呼和浩特市数学高三上学期12月期末热身联考试卷C卷
呼和浩特市高三上学期期末数学试卷(理科)C卷
呼和浩特市高三上学期期末数学试卷（理科）C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）设全集为R，集合A={x|x2﹣9＜0}，B={x|﹣1＜x≤5}，则A∩（∁RB）=（）A . （﹣3，0）B . （﹣3，﹣1）C . （﹣3，﹣1]D . （﹣3，3）2. （2分）若复数z1=3+2i，z2=1﹣i，则|z1+ |=（）A . 2B . 3C . 4D . 53. （2分） (2016高二上·临川期中) 某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出8名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的平均分是86，乙班学生成绩的中位数是83，则x+y的值为（）A . 9B . 10C . 11D . 134. （2分）下列命题中正确的个数是（）（1）若直线上有无数个点不在平面内，则∥.（2）若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都平行.（3）如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行.（4）若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点.A . 0B . 1C . 2D . 35. （2分）某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其回归方程可能是（）A . ＝－10x＋200B . ＝10x＋200C . ＝－10x－200D . ＝10x－2006. （2分）设圆C：x2+y2﹣2x﹣2y﹣m=0与直线y=x﹣4相切，则圆C的半径为（）A . 2-2B . 10C . 6D . 27. （2分） (2015高三上·石景山期末) 如图的程序框图表示算法的运行结果是（）A . ﹣2B . 2C . ﹣1D . 18. （2分） (2019高二上·中山月考) 若实数x，y满足不等式组：则该约束条件所围成的平面区域的面积是（）A . 3B .C . 2D . 29. （2分）要得到函数的图像，只需将的图像（）A . 向左平移个单位长度B . 向右平移个单位长度C . 向左平移个单位长度D . 向右平移个单位长度10. （2分）(2018·攀枝花模拟) 一个几何体的视图如下图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）A .B .C .D .11. （2分） (2015高二上·湛江期末) 已知双曲线 =1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2=2px （p＞0）的准线分别交于O、A、B三点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p=（）A . 1B .C . 2D . 312. （2分） (2020高二上·榆树期末) 已知函数在上可导且满足，则下列一定成立的为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）为了解某校今年准备报考飞行员学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，其中第2小组的频数为12，则报考飞行员的总人数是________ ．14. （1分）在各项均为正数的等比数列{an}中，若a5a6=9，则log3a1+log3a2+…+log3a10=________15. （1分） (2016高三上·吉安期中) 直线l过抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F且与C相交于A，B两点，且AB的中点M的坐标为（3，2），则抛物线C的方程为________16. （1分）已知 =（，），是单位向量，且• = ，则 =________．三、解答题 (共8题；共60分)17. （10分） (201920高三上·长宁期末) 如图，某城市有一矩形街心广场，如图.其中百米，百米.现将在其内部挖掘一个三角形水池种植荷花，其中点在边上，点在边上，要求 .（1）若百米，判断是否符合要求，并说明理由；（2）设，写出面积的关于的表达式，并求的最小值.18. （5分） (2016高二上·友谊开学考) 已知数列{an}的前n项和为Sn ，且Sn=4an﹣3（n∈N*）．（Ⅰ）证明：数列{an}是等比数列；（Ⅱ）若数列{bn}满足bn+1=an+bn（n∈N*），且b1=2，求数列{bn}的通项公式．19. （10分） (2018高一上·武威期末) 如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD ＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝ .（1）证明：平面PBE⊥平面PAB；（2）求二面角A－BE－P的大小．20. （5分） (2016高二上·唐山期中) 已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的一个长轴顶点为A（2，0），离心率为，直线y=k（x﹣1）与椭圆C交于不同的两点M，N，（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）当△AMN的面积为时，求k的值．21. （5分）已知函数f（x）=（a、b∈R，a、b为常数），且y=f（x）在x=1处切线方程为y=x﹣1．（1）求a，b的值；（2）设h（x）=， k（x）=2h′（x）x2 ，求证：当x＞0时，k（x）＜+．22. （10分） (2016高一下·临川期中) 某矩形花坛ABCD长AB=3m，宽AD=2m，现将此花坛在原有基础上有拓展成三角形区域，AB、AD分别延长至E、F并使E、C、F三点共线．（1）要使三角形AEF的面积大于16平方米，则AF的长应在什么范围内？（2）当AF的长度是多少时，三角形AEF的面积最小？并求出最小面积．23. （5分）已知函数f（x）=|x﹣2|．（1）解不等式：f（x+1）+f（x+2）＜4；（2）已知a＞2，求证：∀x∈R，f（ax）+af（x）＞2恒成立．24. （10分） (2017·长沙模拟) 设函数 .（1）若，求不等式的解集；（2）若对任意满足的实数，都有成立，求证： .参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共8题；共60分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、21-1、22-1、22-2、23-1、24-1、24-2、。
高三数学12月联考答案页
2020—2021学年度上学期高三12月份联考
数学答案页
姓名：
班级：
第Ⅰ卷选择题（60分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分
1 2 3 44
5 6 7 8
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分
9 10
11 12
第Ⅱ卷非选择题（90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. . 14. .
15. . 16. ， .
四、解答题：本题共6小题，共70分.
17.（本题10分）
我选择的序号是： .
