安徽师大附中高一数学下学期期中试卷(含解析)

2015-2016学年安徽师大附中高一（下）期中数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．下列说法正确的是（）
A．向量∥就是所在的直线平行于所在的直线
B．共线向量是在一条直线上的向量
C．长度相等的向量叫做相等向量
D．零向量长度等于0
2．已知，，则m=（）
A． B． C．2D．﹣2
3．在△ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（）
A．a=7，b=14，A=30°B．a=20，b=26，A=150°
C．a=30，b=40，A=30°D．a=72，b=60，A=135°
4．已知向量，均为单位向量，它们的夹角为60°，则|2﹣3|等于（）
A．1B． C． D．
5．一个等比数列前n项的和为24，前3n项的和为42，则前2n项的和为（）
A．36B．34C．32D．30
6．在△ABC中，若2cosAsinB=sinC，则△ABC的形状一定是（）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等边三角形
7．在△ABC中，若sinA=2sinB，cosC=﹣，则=（）
A． B． C． D．
8．若{a n}为等差数列，S n是其前n项和，且S11=π，{b n}为等比数列，b5b7=，则tan （a6+b6）的值为（）
A． B． C． D．
9．已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量=（﹣1，），=（cosA，
sinA）．若⊥，且acosB+bcosA=csinC，则角A，B的大小分别为（）
A．， B．， C．， D．，
10．某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°的方向航行15km后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是（）
A．15kmB．30kmC．15kmD．15km
11．设正项数列{a n}的前n项和为S n，且满足4S n=a n2+2a n﹣3（n∈N*），则a2016=（）A．4029B．4031C．4033D．4035
12．已知点A（1，﹣1），B（4，0），C（2，2），平面区域D是所有满足=λ+μ（1＜λ≤a，1＜μ≤b）的点P（x，y）组成的区域．若区域D的面积为4，则ab﹣a﹣b=（）A．﹣1B．﹣ C． D．1
二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分.把答案填在答题卡的相应位置. 13．已知数列{a n}的前n项的和为S n=n2﹣2n+3，则数列的通项公式为．
14．已知点A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），则向量在方向上的投
影为．
15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，则sinAsinC= ．
16．正项数列{a n}的前n项和为S n，且2S n=a n2+a n（n∈N*），设c n=（﹣1）n，则数列{c n}的前2017项的和为．
三、解答题：本大题共6小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.
17．已知，、、同一平面内的三个向量，其中=（2，1）．
（1）若||=2，且∥，求的坐标；
（2）若||=，且+2与2﹣垂直，求与的夹角θ．
18．如图，D是直角三角形△ABC斜边BC上一点，AC=DC．
（1）若∠DAC=，求角B的大小；
（2）若BD=2DC，且AD=2，求DC的长．
19．已知{a n}为等比数列，a1=1，a6=243．S n为等差数列{b n}的前n项和，b1=1，S5=25．（1）求{a n}和{b n}的通项公式；
（2）设T n=a1b1+a2b2+…+a n b n，求T n．
20．在△ABC中，角A，B，C对应边分别是a，b，c，c=2，sin2A+sin2B﹣sin2C=sinAsinB．（1）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求△ABC面积；
（2）求AB边上的中线长的取值范围．
21．已知数列{a n}满足a1=9，a n+1=a n+2n+5；数列{b n}满足b1=，b n+1=b n（n≥1）．（1）求a n，b n；
（2）记数列{}的前n项和为S n，证明：≤S n＜．
22．设G为△ABC的重心，过G作直线l分别交线段AB，AC（不与端点重合）于P，Q．若
=λ，=μ．
（1）求+的值；
（2）求λμ的取值范围．
