北师大版八下数学《因式分解》常见题型例析

《因式分解》常见题型例析
因式分解是中学数学的重要内容之一，是学习分式、根式、和一元二次方程的重要基础，是解决许多数学问题的重要“工具”，也是各级考试的一个热点，现将关于这部分知识的常见题型介绍如下。

题型一：分解因式的意义
此类考题多数以选择题的形式出现。

解决此类问题需要对分解因式的概念正确的理解。

例1 下列从左到右的变形是分解因式的是（ ）
（A ）(x-4)(x+4)=x 2-16 (B)x 2-y 2+2=(x+y)(x-y)+2
(C)2ab+2ac=2a(b+c) (D)(x-1)(x-2)=(x-2)(x-1).
分析:根据多项式分解因式的概念:把一个多项式化成几个整式积的形式,叫做分解因式.所以要判断从左道右的变形是否是分解因式,关键是看左边是否是多项式,右边是否是整式的积.
解:选(C).
练习:下面由左边到右边的变形中,是分解因式的是（ ）.
(A)a(x-y)=ax-ay (B)x 2-2x+4=(x-1)2+3
(C)8x 2-4x=4x·2x (D)y 2-y+
41=(y-2
1)2 答案: (D)
题型二、直接提公因式分解
此类题大多以选择或填空题的形式出现，其中找出公因式是关键。

求解时应按照提公因式法则将公因式提出即可。

例2 分解因式2a(b-c)-3c(b-c).
分析:把(b-c)看作一个整体,则(b-c)就是此多项式的公因式.
解: 2a(b-c)-3c(b-c)=(b-c)(2a-3b).
练习:分解因式: (2x-3y)(a+b)+(a+b)(3x-2y).
答案:5(a+b)(x-y).
题型三、直接利用公式因式分解
求解此类题掌握所学的几个公式的特点是关键，求解时应根据题目的特点选择合适的公式求解。

例3、分解因式:a 2－1=_______.
析解：本题符合平方差公式的特点，故可直接利用平方差公式求解。

其结果为：
（a －1）（a ＋1）.
练习：分解因式：224x y -=________.答案：（x －2y ）（x+2y ）
题型四、提公因式后再用公式
此类题大多以填空或选择题的形式出现，求解时应首先将公因式提出，再选择有关公式求解。

例4、把a 3－ab 2分解因式的正确结果是（ ）
A 、(a+ab)(a －ab)
B 、a (a 2－b 2)
C 、a(a+b)(a －b)
D 、a(a －b)2
析解：本题首先将公因式a 提出，提出公因式后发现余下的部分符合平方差公式，故再利用平方差公式求解，其结果应选C.
练习∶分解因式：244x y xy y -+=_________.
答案：y （x －2）2.
题型五、利用因式分解进行数字计算
此类题求解时，应首先观察题目的特点，利用有关法则或公式将所求式巧妙的组合，再运用因式分解求解。

例5、计算：2－22－23－……－218－219+220,
析解：我们注意到：－219+220=219（2－1）=219，而219－218=218。

按此规律采用“逆序”的方法，将218再与前面的数字作减法运算，并以此规律采用同样的方法继续运算下去，直至求出最后的结果为止。

其结果为：6。

练习：算式22222222+++可化为（ ）
A ．42
B ．28
C ．82
D ．162
答案：A.
题型六、利用因式分解求值
此类题的常见的求解方法有（1）利用因式分解的方法，求出求值中各字母的值，再将其代入求值式求解。

如本考点例6。

（2）不需求出求值式中字母的值，
而是先将求值式进行因式分解，将其进行改造，以使其能充分的应用已知条件，再将已知条件整体代入求解，如本考点例7。

（3）与完全平方式有关的求值问题，求解此类题时，应紧密结合完全平方式的定义，根据各项的特点求解，注意求解时不要丢解。

如本考点例8。

例6、若非零实数a 、b 满足4a 2+b 2=4ab ，则b a
=___________.
析解：因本题已知条件符合完全平方公式的特点，故应首先将已知条件变为： （2a －b ）2=0，据此得出a 、b 的关系：b=2a ，再将其代入求值式即得结果：b a =2。

练习：已知：x 2+4y 2－4x －4y+5=0,求：x －y 的值。

答案：1.5 例7、已知：x+y=1,求222
121y xy x ++的值。

解析：本题无法直接求出字母x 、y 的值，可首先将求值式进行因式分解，
使求值式中含有已知条件式，再将其整体代入求解。

因222121y xy x ++=2
1（x+y ）2，所以将x+y=1代入该式得：222121y xy x ++=2
1 练习：已知a+b=13,ab=40,求a 2b+ab 2的值。

