2016-2017年福建省泉州市南安市柳城中学高二(下)第一次月考数学试卷(解析版)

2016-2017学年福建省泉州市南安市柳城中学高二（下）第一次
月考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分
1．（5分）已知f（x）＝xln x，若f′（x0）＝2，则x0等于（）
A．e2B．e C．D．ln 2
2．（5分）对任意的x，有f′（x）＝4x3，f（1）＝﹣1，则此函数解析式（）A．f（x）＝x3B．f（x）＝x4﹣2C．f（x）＝x3+1D．f（x）＝x4﹣1 3．（5分）下列求导运算正确的是（）
A．（x+）′＝1+B．（log2x）′＝
C．（3x）′＝3x log3e D．（x2cos x）′＝﹣2x sin x
4．（5分）曲线y＝cos x（0≤x≤）与坐标轴围成的面积是（）A．4B．C．3D．2
5．（5分）函数f（x）＝x﹣lnx的单调递减区间是（）
A．（0，1）B．（0，+∞）
C．（1，+∞）D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）
6．（5分）若函数f（x）＝ax4+bx2+c满足f′（1）＝2，则f′（﹣1）＝（）A．﹣1B．﹣2C．2D．0
7．（5分）函数f（x）＝x3﹣3x（﹣1＜x＜1）（）
A．有最大值，但无最小值B．有最大值，也有最小值
C．无最大值，也无最小值D．无最大值，但有最小值
8．（5分）某公司生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一单位的产品，成本增加100
元，若总收入R与年产量x的关系是R（x）＝，则当总利
润最大时，每年生产产品的单位数是（）
A．150B．200C．250D．300
9．（5分）已知f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，那么f（x）的图象最有可能是图中的（）
A．B．
C．D．
10．（5分）已知函数y＝x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，则c＝（）A．﹣2或2B．﹣9或3C．﹣1或1D．﹣3或1 11．（5分）已知函数f（x）满足f（x）＝f（π﹣x），且当时，f（x）＝e x+sin x，则（）
A．f（1）＜f（2）＜f（3）B．f（2）＜f（3）＜f（1）
C．f（3）＜f（2）＜f（1）D．f（3）＜f（1）＜f（2）
12．（5分）设曲线y＝x n+1（n∈N+）在点（1，1）处的切线与x轴的交点横坐标为x n，则log2015x1+log2015x2+log2015x3+…+log2015x2014的值为（）
A．﹣log20152014B．1
C．﹣1+log20152014D．﹣1
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上）13．（5分）一质点按规律s＝2t3运动，则其在时间段[1，2]内的平均速度为m/s，在t＝1时的瞬时速度为m/s．
14．（5分）如图，函数y＝﹣x2+2x+1与y＝1相交形成一个封闭图形（图中的阴影部分），则该封闭图形的面积是．
15．（5分）函数y＝x3+ax2+x在R上是增函数，则a的取值范围是．
16．（5分）已知函数f（x）＝﹣2x2+lnx（a＞0）．若函数f（x）在[1，2]上为单调函数，则a的取值范围是．
三、解答题（本大题共6小题，共60分，解答题影写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）计算下列定积分．
（1）
（2）设，则．
18．（12分）已知曲线y＝x3，
（1）求曲线在点P（2，f（2））处的切线方程；
（2）求曲线过点P（2，f（x））的切线方程．
19．（12分）设函数f（x）＝lnx+ln（2﹣x）+ax（a＞0）．
（1）当a＝1时，求f（x）的单调区间．
（2）若f（x）在（0，1]上的最大值为，求a的值．
20．（12分）某公司在甲、乙两地销售同一种品牌的汽车，利润（单位：万元）分别为L1＝5.06x﹣0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量（单位：辆）．若该公司在这两地共销售15辆车，求该公司能获得的最大利润为多少万元？
21．（12分）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+c在x＝﹣1与x＝2处都取得极值．
（Ⅰ）求a，b的值及函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对x∈[﹣2，3]，不等式f（x）+c＜c2恒成立，求c的取值范围．
