高考文科数学(人教A版)(教学指导)等差数列及其前n项和

第2讲等差数列及其前n项和
一、知识梳理
1．等差数列与等差中项
(1)定义：
①文字语言：一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数；
②符号语言：a n＋1－a n＝d(n∈N*，d为常数)．
(2)等差中项：若三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a，b的等差中项．2．等差数列的通项公式与前n项和公式
(1)通项公式：a n＝a1＋(n－1)d．
(2)前n项和公式：S n＝na1＋n（n－1）
2d＝
n（a1＋a n）
2．
3．等差数列的性质
已知数列{a n}是等差数列，S n是其前n项和．
(1)通项公式的推广：a n＝a m＋(n－m)d(n，m∈N*)．
(2)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则a k＋a l＝a m＋a n．
(3)若{a n}的公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d．
(4)若{b n}是等差数列，则{pa n＋qb n}也是等差数列．
(5)数列S m，S2m－S m，S3m－S2m，…构成等差数列．
常用结论
1．等差数列与函数的关系
(1)通项公式：当公差d≠0时，等差数列的通项公式a n＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d是关于n的一次函数，且一次项系数为公差d.若公差d＞0，则为递增数列，若公差d＜0，则为递减数列．
(2)前n 项和：当公差d ≠0时，S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d
2n 是关于n 的二次函数且常数项为0.
2．两个常用结论
(1)关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质 ①若项数为2n ，则S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a n
a n ＋1
；
②若项数为2n －1，则S 偶＝(n －1)a n ，S 奇＝na n ，S 奇－S 偶＝a n ，S 奇S 偶＝n
n －1
.
(2)两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和S n ，T n 之间的关系为S 2n －1
T 2n －1＝a n b n . 二、习题改编
1．(必修5P38例1(1)改编)已知等差数列－8，－3，2，7，…，则该数列的第10项为 ．
答案：37
2．(必修5P46A 组T2改编)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝12，S 5＝90，则等差数列{a n }的公差d ＝ ．
答案：3
3．(必修5P39练习T2改编)某剧场有20排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有60个座位，则剧场总共的座位数为 ．
解析：设第n 排的座位数为a n (n ∈N *)，数列{a n }为等差数列，其公差d ＝2，则a n ＝a 1
＋(n －1)d ＝a 1＋2(n －1)．由已知a 20＝60，得60＝a 1＋2×(20－1)，解得a 1＝22，则剧场总共的座位数为20（a 1＋a 20）2＝20×（22＋60）
2
＝820.
答案：820
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数
列．( )
(2)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列．( )
(3)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数．( ) (4)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( ) (5)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( )
(6)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√ (6)× 二、易错纠偏
常见误区(1)等差数列概念中的两个易误点，即同一个常数与常数； (2)错用公式致误； (3)错用性质致误．
1．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋1
2(n ≥2)，则数列{a n }的前9项和等于 ．
解析：由a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，可知数列{a n }是首项为1，公差为1
2的等差数列，
故S 9＝9a 1＋9×（9－1）2×1
2
＝9＋18＝27.
答案：27
2．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为 ．
解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＋a 1＋4d ＝24，6a 1＋6×5
2d ＝48，
解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，
d ＝4，所以数列{a n }的公差为4. 答案：4
3．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8＝ ．
解析：由等差数列的性质，得a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝450，所以a 5＝90，所以a 2＋a 8＝2a 5＝180.
答案：180
等差数列的基本运算(师生共研)
(1)(2020·福州市质量检测)已知数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1.若数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1a n 为等差数列，
则a 9＝( )
A.1
2 B.54 C.45
D ．－45
(2)(2019·高考全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 4＝0，a 5＝5，则( ) A ．a n ＝2n －5 B ．a n ＝3n －10 C ．S n ＝2n 2－8n
D ．S n ＝1
2
n 2－2n
【解析】 (1)因为数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1a n 为等差数列，a 3＝2，a 7＝1，
所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的公差d ＝1a 7－1a 37－3＝1－127－3＝18，所以1a 9＝1a 7＋(9－7)×18＝54，所以a 9＝4
5，故
选C.