2015-2016学年安徽师大附中高一（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．下列说法正确的是（）
A．向量∥就是所在的直线平行于所在的直线
B．共线向量是在一条直线上的向量
C．长度相等的向量叫做相等向量
D．零向量长度等于0
【分析】利用共线向量、相等向量的定义即可判断出正误．
【解答】解：A：向量∥就是所在的直线平行于所在的直线，不正确；
B：共线向量是在一条直线上的向量，不正确；
C：长度相等的向量叫做相等向量，不正确；
D：零向量长度等于0，正确；
故选：D．
【点评】本题考查了共线向量、相等向量的定义，考查了理解能力，属于基础题．
2．已知，，则m=（）
A． B． C．2D．﹣2
【分析】根据向量的坐标运算和向量的平行的条件计算即可．
【解答】解：∵，，
∴2×（﹣1）=1×m，
∴m=﹣2，
故选：D．
【点评】本题考查了向量的坐标运算和向量平行的条件，属于基础题．
3．在△ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（）
A．a=7，b=14，A=30°B．a=20，b=26，A=150°
C．a=30，b=40，A=30°D．a=72，b=60，A=135°
【分析】由正弦定理可得sinB=，根据条件求得sinB的值，根据b与a的大小判断角B的大小，从而判断△ABC的解的个数．
【解答】解：对于A：∵a=7，b=14，A=30°，
∴由正弦定理得：sinB===1，
又B为三角形的内角，
∴B=90°，
故只有一解，本选项不合题意；
对于B：∵a=20，b=26，A=150°，
∴由正弦定理得：sinB===，
又b＞a，故 B＞A，A为钝角，故△ABC不存在；
对于C：∵a=30，b=40，A=30°，有=，
∴sinB=，又b＞a，故B＞A，故B可以是锐角，也可以是钝角，故△ABC有两个解．
对于D：∵a=72，b=60，A=135°，
由正弦定理得：sinB===，
又b＜a，故B＜A，故B为锐角，故△ABC有唯一解．
故选：C．
【点评】此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：正弦定理，三角形的边角关系，正弦函数的图象与性质，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属于中档题．
4．已知向量，均为单位向量，它们的夹角为60°，则|2﹣3|等于（）
A．1B． C． D．
【分析】将所求平方展开，转化为向量，的运算解答．
【解答】解：因为向量，均为单位向量，它们的夹角为60°，所以，所以|2﹣3|2==4+9﹣6=7，
所以|2﹣3|=；
故选D．
【点评】本题考查了平面向量的运算；有数量积的公式运用．属于基础题．
5．一个等比数列前n项的和为24，前3n项的和为42，则前2n项的和为（）
A．36B．34C．32D．30
【分析】由等比数列的性质得S n，S2n﹣S n，S3n﹣S2n仍成等比数列，由等比中项的性质列出方程代值计算即可．
【解答】解：由题意可得S n=24，S3n=42，
∵S n，S2n﹣S n，S3n﹣S2n仍成等比数列，
∴（S2n﹣S n）2=S n（S3n﹣S2n），
代入数据可得，（S2n﹣24）2=24（42﹣S2n），解得S2n=36，
故选：A．
【点评】本题考查等比数列（公比q不为﹣1）的性质：S n，S2n﹣S n，S3n﹣S2n仍成等比数列，以及等比中项的性质，属基础题．
6．在△ABC中，若2cosAsinB=sinC，则△ABC的形状一定是（）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等边三角形
【分析】利用内角和定理及诱导公式得到sinC=sin（A+B），利用两角和与差的正弦函数公式化简，代入已知等式变形再利用两角和与差的正弦函数公式化简，得到A﹣B=0，即A=B，即可确定出三角形形状．
【解答】解：∵在△ABC中，sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，
∴2cosAsinB=sinC=sinAcosB+cosAsinB，即sinAcosB﹣cosAsinB=sin（A﹣B）=0，
∴A﹣B=0，即A=B，
则△ABC为等腰三角形．
故选：A．
【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，以及等腰三角形的判定，熟练掌握公式是解本题的关键．
7．在△ABC中，若sinA=2sinB，cosC=﹣，则=（）
A． B． C． D．
【分析】利用正弦定理可得b=a，利用余弦定理，代入可得a，c的关系，即可得出结论．【解答】解：∵sinA=2sinB，∴a=2b，∴b= a
∵cosC=﹣，
∴=﹣，
∴=﹣，
∴a2=，
∴=．
故选：C．
【点评】本题考查正弦、余弦定理的运用，考查学生的计算能力，正确运用正弦、余弦定理是关键．