22．（12分）已知a，b是实数，函数f（x）＝x3+ax，g（x）＝x2+bx，f′（x）和g′（x）是f（x），g（x）的导函数，若f′（x）g′（x）≥0在区间I上恒成立，则称f（x）和g （x）在区间I上单调性一致
（1）设a＞0，若函数f（x）和g（x）在区间[﹣1，+∞）上单调性一致，求实数b的取值范围；
（2）设a＜0，且a≠b，若函数f（x）和g（x）在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求|a﹣b|的最大值．
2016-2017学年福建省泉州市南安市柳城中学高二（下）
第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分
1．（5分）已知f（x）＝xln x，若f′（x0）＝2，则x0等于（）
A．e2B．e C．D．ln 2
【解答】解：∵f（x）＝xln x，（x＞0）
∴f′（x）＝lnx+1，
∵f′（x0）＝2，
∴f′（x0）＝lnx0+1＝2，
解得x0＝e，
∴x0的值等于e．
故选：B．
2．（5分）对任意的x，有f′（x）＝4x3，f（1）＝﹣1，则此函数解析式（）A．f（x）＝x3B．f（x）＝x4﹣2C．f（x）＝x3+1D．f（x）＝x4﹣1【解答】解：∵f′（x）＝4x3，
∴f（x）＝x4+c（c为常数），
∵f（1）＝﹣1，
∴1+c＝﹣1，
∴c＝﹣2，
∴f（x）＝x4﹣2，
故选：B．
3．（5分）下列求导运算正确的是（）
A．（x+）′＝1+B．（log2x）′＝
C．（3x）′＝3x log3e D．（x2cos x）′＝﹣2x sin x
【解答】解：选项A，（x+）′＝1﹣，故错误；
选项B，（log2x）′＝，故正确；
选项C，（3x）′＝3x ln3，故错误；
选项D，（x2cos x）′＝2x cos x﹣x2sin x，故错误．
故选：B．
4．（5分）曲线y＝cos x（0≤x≤）与坐标轴围成的面积是（）A．4B．C．3D．2
【解答】解：由条件利用余弦函数的图象的对称性可得曲线y＝cos x（0≤x≤）与坐标轴围成的面积是3＝3sin x＝3，
故选：C．
5．（5分）函数f（x）＝x﹣lnx的单调递减区间是（）
A．（0，1）B．（0，+∞）
C．（1，+∞）D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）
【解答】解：函数y＝x﹣lnx的导数为y＝1﹣，
令y′＝1﹣＜0，得x＜1
∴结合函数的定义域，得当x∈（0，1）时，函数为单调减函数．
因此，函数y＝x﹣lnx的单调递减区间是（0，1）
故选：A．
6．（5分）若函数f（x）＝ax4+bx2+c满足f′（1）＝2，则f′（﹣1）＝（）A．﹣1B．﹣2C．2D．0
【解答】解：∵f（x）＝ax4+bx2+c，
∴f′（x）＝4ax3+2bx，
∴f′（﹣x）＝﹣4ax3﹣2bx＝﹣f′（x），
∴f′（﹣1）＝﹣f′（1）＝﹣2，
故选：B．
7．（5分）函数f（x）＝x3﹣3x（﹣1＜x＜1）（）
A．有最大值，但无最小值B．有最大值，也有最小值
C．无最大值，也无最小值D．无最大值，但有最小值
【解答】解：函数f（x）＝x3﹣3x（﹣1＜x＜1），
可得f′（x）＝3x2﹣3，令3x2﹣3＝0，可得x＝±1，
±1∉（﹣1，1），x∈（﹣1，1），f（x）＜0．
函数f（x）＝x3﹣3x（﹣1＜x＜1）是减函数，没有最值．
故选：C．
8．（5分）某公司生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一单位的产品，成本增加100
元，若总收入R与年产量x的关系是R（x）＝，则当总利
润最大时，每年生产产品的单位数是（）
A．150B．200C．250D．300
【解答】解：由题意当年产量为x时，总成本为20000+100x，
又总收入R与年产量x的关系是R（x）＝，
∴总利润Q（x）＝，即Q（x）＝
①当0≤x≤390时，Q′（x）＝﹣，令Q′（x）＝0得x＝300，
由Q′（x）＜0得300＜x≤390，此时Q（x）是减函数，
由Q′（x）＞0得0＜x＜300，此时Q（x）是增函数，
∴当0≤x≤390时，Q（x）max＝Q（300）＝40000（元）；
②当x＞390时，Q（x）＝﹣100x+70090是减函数，∴Q（x）＜Q（390）＝31090（元）；∴当x＝300时，Q（x）的最大值为40000．
故选：D．
9．（5分）已知f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，那么f（x）的图象最有可能是图中的（）
A．B．
C．D．
【解答】解：由题意可知函数在x＜0，x＞2时，导函数f′（x）＜0，函数是减函数，
x∈（0，2）时，导函数f′（x）＞0，函数是增函数，
函数的图象如图D．
故选：D．