(2)法一：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，
因为⎩⎪⎨⎪⎧S 4＝0，a 5＝5，所以⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋4×32d ＝0，a 1＋4d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，
d ＝2，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3＋2(n －
1)＝2n －5，S n ＝na 1＋n （n －1）
2
d ＝n 2－4n .故选A.
法二：设等差数列{a n }的公差为d ，
因为⎩⎪⎨⎪⎧S 4＝0，a 5＝5，所以⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋4×32
d ＝0，a 1＋4d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，d ＝2.
选项A ，a 1＝2×1－5＝－3；
选项B ，a 1＝3×1－10＝－7，排除B ； 选项C ，S 1＝2－8＝－6，排除C ； 选项D ，S 1＝12－2＝－3
2，排除D.故选A.
【答案】 (1)C (2)A
等差数列的基本运算的解题策略
(1)等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想．
(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法．
1．(一题多解)(2020·惠州市第二次调研)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＋a 3
＋a 4＝15，a 7＝13，则S 5＝( )
A ．28
B ．25
C ．20
D ．18
解析：选B.法一：设等差数列{a n }的公差为d ，由已知得⎩⎪⎨
⎪⎧a 1＋d ＋a 1＋2d ＋a 1＋3d ＝15，a 1＋6d ＝13，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，
所以S 5＝5a 1＋5×42d ＝5×1＋5×4
2
×2＝25，故选B.
法二：由{a n }是等差数列，可得a 2＋a 4＝2a 3，所以a 3＝5，所以S 5＝5（a 1＋a 5）2＝
5×2a 32＝25，故选B.
2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝4，S 4＝22，a n ＝28，则n ＝( ) A ．3 B ．7 C ．9
D ．10
解析：选D.因为S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝4a 2＋2d ＝22，d ＝（22－4a 2）
2＝3，a 1＝a 2－d ＝4
－3＝1，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋3(n －1)＝3n －2，由3n －2＝28，得n ＝10.
等差数列的判定与证明(典例迁移)
已知数列{a n }中，a 1＝14，其前n 项和为S n ，且满足a n ＝2S 2n
2S n －1
(n ≥2)．
(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1S n 是等差数列；
(2)求数列{a n }的通项公式．
【解】 (1)证明：当n ≥2时，S n －S n －1＝2S 2n
2S n －1.
整理，得S n －1－S n ＝2S n S n －1. 两边同时除以S n S n －1，得1S n －1
S n －1
＝2.
又1S 1＝1a 1＝4，所以⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1S n 是以4为首项，以2为公差的等差数列． (2)由(1)可得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的通项公式为1S n ＝4＋(n －1)×2＝2n ＋2，所以S n ＝12（n ＋1）
.
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12（n ＋1）－1
2n ＝－12n （n ＋1）.
当n ＝1时，a 1＝1
4，不适合上式．
所以a n
＝⎩⎪⎨⎪
⎧1
4，n ＝1，－1
2n （n ＋1）
，n ≥2. 【迁移探究】 (变条件)本例的条件变为：a 1＝14，S n ＝S n －12S n －1＋1(n ≥2)，证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫
1S n 是等差
数列．
证明：因为S n ＝S n －1
2S n －1＋1，所以2S n －1S n ＋S n ＝S n －1，即S n －1－S n ＝2S n S n －1，故1S n －
1
S n －1＝2(n ≥2)，
又1S 1＝1a 1＝4，因此数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1S n 是首项为4，公差为2的等差数列．
等差数列的判定与证明的常用方法
(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数，n ∈N *)或a n －a n －1＝d (d 是常数，n ∈N *，n ≥2)⇔{a n }为等差数列．