8．若{a n}为等差数列，S n是其前n项和，且S11=π，{b n}为等比数列，b5b7=，则tan （a6+b6）的值为（）
A． B． C． D．
【分析】分别利用等差数列与等比数列的通项公式性质及其求和公式即可得出．
【解答】解：∵S11==11a6=，解得a6=．
∵{b n}为等比数列，b5b7==，
解得b6=，
∴tan（a6+b6）=．
故选：C．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式性质及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
9．已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量=（﹣1，），=（cosA，sinA）．若⊥，且acosB+bcosA=csinC，则角A，B的大小分别为（）
A．， B．， C．， D．，
【分析】根据向量数量积判断向量的垂直的方法，可得﹣cosA+sinA=0，分析可得A，再
根据正弦定理可得，sinAcosB+sinBcosA=sin2C，有和差公式化简可得sinC=sin2C，可得C，再根据三角形内角和定理可得B，进而可得答案．
【解答】解：∵根据题意，⊥，可得=0，
即﹣cosA+sinA=0，可得：2sin（A﹣）=0，
∵A∈（0，π），A﹣∈（﹣，），
∴解得：A=，
又∵acosB+bcosA=csinC，
∴由正弦定理可得，sinAcosB+sinBcosA=sin2C，
∴sinAcosB+sinBcosA=sin（A+B）=sinC=sin2C，
∵sinC≠0，可得：sinC=1，又C∈（0，π），
∴C=，
∴B=．
故选：A．
【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，向量数量积的应用，判断向量的垂直，解题时要注意向量的正确表示方法，属于中档题．
10．某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°的方向航行15km后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是（）
A．15kmB．30kmC．15kmD．15km
【分析】做出示意图，利用正弦定理求出．
【解答】解：设船开始位置为A，最后位置为C，灯塔位置为B，
则∠BAC=30°，∠ABC=120°，AC=15，
由正弦定理得，即，
解得BC=15．
故选：D．
【点评】本题考查了正弦定理，解三角形的应用，属于中档题．
11．设正项数列{a n}的前n项和为S n，且满足4S n=a n2+2a n﹣3（n∈N*），则a2016=（）A．4029B．4031C．4033D．4035
【分析】4S n=a n2+2a n﹣3（n∈N*），n≥2时，利用递推关系化为：（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）=0，由a n+a n﹣1＞0，可得a n﹣a n﹣1=2，再利用等差数列的通项公式即可得出．
【解答】解：∵4S n=a n2+2a n﹣3（n∈N*），
∴n=1时，4a1=+2a1﹣3，又a1＞0，解得a1=3．
n≥2时，4a n=4（S n﹣S n﹣1）=a n2+2a n﹣3﹣，化为：（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）=0，
∵a n+a n﹣1＞0，
∴a n﹣a n﹣1=2，
∴数列{a n}是等差数列，公差为2，首项为3．
则a2016=3+2（2016﹣1）=4033．
故选：C．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
12．已知点A（1，﹣1），B（4，0），C（2，2），平面区域D是所有满足=λ+μ（1＜λ≤a，1＜μ≤b）的点P（x，y）组成的区域．若区域D的面积为4，则ab﹣a﹣b=（）A．﹣1B．﹣ C． D．1
【分析】延长AB到点N，延长AC到点M，使得|AN|=a|AB|，|AM|=b|AC|，作CH∥AN，BF∥AM，NG∥AM，MG∥AN，则四边形ABEC，ANGM，EHGF均为平行四边形．由题意可知：点P（x，y）组成的区域D为图中的四边形EFGH及其内部．利用向量的夹角公式可得
cos∠CAB=，利用四边形EFGH的面积S=（a﹣1）×（b﹣1）××=4，求出ab﹣a﹣b的值即可．
【解答】解：如图所示：
，
延长AB到点N，延长AC到点M，使得|AN|=a|AB|，|AM|=b|AC|，作CH∥AN，BF∥AM，NG∥AM，MG∥AN，则四边形ABEC，ANGM，EHGF均为平行四边形．由题意可知：点P（x，y）组成的区域D为图中的四边形EFGH及其内部．
∵=（3，1），=（1，3），=（﹣2，2），