10．（5分）已知函数y＝x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，则c＝（）A．﹣2或2B．﹣9或3C．﹣1或1D．﹣3或1
【解答】解：求导函数可得y′＝3（x+1）（x﹣1），
令y′＞0，可得x＞1或x＜﹣1；令y′＜0，可得﹣1＜x＜1；
∴函数在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上单调增，（﹣1，1）上单调减，
∴函数在x＝﹣1处取得极大值，在x＝1处取得极小值．
∵函数y＝x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，
∴极大值等于0或极小值等于0．
∴1﹣3+c＝0或﹣1+3+c＝0，
∴c＝﹣2或2．
故选：A．
11．（5分）已知函数f（x）满足f（x）＝f（π﹣x），且当时，f（x）＝e x+sin x，则（）
A．f（1）＜f（2）＜f（3）B．f（2）＜f（3）＜f（1）
C．f（3）＜f（2）＜f（1）D．f（3）＜f（1）＜f（2）
【解答】解：∵f（x）＝f（π﹣x），则f（x）关于x＝对称
∴f（3）＝f（π﹣3），f（2）＝f（π﹣2）
当时，y＝e x+y＝sin x，单调递增，
∴此时函数f（x）＝e x+sin x是增函数．
∵0＜π﹣3＜1＜π﹣2，
∴f（π﹣3）＜f（1）＜f（π﹣2），
即f（3）＜f（1）＜f（2）．
故选：D．
12．（5分）设曲线y＝x n+1（n∈N+）在点（1，1）处的切线与x轴的交点横坐标为x n，则log2015x1+log2015x2+log2015x3+…+log2015x2014的值为（）
A．﹣log20152014B．1
C．﹣1+log20152014D．﹣1
【解答】解：对y＝x n+1（n∈N*）求导，得y′＝（n+1）x n，
令x＝1得在点（1，1）处的切线的斜率k＝n+1，在点
（1，1）处的切线方程为y﹣1＝k（x n﹣1）＝（n+1）（x n﹣1），
不妨设y＝0，可得x n＝，
则x1•x2•x3…•x n＝••…•＝，
从而log2015x1+log2015x2+…+log2015x2014
＝log2015（x1•x2…x2014）
＝log2015＝﹣1．．
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上）13．（5分）一质点按规律s＝2t3运动，则其在时间段[1，2]内的平均速度为14m/s，在t ＝1时的瞬时速度为6m/s．
【解答】解：在时间段[1，2]内的平均速度为＝14，
v（t）＝s′＝6t2，
把t＝1代入可得t＝1时的瞬时速度为v（1）＝s′＝6，
故答案为：14，6．
14．（5分）如图，函数y＝﹣x2+2x+1与y＝1相交形成一个封闭图形（图中的阴影部分），
则该封闭图形的面积是．
【解答】解：函数y＝﹣x2+2x+1与y＝1的两个交点为（0，1）和（2，1），
所以封闭图形的面积等于S＝∫02（﹣x2+2x+1）dx﹣∫021dx
＝∫02（﹣x2+2x+1﹣1）dx
＝∫02（﹣x2+2x）dx
＝（﹣+x2）＝﹣+4＝．
故答案为：
15．（5分）函数y＝x3+ax2+x在R上是增函数，则a的取值范围是﹣≤a≤．【解答】解：若函数y＝x3+ax2+x在R上是增函数，
则只需y′＝3x2+2ax+1≥0在R上恒成立，
∴只需△＝4a2﹣12≤0即可，
解得：﹣≤a≤，
故答案为：﹣≤a≤．
16．（5分）已知函数f（x）＝﹣2x2+lnx（a＞0）．若函数f（x）在[1，2]上为单调函数，则a的取值范围是（0，]∪[1，+∞）．
【解答】解：由f（x）＝﹣2x2+lnx，得f′（x）＝，
∵函数f（x）在区间[1，2]上为单调函数，
∴x∈[1，2]时，f′（x）＝≥0恒成立，或f′（x）＝≤0恒成立，
即对x∈[1，2]恒成立，或对x∈[1，2]恒成立．
设h（x）＝4x﹣，
∵函数h（x）在[1，2]上单调递增，
∴h（2）＝4×2﹣＝①，或②．
解①得，0＜a≤，解②得，a≥1．
∴a的取值范围是（0，]∪[1，+∞）．
故答案为：（0，]∪[1，+∞）．
三、解答题（本大题共6小题，共60分，解答题影写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）计算下列定积分．
（1）
（2）设，则．
【解答】解：（1）＝（x+1）dx+（﹣x﹣1）dx，
＝（x2+x）﹣（x2+x），
＝2+2﹣+1﹣（﹣1﹣+3），
＝；
（2）设，
则＝x2dx+（2﹣x）dx，
＝x3+（2x﹣x2），
＝+（4﹣2）﹣（2﹣），
＝．
18．（12分）已知曲线y＝x3，
（1）求曲线在点P（2，f（2））处的切线方程；
（2）求曲线过点P（2，f（x））的切线方程．