(2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)⇔{a n }为等差数列．
(3)通项公式法：a n ＝an ＋b (a ，b 是常数，n ∈N *)⇔{a n }为等差数列． (4)前n 项和公式法：S n ＝an 2＋bn (a ，b 为常数)⇔{a n }为等差数列．
[提示] 若要判定一个数列不是等差数列，则只需找出三项a n ，a n ＋1，a n ＋2，使得这三项不满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2即可；但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．
1．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n a n ＋1，且b n ＝1
a n ，n ∈N *.求证：数列{
b n }为等差数
列．
证明：因为b n ＝1a n ，且a n ＋1＝a n a n ＋1，所以b n ＋1＝1a n ＋1
＝a n ＋1a n ＝1＋1
a n ＝1＋
b n ，故b n ＋1
－b n ＝1.又b 1＝1
a 1
＝1，
所以数列{b n }是以1为首项，1为公差的等差数列．
2．(2020·贵州省适应性考试)已知数列{a n }满足a 1＝1，且na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n 2＋2n . (1)求a 2，a 3的值；
(2)证明数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
a n n 是等差数列，并求{a n }的通项公式．
解：(1)由已知，得a 2－2a 1＝4， 则a 2＝2a 1＋4，又a 1＝1，所以a 2＝6. 由2a 3－3a 2＝12，
得2a 3＝12＋3a 2，所以a 3＝15. (2)由已知na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n (n ＋1)， 得
na n ＋1－（n ＋1）a n
n （n ＋1）
＝2，即a n ＋1n ＋1－a n
n
＝2，
所以数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a n n 是首项a 1
1＝1，公差d ＝2的等差数列．
则a n
n
＝1＋2(n －1)＝2n －1，所以a n ＝2n 2－n .
等差数列的性质及应用(多维探究) 角度一 等差数列项性质的应用
(1)(一题多解)在公差不为0的等差数列{a n }中，4a 3＋a 11－3a 5＝10，则1
5
a 4＝
( )
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．2
(2)一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，则该数列的公差d ＝ ．
【解析】 (1)通解：设数列{a n }的公差为d (d ≠0)，由4a 3＋a 11－3a 5＝10，得4(a 1＋2d )＋(a 1＋10d )－3(a 1＋4d )＝10，即2a 1＋6d ＝10，即a 1＋3d ＝5，故a 4＝5，所以1
5a 4＝1，故选
C.
优解一：设数列{a n }的公差为d (d ≠0)，因为a n ＝a m ＋(n －m )d ，所以由4a 3＋a 11－3a 5
＝10，得4(a 4－d )＋(a 4＋7d )－3(a 4＋d )＝10，整理得a 4＝5，所以1
5
a 4＝1，故选C.
优解二：由等差数列的性质，得2a 7＋3a 3－3a 5＝10，得4a 5＋a 3－3a 5＝10，即a 5＋a 3
＝10，则2a 4＝10，即a 4＝5，所以1
5
a 4＝1，故选C.
(2)设等差数列的前12项中奇数项的和为S 奇，偶数项的和为S 偶，公差为d .
由已知条件，得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝354，
S 偶∶S 奇＝32∶27，
解得⎩⎪⎨⎪⎧S 偶＝192，
S 奇＝162.
又S 偶－S 奇＝6d ，所以d ＝192－1626＝5.
【答案】 (1)C (2)5
角度二 等差数列前n 项和性质的应用
(1)已知等差数列{a n }的前10项和为30，它的前30项和为210，则前20项和
为( )
A ．100
B ．120
C ．390
D ．540
(2)在等差数列{a n }中，a 1＝－2 018，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 10
10＝2，则S 2 018的值等
于( )
A ．－2 018
B ．－2 016
C ．－2 019
D ．－2 017
【解析】 (1)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差数列， 所以2(S 20－S 10)＝S 10＋(S 30－S 20)，
又等差数列{a n }的前10项和为30，前30项和为210， 所以2(S 20－30)＝30＋(210－S 20)，解得S 20＝100.
(2)由题意知，数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫S n n 为等差数列，其公差为1，所以S 2 0182 018＝S 11＋(2 018－1)×1＝－2 018
＋2 017＝－1.
