山东省济南外国语学校2011届高三第一次质量检测(数学)

济南外国语学校2010-2011学年度第一学期
高三质量检测数学试题
时间：120分钟 满分：120分
第Ⅰ卷（共48分）
一．选择题 (共12小题，每小题4分，共48分)
1. 设全集U 是实数集R ,集合}{22M x x x =<->或,{}
2430N x x x =-+<,则图中阴影部分所表示的集合是 （ ） A ．}12|{<≤-x x B ．}22|{≤≤-x x
C ．}21|{≤<x x
D ．}2|{<x x
2．设321
2
1
log 2,log 3,log 5
a b c ===，则（ ） A ．a b c << B ．a c b <<
C ．b a c <<
D ．b c a <<
3.下列各式中，值为
2
2
的是（ ）
A ．︒︒75cos 75sin
B ．18
cos
22
-π
C ．
︒
-︒
151152tg tg D ．2)240cos(1︒--
4.设向量a 、b 满足|a |=|b |=|a+b |,则向量a 与a-b 的夹角为( ) A ． 60
B ．300
C.900
D ．1200
5.已知函数()2
f x ax x c =--，且不等式()20f x ax x c =-->的解集为{}
21x x -<<，
则函数()y f x =-的图象为（ ）
6. 已知幂函数)(6
2
Z m x y m m
∈=--的图像与x 轴无公共点，则m 的值的取值范围是（ ）
A.{-1,0,1,2}
B.{-2,-1,0,1,2,3}
C.{-2,-1,0,1}
D.{-3,-2,-1,1,2}
7．设0ω>,函数sin()23
y x π
ω=+
+的图像向右平移
43
π
个单位后与原图像重合，则ω的最小值是（ ） A ．
23 B ． 43 C ． 3
2
D ． 3 8. 设a ∈R ，若函数3ax
y e x =+，x ∈R 有大于零的极值点，则 （ ）
A ．3a >-
B ．3a <-
C ．1
3
a >-
D ．13
a <-
9．在△ABC 中，a ,b ,c 分别为三个内角A,B,C 所对的边，设向量(,),(,)=--=+m b c c a n b c a ，
若m n ⊥,则角A 的大小为（ ）
A.
6π B. 2π C. 3
π
D. 32π
10. 已知y x y x y x ,,3
2
cos cos ,32sin sin 且=--=-为锐角,则)tan(y x -=
（ ）
A ．5142
B ．5142-
C ．5
14
2± D ．28145±
11．函数x y a log =当x >2 时恒有y >1，则a 的取值范围是 （ ）
A ．
1221≠≤≤a a 且 B ．0212
1
≤<≤<a a 或 C ．21≤<a D ．2
1
01≤<≥a a 或
12．设f(x)、g(x)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,当x ＜0时, ()()()()0f x g x f x g x ''+>.
且g(3)=0.则不等式f(x)g(x)＜0的解集是 （ ） A ．（－3,0)∪(3,+∞) B ．(－3,0)∪(0, 3) C ．(－∞,- 3)∪(3,+∞) D ．(－∞,－ 3)∪(0, 3)
第Ⅱ卷（共72分）
二．填空题 (共4小题，每小题4分，共16分) 13. 已知(10)x
f x =，则(5)f =
14.设向量(1,2),(2,3)a b ==，若向量a b λ+与向量(4,7)c =--共线，则=λ
15．设g (x )为R 上不恒等于0的奇函数，)(111
)(x g b a x f x
⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-=(a ＞0且a ≠1)为偶函数，则 常数b 的值为
16．已知向量),sin ,(cos ),,(θθ==n m 其中R n m ∈θ,,，若||4||=，则当2
λ<⋅b a 恒成立时
实数λ的取值范围是
三．解答题（共5个大题，共56分，写出必要的文字说明） 17．（本题满分10分）已知5
1cos sin ,02
=
+<<-
x x x π
. （1）求sin x －cos x 的值；
（2）求x
x x x x x cot tan 2cos 2cos 2sin 22sin 322
++-的值.
18．（本题满分10分） 已知函数0()(2≠+
=x x
a
x x f ，常数)a ∈R ．
（1）讨论函数)(x f 的奇偶性，并说明理由；
（2）若函数)(x f 在[2)x ∈+∞，上为增函数，求a 的取值范围．
19. （本题满分12分）已知函数f(x)=cos ⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-32πx +2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-4πx ·sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πx .
（1）求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程; （2）求函数f(x)在区间⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-2,12ππ上的值域.
