数学新教材高一下人教A版必修第二册6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示
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由M→P＝12M→N得xy＋－23＝＝12－，4，解得xy＝＝－－321，，故 P－1，－23.
题型二 向量平行(共线)的判定
【例 2】 已知 A，B，C 三点的坐标分别为(－1，0)，(3，－1)，(1，2)，且A→E＝
13A→C，B→F＝13B→C，求证：E→F∥A→B. 证明 设E(x1，y1)，F(x2，y2). 由题意知A→C＝(2，2)，B→C＝(－2，3)，A→B＝(4，－1)，
4.已知a＝(－6，2)，b＝(m，－3)，且a∥b，则m＝____9____.
解析 ∵a＝(－6，2)，b＝(m，－3)，且a∥b， ∴－6×(－3)－2m＝0，则m＝9.
2
课堂互动
题型剖析
题型一 向量的坐标运算
【例 1】 已知 a＝(－1，2)，b＝(2，1)，求：
(1)2a＋3b；(2)a－3b；(3)12a－13b. 解 (1)2a＋3b＝2(－1，2)＋3(2，1) ＝(－2，4)＋(6，3)＝(4，7). (2)a－3b＝(－1，2)－＝3(2－，121，) 1－23，13＝－67，32. ＝(－1，2)－(6，3)＝(－7，－1). (3)12a－13b＝12(－1，2)－13(2，1)
＝－12，1－23，13＝－67，32.
思维升华
向量的坐标运算主要是利用加、减运算法则及数乘运算进行，解题时要注意方 程思想的运用及正确使用运算法则.
【训练 1】 (1)已知向量 a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，若 c 满足 3a－2b＋c＝0，
则 c＝( A )
A.(－23，－12)
B.(23，12)
A.(－2，－2) B.(2，2)
C.(1，1)
D.(－1，－1)
解析 ∵A→B＝(2，4)，A→C＝(0，2)，
∴12B→C＝21(A→C－A→B)＝12[(0，2)－(2，4)]＝(－1，－1).
3.已知P(2，6)，Q(－4，0)，则PQ的中点坐标为_(_－__1_，__3_) . 解析 根据中点坐标公式可得，PQ的中点坐标为(－1，3).
C.(7，0)
D.(－7，0)
(2)已知 M(3，－2)，N(－5，－1)，M→P＝12M→N，则 P 点坐标为__－__1_，__－__32___. 解析 (1)由3a－2b＋c＝0，
∴c＝－3a＋2b＝－3(5，2)＋2(－4，－3)＝(－23，－12)，
∴c＝(－23，－12). (2)设 P(x，y)，∴M→P＝(x－3，y＋2)，M→N＝(－8，1)，
思维升华
向量共线的判定方法 (1)利用向量共线定理，由a＝λb(b≠0)推出a∥b. (2)利用向量共线的坐标表示，由x1y2－x2y1＝0(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))直接判 断a与b是否平行.
【训练 2】 已知 A(－1，－1)，B(1，3)，C(1，5)，D(2，7)，向量A→B与C→D平行 吗？直线 AB 平行于直线 CD 吗？ 解 因为A→B＝(2，4)，C→D＝(1，2)，
2.平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a，b共线的充要条件是存在实数λ，使 a＝λb. 如果用坐标表示，可写为a∥b⇔(x1，y1)＝λ(x2，y2)， 消去λ，得x1y2－x2y1＝0，即向量a，b(b≠0)共线的充要条件是_x_1_y_2_－__x_2y_1_＝__0_.
解析 A→B＝O→B－O→A＝(1－k，2k－2)，A→C＝O→C－O→A＝(1－2k，－3).由题意可
知A→B∥A→C， 所以(－3)×(1－k)－(2k－2)(1－2k)＝0，解得 k＝－41或 k＝1. 当 k＝1 时，A，B 重合，故舍去.因此 k＝－41.
课堂小结
1.对于向量 a＝(x，y)，λ∈R，则 λa＝(λx，λy). 2.对两个向量共线的正确理解.已知 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).