所以S 2 018＝－2 018. 【答案】 (1)A (2)A
角度三 等差数列的前n 项和的最值
(一题多解)(2020·广东省七校联考)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 6＋a 8
＝6，S 9－S 6＝3，则S n 取得最大值时n 的值为( )
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
【解析】 法一：设数列{a n }的公差为d ，则由题意得，⎩⎪⎨
⎪⎧a 1＋5d ＋a 1＋7d ＝6，
a 1＋6d ＋a 1＋7d ＋a 1＋8d ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝15，
d ＝－2.
所以a n ＝－2n ＋17，由于a 8＞0，a 9＜0，所以S n 取得最大值时n 的值是8，
故选D.
法二：设数列{a n }的公差为d ，则由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＋a 1＋7d ＝6，a 1＋6d ＋a 1＋7d ＋a 1＋8d ＝3，
解得
⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝15，
d ＝－2，
则S n ＝15n ＋n （n －1）2
×(－2)＝－(n －8)2＋64，所以当n ＝8时，S n 取得最大值，故选D.
(1)等差数列前n 项和的性质
在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则 ①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)； ②S 2n －1＝(2n －1)a n ；
③当项数为偶数2n 时，S 偶－S 奇＝nd ；项数为奇数2n －1时，S 奇－S 偶＝a 中，S 奇∶S
偶＝n ∶(n －1)．
(2)求数列前n 项和的最值的方法
①通项法：〈1〉若a 1＞0，d ＜0，则S n 必有最大值，其n 可用不等式组⎩⎨⎧a n ≥0，
a n ＋1
≤0来确定；
〈2〉若a 1＜0，d ＞0，则S n 必有最小值，其n 可用不等式组⎩
⎨⎧a n ≤0，
a n ＋1≥0来确定．
②二次函数法：等差数列{a n }中，由于S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d
2n ，故可用二次函数求最值的方法来求前n 项和的最值，这里应由n ∈N *及二次函数图象的对称性来确定n 的值．
③不等式组法：借助S n 最大时，有⎩
⎪⎨⎪⎧S n ≥S n －1，
S n ≥S n ＋1(n ≥2，n ∈N *)，解此不等式组确定n 的
范围，进而确定n 的值和对应S n 的值(即S n 的最值)．
1．(一题多解)(2020·福建省质量检查)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 8－a 5＝9，S 8
－S 5＝66，则a 33＝( )
A ．82
B ．97
C ．100
D ．115
解析：通解：设等差数列{a n }的公差为d ，则由⎩⎪⎨⎪⎧a 8－a 5＝9，
S 8－S 5＝66，得
⎩⎪⎨
⎪⎧（a 1＋7d ）－（a 1＋4d ）＝9，（8a 1＋28d ）－（5a 1＋10d ）＝66，解得⎩
⎪⎨⎪⎧d ＝3，
a 1＝4，所以a 33＝a 1＋32d ＝4＋32×3＝100，故选C.
优解：设等差数列{a n }的公差为d ，由a 8－a 5＝9，得3d ＝9，即d ＝3.由S 8－S 5＝66，得a 6＋a 7＋a 8＝66，结合等差数列的性质知3a 7＝66，即a 7＝22，所以a 33＝a 7＋(33－7)×d ＝22＋26×3＝100，故选C.
2．已知无穷等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 6＜S 7，且S 7＞S 8，则( ) A ．在数列{a n }中，a 1最大 B ．在数列{a n }中，a 3或a 4最大 C ．S 3＝S 10
D ．当n ≥8时，a n >0
解析：选A.由于S 6＜S 7，S 7＞S 8，所以S 7－S 6＝a 7＞0，S 8－S 7＝a 8＜0，所以数列{a n }是递减的等差数列，最大项为a 1，所以A 正确，B 错，D 错；S 10－S 3＝a 4＋a 5＋…＋a 10＝7a 7＞0，故C 错误．
3．两等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝7n ＋2n ＋3，则a 2＋a 20b 7＋b 15＝ ．
解析：因为数列{a n }和{b n }均为等差数列，所以a 2＋a 20b 7＋b 15＝a 1＋a 21b 1＋b 21＝（a 1＋a 21）×212（b 1＋b 21）×212
＝
S 21
T 21
＝7×21＋221＋3
＝14924.