∴||=，||=，||=2，
∴cos∠CAB===，sin∠CAB=，
∴四边形EFGH的面积S=（a﹣1）×（b﹣1）××=4，
∴（a﹣1）（b﹣1）=，即ab﹣a﹣b=﹣，
故选：B．
【点评】本题考查了向量的夹角公式、数量积运算性质、平行四边形的面积计算公式、基本不等式的性质，考查了数形结合的思想方法，考查了推理能力与计算能力．
二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分.把答案填在答题卡的相应位置. 13．已知数列{a n}的前n项的和为S n=n2﹣2n+3，则数列的通项公式为
．
【分析】首先根据S n=n2﹣2n+3求出a1的值，然后利用a n=S n﹣S n﹣1求出当n＞2时，a n的表达式，然后验证a1的值，最后写出a n的通项公式．
【解答】解：∵S n=n2﹣2n+3，a1=2，
∴a n=S n﹣S n﹣1=n2﹣2n+3﹣[（n﹣1）2﹣2（n﹣1）+3]=2n﹣3（n＞1），
∵当n=1时，a1=﹣1≠2，
∴，
故答案为
【点评】本题主要考查数列递推式的知识点，解答本题的关键是利用a n=S n﹣S n﹣1（n≥2）进行解答，此题难度不大，很容易进行解答
14．已知点A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），则向量在方向上的投影为．
【分析】根据向量的坐标公式以及向量投影的定义进行求解即可．
【解答】解：∵点A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），
∴向量=（5，5），=（2，1），
则向量在方向上的投影为===
故答案为：．
【点评】本题主要考查向量投影的计算，根据向量投影的定义以及向量数量积的公式进行求解是解决本题的关键．
15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，则sinAsinC= ．
【分析】依题意，可求得B=，利用正弦定理即可求得sinAsinC；另解，求得B=，利
用余弦定理=cosB可求得a2+c2﹣ac=ac，从而可求得答案．
【解答】解：∵△ABC中，A，B，C成等差数列，
∴2B=A+C，又A+B+C=π，
∴B=，…（6分）
又b2=ac，由正弦定理得sinAsinC=sin2B=…（12分）
另解：b2=ac， =cosB==，…（6分）
由此得a2+c2﹣ac=ac，得a=c，
所以A=B=C，sinAsinC=．…（12分）
【点评】本题考查正弦定理与余弦定理，熟练掌握两个定理是灵活解题的关键，属于中档题．16．正项数列{a n}的前n项和为S n，且2S n=a n2+a n（n∈N*），设c n=（﹣1）n，则数列
{c n}的前2017项的和为﹣．
【分析】利用a n=S n﹣S n﹣1判断{a n}为等差数列，得出{a n}的通项公式，从而得出c n的通项公式，使用列项法求和．
【解答】解：当n=1时，2a1=a12+a1，∴a1=1或a1=0（舍）．
当n≥2时，2a n=2S n﹣2S n﹣1=a n2+a n﹣a n﹣12﹣a n﹣1，
∴a n+a n﹣1=a2﹣a n﹣12=（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1）．
∵a n+a n﹣1≠0，∴a n﹣a n﹣1=1，
∴{a n}是以1为首项，以1为公差的等差数列．
∴a n=n，2S n=n2+n．
∴c n=（﹣1）n=（﹣1）n（）．
设c n的前n项和为T n，
则T2017=﹣1﹣+﹣+…﹣﹣=﹣1﹣=﹣．
故答案为：．
【点评】本题考查了等差关系的判定，等差数列的通项公式及裂项求和，属于中档题．
三、解答题：本大题共6小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.
17．已知，、、同一平面内的三个向量，其中=（2，1）．
（1）若||=2，且∥，求的坐标；
（2）若||=，且+2与2﹣垂直，求与的夹角θ．
【分析】（1），根据向量的平行和向量的模得到关于x，y的方程组，解得即可，
（2）根据向量的垂直和向量的夹角公式，即可求出．
【解答】解：（1），
∵，
∴，
∴x2+y2=20．
∵，
∴x﹣2y=0，
∴x=2y，
，
∴=（﹣4，﹣2）或， =（4，2）
（2）∵，
∴，
∴，
，
∴，
∴θ=π．
【点评】本题考查平面向量的坐标运算和数量积判断两个平面垂直的条件的灵活运用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
18．如图，D是直角三角形△ABC斜边BC上一点，AC=DC．
（1）若∠DAC=，求角B的大小；
（2）若BD=2DC，且AD=2，求DC的长．
【分析】（1）根据正弦定理即可求出，
（2）根据余弦地理和同角的三角函数的关系即可求出．