【解答】解：（1）y＝x3，导数y′＝x2，
曲线在点P（2，f（2））处的切线斜率为4，
切点为（2，），
可得曲线在点P（2，f（2））处的切线方程为y﹣＝4（x﹣2），
12x﹣3y﹣16＝0；
（2）设过点P（2，）的直线与曲线相切，
切点坐标为（x0，x03），
所以切线的斜率为，
所以切线方程为，
因为切线过点P（2，），
所以，
解得x0＝2或x0＝﹣1，
当x0＝2时，切线方程为12x﹣3y﹣16＝0；
当x0＝﹣1时，切线方程为3y﹣3x﹣2＝0．
所以所求切线方程为12x﹣3y﹣16＝0或3x﹣3y+2＝0．
19．（12分）设函数f（x）＝lnx+ln（2﹣x）+ax（a＞0）．
（1）当a＝1时，求f（x）的单调区间．
（2）若f（x）在（0，1]上的最大值为，求a的值．
【解答】解：对函数求导得：，定义域为（0，2）
（1）当a＝1时，f′（x）＝﹣+1，
当f′（x）＞0，即0＜x＜时，f（x）为增函数；当f′（x）＜0，＜x＜2时，f（x）为减函数．
所以f（x）的单调增区间为（0，），单调减区间为（，2）
（2）函数f（x）＝lnx+ln（2﹣x）+ax（a＞0）．
因为a＞0，x∈（0，1]，所以＞0，所以函数为单调增函数，（0，1]为
单调递增区间．
最大值在右端点取到．
所以a＝．
20．（12分）某公司在甲、乙两地销售同一种品牌的汽车，利润（单位：万元）分别为L1＝5.06x﹣0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量（单位：辆）．若该公司在这两地共销售15辆车，求该公司能获得的最大利润为多少万元？
【解答】解：设甲地销售x辆，则乙地销售15﹣x辆，0≤x≤15，
则该公司能获得的最大利润y＝5.06x﹣0.15x2+2（15﹣x）＝﹣0.15x2+3.06x+30，
当x＝10.2时，S取最大值
又x必须是整数，故x＝10，此时S max＝45.6（万元）．
即甲地销售10辆，则乙地销售5辆时，该公司能获得的最大利润为45.6万元
21．（12分）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+c在x＝﹣1与x＝2处都取得极值．
（Ⅰ）求a，b的值及函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对x∈[﹣2，3]，不等式f（x）+c＜c2恒成立，求c的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝3x2+2ax+b，
由题意：即
解得
∴，f′（x）＝3x2﹣3x﹣6
令f′（x）＜0，解得﹣1＜x＜2；
令f′（x）＞0，解得x＜﹣1或x＞2，
∴f（x）的减区间为（﹣1，2）；增区间为（﹣∞，﹣1），（2，+∞）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递增；
在（﹣1，2）上单调递减；在（2，+∞）上单调递增．
∴x∈[﹣2，3]时，f（x）的最大值即为f（﹣1）与f（3）中的较大者.；
∴当x＝﹣1时，f（x）取得最大值．
要使，只需，即：2c2＞7+5c
解得：c＜﹣1或．
∴c的取值范围为．
22．（12分）已知a，b是实数，函数f（x）＝x3+ax，g（x）＝x2+bx，f′（x）和g′（x）是f（x），g（x）的导函数，若f′（x）g′（x）≥0在区间I上恒成立，则称f（x）和g （x）在区间I上单调性一致
（1）设a＞0，若函数f（x）和g（x）在区间[﹣1，+∞）上单调性一致，求实数b的取值范围；
（2）设a＜0，且a≠b，若函数f（x）和g（x）在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求|a﹣b|的最大值．
【解答】解：f′（x）＝3x2+a，g′（x）＝2x+b．
（1）由题得f′（x）g′（x）≥0在[﹣1，+∞）上恒成立．因为a＞0，故3x2+a＞0，
进而2x+b≥0，即b≥﹣2x在[﹣1，+∞）上恒成立，所以b≥2．
故实数b的取值范围是[2，+∞）
（2）令f′（x）＝0，得x＝．
若b＞0，由a＜0得0∈（a，b）．又因为f′（0）g′（0）＝ab＜0，
所以函数f（x）和g（x）在（a，b）上不是单调性一致的．
因此b≤0．
现设b≤0，当x∈（﹣∞，0）时，g′（x）＜0；
当x∈（﹣∝，﹣）时，f′（x）＞0．
因此，当x∈（﹣∝，﹣）时，f′（x）g′（x）＜0．故由题设得a≥﹣且b≥﹣
，
从而﹣≤a＜0，于是﹣＜b≤0，因此|a﹣b|≤，且当a＝﹣，b＝0时等号成立，
又当a＝﹣，b＝0时，f′（x）g′（x）＝6x（x2﹣），从而当x∈（﹣，0）时f′（x）g′（x）＞0．
故函数f（x）和g（x）在（﹣，0）上单调性一致，因此|a﹣b|的最大值为．。