答案：149
24
思想方法系列10 整体思想在等差数列中的应用
在等差数列{a n }中，其前n 项和为S n .已知S n ＝m ，S m ＝n (m ≠n )，则S m ＋n ＝ ．
【解析】 设数列{a n }的公差为d ， 则由S n ＝m ，S m ＝n ，
得⎩⎪⎨⎪⎧S n
＝na 1
＋n （n －1）
2d ＝m ，①S m
＝ma 1
＋m （m －1）
2d ＝n .②
②－①得(m －n )a 1＋（m －n ）（m ＋n －1）2·d ＝n －m .
因为m ≠n ，所以a 1＋m ＋n －1
2d ＝－1.
所以S m ＋n ＝(m ＋n )a 1＋（m ＋n ）（m ＋n －1）
2d
＝(m ＋n )⎝ ⎛
⎭⎪⎫a 1＋m ＋n －12d ＝－(m ＋n )．
【答案】 －(m ＋n )
从整体上认识问题、思考问题，常常能化繁为简、变难为易，同时又能培养学生思维的灵活性、敏捷性．整体思想的主要表现形式有：整体代入、整体加减、整体代换、整体联想、整体补形、整体改造等．在等差数列中，当要求的S n 所需要的条件未知或不易求出时，可以考虑整体代入．
(2020·石家庄市第一次模拟)已知函数f (x )的图象关于直线x ＝－1对称，
且f (x )在(－1，＋∞)上单调，若数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 50)＝f (a 51)，则数列{a n }的前100项的和为( )
A ．－200
B ．－100
C ．－50
D ．0
解析：选B.因为函数f (x )的图象关于直线x ＝－1对称，又函数f (x )在(－1，＋∞)上单调，数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 50)＝f (a 51)，所以a 50＋a 51＝－2，所以S 100＝100（a 1＋a 100）
2
＝50(a 50＋a 51)＝－100，故选B.
[基础题组练]
1．(2020·长春市质量监测(二))等差数列{a n }中，S n 是它的前n 项和，a 2＋a 3＝10，S 6＝54，则该数列的公差d 为( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．6
解析：选C.由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＋a 1＋2d ＝10，6a 1＋6×5
2d ＝54，
解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝4，故选C. 2．(2020·重庆市七校联合考试)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＝55，S 3＝3，则a 5等于( )
A ．5
B ．6
C ．7
D ．9
解析：选C.设数列{a n }的公差为d ，因为数列{a n }是等差数列，所以a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋
a 11＝5a 7＝55，所以a 7＝11，又S 3＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 7＝a 1＋6d ＝11，S 3＝3a 1＋3d ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，
d ＝2，
所以a 5＝7.
故选C.
3．已知数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2，若a k ·a k ＋1<0，则正整数k ＝( ) A ．21 B ．22 C ．23
D ．24
解析：选C.3a n ＋1＝3a n －2⇒a n ＋1＝a n －23⇒{a n }是等差数列，则a n ＝473－2
3
n .因为a k ·a k ＋
1<0，所以
⎝⎛⎭⎫473－23k ⎝⎛⎭⎫453－23k <0，所以452<k <472
，所以k ＝23.
4．(2020·辽宁丹东质量测试(一))我国明代伟大数学家程大位在《算法统宗》中常以诗歌的形式呈现数学问题，其中有一首“竹筒容米”：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节三升九，上梢四节贮三升，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明．”意思是：九节竹的盛米容积成等差数列，其中的“三升九”指3.9升，则九节竹的中间一节的盛米容积为( )
A ．0.9升
B ．1升
C ．1.1升
D ．2.1升
解析：选 B.设竹筒从下到上的盛米量分别为a 1，a 2，…，a 9，依题意得
⎩⎪⎨
⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝3.9，a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝3，故⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1.3，
a 7＋a 8＝1.5，
即a 2＋5d ＋a 2＋6d ＝2a 2＋11d ＝2.6＋11d ＝1.5，解得d ＝－0.1，故a 5＝a 2＋3d ＝1.3－0.3＝1升．故选B.
