华南农业大学15年高代下填空选择解答

华南农业大学期末考试试卷(A 卷)
2014-2015学年 第2学期 考试科目： 高等代数II 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟
学号 姓名 年级专业
一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1. 设1324[],[]W P x W P x ==，则12dim()W W +=
解：123121212[]dim()dim +dim -dim()=3+4-3=4
W W P x W W W W W W =∴+=，.
2. 在线性空间3R 中，定义线性变换σ: 12311223(,,)(,,2)x x x x x x x x σ=+-, 那么
σ在基123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)εεε===
解：1()(1,1,0)σε=，,2()(0,1,2)σε=，3()(0,0,1)σε=，
()()123123100()()()110021σεσεσεεεε⎛⎫
⎪
∴= ⎪ ⎪-⎝⎭
，，，，.
3. 若σ是有限维线性空间V 的线性变换, 则σ是V 上的双射的充要条件是σ的
解：见课本305页,给出了判断线性变换为单射，满射，双射的方法,主要记住下
列等价条件.
{}-1
V =V =0σσσσσσσσ⇔⇔⇔⇔⇔线性变换是满射（）， 是单射（0），
是满射是单射是一一映射是可逆变换
4. 已知10=52A ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，若B 与A 相似，则2
B B E +-=解：1212222122=1=2A B B =1=2B =1+-=1=2+-==15=5
A B B E B B E λλλλλλ∴+-∴+-⨯的特征值，，
又，相似，所以的特征值，，
为的多项式，特征值11，215，
5. 设123,,εεε是欧氏空间V 的标准正交基,则12+εε与23+εε
解：()12+1,1,0εε的坐标为，()23+0,1,1εε的坐标为，
()()()(
)1,1,00,1,1cos =
1,1,01,1,0θ∴=用坐标的普通内积计算
二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1. 下列集合为线性空间R n 的子空间的是( B ). A. {}11212
(,,
,)0,R,1,2,
,n n i W x x x x x x x i n ==∈=
B. {2(,,,,,,)R n W a b a b a b n =∈为偶数｝
C. {31212(,,,),,
,n n W x x x x x x =是整数｝
D. {}41212(,,
,)+++1,R,1,2,
,n n i W x x x x x x x i n ==∈=
解：A 错. {}()()112121(,)0,R,1,21,00,1i W x x x x x i W ==∈=∈例如：，向量，, 但是()()()11,0+0,1=1,1.W ∉，对加法不封闭
C 错.在数域中任取一个有理数0.5，则330.5.W W ∉中向量取倍后 数乘运算不封闭
D 错.对数乘运算不封闭.
2. 数域P 上的n 维线性空间V 有( D )个基.
A. 1
B. n
C. ！n
D. 无穷多 3. 设(){},,|,R W a a b a b a b =+-∈，这里R 为实数集，则( ) . A. W 与2R 同构 B. W 与3R 同构
C. W 与2R 的一个真子空间同构
D. 2R 与W 的一个真子空间同构
解：
()()()()(),,=1,1,10,1,1,
1,1,10,1,1W dim 2.W a a b a b a b w ∀+-+--∴=中向量
而，线性无关，故为的基，
注意: 线性空间同构的充要条件是维数相等.
4. 设σ为线性空间V 上的线性变换，则以下子空间：σ的值域，23σσ-的值域，σ的核，零空间{}0中是σ的不变子空间的有( 4 )个. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
分析：课本306页，307页给出了常见的不变子空间：
{}-11.;
2.0,
3.(),(0)V V σσσ空间零空间的值域核
()-14.(),(0)
5.V f στττσσ与可交换的线性变换的值域核的多项式的值域与核
6.V λσλ的属于特征值的特征子空间
7. σ的不变子空间的交与和
所以σ的值域，σ的核，零空间{}0都是σ的不变子空间，
线性变换σ与23σσ-可交换，故23σσ-的值域是σ的不变子空间.
5. 关于实对称矩阵A ，下列结论中( C )正确.
A. A 的特征值可能是复数
B. 对A 的对应于特征值λ的特征向量α，β，有(),0αβ=
C. 一定存在正交矩阵T ，使得1T AT -为对角矩阵
D. A 有n 个不同的特征值
三、判断题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）
(请在你认为对的小题对应的括号内打“√”，否则打“⨯”.）
1. ( 错 )设123,,V V V 是n 维线性空间V 的子空间，并且12,V V ⊕23,V V ⊕13,V V ⊕
则123V V V ⊕⊕.
分析：见课本264页定理11, 结论3）.
()()()1231
23213312+=+=+=V V V V V V V V V V V V φφφ⊕⊕⇔，，，
该条件显然比12,V V ⊕23,V V ⊕13,V V ⊕强.
反例.设123101=0=1=2000ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，，，则
()()()()()()121323,,,L L L L L L αααααα⊕⊕⊕但是
()()()()123123++=L 2.L L L αααααα，，的维数是，不是直和
2. ( 错 )设n 阶方阵,A B 有相同的特征值，则,A B 可以看作同一线性变换在
两组不同基下的矩阵.
分析：,A B 有相同的特征值，不一定有,A B 相似，故,A B 可以看作同一线性变
换在两组不同基下的矩阵.
3. ( 对 )若欧氏空间V 的向量,αβ线性无关，则 (),αβαβ<. 分析：柯西不等式(),,.αβαβαβ≤，等号成立的充要条件是线性相关
4. ( 对 )若A 是正交矩阵，则齐次线性方程组0AX =的只有零解. 分析：A 是正交矩阵，则A =1±，
，即从而0AX =只有零解. 5. ( 错 )若线性空间V 的线性变换σ在一组基下可以对角化，则σ在任何
基 下可以对角化.。