A B C D
贴条形码区
考生禁填：
缺考标记违纪标记
以上标志由监考人员用2B铅笔涂写
请在各题目的答题区域作答，超出限定区域的答案无效
18.（本题12分）
请在各题目的答题区域作答，超出限定区域的答案无效请在各题目的答题区域作答，超出限定区域的答案无效
请在各题目的答题区域作答，超出限定区域的答案无效请在各题目的答题区域作答，超出限定区域的答案无效
19.（本题12分）
A B C D A B C D A B C D A B C D
A B C D A B C D A B C D
A B C D A B C D
A B C D A B C D。
内蒙古2020年高三上学期期末数学试卷(理科)C卷(精编)
内蒙古2020年高三上学期期末数学试卷（理科）C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2018·益阳模拟) 已知全集，集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分）已知数列{an}是等差数列，Sn为其前n项和，若平面上的三点A，B，C共线，且 =a4 +a97，则S100=（）A . 100B . 101C . 50D . 513. （2分）(2019高三上·清远期末) 已知命题：恒成立，命题与圆：有公共点，则是的（）A . 必要不充分条件B . 充分不必要条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件4. （2分）(2017·新课标Ⅰ卷理) 设有下面四个命题p1：若复数z满足∈R，则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；p3：若复数z1 ， z2满足z1z2∈R，则z1= ；p4：若复数z∈R，则∈R．其中的真命题为（）A . p1 ， p3B . p1 ， p4C . p2 ， p3D . p2 ， p45. （2分） (2016高一下·榆社期中) 已知，则cos（π+2α）等于（）A .B . -C .D . -6. （2分） (2016高一下·抚顺期末) 如图所示的程序框图，它的输出结果是（）A . ﹣1B . 0C . 1D . 167. （2分） (2015高一上·洛阳期末) 在四棱锥P﹣ABCD中，各侧面是全等的等腰三角形，腰长为4且顶角为30°，底面是正方形（如图），在棱PB，PC上各有一点M，N，且四边形AMND的周长最小，点S从A出发依次沿四边形AM，MN，ND运动至点D，记点S行进的路程为x，棱锥S﹣ABCD的体积为V（x），则函数V（x）的图象是（）A .B .C .D .8. （2分）抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上点（﹣5，m）到焦点距离是6，则抛物线的标准方程是（）A . y2=﹣2xB . y2=﹣4xC . y2=2xD . y2=﹣4x或y2=﹣36x9. （2分）(2019·景德镇模拟) 已知实数，满足不等式组，若的最小值为9，则实数的值等于（）A . 3B . 5C . 8D . 910. （2分） (2020高三上·安徽月考) 已知非零向量，满足，则是的（）.A . 充分不必要条件B . 充要条件C . 必要不充分条件D . 既不充分也不必要条件11. （2分） (2018高二上·思南月考) 已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的最大值是（）A .B .C .D .12. （2分）方程2x－x2＝0的解的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 4二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高三下·上高开学考) 函数f（x）= ，则 f（x）dx的值为________．14. （1分） (2017高一上·武清期末) 给出下列五个命题：①函数的一条对称轴是x= ；②函数y=tanx的图象关于点（，0）对称；③正弦函数在第一象限为增函数；④若，则x1﹣x2=kπ，其中k∈Z；⑤函数f（x）=sinx+2|sinx|，x∈[0，2π]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围为（1，3）．以上五个命题中正确的有________（填写所有正确命题的序号）15. （1分） (2019高一上·河南月考) 函数的最大值为________.16. （1分）(2020·南昌模拟) 已知双曲线（）的左右焦点分别为，为坐标原点，点为双曲线右支上一点，若，，则双曲线的离心率的取值范围为________.三、解答题 (共8题；共70分)17. （10分）(2019高一下·邢台月考) 若是各项均为正数的数列的前项和，且．（1）求，的值；（2）设，求数列的前项和．18. （10分） (2018高二上·黑龙江期末) “酒后驾车”和“醉酒驾车”，其检测标准是驾驶人员血液中的酒精含量（简称血酒含量，单位是毫克/100毫升），当时，为酒后驾车；当时，为醉酒驾车．某市交通管理部门于某天晚上8点至11点设点进行一次拦查行动，共依法查出60名饮酒后违法驾驶机动车者，如图为这60名驾驶员抽血检测后所得结果画出的频率分布直方图（其中的人数计入人数之内）．（1）求此次拦查中醉酒驾车的人数；（2）从违法驾车的60人中按酒后驾车和醉酒驾车利用分层抽样抽取8人做样本进行研究，再从抽取的8人中任取2人，求两人中恰有1人醉酒驾车的概率．19. （10分） (2019高三上·深圳月考) 如图，在四棱锥P-ABCD中，ABCD为平行四边形，平面PAB,, .M为PB的中点.（1）求证：PD//平面AMC；（2）求锐二面角B-AC-M的余弦值.20. （10分） (2015高三上·苏州期末) 如图，已知椭圆O： +y2=1的右焦点为F，点B，C分别是椭圆O 的上、下顶点，点P是直线l：y=﹣2上的一个动点（与y轴交点除外），直线PC交椭圆于另一点M．（1）当直线PM过椭圆的右焦点F时，求△FBM的面积；（2）①记直线BM，BP的斜率分别为k1 ， k2 ，求证：k1•k2为定值；②求的取值范围．21. （10分）已知函数g（x）=x3﹣3tx2﹣3t2+t（t＞0）（1）求函数g（x）的单调区间；（2）曲线y=g（x）在点M（a，g（a））和N（b，g（b））（a＜b）处的切线都与y轴垂直，若方程g（x）=0在区间[a，b]上有解，求实数t的取值范围．22. （5分）(2017·石家庄模拟) 如图所示，过点P分别做圆O的切线PA、PB和割线PCD，弦BE交CD于F，满足P、B、F、A四点共圆．（Ⅰ）证明：AE∥CD；（Ⅱ）若圆O的半径为5，且PC=CF=FD=3，求四边形PBFA的外接圆的半径．23. （5分）(2017·榆林模拟) 在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：（φ为参数，实数a＞0），曲线C2：（φ为参数，实数b＞0）．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=α（ρ≥0，0≤α≤ ）与C1交于O、A两点，与C2交于O、B两点．当α=0时，|OA|=1；当α= 时，|OB|=2．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求2|OA|2+|OA|•|OB|的最大值．24. （10分）(2020·赤峰模拟) 已知函数（其中）．（1）当时，求不等式的解集；（2）若关于x的不等式恒成立，求a的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共8题；共70分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、23-1、24-1、24-2、。
内蒙古自治区呼和浩特市2023_2024学年高三数学上学期期末学业质量监测试题理
