2022人教版数学《一元二次方程根的判别式 参考教案》配套教案(精选)

一：教学目标：
1.感悟一元二次方程的根的判别式的产生过程。

2.能运用根的判别式判别方程根的情况和有关的推理论证。

3.会运用根的判别式求一元二次方程中系数的范围。

二：重点和难点
重点:用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等；
难点:弄懂为什么可以用判别式判别一元二次方程根的情况；突破难点的关键在于结合平方根的性质理解求根公式。

三：教学准备
教具准备：多媒体课件。

学生准备：复习一元二次方程的解法，预习本节内容。

〖教学流程〗
一、创设情境，提出问题
1.先用公式法解下列方程：
（1） x2+4＝4x
（2） x2+2x＝3
（3） x2－x＋2＝0
然后回答下列问题：你在求解过程中遇到什么问题？你是怎样处理所遇到的问题的？（待学生做完后，教师点评。

（1）x1 = x2 = 2 ；（2）x 1 = 1 ，x2= -3 ；（3）无实数根。

）
2、发现问题
观察上面三个方程的根的情况，你有什么发现？
（学生观察得出：三个方程的根的情况是不同的，其中（1）有两个相等的实数根，（2）有两个不相等的实数根，（3）没有实数根）
3、提出问题
教师引导学生思考上述方程根的情况不同的原因，尝试提出下列问题：
一般的，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，何时有两个相等的实数根？何时有两个不相等的实数根？它何时没有实数根？（板书课题，出示学习目标）
二、探究新知
1、一元二次方程的根的判别式
活动1 学生自学，初步感悟
请学生带着下面的问题，自学第142页至143页例1，并注意分类讨论的思想方法的使用。

一般的，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，
它何时有两个相等的实数根？
何时有两个不相等的实数根？
何时没有实数根？
为什么说方程根的情况是由b2-4ac 决定的？
教师巡视，并注意收集问题，为下一步集中释疑做准备。

活动2 合作交流，深入探究
请学生结合自己的理解，就上述问题的答案在小组内进行讨论、探究，然后教师组织全班进行交流，关键让学生讲清每个结论的理由。

活动3 师生合作，归纳提升（屏幕显示）：
由上面的讨论可见，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况由b2-4ac来决定。

因此，我们把b2-4ac 叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式。

通常用符号“Δ”（希腊字母）来表示，读做“得尔塔”，即Δ=b2-4ac。

2、一元二次方程的根的判别方法
思考：你能说出一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根的情况具体有哪几种，又是如何判别的吗？ 学生思考，师生共同得出：
结论1 一般的，一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)
当Δ＞0时，有两个不相等的实数根；
当Δ＝0时，有两个相等的实数根；
当Δ＜0时，没有实数根。

这个结论告诉我们，只要算出一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根的判别式的值，就可以由它的符号
直接判别方程根的情况。

活动4 应用迁移，发展能力
例1.不解方程,判别下列方程的根的情况
⑴ 3x 2－x ＋1 = 3x ⑵ 5（x 2＋1）= 7x
⑶ x 2－4x = －4
本例先让学生思考，分析解题思路，然后请学生口述第（1）小题的解法，教师板书，以进一步明确思路，强调解题方法及格式。

请学生回顾上面的解题过程，总结判别一元二次方程的根的情况的步骤：
一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根的判别式Δ=b 2-4ac 是针对一般形式而言的，所以，不解方程，
判别一元二次方程的根的情况的一般步骤为：
一化（将一元二次方程化为一般形式）；
二算（确定a 、b 、c 的值，算出Δ的值）；
三判断（根据结论1判别方程根的情况）。

（2）、（3）小题由学生完成，教师巡视。

待学生做完后，教师请一名学生向大家公布自己的解题结果，教师及时点评。

活动5 逆向思考，拓展延伸
上面的结论1中共有三个命题，你能分别说出它们的逆命题吗？（屏幕显示结论1）
学生思考、交流并回答，教师指出：这三个命题也是真命题，从而得到：
结论2 对于一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)，
当方程有两个不相等的实数根时，Δ＞0；
当方程有两个相等的实数根时，Δ＝0；
当方程没有实数根时，Δ＜0。

（将结论2与结论1放在同一幅幻灯片内展示，以便学生能更清楚地认识到二者的区别与联系）
例题2 已知关于x 的方程x 2－3x + k = 0，问k 取何值时，这个方程有两个相等的实数根?
学生思考、分析，并与同伴交流与讨论，其间，教师可以参与学生的讨论，然后请同学说出自己的想法，教师视情况进行点拨：这道题中已知的是什么条件？要得出怎样的结论？应该使用结论1还是结论2？
师生共同得到正确的思路，解题过程由学生自行完成后，教师展示参考答案，并再次强调解题根据为结论2。

解：∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ= 0，
即 (－3)2－ 4k = 0, 解得k=4
9， ∴ k=4
9时，方程有两个相等的实数根。