【解答】解：（1）在△ABC中，根据正弦定理，有．
∵，
∴．
又，
∴，
∴，
∴；
（2）设DC=x，则，
∴．
在△ABD中，AD2=AB2+BD2﹣2ABBDcosB，
即，
得．故．
【点评】本题考查了正弦定理余弦定理的应用，以及解三角形的问题，属于中档题．
19．已知{a n}为等比数列，a1=1，a6=243．S n为等差数列{b n}的前n项和，b1=1，S5=25．（1）求{a n}和{b n}的通项公式；
（2）设T n=a1b1+a2b2+…+a n b n，求T n．
【分析】（1）根据等差数列，等比数列的通项公式，求和公式列方程解出公差与公比，得出通项公式；
（2）使用错位相减法求和．
【解答】解：（1）设{a n}的公比为q，数列{b n}的公差为d，
a6=a1q5=q5=243，S5=5b1+=5+10d=25，
解得q=3，d=2．
∴．b n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．
（2）∵T n=a1b1+a2b2+…+a n b n，
∴，①
∴，②
①﹣②得：，
∴T n=（n﹣1）×3n+1．
【点评】本题考查了等差数列，等比数列的性质，错位相减法数列求和，属于中档题．
20．在△ABC中，角A，B，C对应边分别是a，b，c，c=2，sin2A+sin2B﹣sin2C=sinAsinB．（1）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求△ABC面积；
（2）求AB边上的中线长的取值范围．
【分析】（1）已知等式利用正弦定理化简，再利用余弦定理表示出cosC，将得出关系式代入求出cosC的值，确定出C的度数，sinC+sin（B﹣A）=2sin2A化简后，根据cosA为0与cosA不为0两种情况，分别求出三角形ABC面积即可；
（2）根据CD为AB边上的中线，得到=，两边平方并利用平面向量的数量积运算
法则变形得到关系式，利用余弦定理列出关系式，将cosC与c的值代入得到关系式，代入计算即可确定出|CD|的范围．
【解答】解：（1）由sin2A+sin2B﹣sin2C=sinAsinB，利用正弦定理化简得：a2+b2﹣c2=ab，
∴cosC===，即C=，
∵sinC+sin（B﹣A）=sin（B+A）+sin（B﹣A）=2sin2A，
∴sinBcosA=2sinAcosA，
当cosA=0，即A=，此时S△ABC=；
当cosA≠0，得到sinB=2sinA，利用正弦定理得：b=2a，此时此时S△ABC=；
（2）∵=，
∴|CD|2==，
∵cosC=，c=2，
∴由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即a2+b2﹣ab=4，
∴|CD|2==＞1，且|CD|2=≤3，
则|CD|的范围为（1，]．
【点评】此题考查了正弦、余弦定理，平面向量的数量积运算，熟练掌握定理是解本题的关键．
21．已知数列{a n}满足a1=9，a n+1=a n+2n+5；数列{b n}满足b1=，b n+1=b n（n≥1）．（1）求a n，b n；
（2）记数列{}的前n项和为S n，证明：≤S n＜．
【分析】（1）利用数列的递推关系，利用累加法和累积法进行求解即可．
（2）求出数列{}的通项公式，利用裂项法进行求解，结合不等式的性质进行证明即可．【解答】解：（1）由a n+1=a n+2n+5得a n+1﹣a n=2n+5，
则a2﹣a1=7，
a3﹣a2=9，
…
a n﹣1﹣a n﹣2=2（n﹣2）+5，
a n﹣a n﹣1=2（n﹣1）+5=2n+3
等式两边同时相加得
a n﹣a1=×（n﹣1）=（5+n）（n﹣1）=n2+4n﹣5，
则a n=a1+n2+4n﹣5=n2+4n﹣5+9=n2+4n+4，
所以数列{a n}的通项公式为．
又∵，，
∴，∴，，，…，，
将上述（n﹣1）个式子相乘，得，即．…（5分）
（2）∵．
∵=，
，∴
【点评】本题主要考查递推数列的应用以及数列求和，利用累加法，累积法，以及裂项法求出数列的通项公式是解决本题的关键．
22．设G为△ABC的重心，过G作直线l分别交线段AB，AC（不与端点重合）于P，Q．若
=λ，=μ．
（1）求+的值；
（2）求λμ的取值范围．
【分析】（1）用，表示出，，根据P，Q，G三点共线得出λ，μ的关系；
（2）用λ表示出μ，令λ，μ∈（0，1）得出λ的范围，则λμ可表示为关于λ的函数，求出该函数的最值即可．
【解答】解：（1）连接AG并延长，交BC于M，则M是BC的中点，设，，
，
∴．
∵P，G，Q三点共线，故存在实数t，使，
∴，
∴；
（2）由（1）得μ=，
∵λ，μ∈（0，1），∴，解得＜λ＜1．∴1＜．
∴λμ===．
∴当时，λμ取得最小值，当=1或2时，λμ取得最大值．
∴λμ的取值范围是[，）．
【点评】本题考查了平面向量的基本定理，不等式的解法，根据图形寻找向量的关系是关键．。