5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a 2＝2，且对于任意n ＞1，n ∈N *，满足S n ＋1
＋S n －1＝2(S n ＋1)，则( )
A ．a 9＝17
B ．a 10＝18
C ．S 9＝81
D ．S 10＝90
解析：选B.因为对于任意n ＞1，n ∈N *，满足S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋1)， 所以S n ＋1－S n ＝S n －S n －1＋2，所以a n ＋1－a n ＝2.
所以数列{a n }在n ≥2时是等差数列，公差为2.又a 1＝1，a 2＝2，
则a 9＝2＋7×2＝16，a 10＝2＋8×2＝18，S 9＝1＋8×2＋8×7
2×2＝73，S 10＝1＋9×2＋
9×8
2
×2＝91.故选B. 6．(2019·高考全国卷Ⅲ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 3＝5，a 7＝13，则S 10
＝ ．
解析：通解：设等差数列{a n }的公差为d ，则由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝5，a 1＋6d ＝13，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，
所
以S 10＝10×1＋10×9
2
×2＝100.
优解：由题意，得公差d ＝1
4(a 7－a 3)＝2，所以a 4＝a 3＋d ＝7，所以S 10＝10（a 1＋a 10）2＝
5(a 4＋a 7)＝100.
答案：100
7．(2020·武昌区调研考试)设{a n }是公差不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，已知S 1，S 2，S 4成等比数列，且a 3＝5，则数列{a n }的通项公式为 ．
解析：设数列{a n }的公差为d (d ≠0)，因为{a n }是等差数列，S 1，S 2，S 4成等比数列，所以(a 1＋a 2)2＝a 1(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)，因为a 3＝5，所以(5－2d ＋5－d )2＝(5－2d )(5－2d ＋15)，解
得d ＝2或d ＝0(舍去)，所以5＝a 1＋(3－1)×2，即a 1＝1，所以a n ＝2n －1.
答案：a n ＝2n －1
8．(2020·福建龙岩期末改编)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋a n ＋1＝2n ＋1(n ∈N *)，则a 20的值为 ，S 21的值为 ．
解析：将n ＝1代入a n ＋a n ＋1＝2n ＋1中得a 2＝3－1＝2. 由a n ＋a n ＋1＝2n ＋1①，得a n ＋1＋a n ＋2＝2n ＋3②.
②－①，得a n ＋2－a n ＝2，所以数列{a n }的奇数项、偶数项都是以2为公差的等差数列， 则a 21＝1＋10×2＝21，a 20＝2＋9×2＝20，所以S 21＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 21)＋(a 2＋a 4
＋a 6＋…＋a 20)＝（1＋21）×112＋（2＋20）×102
＝231.
答案：20 231
9．(2019·高考全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 9＝－a 5. (1)若a 3＝4，求{a n }的通项公式；
(2)若a 1＞0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围． 解：(1)设{a n }的公差为d ， 由S 9＝－a 5得a 1＋4d ＝0， 由a 3＝4得a 1＋2d ＝4， 于是a 1＝8，d ＝－2.
因此{a n }的通项公式为a n ＝10－2n .
(2)由(1)得a 1＝－4d ，故a n ＝(n －5)d ，S n ＝n （n －9）d
2
.
由a 1>0知d <0，故S n ≥a n 等价于n 2－11n ＋10≤0，解得1≤n ≤10. 所以n 的取值范围是{n |1≤n ≤10，n ∈N }．
10．已知等差数列的前三项依次为a ，4，3a ，前n 项和为S n ，且S k ＝110. (1)求a 及k 的值；
(2)已知数列{b n }满足b n ＝S n
n
，证明数列{b n }是等差数列，并求其前n 项和T n .
解：(1)设该等差数列为{a n }，则a 1＝a ，a 2＝4，a 3＝3a ， 由已知有a ＋3a ＝8，得a 1＝a ＝2，公差d ＝4－2＝2， 所以S k ＝ka 1＋k （k －1）2·d ＝2k ＋k （k －1）
2×2＝k 2＋k .