又因为2×2－4×1＝0， 所以A→B∥C→D， 因为A→C＝(2，6)，A→B＝(2，4)， 所以2×4－2×6≠0， 所以A，B，C三点不共线，所以直线AB与直线CD不重合，所以AB∥CD.
题型三 利用向量共线求参数
【例 3】 (1)已知向量 a＝(2，3)，b＝(－1，2)，若 ma＋4b 与 a－2b 共线，则 m
思维升华
根据向量共线条件求参数问题，一般有两种思路.一是利用向量共线定理a＝ λb(b≠0)，列方程组求解.
【训练 3】 已知O→A＝(k，2)，O→B＝(1，2k)，O→C＝(1－k，－1)，且相异三点 A， B，C 共线，则实数 k＝__－__14____.
∴A→E＝13A→C＝23，23，B→F＝31B→C＝－23，1， ∴(x1，y1)－(－1，0)＝23，23， (x2，y2)－(3，－1)＝－23，1，
∴(x1，y1)＝－13，32，(x2，y2)＝73，0， ∴E→F＝(x2，y2)－(x1，y1)＝83，－32. ∵4×－23－(－1)×83＝0， ∴E→F∥A→B.
3.中点坐标公式 若 P1，P2 的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，线段 P1P2 的中点 P 的坐标为(x，y)，则xy＝＝yx11＋＋22 yx22，，
此公式为线段 P1P2 的中点坐标公式.
1.思考辨析，判断正误 (1)若向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且 a∥b，则xy11＝xy22.( × ) (2)若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且x1y1－x2y2＝0，则a∥b.( × )
的值为( D )
A.12
B.2
C.－12
D.－2
解析 由题意，得ma＋4b＝m(2，3)＋4(－1，2)＝(2m－4，3m＋8)，
a－2b＝(2，3)－2(－1，2)＝(4，－1).
由于ma＋4b与a－2b共线，
∴(2m－4)×(－1)－4(3m＋8)＝0，
解得m＝－2.
(2)若向量a＝(1，1)，b＝(x，1)，u＝a＋2b，v＝2a－b. ①若u＝3v，求x. ②若u∥v，求x，并判断u与v是同向还是反向. 解 因为a＝(1，1)，b＝(x，1)， 所以u＝(1，1)＋2(x，1)＝(1，1)＋(2x，2)＝(2x＋1，3)； v＝2(1，1)－(x，1)＝(2－x，1). ①u＝3v⇔(2x＋1，3)＝3(2－x，1)⇔(2x＋1，3)＝(6－3x，3)⇔2x＋1＝6－3x. 解得x＝1. ②u∥v⇔(2x＋1)×1－3(2－x)＝0.解得x＝1. 所以u＝(3，3)，v＝(1，1)，u＝3v.所以u与v同向.
(1)a∥b(b≠0)⇒a＝λb，这是几何运算，体现了向量 a 与 b 的长度及方向之间的 关系. (2)x1y2－x2y1＝0，这是代数运算，用它解决向量共线的优点是不需要引入参数 “λ”，从而使问题的解决具有代数化、程序化的特点. 当 x2y2≠0 时，a∥b，则xx12＝yy12.
第六章
6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示
课标要求
掌握数乘向量的坐标运算法则，理解用坐标表示平面向量共线的条件， 掌握三点共线的判断方法.
素养要求
通过数乘向量的坐标运算，理解平面向量共线的坐标表示情势，体会 数学运算及数学抽象素养.
1
课前预习
知识探究
1.平面向量数乘的坐标运算
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘本来向量的相应坐标. 坐标表示：a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝__(_λ_x_，__λ_y_) _.
(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且x1y2≠x2y1，则a与b不共线.( √ ) (4)若 A，B，C 三点共线，则向量A→B，B→C，C→A都是共线向量.( √ ) 提示 (1)当y1y2＝0时不成立.
(2)两向量共线的坐标表示为x1y2－x2y1＝0.