呼和浩特市2023—2024学年高三第一学期学业质量监测理科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号涂写在答题卡上.本试卷满分150分，考试时长120分钟.2.作答时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知复数z 的共轭复数是z ，满足()1i i z +=-，则z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知集合A x y ⎧⎪==⎨⎪⎩，(){}2lg 2B x y x x ==-，则A B = （）A.()1,2 B.()0,3C.()(),12,-∞+∞ D.()(),03,-∞+∞ 3.已知向量()4,m a = ，()2,4n =，若()()m n m n +⊥- ，则a =（）A.2B.4C.2±D.4±4.已知一个正三棱柱的三视图如下图所示，则该三棱柱的体积为（）A. B.12C. D.165.俗话说“斜风细雨不须归”，在自然界中，下雨大多伴随着刮风.已知某地8月份刮风的概率为1331，下雨的概率为1131，既刮风又下雨的概率为731.记事件A 为“8月份某天刮风”，事件B 为“8月份某天下雨”，则()P B A =（）A.711B.713C.731D.11316.在斜三角形ABC 中，若45C ∠=︒，则()()1tan 1tan A B --=（）A.1B.1- D.27.直线310kx y k --+=（k ∈R ）截圆22280x y x +--=所得弦长的最小值是（）A.2 C.4D.68.已知函数()332x xf x --=，若()()210f a f a -+<，则实数a 的取值范围为（）A.10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B.11,32⎛⎫⎪⎝⎭C.1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D.1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭9.在ABC △中，AD 为A ∠的角平分线，D 在线段BC 上，若2AB =，1AD AC ==，则BD =（）A.22C.2D.32210.小明将Rt ABD △与等边BCD △摆成如图所示的四面体，其中4AB =，2BC =，若AB ⊥平面BCD ，则四面体ABCD 外接球的表面积为（）A.163B.163π C.643π D.2711.过抛物线24y x =的焦点F 作一条直线l 交抛物线于A 、B 两点，且4AF BF=，若抛物线的准线与x 轴交于点P ，则P 点到直线l 的距离为（）A.65B.85C.125D.16512.若向量()11,a x y = ，()22,b x y =，则以a 、b 为邻边的平行四边形的面积S 可以用a 、b 的外积a b ⨯ 表示出来，即1221S a b x y x y =⨯=-.已知在平面直角坐标系中，(cos A α、()sin 2,2cos B αα，0,2πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则OAB △面积的最大值为（）A.1 C.2D.3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.521x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为______.14.将函数()()sin 2f x x ϕ=+（02πϕ<<）的图象向右平移3π个单位后，所得到的函数图象关于y 轴对称，则ϕ=______.15.已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左右焦点分別为1F 、2F ，过2F 的直线l 与双曲线C 交于A 、B 两点（A 在第一象限，B 在第四象限），若221::3:1:3AF BF BF =，则该双曲线的离心率为______.16.已知函数()()3221xf x e x x a x =+-+-，当()0,x ∈+∞时，()0f x >恒成立.则实数a 的取值范围是______.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个学生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（12分）2023年秋末冬初，某市发生了一次流感聅病，某医疗团队为研究本地的流感疾病与当地居民生活习惯（良好、不够良好）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100人（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：良好不够良好病例组2575对照组4555（1）分别估计病例组和对照组中生活习惯为良好的概率；（2）能否有99%的把握认为感染此次流感疾病与生活习惯有关？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++()2P K k≥0.0500.0100.001k3.8416.63510.82818.（12分）已知正方体ABCD A B C D '-'''的棱长为2，M 为BB '的中点，N 为DC 的中点.（1）求证：//BN 平面DMC '；（2）求平面DMC '与平面A B C D ''''夹角的余弦值.19.（12分）已知正项数列{}n a 满足：22333122n n n a a a ⎛⎫+++⋅⋅⋅+= ⎪⎝⎭.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若3nn n a b =，求数列{}n b 的前n 项和n S .20.（12分）已知椭圆C 的方程为22221x y a b +=（0a b >>），离心率为32，点31,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭在椭圆上.其左右顶点分别为1A 、2A ，左右焦点分别为1F 、2F .（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 过x 轴上的定点E （E 点不与1A 、2A 重合），且交椭圆C 于P 、Q 两点（0p y >，0Q y <），当满足1257A PA Qk k =时，求E 点的坐标.21.（12分）已知函数()2ln 1f x x x x=++.（1）求()f x 在1x =处的切线方程；（2）若()()g x xf x =，且()()()12124g x g x x x +=<，求证：122x x +>.（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（02θπ≤<），曲线2C 的参数方程为cos306sin 30x t y t =-︒⎧⎨=+︒⎩（t 为参数）.（1）求曲线1C 的普通方程；（2）若()0,1A ，)B，在曲线2C 上任取一点C ，求ABC △的面积.23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数()22f x x x =+-.（1）求不等式()3f x x ≤的解集；（2）将函数()f x 的图象与直线4y =围成图形的面积记为t ，若正数a 、b 、c 满足2a b c t ++=，求证：34≥.2024高三理科数学参考答案一、选择题123456789101112B DCABDCCBCBA二、填空题13.8014.6π15.10216.(),e -∞三、解答题17.（1）由调查数据，病例组为生活习惯为良好的频率250.25100=，因此病例组为生活习惯为良好的概率的估计值为0.25；对照组为生活习惯为良好的频率450.45100=因此对照组为生活习惯为良好的概率的估计值为0.45.（2）()22200255575458008.7911001007013091K ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯由于8.791 6.635>，故有99%的把我说患有该疾病与生活习惯有关.18.（1）证明：取DC '中点E ，连接NE 、ME 、BN ∵E 、N 为中点，∴////EN CC BM'又∵1EN BM ==，∴四边形NEMB 为平行四边形∴//BN EM又∵BN ⊄平面DMC '，EM ⊂平面DMC '∴//BN 平面DMC '（2）解：以D 点为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD '为z 轴，建立空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()0,2,2C '，()2,2,1M 设m ⊥ 平面A B C D ''''，则()0,0,1m =设n ⊥ 平面DMC '，(),,n x y z =()1,2,2n DC n n DM⎧⊥⎪⇒=-⎨⊥⎪⎩'，2cos ,3m n m n m n ⋅==⋅∴平面DMC '与平面A B C D ''''夹角的余弦值为2319.