，
∵ABCD为正方形，
∴∠CDG=∠GDK=90°，
∵正方形ABCD面积为1，
∴AD=CD=AG=DQ=1，
∴DG=CT=2，
∵四边形DEFG为菱形，
∴DE=EF=DG=2，
同理可得：CT=TN=2，
∵∠EFG=45°，
∴∠EDG=∠SCT=∠NTK=45°，
∵FE∥DG，CT∥SN，DG⊥CT，
∴∠FQP=∠FRN=∠DQE=∠NKT=90°，
∴FQ=FE+EQ=2+
∵∠NKT=∠KQR=∠FRN=90°，
∴四边形NKQR是矩形，
∴，
∴FR=FQ+QR=2+，NR=KQ=DK−11
=，
∴22213
FN FR NR
=+=+
再延长NS交ML于点Z，易证得：△NMZ≅△FNR(SAS)，
∴FN=MN，∠NFR=∠MNZ，
∵∠NFR+∠FNR=90°，
∴∠MNZ+∠FNR=90°，
即∠FNM=90°，
同理可得：∠NFH=∠FHM=90°，
∴四边形FHMN为正方形，
∴正方形FHMN的面积=213
FN=+
故答案为：13+
【点睛】
本题主要考查了正方形和矩形性质与判定及与全等三角形性质与判定的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键.
19．①②③⑤
【分析】
根据三角形中位线定理得到EF＝1
2
AB，EF∥AB，根据直角三角形的性质得到DF＝
1
2
AC，
根据三角形内角和定理、勾股定理计算即可判断．【详解】
∵E，F分别是BC，AC的中点，
∴EF＝1
2
AB，EF∥AB，
∵∠ADC＝90°，∠CAD＝45°，
∴∠ACD＝45°，
∴∠BAC＝∠ACD，
∴AB∥CD，
∴EF∥CD，故①正确；
∵∠ADC＝90°，F是AC的中点，
∴DF＝CF=1
2 AC，
∵AB=AC，EF＝1
2 AB，
∴EF＝DF，故②正确；
∵∠CAD=∠ACD=45°，点F是AC中点，
∴△ACD是等腰直角三角形，DF⊥AC，∠FDC=45°，
∴∠DFC=90°，
∵EF//AB，
∴∠EFC=∠BAC=45°，∠FEC=∠B=67.5°，
∴∠EFD=∠EFC+∠DFC=135°，
∴∠FED＝∠FDE＝22.5°，
∵∠FDC＝45°，
∴∠CDE=∠FDC-∠FDE=22.5°，
∴∠FDE=∠CDE，
∴DE平分∠FDC，故③正确；
∵AB＝AC，∠CAB＝45°，
∴∠B＝∠ACB＝67.5°，
∴∠DEC＝∠FEC﹣∠FED＝45°，故④错误；
∵△ACD是等腰直角三角形，
∴AC2=2CD2，
∴AC=2CD，
∵AB=AC，
∴AB＝2CD，故⑤正确；
故答案为：①②③⑤．
【点睛】
本题考查的是三角形中位线定理，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，平行线的性质，勾股定理等知识．掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
20．102
【分析】
根据平行四边形的性质、角平分线的性质证明AD=DE=3，再根据BAD BEC
∠=∠证明BC=BE，由此根据三角形的三线合一及勾股定理求出BF，即可求出平行四边形的面积.【详解】
过点B作BF CD
⊥于点F，如图所示．
∵AE是BAD
∠的平分线，
∴DAE BAE ∠=∠．
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴5
3CD AB BC AD BAD BCE AB CD ====∠=∠，，，∥， ∴BAE DEA ∠=∠，
∴DAE DEA ∠=∠，
∴3DE AD ==，
∴2CE CD DE =-=．
∵BAD BEC ∠=∠，
∴BCE BEC ∠=∠，
∴BC=BE, ∴112CF EF CE ==
=， ∴22223122BF BC CF =-=-=．
∴平行四边形ABCD 的面积为225102BF CD ⋅=⨯=．
故答案为：102.
【点睛】
此题考查平行四边形的性质：对边平行且相等，对角相等，等腰三角形的等角对等边的性质、三线合一的性质，勾股定理.
三、解答题
21．（1）①=CF BD ，CF BD ⊥；②当点D 在BC 的延长线上时①中结论仍成立，详见解析；（2）45︒
【分析】
（1）①结论:CF 与BD 位置关系是垂直、数量关系是相等; 只要证明△BAD ≌△CAF,即可解决问题；②当点D 在BC 的延长线上时①的结论仍成立．证明方法类似;
（2）过点A 作AG ⊥AC 交BC 于点G,理由（1）中的结论即可解决问题．
【详解】
解:（1）①相等（或=CF BD ）,互相重直（或CF BD ⊥）
理由如下:
∵AB=AC,∠BAC=90︒,
∴∠ABC=∠ACB=45︒,
∵∠BAC=∠DAF,
∴∠BAD=∠CAF,
在△BAD 和△CAF 中,
BA CA BAD CAF DA FA ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝ , ∴△BAD ≌△CAF （SAS ）,
∴BD=CF,∠ABD=∠ACF=45︒,
∵∠ACB=45︒,
∴∠FCB=90︒,
∴CF ⊥BD,CF=BD,
故答案为CF ⊥BD,CF=BD ．
②当点D 在BC 的延长线上时①的结论仍成立．
理由:
由正方形ADEF 得 AD=AF,∠DAF=90︒．
∵∠BAC=90︒,
∴∠DAF=∠BAC,
∴∠DAB=∠FAC,
又AB=AC,
∴△DAB ≌△FAC （SAS ）,
∴CF=BD,∠ACF=∠ABD,
∵∠BAC=90︒,AB=AC,
∴∠ABC=45︒,
∴∠ACF=45︒,
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90︒．即 CF ⊥BD ．
（2）结论:当∠ACB=45︒时,CF ⊥BD ．
理由:过点A 作AG ⊥AC 交BC 于点G,
∴AC=AG,
由（1）可知:△GAD ≌△CAF,
∴∠ACF=∠AGD=45︒,
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90︒,
即CF ⊥BD ．
故答案为45︒．
【点睛】
本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、正方形的性质等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题,学会添加辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考压轴题．
22．（1）矩形；（2）菱形；（3）4）见解析
【分析】
（1）由平移推出AD EE '=，即可证得四边形AEE D '是平行四边形，再根据
AE BC ⊥，得到90AEE '∠=︒即可得到结论；
（2）由平移推出AD FF '=，证得四边形AFF D '是平行四边形，根据AE EF ⊥得到90AEE '∠=︒，再根据勾股定理求出AF=5=AD ，即可证得四边形AFF D '是菱形；
（3）先利用勾股定理求出DF ==，再根据菱形的面积求出F A '；
（4）在BC 边上取点E ，连接AE ，平移△ABE 得到△DCF ，可得四边形AEFD 是平行四边形.
【详解】
(1)四边形AEE D '是矩形，
在ABCD □中，//AD BC ，AD BC =，
由平移可知：BE CE ''=，
∴BC EE '=，
∴AD EE '=，
∴四边形AEE D '是平行四边形，
∵AE BC ⊥，
∴90AEE '∠=︒，
∴四边形AEE D '是矩形；
(2)四边形AFF D '是菱形，
在矩形AEE D '中，//AD EE ' ，AD EE '=，
由平移可知：EF E F =''，
∴EE FF ''=，
∴AD FF '=，
∴四边形AFF D '是平行四边形，
∵AE EF ⊥，
∴90AEE '∠=︒，
在Rt AEF ，5AF ===，。