20. （本题满分12分）
某地需要修建一条大型输油管道通过120公里宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程只需要在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站（又称泵站）.经预算，修建一个增压站的工程费用为432万元，铺设距离为x 公里的相邻两增压站之间的输油管道费用为3
x x +万元.设余下工程的总费用为y 万元. （1）试将y 表示成关于x 的函数； （2）需要修建多少个增压站才能使y 最小？
21 .（本题满分12分）已知定义在R 上的函数，其中a 为常数.
（1）若x =1是函数的一个极值点，求a 的值；
（2）若函数在区间（－1，0）上是增函数，求a 的取值范围；
（3）若函数
，在x =0处取得最大值，求正数．．a 的取值范围.
高三数学答案
1-12 CABBB BCBCB AD
13. lg 5 14. 2 15. 2 16.
22-<>λλ或.
17．解：（1）由,251cos cos sin 2sin ,51cos sin 22=++=
+x x x x x x 平方得 即 .25
49
cos sin 21)cos (sin .2524cos sin 22=-=--=x x x x x x
又,0cos sin ,0cos ,0sin ,02<-><∴<<-
x x x x x π
故 .5
7
cos sin -=-x x （2）x
x x x x x x
x x x x x sin cos cos sin 1
sin 2sin 2cot tan 2cos 2cos 2sin 22sin 3222+
+-=++-
125
108)512()2512()
sin cos 2(cos sin -=-⨯-
=--=x x x x
18．(1)当0=a 时，2)(x x f =， 对任意(0)
(0)x ∈-∞+∞，，，)()()(2
2x f x x x f ==-=-，
)(x f ∴为偶函数 当0≠a 时，2()(00)a
f x x a x x
=+≠≠，，取1±=x ，得
(1)(1)20(1)(1)20f f f f a -+=≠--=-≠，， (1)(1)(1)(1)f f f f ∴-≠--≠，， ∴ 函数)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数 （2）解法一：设122x x <≤， 2
2
212
121)()(x a x x a x x f x f -
-+
=-[]a x x x x x x x x -+-=)()(21212121， 要使函数)(x f 在[2)x ∈+∞，上为增函数，必须0)()(21<-x f x f 恒成立
121204x x x x -<>，，即)(2121x x x x a +<恒成立
又421>+x x ，16)(2121>+∴x x x x a ∴的取值范围是(16]-∞，
19.（1）∵f （x ）=cos ⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-32πx +2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-4πx ·sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πx
=
21cos2x+2
3
sin2x+（sin x -cos x ）(sin x +cos x ) =
21cos2x +23sin2x +sin 2x -cos 2
x =21cos2x +23sin2x -cos2x =sin ⎪⎭⎫ ⎝
⎛-62πx . ∴周期T =
22π=π. 由62π-x =k π+2
π
(k ∈Z),得x =32ππ+k (k ∈Z). ∴函数图象的对称轴方程为x =3
2π
π+k (k ∈Z). (2)∵x ∈⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-
2,12ππ，∴62π-x ∈⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-65,3ππ.
∵f （x ）=sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛
-62πx 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3,12ππ上单调递增，在区间⎥⎦
⎤⎢⎣⎡2,3ππ上单调递减，
∴当x =3π时，f (x )取得最大值1, 又∵f ⎪⎭⎫ ⎝⎛-12π=-2
3＜f ⎪⎭
⎫ ⎝⎛2π=2
1
,
∴当x =12π-
时，f (x )取得最小值-23.∴函数f (x )在⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-2,12ππ上的值域为⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡-1,23. 20.解（1）设需要修建k 个增压站，则(1)120k x +=，即120
1k x
=-. 所以
33212012051840
432(1)()432(1)()120312y k k x x x x x x x x
=+++=⨯-++=+-.
因为x 表示相邻两增压站之间的距离，则0＜x ≤120. 故y 与x 的函数关系是251840
120312(0120)y x x x
=+-<≤. （2）设251840
()120312(0120)f x x x x =
+-<≤，则 3
22
51840240()240(216)f x x x x x '=-+=-.
由'()0f x >，得3
216x >，又0＜x ≤120，则6120x <≤.
所以()f x 在区间(6,120]内为增函数，在区间[0,6)内为减函数.
所以当6x =时，()f x 取最小值，此时120120
11196
k x =-=-=.
故需要修建19个增压站才能使y 最小.
21.解：（1）)2(363)(,3)(2
2
3
-=-='-=ax x x ax x f x ax x f。