解：（1）当1n =时，2311112a +⎛⎫== ⎪⎝⎭，∴11a =当1n >时，()()2222331122n n n n n a n ⎡⎤-+-⎛⎫+=-=⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴n a n =1n =时，符合上式，∴n a n=（2）133nn n n b n ⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭()123111111123133333n nn S n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()23111111111221333333n nn n S n n n -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴1231121111113333333n nn n S n -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅++-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭3134342n n n S ⎛⎫⎛⎫=-⋅+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭20.解：（1）由题知222::4:1:3a b c =，又223141a b +=，所以24a =，21b =，故椭圆的标准方程为2214x y +=（2）设直线l 的方程为x ty m =+，()11,P x y ，()22,Q x y ，()12,0A -，()22,0A ，(),0E m 联立2214x ty m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2224240t y tmy m +++-=，0∆≥由韦达定理，得12224tmy y t +=-+，212244m y y t -=+由题得，12122572y x x y -=⋅+（*）∵221114x y +=，∴()()2211114422x y x x -==-+，2222242x y y x --=+∴()()()1212121244*2222y y y y x x ty m ty m --=⋅=++⎤⎡⎤++++⎣⎦⎦()()()1222121242222y y mmt y y t m y y m --==++++++，解得13m =故直线l 的方程为13x ty =+，经过x 轴上的定点1,03E ⎛⎫⎪⎝⎭.21.（1）解：()0,x ∈+∞，()2222ln 1f x x x x-=++'，()13f '=，()12f =故()f x 在1x =处的切线方程为31y x =-（2）证明：()22ln g x x x x =++（0x >）()12g =，()2210g x x x=++>'∵()()()12124g x g x x x +=<∴1201x x <<<，121x ->()()122121222x x x x g x g x +>⇔>>-⇔-()()()()111142240g x g x g x g x ->-⇔+--<()()240g x g x +--<⇔（01x <<）下证：()()240g x g x +--<（01x <<）令()()()24h x g x g x =+--()()()()()()()322412ln 2ln 2222x h x x x x x x x x x '-'⎡⎤=+++-+-+-=⎣⎦-∵01x <<，∴()0h x '>又()()()11140h g g =+-=，∴()0h x <，即()()()12240012g x g x x x x +--<<<⇔+>.22.解：（1）1C的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（02a π≤<），可得1C 的普通方程为2213x y +=（2）2C的普通方程为0x -=，直线AB3=-，直线AB 的方程为：313y x =-+，即0x +-=.则2C 上任意一点C 到直线AB 的距离532d ==，易得2AB =，所以，11535322222ABC S AB d =⋅=⨯⨯=△.23.解：（1）由223x x x +-≤可得2x x -≤，即()222x x -≤，解得1x ≥.所以不等式的解集为[)1,+∞.（2）()32,02,0232,2x x f x x x x x -+≤⎧⎪=+<<⎨⎪-≥⎩，由图可知：12822233t ⎛⎫=⨯+⨯= ⎪⎝⎭，则()()823a b c a b b c ++==+++≥+23a bc ===时，等号成立）即43≥+4≥.。
内蒙古高三上学期数学12月月考试卷
内蒙古高三上学期数学12月月考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共14题；共14分)1. （1分） (2018高一上·北京期中) 已知全集U=R，集合A={x|x2-4x+3＞0}，则∁UA=________．2. （1分）复数的实部为________ 。
3. （1分） (2020高二下·衢州期末) 已知向量，若，则m＝________；若，则m＝________4. （1分）双曲线x2﹣16y2=16左右焦点分别为F1 ， F2 ，直线l过双曲线的左焦点F1交双曲线的左支与A，B，且|AB|=12，则△ABF2的周长为________．5. （1分） (2017高二上·邯郸期末) “x＞3”是“x＞1”的________条件．6. （1分） (2019高一上·九龙坡月考) 已知和是偶函数，且，设，则 ________.7. （1分） (2018高二上·长寿月考) 若长方体的三条棱长的比是1 : 2 : 3，全面积为88，则这三条棱的长分别是________8. （1分）如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为________.9. （1分） (2017高一下·沈阳期末) 计算： ________．10. （1分） (2016高二上·大连期中) 已知数列{an}满足a1=10，an+1﹣an=n（n∈N*），则取最小值时n=________．11. （1分） (2016高二上·徐州期中) 在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x﹣4）2+y2=1，若直线y=kx ﹣3上至少存在一点，使得以该点为圆心，2为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________．12. （1分）已知a，b∈R* ，且ab2=4，则a+b的最小值为________．13. （1分） (2019高二下·浙江期末) 对于任意的实数b，总存在，使得成立，则实数a的取值范围为________.14. （1分） (2019高三上·吴中月考) 已知直线与函数的图像恰有四个公共点, , , ,其中 ,则 ________．二、解答题 (共6题；共75分)15. （10分）(2014·北京理) 如图，在△ABC中，∠B= ，AB=8，点D在边BC上，且CD=2，cos∠ADC= ．（1）求sin∠BAD；（2）求BD，AC的长．16. （10分） (2020高一下·沈阳期末) 如图在四棱锥中，面ABCD，底面ABCD为菱形，且∠ABC=60°，E为CD的中点，F为PD上一点.（1）求证：BD⊥平面PAC；（2）求证：平面PAB⊥平面FAE；17. （10分） (2019高一上·郑州月考) 某公司现有A、B两种产品考虑投资，它们的投资金额x与利润y（单位均为百万元）分别满足函数关系式：（其中a、b均为常数）．已知当对A、B投资金额均为3百万时，所获得A、B的利润均为6百万元，目前公司计划对A、B产品总共投资8百万元，两种产品都要投资．（1）若对A产品投资x百万元，试求投资A、B产品获得的总利润f（x）（单位：百万元）；（2）试求当A产品投资多少时，总利润达到最大值，并求出最大值．18. （15分）(2018·榆林模拟) 已知椭圆：过点，左、右焦点分别为，，且线段与轴的交点恰为线段的中点，为坐标原点．（1）求椭圆的离心率；（2）与直线斜率相同的直线与椭圆相交于、两点，求当的面积最大时直线的方程．19. （15分） (2020高三上·嵊州期末) 已知数列满足，，记．（1）求和；（2）证明：．20. （15分） (2015高二下·太平期中) 已知函数f（x）=x3﹣3x（1）讨论f（x）的单调区间；（2）若函数g（x）=f（x）﹣m在[﹣，3]上有三个零点，求实数m的取值范围；（3）设函数h（x）=ex﹣ex+4n2﹣2n（e为自然对数的底数），如果对任意的x1 ，x2∈[ ，2]，都有f （x1）≤h（x2）恒成立，求实数n的取值范围．参考答案一、填空题 (共14题；共14分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、二、解答题 (共6题；共75分)15-1、15-2、16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、。