2.已知向量A→B＝(2，4)，A→C＝(0，2)，则12B→C等于( D )
题型二 向量平行(共线)的判定
【例 2】 已知 A，B，C 三点的坐标分别为(－1，0)，(3，－1)，(1，2)，且A→E＝
13A→C，B→F＝13B→C，求证：E→F∥A→B. 证明 设E(x1，y1)，F(x2，y2). 由题意知A→C＝(2，2)，B→C＝(－2，3)，A→B＝(4，－1)，
4.已知a＝(－6，2)，b＝(m，－3)，且a∥b，则m＝____9____.
解析 ∵a＝(－6，2)，b＝(m，－3)，且a∥b， ∴－6×(－3)－2m＝0，则m＝9.
2
课堂互动
题型剖析
题型一 向量的坐标运算
【例 1】 已知 a＝(－1，2)，b＝(2，1)，求：
(1)2a＋3b；(2)a－3b；(3)12a－13b. 解 (1)2a＋3b＝2(－1，2)＋3(2，1) ＝(－2，4)＋(6，3)＝(4，7). (2)a－3b＝(－1，2)－＝3(2－，121，) 1－23，13＝－67，32. ＝(－1，2)－(6，3)＝(－7，－1). (3)12a－13b＝12(－1，2)－13(2，1)
＝－12，1－23，13＝－67，32.
思维升华
向量的坐标运算主要是利用加、减运算法则及数乘运算进行，解题时要注意方 程思想的运用及正确使用运算法则.
【训练 1】 (1)已知向量 a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，若 c 满足 3a－2b＋c＝0，
则 c＝( A )
A.(－23，－12)
B.(23，12)
A.(－2，－2) B.(2，2)
C.(1，1)
D.(－1，－1)
解析 ∵A→B＝(2，4)，A→C＝(0，2)，
∴12B→C＝21(A→C－A→B)＝12[(0，2)－(2，4)]＝(－1，－1).
3.已知P(2，6)，Q(－4，0)，则PQ的中点坐标为_(_－__1_，__3_) . 解析 根据中点坐标公式可得，PQ的中点坐标为(－1，3).
C.(7，0)
D.(－7，0)
(2)已知 M(3，－2)，N(－5，－1)，M→P＝12M→N，则 P 点坐标为__－__1_，__－__32___. 解析 (1)由3a－2b＋c＝0，
∴c＝－3a＋2b＝－3(5，2)＋2(－4，－3)＝(－23，－12)，
∴c＝(－23，－12). (2)设 P(x，y)，∴M→P＝(x－3，y＋2)，M→N＝(－8，1)，
思维升华
向量共线的判定方法 (1)利用向量共线定理，由a＝λb(b≠0)推出a∥b. (2)利用向量共线的坐标表示，由x1y2－x2y1＝0(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))直接判 断a与b是否平行.
【训练 2】 已知 A(－1，－1)，B(1，3)，C(1，5)，D(2，7)，向量A→B与C→D平行 吗？直线 AB 平行于直线 CD 吗？ 解 因为A→B＝(2，4)，C→D＝(1，2)，
2.平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a，b共线的充要条件是存在实数λ，使 a＝λb. 如果用坐标表示，可写为a∥b⇔(x1，y1)＝λ(x2，y2)， 消去λ，得x1y2－x2y1＝0，即向量a，b(b≠0)共线的充要条件是_x_1_y_2_－__x_2y_1_＝__0_.
解析 A→B＝O→B－O→A＝(1－k，2k－2)，A→C＝O→C－O→A＝(1－2k，－3).由题意可
知A→B∥A→C， 所以(－3)×(1－k)－(2k－2)(1－2k)＝0，解得 k＝－41或 k＝1. 当 k＝1 时，A，B 重合，故舍去.因此 k＝－41.
课堂小结
1.对于向量 a＝(x，y)，λ∈R，则 λa＝(λx，λy). 2.对两个向量共线的正确理解.已知 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).
