平面向量四心结论及证明

平面向量四心结论及证明
一、重心
1. 结论
- 若G是 ABC的重心，则→GA+→GB+→GC = 0。

- 若A(x_{1},y_{1})，B(x_{2},y_{2})，C(x_{3},y_{3})，则 ABC的重心G的坐标为(frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3},frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3})。

2. 证明
- 设D为BC中点，则→GB+→GC=2→GD。

- 因为G是 ABC的重心，所以AG = 2GD且AG与GD反向，即→GA=- 2→GD。

- 所以→GA+→GB+→GC=→GA+2→GD=0。

- 对于坐标的证明，设G(x,y)，由→GA+→GB+→GC=0可得：
- (x_{1}-x,y_{1} - y)+(x_{2}-x,y_{2}-y)+(x_{3}-x,y_{3}-y)=(0,0)。

- 即<=ft{begin{array}{l}x_{1}+x_{2}+x_{3}-3x = 0y_{1}+y_{2}+y_{3}-3y = 0end{array}right.，解得x=frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}，
y=frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}。

二、垂心
1. 结论
- 若H是 ABC的垂心，则→HA·→HB=→HB·→HC=→HC·→HA。

2. 证明
- 因为H是 ABC的垂心，所以AH⊥ BC，BH⊥ AC，CH⊥ AB。

- 由AH⊥ BC可得→AH·→BC=0，即→AH·(→HC-→HB) = 0，展开得→AH·→HC-→AH·→HB=0，即→HA·→HB=→HA·→HC。

- 同理，由BH⊥ AC可得→BH·→AC=0，即→BH·(→HC-→HA)=0，展开得→BH·→HC-→BH·→HA=0，即→HB·→HC=→HB·→HA。

- 综上，→HA·→HB=→HB·→HC=→HC·→HA。

三、外心
1. 结论
- 若O是 ABC的外心，则|→OA|=|→OB|=|→OC|。

- 设O是 ABC的外心，A(x_{1},y_{1})，B(x_{2},y_{2})，C(x_{3},y_{3})，则O 的坐标满足(x - x_{1})^2+(y - y_{1})^2=(x - x_{2})^2+(y - y_{2})^2=(x -
x_{3})^2+(y - y_{3})^2。

2. 证明
- 因为O是 ABC的外心，外心是三角形三边中垂线的交点，所以OA = OB = OC，即|→OA|=|→OB|=|→OC|。

- 对于坐标的证明，设O(x,y)，因为OA = OB，所以(x - x_{1})^2+(y -
y_{1})^2=(x - x_{2})^2+(y - y_{2})^2。

- 同理，因为OB = OC，所以(x - x_{2})^2+(y - y_{2})^2=(x - x_{3})^2+(y - y_{3})^2。

- 所以(x - x_{1})^2+(y - y_{1})^2=(x - x_{2})^2+(y - y_{2})^2=(x -
x_{3})^2+(y - y_{3})^2。

四、内心
1. 结论
- 设I是 ABC的内心，a,b,c分别为 ABC三边BC,AC,AB的长，则a→IA+b→IB+c→IC=0。

- 若A(x_{1},y_{1})，B(x_{2},y_{2})，C(x_{3},y_{3})， ABC的面积为S，a = BC，b = AC，c = AB，则内心I的坐标为(frac{ax_{1}+bx_{2}+cx_{3}}{a + b + c},frac{ay_{1}+by_{2}+cy_{3}}{a + b + c})。

2. 证明
- 设→AI=λ<=ft(frac{→AB}{|→AB|}+frac{→AC}{|→AC|})（λ为常数），这是因为内心是角平分线的交点，frac{→AB}{|→AB|}和frac{→AC}{|→AC|}分别是∠ BAC 的角平分线方向向量。

- 由a→IA+b→IB+c→IC=0可得a→AI=b→IB+c→IC。

- 设 ABC的三条角平分线分别为AD,BE,CF相交于I。

- 根据角平分线定理(BD)/(DC)=(c)/(b)，→ID=frac{b→IB+c→IC}{b + c}。

- 又因为AI是∠ BAC的角平分线，所以→AI=(b + c)/(a + b + c)→AD。

- 对于坐标的证明，设I(x,y)，由a→IA+b→IB+c→IC=0可得：
- a(x_{1}-x,y_{1}-y)+b(x_{2}-x,y_{2}-y)+c(x_{3}-x,y_{3}-y)=(0,0)。

- 即<=ft{begin{array}{l}ax_{1}+bx_{2}+cx_{3}-(a + b + c)x =
0ay_{1}+by_{2}+cy_{3}-(a + b + c)y = 0end{array}right.，解得
x=frac{ax_{1}+bx_{2}+cx_{3}}{a + b + c}，y=frac{ay_{1}+by_{2}+cy_{3}}{a + b + c}。