内蒙古数学高三上学期理数12月联考试卷
内蒙古数学高三上学期理数12月联考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高三上·珠海月考) 设复数（是虚数单位），则的值为（）A .B .C .D .2. （2分） (2019高一上·营口月考) 设全集，集合，，则等于（）A .B .C .D .3. （2分） (2019高一上·上海月考) 已知实数a、b、c满足，那么“ ”是“ ”成立的（）A . 必要不充分条件B . 充分不必要条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件4. （2分）对任意实数 x,y ，定义运算，其中 a,b,c 是常数，等式右边的运算是通常的加法和乘法运算；已知，并且有一个非零常数 m ，使得对任意实数 x ，都有，则 m 的值是（）A . -4B . 4C . -5D . 65. （2分）设f(x)为定义在R上的奇函数，当时，（b为常数），则f(-1)=（）A . -3B . -1C . 1D . 36. （2分） (2019高二上·辽宁月考) 等比数列中，公比，记（即表示数列的前n项之积），则中值最大的是（）A .B .C .D .7. （2分）(2017·漳州模拟) 一个小球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下．执行下面的程序框图，则输出的S表示的是（）A . 小球第10次着地时向下的运动共经过的路程B . 小球第11次着地时向下的运动共经过的路程C . 小球第10次着地时一共经过的路程D . 小球第11次着地时一共经过的路程8. （2分） (2019高三上·潍坊期中) 函数的图象大致为（）A .B .C .D .9. （2分）将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则这个球的表面积为（）A .B .C .D .10. （2分） (2019高一下·安徽月考) 设变量，满足约束条件，若目标函数的最小值为1，则的最小值为（）A .B .C .D .11. （2分）函数在点处的切线方程是（）A .B .C .D .12. （2分）已知两个非零向量满足，则下面结论正确（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高一下·嘉兴期中) 已知，，，则________， ________.14. （1分） (2017高三上·荆州期末) 若函数f（x）=（ex+ae﹣x）sinx为奇函数，则a=________．15. （1分）(2020·南京模拟) 如图，五边形由两部分组成，是以角B为直角的直角三角形，四边形为正方形，现将该图形以为轴旋转一周，构成一个新的几何体.若形成的圆锥和圆柱的侧面积相等，则圆锥和圆柱的体积之比为________.16. （1分） (2016高二上·济南期中) 在△ABC 中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若 a= ，b=2，B=45°，则角A=________．三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分）(2020·随县模拟) 等差数列的前项和为，数列是等比数列，，， .（1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列的前项和 .18. （10分） (2018高二上·海口期中) 如图,直棱柱ABC-A1B1C1的底面△ABC中,CA=CB=1,∠ACB=90°,棱AA1=2,如图,以C为原点,分别以CA,CB,CC1为x,y,z轴建立空间直角坐标系.（1）求平面A1B1C的法向量;（2）求直线AC与平面A1B1C夹角的正弦值.19. （10分） (2016高三上·新津期中) 已知函数f（x）=sin2xcos2x+sin22x﹣．（1）求函数f（x）的最小正周期及对称中心；（2）在△ABC中，角B为钝角，角A，B，C的对边分别为a、b、c，f（）= ，且sinC= sinA，S△ABC=4，求c的值．20. （10分）设Pn=（1﹣x）2n﹣1 ， Qn=1﹣（2n﹣1）x+（n﹣1）（2n﹣1）x2 ，x∈R，n∈N*（1）当n≤2时，试指出Pn与Qn的大小关系；（2）当n≥3时，试比较Pn与Qn的大小，并证明你的结论．21. （10分）(2018·延安模拟) 如图，四棱锥中，平面是平行四边形，，分别为，的中点.（1）证明：平面；（2）若是等边三角形，平面平面，，，求三棱锥的体积.22. （10分） (2019·云南模拟) 已知函数 . （1）证明：当时，；（2）若有极大值，求的取值范围；参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。
内蒙古数学高三上学期理数12月考试试卷
内蒙古数学高三上学期理数12月考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高一上·石家庄月考) 设集合，，则（）A .B .C .D .【考点】2. （2分）(2018·衡水模拟) 若，则（）A . 1B . -1C . iD . -i【考点】3. （2分）(2019·吉林模拟) 新闻出版业不断推进供给侧结构性改革，深入推动优化升级和融合发展，持续提高优质出口产品供给，实现了行业的良性发展.下面是2012年至2016年我国新闻出版业和数字出版业营收增长情况，则下列说法错误的是（）A . 2012年至2016年我国新闻出版业和数字出版业营收均逐年增加B . 2016年我国数字出版业营收超过2012年我国数字出版业营收的2倍C . 2016年我国新闻出版业营收超过2012年我国新闻出版业营收的1.5倍D . 2016年我国数字出版营收占新闻出版营收的比例未超过三分之一【考点】4. （2分） (2018高三上·黑龙江期中) 《周碑算经》中有这样一个问题：从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列,冬至、立春、春分日影长之和为尺,前九个节气日影长之和为尺,则小满日影长为（）A . 尺B . 尺C . 尺D . 尺【考点】5. （2分） (2020·桐乡模拟) 已知函数的图象如图所示，则的解析式最有可能是（）A .B .C .D .【考点】6. （2分）设定义在实数集上函数满足：，且当时，，则有（）【考点】7. （2分）表示不同直线，M表示平面，给出四个命题：①若∥M，∥M，则∥或相交或异面；②若M，∥，则∥M；③⊥，⊥，则∥；④ ⊥M，⊥M，则∥。
其中正确命题为A . ①②B . ②③C . ③④D . ①④【考点】8. （2分）二项式（﹣）10的展开式中的系数是（）A . ﹣B .C . ﹣D .【考点】9. （2分）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的x值是（）A . 8B . 6C . 4D . 3【考点】10. （2分）若集合A={x|x≥}，则∁RA=（）【考点】11. （2分）(2019·内蒙古模拟) 已知双曲线的左、右顶点分别为，点是双曲线上与不重合的动点，若，则双曲线的离心率为（）A .B .C . 4D . 2【考点】12. （2分） (2017高二下·河北期末) 已知函数，，实数，满足，若，，使得成立，则的最大值为（）A . 4B .C .D . 3【考点】二、填空题 (共5题；共14分)13. （1分）已知向量 =（2，﹣3）， =（﹣3，x）且存在实数λ使=λ ，那么|2 + |=________．【考点】14. （1分） (2020高三上·肇庆月考) 已知等比数列中，，，则 ________．【考点】15. （1分） (2018高二下·南宁月考) 已知椭圆的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A,B两点，连接，若则的离心率 ________.【考点】16. （1分）(2020·上饶模拟) 已知三棱锥中，，，，且二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为________.