又因为2×2－4×1＝0， 所以A→B∥C→D， 因为A→C＝(2，6)，A→B＝(2，4)， 所以2×4－2×6≠0， 所以A，B，C三点不共线，所以直线AB与直线CD不重合，所以AB∥CD.
题型三 利用向量共线求参数
【例 3】 (1)已知向量 a＝(2，3)，b＝(－1，2)，若 ma＋4b 与 a－2b 共线，则 m
思维升华
根据向量共线条件求参数问题，一般有两种思路.一是利用向量共线定理a＝ λb(b≠0)，列方程组求解.
【训练 3】 已知O→A＝(k，2)，O→B＝(1，2k)，O→C＝(1－k，－1)，且相异三点 A， B，C 共线，则实数 k＝__－__14____.
∴A→E＝13A→C＝23，23，B→F＝31B→C＝－23，1， ∴(x1，y1)－(－1，0)＝23，23， (x2，y2)－(3，－1)＝－23，1，
∴(x1，y1)＝－13，32，(x2，y2)＝73，0， ∴E→F＝(x2，y2)－(x1，y1)＝83，－32. ∵4×－23－(－1)×83＝0， ∴E→F∥A→B.
3.中点坐标公式 若 P1，P2 的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，线段 P1P2 的中点 P 的坐标为(x，y)，则xy＝＝yx11＋＋22 yx22，，
此公式为线段 P1P2 的中点坐标公式.
1.思考辨析，判断正误 (1)若向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且 a∥b，则xy11＝xy22.( × ) (2)若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且x1y1－x2y2＝0，则a∥b.( × )
的值为( D )
A.12
B.2
C.－12
D.－2
解析 由题意，得ma＋4b＝m(2，3)＋4(－1，2)＝(2m－4，3m＋8)，
a－2b＝(2，3)－2(－1，2)＝(4，－1).
由于ma＋4b与a－2b共线，
∴(2m－4)×(－1)－4(3m＋8)＝0，
解得m＝－2.
(2)若向量a＝(1，1)，b＝(x，1)，u＝a＋2b，v＝2a－b. ①若u＝3v，求x. ②若u∥v，求x，并判断u与v是同向还是反向. 解 因为a＝(1，1)，b＝(x，1)， 所以u＝(1，1)＋2(x，1)＝(1，1)＋(2x，2)＝(2x＋1，3)； v＝2(1，1)－(x，1)＝(2－x，1). ①u＝3v⇔(2x＋1，3)＝3(2－x，1)⇔(2x＋1，3)＝(6－3x，3)⇔2x＋1＝6－3x. 解得x＝1. ②u∥v⇔(2x＋1)×1－3(2－x)＝0.解得x＝1. 所以u＝(3，3)，v＝(1，1)，u＝3v.所以u与v同向.
(1)a∥b(b≠0)⇒a＝λb，这是几何运算，体现了向量 a 与 b 的长度及方向之间的 关系. (2)x1y2－x2y1＝0，这是代数运算，用它解决向量共线的优点是不需要引入参数 “λ”，从而使问题的解决具有代数化、程序化的特点. 当 x2y2≠0 时，a∥b，则xx12＝yy12.
第六章
6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示
课标要求
掌握数乘向量的坐标运算法则，理解用坐标表示平面向量共线的条件， 掌握三点共线的判断方法.
素养要求
通过数乘向量的坐标运算，理解平面向量共线的坐标表示情势，体会 数学运算及数学抽象素养.
1
课前预习
知识探究
1.平面向量数乘的坐标运算
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘本来向量的相应坐标. 坐标表示：a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝__(_λ_x_，__λ_y_) _.
(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且x1y2≠x2y1，则a与b不共线.( √ ) (4)若 A，B，C 三点共线，则向量A→B，B→C，C→A都是共线向量.( √ ) 提示 (1)当y1y2＝0时不成立.
(2)两向量共线的坐标表示为x1y2－x2y1＝0.
2.已知向量A→B＝(2，4)，A→C＝(0，2)，则12B→C等于( D )