由S k ＝110，得k 2＋k －110＝0，
解得k ＝10或k ＝－11(舍去)，故a ＝2，k ＝10. (2)由(1)得S n ＝n （2＋2n ）
2
＝n (n ＋1)，
则b n ＝S n
n ＝n ＋1，
故b n ＋1－b n ＝(n ＋2)－(n ＋1)＝1，
即数列{b n }是首项为2，公差为1的等差数列， 所以T n ＝n （2＋n ＋1）2＝n （n ＋3）
2
.
[综合题组练]
1．(2020·广东揭阳期末改编)已知数列{a n }满足a 1＝－19，a n ＋1＝a n
8a n ＋1(n ∈N *)，则a n
＝ ，数列{a n }中最大项的值为 ．
解析：由题意知a n ≠0，由a n ＋1＝a n 8a n ＋1得1a n ＋1＝8a n ＋1a n ＝1a n ＋8，整理得1a n ＋1－1
a n
＝8，
即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是公差为8的等差数列，故1a n ＝1a 1＋(n －1)×8＝8n －17，所以a n ＝1
8n －17
.当n ＝
1，2时，a n ＜0；当n ≥3时，a n ＞0，则数列{a n }在n ≥3时是递减数列，故{a n }中最大项的值为a 3＝1
7
.
答案：
18n －17 1
7
2．(创新型)(2020·安徽省淮南模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n
S 2n
为常数，则称数
列{a n }为“精致数列”．已知等差数列{b n }的首项为1，公差不为0，若数列{b n }为“精致数列”，则数列{b n }的通项公式为 ．
解析：设等差数列{b n }的公差为d ，由
S n S 2n 为常数，设S n S 2n ＝k 且b 1＝1，得n ＋1
2
n (n －1)d
＝k ⎣⎡⎦
⎤2n ＋1
2×2n （2n －1）d ，即2＋(n －1)d ＝4k ＋2k (2n －1)d ，整理得(4k －1)dn ＋(2k －1)(2－d )＝0.因为对任意正整数n ，上式恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧d （4k －1）＝0，（2k －1）（2－d ）＝0，
解得d ＝2，k ＝14
，
所以数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －1(n ∈N *)．
答案：b n ＝2n －1(n ∈N *)
3．已知数列{a n }满足：a 3＝－13，a n ＝a n －1＋4(n ＞1，n ∈N *)． (1)求a 1，a 2及通项公式a n ；
(2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，则数列S 1，S 2，S 3，…中哪一项最小？ 解：(1)因为数列{a n }满足a 3＝－13，a n ＝a n －1＋4， 所以a n －a n －1＝4，
即数列{a n }为等差数列且公差d ＝4， 所以a 2＝a 3－d ＝－13－4＝－17， a 1＝a 2－d ＝－17－4＝－21，
所以通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－21＋4(n －1)＝4n －25. (2)令a n ＝4n －25≥0可解得n ≥25
4
，
所以数列{a n }的前6项为负值，从第7项开始为正数， 所以数列S 1，S 2，S 3，…中S 6最小．
4．(2020·广东广州天河二模)已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且a 1＜2，a n ＞0，6S n ＝a 2n
＋3a n ＋2，n ∈N *.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若∀n ∈N *，b n ＝(－1)n a 2n ，求数列{b n }的前2n 项的和T 2n . 解：(1)当n ＝1时，6a 1＝a 21＋3a 1＋2，且a 1＜2，解得a 1＝1.
当n ≥2时，6a n ＝6S n －6S n －1＝a 2n ＋3a n ＋2－(a 2n －1＋3a n －1＋2)．
化简得(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－3)＝0， 因为a n ＞0，所以a n －a n －1＝3，
所以数列{a n }是首项为1，公差为3的等差数列， 所以a n ＝1＋3(n －1)＝3n －2.
(2)b n ＝(－1)n a 2n ＝(－1)n (3n －2)2.
所以b 2n －1＋b 2n ＝－(6n －5)2＋(6n －2)2＝36n －21. 所以数列{b n }的前2n 项的和
T 2n ＝36(1＋2＋…＋n )－21n ＝36×n （n ＋1）
2
－21n ＝18n 2－3n .。