【考点】17. （10分） (2018高三上·玉溪月考) 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 ,直线的参数方程为( 为参数).（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；（2）若点 ,直线与曲线交于两点且成等比数列,求值.【考点】三、解答题 (共6题；共55分)18. （10分） (2018高二上·吉林期末) 一袋中装有10个大小相同的黑球和白球.已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是 .（1）求白球的个数；（2）从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为，求随机变量的分布列.【考点】19. （5分） (2018高二上·西安月考) △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c.（1）求C；（2）若c= ,△ABC的面积为 ,求△ABC的周长.【考点】20. （10分） (2020高二上·鱼台月考) 如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，、分别是，的中点，点在线段上，且 .（1）证明：无论取何值，总有；（2）当时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【考点】21. （10分）(2019·永州模拟) 已知函数， .（1）讨论函数在上的单调性；（2）设，当时，证明： .【考点】22. （10分）(2019·临沂模拟) 已知抛物线E：上一点M 到焦点F的距离为5．（1）求抛物线E的方程；（2）直线与圆C：相切且与抛物线E相交于A，B两点，若△AOB的面积为4(O为坐标原点)，求直线的方程．【考点】23. （10分）(2017·孝义模拟) 已知函数．（1）若f（x）≥﹣|x|+a恒成立，求实数a的取值范围；（2）若对于实数x，y，有|x+y+1|≤ ，|y﹣|≤ ，求证：f（x）≤ ．【考点】参考答案一、单选题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共5题；共14分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：三、解答题 (共6题；共55分)答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：答案：23-1、答案：23-2、考点：解析：。
内蒙古呼和浩特第二中学2022-2023学年高三上学期12月月考理科数学试题(含答案解析)
内蒙古呼和浩特第二中学2022-2023学年高三上学期12月月考理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}{}3,2,1,0,1,13,Z A B x x n n =---==-∈，则A B = （）A ．{}3,1--B ．{}2,1-C ．{}3,1,1--D ．{}2,0-2．已知1i1i-=+z ，则2i z -=（）A ．1B ．3CD3．圆锥的母线长为2，侧面积为2π，若球O 的表面积与该圆锥的表面积相等，则球O 的体积为（）A ．3B ．2π3C ．2D ．3π24．为了研究汽车减重对降低油耗的作用，对一组样本数据()11,x y 、()22,x y 、L 、(),n n x y 进行分析，其中i x 表示减重质量（单位：千克），i y 表示每行驶一百千米降低的油耗（单位：升），1i =、2、L 、n ，由此得到的线性回归方程为()ˆˆ0y bx a b =+>.下述四个说法：① a的值一定为0；②ˆb 越大，减重对降低油耗的作用越大；③残差的平方和越小，回归效果越好；④至少有一个数据点在回归直线上.其中所有正确说法的编号是（）A ．①④B ．②③C ．②③④D ．①②④5．如图，111111ABCDEF A B C D E F -是底面为正六边形的直棱柱，则下列直线与直线11A B 不垂直的是（）A ．AEB ．1A EC ．1BD D ．1E F6．已知sin 1θθ=-，则（）A ．1sin 3θ<B ．1sin 2θ>C ．3cos 4θ<D ．5cos 6θ>7．甲、乙两人各有若干个苹果，其中甲的苹果不多于10个，甲的苹果数的3倍不少于乙的苹果数，乙的苹果至少比甲的苹果多7个，则甲、乙两人一共的苹果至少有（）A ．12个B ．13个C ．15个D ．16个8．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若10a ≠，且972S S =，则（）A ．230a a <B ．340a a <C ．450a a <D ．560a a <9．已知点P 是圆()()2241625x y -+-=上的点，点Q 是直线0x y -=上的点，点R 是直线125240x y -+=上的点，则PQ QR +的最小值为（）A ．7B ．335C ．6D ．29510．在锐角ABC 中，5AB =，6BC =，5cos 7C =，则以B ，C 为两个焦点且过点A 的双曲线的离心率为（）A ．74B ．32C ．3D +11．定义域为R 的函数()f x 满足()()()123f x f x f x +=-=+，且.当11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()tan =f x x ，则()ππ2f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．cos1sin2cos3B ．cos2sin2cos4C ．sin5cos2cos3D ．sin6sin2sin412．设0.12e ,2ln1.21a b -==-,则（）A ．()()1.8,1.81, 1.8,1.81a b ∉∉B ．()()1.8,1.81, 1.8,1.81a b ∉∈C ．()()1.8,1.81, 1.8,1.81a b ∈∉D ．()()1.8,1.81, 1.8,1.81a b ∈∈二、填空题13．已知,a b 为单位向量，且,3a b π= ，则32a b -= __________.14．已知a 为常数，n *∈N ，3na x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中各项系数的和与二项式系数的和均为32，则展开式中x 的系数为__________（用数字作答）.15．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F 分别为棱11,AB B C 的中点，则三棱锥1A F DE -的体积为__________.16．过抛物线2:4C y x =的焦点的直线与C 交于,A B 两点.设D 为线段AB 的中点，0a >，点(,1)P a ，若直线DP x ∥轴，且2APB π∠=，则=a __________.三、解答题17．已知数列{}n a 满足{}131152，，n n a a a a +==-是公差为1的等差数列.(1)证明：{}n a n +是等比数列；(2)求{}n a 的前n 项和n S .18．如图，三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，点1A 在底面ABC 上的射影恰好是等边ABC 的中心.(1)证明：四边形11BCC B 是正方形；(2)设,D E 分别为1,CC BC 的中点，求二面角1A A E D --的正弦值.19．设随机变量(),X B n p ，若10n，且0.1p ，则()()e 0,1,,!k P X k k n k λλ-=≈= ，其中()E X λ=，234e 2.71828,e 7.38905,e 20.08553,e 54.59815==== ．某工厂对一批零件进行抽样检测，根据经验可知每个零件是次品的概率均为0.02．(1)若从这批零件中抽取2个进行检测，求其中次品数ξ的分布列及数学期望；(2)现对这批零件抽取100个进行检测，若其中次品数多于3个，则这批零件为不合格产品．估算这批零件为不合格产品的概率（精确到0.01)．20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为()1,0F ．过F 且斜率为正数的直线交C于,P Q 两点，P 关于x 轴，y 轴的对称点分别为,R S ，且RF SF +=．(1)求C 的方程；(2)设直线QR 交x 轴于点T ，直线ST 与C 的另一交点为U ，证明：RFS QFU ∠∠=．21．已知函数()ln 1f x x x ax =-+.