变式：已知关于x 的方程x 2－3x + k = 0，问k 取何值时，这个方程有两个实数根?
学生思考、分析，并与同伴交流与讨论，师生共同得到正确解题思路。

解：∵方程有两个实数根，
∴Δ≥0，
即 (－3)2－ 4k ≥ 0, 解得k ≤4
9， ∴ k ≤4
9时，方程有两个相等的实数根。

三、拓展延伸
例4.设关于x 的方程,x2-2mx-2m-4=0证明:不论m 为何值,这个方程总有两个不相等的实数根.
四、当堂达标
x 2-2x+1=0的根的判别式的值为______ ,所以方程根的情况是_______________.
x 2-ax+1=0的两实根相等，则a 的值是（ ）
=0 B.a =2或a =-2 C.a =2 D.a =2或a =0
3. 不解方程，判别下列方程根的情况：
（1）x(x +1)=3 .（2）2x 2-9x+6=0
4、已知方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)中，a 和c 异号，试证明：此方程必有两个不相等的实数根。

（说明：当堂检测中的1、2两题，让学生思考、计算后抢答，并说明理由，第3题中的两小题请两位同学到黑板前板演，待学生都做齐后由学生讲评。

）
四、小结与评价
1、通过本节课的学习，你有哪些收获？
本节课的主要内容：
（1）、一元二次方程根的判别式的意义；
（2）、由根的判别式的符号判断一元二次方程根的情况（即结论1）；
（3）、由一元二次方程根的情况判断根的判别式的符号（即结论2）。

五、作业设计
必做题：第1,3题；
选做题：5题.
板书设计
第12345、能够按要求做出简单的平面图形的轴对称图形，初步体会从对称的角度欣赏设计简单的轴对称图案. 重点：掌握线段的垂直平分线、角的平分线的性质、等腰三角形的性质及应用.
难点：轴对称图形以及关于某条直线成轴对称的概念，等腰三角形的性质应用
复习过程：
【课前准备】
如何画一个图形关于某条直线对称的图形？
【课内探究】
知识点整理：
1、如果一个图形沿着某条直线折叠
．．后，直线两旁的部分能够互相重合
．．，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做这个图形的对称轴.
轴对称图形是—个具有特殊性质的图形.
常见的轴对称图形有：线段、角、等腰三角形、等边三角形、矩形、菱形、
正方形、等腰梯形、正n边形、圆形.
2、把一个图形沿着某条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线就是它们的对称轴.
而两个图形中的各自的相对应点叫做关于这条直线的对称点.
(1)轴对称是指两个图形之间的位置关系；
(2)关于某条直线对称的两个图形是互相重合的；
如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点所连的线段的垂直平分线.
牛刀小试：下面几种图形，一定是轴对称图形的是（）
3、有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
巩固训练：(1)已知△ABC中，AB = AC，其周长为18cm，AB = 5cm，则BC = .
(2)已知等腰三角形的腰长为4cm，底边长为6cm，则它的周长为 .
(3)已知等腰三角形的两边长分别为6cm、3cm，则它的周长是 .
(4)已知等腰三角形一边长为3，另一边为5，则它的周长是 .
4、线段垂直平分线、角平分线、等腰三角形的性质：
①等腰三角形的两个底角相等；
②等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合；(三线合一)
③等腰三角形是轴对称图形，
它的对称轴是顶角平分线（或底边上的高或底边上的中线）所在的直线.
巩固训练：(1) 已知△ABC中，AB = AC，∠C = 50°，则∠B = .
(2) △ABC中，AB = AC，若AD⊥BC于D，则∠1 ∠2，BD CD.
(3) 已知等腰三角形的一个底角为45°，则它的顶角为 .
(4) 已知等腰三角形的一个角是70°，则其余两个角的度数是 .
(5) 已知等腰三角形的一个角是120°，则其余两个角的度数是 .
思考：本章的作图有哪几种类型？
1、什么叫轴对称图形？
2、什么叫做两个图形关于某一条直线成轴对称？
3、“轴对称图形”与“两个图形关于某一条直线成轴对称”有什么区别？
4、什么叫做线段的垂直平分线？线段的垂直平分线有什么性质？如何用尺规作出线段的垂直平分线？
5、角的平分线具有什么性质？如何做角平分线？
6、等腰三角形有哪些性质？等边三角形呢？已知哪些条件，可以用尺规做出等腰三角形？
7、如果两个图形关于某直线对称，那么这两个图形具有什么性质？
D
B C （1）作线段的垂直平分线；（2）作角的平分线；
（3）作等腰三角形；（4）作对称点.
【巩固提升】
1、已知A （-1，1），在y 轴上找一点P,使△AOP 是等腰三角形.这样的P 点可能有几个？
2、已知Rt △ABC 中，∠C=90°，DE 垂直平分AB
(1)若∠CAD=20°，则∠B=____°(2)若AC=4,BC=5,则△ACD 的周长为______.
(3) 若∠B=30°，则∠CAD=____°图中共有几组相等的线段？为什么？
【课堂小结】
通过今天的学习，你对本章又增加了哪些新的认识？
【达标检测】
1、下列图形中一定是轴对称的图形是（ ）.
A 、梯形
B 、直角三角形
C 、角
D 、平行四边形
2、等腰三角形的一个内角是50°，则另外两个角的度数分别是（ ）.
A 、65° 65°
B 、50°80°
C 、65°65°或50°80°
D 、50° 50°
3、如果等腰三角形的两边长是6和3，那么它的周长是（ ）.
A 、9
B 、12
C 、12或 15
D 、15
4、到三角形的三个顶点距离相等的点是（ ）.
A 、三条角平分线的交点
B 、三条中线的交点
C 、三条高的交点
D 、三条边的垂直平分线的交点。