答案：520
例8、已知：多项式22254
1y mxy x ++是一个完全平方式，求m 的值。

析解：本题的求解应紧扣“完全平方式”的特点进行分析，注意不要丢解。

由完全平方式各项的特点可知本题中mxy=±5xy ，所以m=±5。

练习：已知：x 2+2（m －3）x+16是一个完全平方式，求m 的值。

答案：7或－1。

题型七、利用因式分解求解整除问题
求解此类题时一般先将所考察的式子进行因式分解，看其因式分解后是否能出现作为除数的因式，再去判断。

例9、设n 为整数．求证：（2n+1）2－25能被4整除。

析解：判断（2n+1）2－25能否被4整除，主要看其因式分解后是否能写成4与另一个因式积的形式，因（2n+1）2－25=4（n+3）（n －2），由此可知该式能被4整除 。

练习：证明：817－279－913能被45整除。

（提示：原式=（34）7－（33）9－（32）13=326（32－3－1）=45×324）。

题型八、利用因式分解求解矩形、正方形问题
求解此类问题大多首先将所给式子进行因式分解，再根据题意求出矩形或正方形的边长求解。

例10、已知矩形的面积为6m2+60m+150（m>0），长与宽的比为3：2，求这个矩形的周长。

析解：由于矩形的面积等于长×宽，因此首先考虑将矩形的面积进行因式分解，再依据题意求出矩形的长与宽，继续求解。

因6m2+60m+150=6（m+5）2=3（m+5）·2（m+5）,又由于该矩形的长与宽的比为3：2，故知该矩形的长与宽分别为：3（m+5）、2（m+5）因此其周长为10m+50。

练习：已知：一正方形的面积为：9x2+12xy+4y2，且x>0,y>0,求该正方形的周长。

答案：12x+8y。

题型九、利用因式分解求解实际问题
此类题的求解一般是先将求值式进行因式分解（大多采用提公因式法），目的是为了计算简便，再将有关条件代入简洁求解。

例11、已知电学公式：U=IR1+IR2+IR3，当R1=12.9, R2=18.5 R3=18.6, I=2时，求U的值。

析解：本题直接代入求解较麻烦，可首先将求值式进行因式分解，再将字母的值代入求解。

因U=IR1+IR2+IR3=I（R1+R2+R3），将条件R1=12.9, R2=18.5 R3=18.6, I=2代入上式得：原式= 100。

练习：某设计院在设计的建筑物中，需要绕制三个半径为0.24m,0.37m,0.39m 的钢筋圆环，问所需钢筋有多少？（π取3.14）答案：6.28m
题型十、求解数字规律探索问题
求解此类题，应注意观察题目的特点，进行深入地分析、对比、归纳，必要时可将已知条件进行变形，并充分应用有关公式找到其规律。

（如本考点例12 ）例12、观察下列各式
9－1=8
16－4=12
25－9=16
36－16=20
………
这些等式反映了自然数间的某种规律，设n（n≥1）表示自然数，用关于n的等式表示这个规律为。

析解：观察上面各式的左边均可写成两个数差的形式，故本题可借助平方差公式巧妙求解。

求解时可首先将上面各数可写为：
32－1=8
42－22=12
52－32=16
62－42=20
再根据各式与相应等式序数的关系，推知本题的规律为：（n+2）2－n2=4（n+1）。

练习：请先观察下列各式，再填空
32－1=8×1
52－32=8×2
（1）72－52=8×（）
（2）92－（）=8×4
（3）（）2－92=8×5
（4）132－（）2=8×（）
…………
通过观察归纳，写出反映这种规律的一般结论：。

答案：（1）3 （2）7 （3）11 （4）11，6
结论是：两个连续奇数的平方差能被8整除，或是8的倍数。

题型十一、因式分解开放题
此类题的求解方法较灵活，往往解法不唯一，须认真分析题意，按要求选择简洁且有把握的式子求解。

例12、请任意写一个能在实数范围内分解因式的二次三项式（该二次三项式的字母、系数不限）。

析解：本题答案不唯一，由所求的式子是二次三项式，故选我们熟悉的完全平方式最好，如：x2－2x+1或9y2+6y+1等。

练习：结合生活实际，自编一个提公因式的应用题。

参考答案：在半径为R的圆形钢板上，冲去半径为r的四个小圆，当R=7.2cm,r=1.4cm时，求剩余部分的面积（π取3.14，结果保留三个有效数字）。

答案：138cm2。