(1)若()2(1)f x x -，求a ；(2)若()f x 有两个零点,s t ，证明：3131e ts s t s---<<.22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为12cos ,2sin x y αα=--⎧⎨=⎩（α为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆2C 的极坐标方程为2(32cos 2)5ρθ-=.(1)求1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；(2)设P 是1C 上的点，1F ，2F 是2C 的两个焦点，求12PF PF ⋅的最大值.23．设a 、b 、c 为正数，且b c c a a ba b c+++≤≤.证明：(1)a b c ≥≥；(2)()()()2324a b b c c a abc +++≥.参考答案：1．B【分析】先利用整数集Z 的概念与列举法得到集合B ，再利用集合的交集运算即可得解.【详解】因为{}{}{}3,2,1,0,1,13,Z ,5,2,1,4,A B x x n n =---==-∈=-- ，所以{}2,1A B ⋂=-.故选：B.2．A【分析】化简复数z ，求出共轭复数z ，进而可得2i z -，即得2i z -.【详解】解：2221i (1i)12i i i,i,2i i 11i 1i 2z z z ---+====-=-=-=+-故选：A 3．C【分析】先利用圆锥侧面积公式与表面积公式求得其表面积，再利用球的表面积公式得到关于R 的方程，解之即可求得球的体积.【详解】依题意，设圆锥的底面半径为r ，母线2l =，则圆锥的侧面积为π2πrl =，故1r =，所以圆锥的底面积为2ππr =，则圆锥的表面积为2ππ3π+=，设球的半径为R ，则24π3πR =，得R =所以球的体积34π3V R ==.故选：C.4．B【分析】根据拟合直线不一定过坐标原点可知①错误；由b的实际意义可知②正确；残差的平方和越小，说明相关指数2R 越接近于1，其拟合效果越好，故③正确；由样本点和回归直线的位置关系可知④错误.【详解】 a的实际意义为当减重质量为0时，汽车每行驶一百千米所降低的油耗，从其意义上来看， a的值应该等于0，但拟合直线并不一定过坐标原点，因此 a的值可能比0略大或略小，所以①错误；ˆb的实际意义是每行驶一百千米降低的油耗量与减重质量之比，因此ˆb越大，减重对降低油耗的作用越大，所以②正确；相关指数 ()()221211==-=--∑∑ni ii n ii y y R y y ，所以残差的平方和 ()21ni ii y y =-∑越小，2R 越接近于1，回归效果越好，所以③正确；有可能没有数据点在回归直线上，所以④错误.故选：B.5．D【分析】根据线面垂直的判定定理和性质，结合平行线的性质逐一判断即可.【详解】如图，连接1AE ，则11BD AE ∥，因为11AB AB ∥，且11,,AB AE AB AA AE AA A ⊥⊥⋂=，所以AB ⊥平面1A AE ，且1A E ⊂平面11,AA E AE ⊂平面1A AE ，所以11,AB A E AB AE ⊥⊥，所以11111,A B A E A B AE ⊥⊥，又11BD AE ∥，所以111A B BD ⊥.若111A B E F ⊥，则111D E E F ⊥，且111D E EE ⊥，则11D E ⊥平面11EE F F ，显然不成立，所以11A B 不垂直于1E F.故选：D 6．D【分析】构造函数()sin 1f x x x =+-，利用导数分析函数()f x 的单调性，结合零点存在定理可得出1π26θ<<，再利用正弦函数与余弦函数的单调性逐项判断，可得出合适的选项.【详解】令()sin 1f x x x =+-，其中x ∈R ，则()1cos 0f x x '=+≥且()f x '不恒为零，所以，函数()f x 在R 上为增函数，因为sin y x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以1111πsin sin sin 022226f ⎛⎫=-=-< ⎪⎝⎭，ππ10662f ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，因为()0f θ=，由零点存在定理可知1π26θ<<，所以，11sin sin ,22θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且π1sin 11,62θθ⎛⎫=-∈- ⎪⎝⎭，且π1163->，由22sin cos 1θθ+=可得1cos 22θ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，且220253256436⎛⎫=-> ⎪⎝⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎭，即256>，故ABC 都错，D 对.故选：D.7．C【分析】设甲的苹果数为x ，乙的苹果数为y ，则3700x yy x x y ≥⎧⎪≥+⎪⎨>⎪⎪>⎩，结合线性规划和实际意义即可求解.【详解】由题意知，设甲的苹果数为x ，乙的苹果数为y ，则3700x yy x x y ≥⎧⎪≥+⎪⎨>⎪⎪>⎩，不等式组表示的平面区域如图所示，其中点(3.5,10.5)A ，由图可知，直线y x =-平移到点A 时，目标函数z x y =+取到最小值，此时 3.5,10.5x y ==，结合实际意义，x 、y 为正整数，所以4,11x y ==，满足甲的苹果不多于10个，所以甲乙两人一共的苹果至少有15个.故选：C.8．A【分析】根据等差数列前n 项和公式，可得首项1a 与公差d 的关系，再根据等差数列的通项公式求出相邻两项异号即可得出正确选项.【详解】设公差为d ，则9171936,721S a d S a d =+=+，即119361442a d a d+=+可得156d a =-，又()11115166n n a a n d a ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭所以选项中只有2a 与3a 异号，即230a a <.故选：A.9．B【分析】设圆心()1,6C ，记点()6,1E ，作圆()()224:1625C x y -+-=关于直线0x y -=的对称圆()()224:6125E x y -+-=，计算出圆心E 到直线125240x y -+=的距离d ，结合对称性可得出PQ QR +的最小值为25d -，即可得解.【详解】设圆心()1,6C ，记点()6,1E ，作圆()()224:1625C x y -+-=关于直线0x y -=的对称圆()()224:6125E x y -+-=，由对称性可知CQ EQ =，点E 到直线125240x y -+=的距离为7d =，故当ER 与直线125240x y -+=垂直时，且当Q 为ER 与直线0x y -=的交点以及点P 为圆C 与线段CQ 的交点(靠近直线0x y -=)时，2255PQ QR CQ QR EQ QR +=-=-+取得最小值，且()min 22337555PQ QR d +=-=-=.故选：B.10．C【分析】先利用余弦定理求出AC ，再根据双曲线的定义及离心率公式即可得解.【详解】解：在锐角ABC 中，5AB =，6BC =，5cos 7C =，则2222cos AB BC AC BC AC C =+-⋅，即26025367AC AC =+-,解得7AC =或117，经检验7AC =，所以在以B ，C 为两个焦点且过点A 的双曲线中，2752,26a c =-==，则1,3a c ==，所以其离心率为3c e a==.故选：C.11．A【分析】根据题意可得：函数()f x 关于直线12x =对称，且周期为2，利用函数的周期和对称轴分别求出π()2f 和(π)f 的值即可求解.【详解】由()()()123f x f x f x +=-=+可知，12x =是函数()f x 图象的对称轴方程，且函数()f x 的周期为2，所以πsin 2πππcos222tan 2π222sin2cos 22f f ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=-=-== ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭，且()()()()sin 3ππ23πtan 3πtan3cos 3f f f =-=-=-==，故()πcos2sin3cos 2cos3sin 2sin 3cos(32)cos1π2sin2cos3sin2cos3sin2cos3sin2cos3f f +-⎛⎫+=+=== ⎪⎝⎭.故选：A .12．D【分析】由()1.8220.1=+⨯-,构造()e 1xf x x =--,求导判断()f x 单调性,判断()()()0.1,0,0.1f f f -的大小,进而判断0.12e 1.8,2l 21,n1.--的大小关系,由21.811(10.1)=+-,构造()22e 1(1)x g x x =--+,求导判断单调性,判断()()0.1,0g g -的大小,进而判断0.12e ,1.81-的大小关系,构造()()21(1)22ln 1h x x x =+--++,求导判断单调性,判断()()0.1,0h h 的大小,进而判断1.81,2ln1.21-的大小关系,即可选出选项.【详解】解:由题因为()1.8220.1=+⨯-,不妨设()e 1xf x x =--,当0x <时,()e 10xf x '=-<,所以()f x 单调递减,当0x >时,()e 10xf x '=->,()f x 单调递增,所以()()00f x f ≥=,所以()()()0.10.1e 10.100f f --=--->=,即0.1e 10.10.9--=>,故0.12e 1.8->;因为()()0.10.10.1e 0.11e 1.100f f =--=->=,即0.1e 1.1>,两边同时取对数有0.1ln1.1>,即20.12ln1.1⨯>⨯,即0.2ln1.21>,所以2ln1.21 1.8->;因为21.811(10.1)=+-,不妨设()22e 1(1)x g x x =--+,则()()()2e 222200xg x x f x f ==≥'--=,所以()g x 单调递增,所以()()0.120.12e 1(10.1)00g g --=---<=,故0.12e 1.81-<;因为21.811(10.1)=+-,不妨设()()()221(1)22ln 122ln 1h x x x x x x =+--++=-++,则()2201x h x x'=≥+,所以()h x 单调递增,所以()()0.1 1.8122ln1.100h h =-+>=,故1.812ln1.21>-.综上,()()1.8,1.81, 1.8,1.81a b ∈∈.故选:D【点睛】思路点睛:该题是函数与导数综合应用题,考查构造函数比较两个数的大小,主要思路有:(1)根据题目条件,找到都有联系的关键数,令其为x ,(2)构造两个式子差的函数,(3)求导求单调性,关键数的范围即为定义域,(4)根据单调性将关键数代入,再取另一离关键数近的函数值比较大小即可.13【分析】首先将所求模长进行平方，然后根据平面向量数量积的运算公式及运算法则进行求解即可.【详解】已知a ，b均为单位向量，所以1a b == .()2222221|32|3291249||12cos 4||1312732a b a b a a b b a a b b π-=-=-⋅+=-⋅⋅+=-⨯=，所以32a b -=14．270【分析】根据二项展开式的二项式系数和为2n ，可求得n ；采用赋值法，令1x =可得各项系数和，求得a ；根据二项式定理可得展开式通项，代入2r =即可求得x 的系数.【详解】3na x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 的展开式的二项式系数和为232n =，5n ∴=；令1x =，则53a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的各项系数和为()5332a +=，解得：1a =-；则513x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式通项为：()()55521551C 313C rr r r r r r r T x x x ---+⎛⎫=⋅-=-⋅ ⎪⎝⎭，令521r -=，解得：2r =，则33353C 270T x x ==，∴展开式中x 的系数为270.故答案为：270.15．53【分析】由线面平行，根据等体积法即可求解.【详解】解：延长11C D 到点G ，使得11D G =，连接1,A G DG ，FG ，则1DG A E ∥，所以11111113A DEF D A EF G A EF E A FG A FG V V V V AA S ----====⨯⨯ ，在11Rt A B F 中，112,1AB B F ==则1A F =在1Rt GFC 中111,3FC GC ==则GF =在11Tt A D G 中1112,1A D GD ==则1AG =所以22211GA A F GF+=所以111112522A FG GA F S A =⋅== ，所以153E A FG V -=.故答案为：5316．4【分析】根据抛物线方程以及直线过焦点，联立直线和抛物线方程，由DP x ∥轴可知，D 点纵坐标为1，根据韦达定理及焦点弦公式即可求出a 的值.【详解】解：易知C 的焦点为()1,0F ，直线斜率不存在时不符合题意；设过F 的直线l 的斜率为k ，则():1l y k x =-，将()1y k x =-代入24y x =，得22(1)4k x x -=，即()2222220k x k x k -++=.设()11,A x y ，()22,B x y ，则()21212222,1k x x x xk++==，所以()()212122222222k k x x y y k k k k k+++=-=⋅-=，又因为点(,1)P a ，DP x ∥轴，所以D 点纵坐标为1，即12212y y k+==，即2k =所以1233,,12x x D ⎛⎫+= ⎪⎝⎭1225AB AF BF x x =+=++=，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可知1522DP AB ==，所以3522a -=，即4a =或1a =-（舍）故答案为：4【点睛】关键点点睛：由点(,1)P a 以及DP x ∥轴可知，D 点纵坐标为1，根据韦达定理即可得出直线斜率，再根据焦点弦公式以及π2APB ∠=可得DP 的长，进而求出4a =.17．(1)答案见解析(2)21422n n n n S +++=-，N n *∈.【分析】对于（1），证明11n n a n a n+++=+常数即可；对于（2），由（1）可知2nn a n =-，后可求得n S .【详解】（1）根据题意有2132212a a a a -+=-，即2222152,2a a a -+=-=，所以()1212211n n a a a a n n +-=-+-=-，故()112n n a n a n +++=+，所以{}n a n +是首项为2，公比为2的等比数列.（2）由（1）可知，()11122n n n a n a -+=+⨯=，所以2nn a n =-，所以()()222212n n n S =+++-+++ ()1212212n n n +-=⋅--.()2111422222n n n n n n +++++=--=-，其中N n *∈.18．(1)证明见解析5【分析】（1）利用线面垂直的判定定理可证明BC ⊥平面1A AE ，可得1BC AA ⊥，有几何体结构特征即可得出证明；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求出两平面的法向量即可求出二面角的余弦值，即可得二面角1A A E D --的正弦值.【详解】（1）设点O 为ABC 的中心，连接1AO ，连接AO 并延长交BC 于点E ，则1,AE BC A O ⊥⊥平面ABC .因为BC ⊂平面ABC ，所以1A O BC ⊥，又因为1A O AE O ⋂=，所以BC ⊥平面1A AE .因为1AA ⊂平面1A AE ，所以1BC AA ⊥，又因为111AA BB CC ∥∥，所以1BC BB ⊥，且1BC CC ⊥，所以四边形11BCC B 是矩形，因为1BC BB =，所以四边形11BCC B 是正方形.（2）以O 为坐标原点，平行于BC 且指向CB 的方向为x 轴正方向，1,OE OA 分别为y ，z 轴建立坐标系，设棱长为3，则()0,A (13,(,2A C E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭(11CC AA ==,所以13(2C -因为D 为1CC 的中点，所以3(2D -所以133,,,22222DA DE⎛⎛⎫==--⎪⎪⎝⎭⎝⎭，设平面1AEA与平面1A ED的法向量分别为()()111222,,,,,m x y z n x y z==，则122222230230222n DA xn DE x⎧⋅=-+=⎪⎪⎨⎪⋅=--=⎪⎩，即2222302x yy⎧=⎪⎪⎪=⎪⎩，取21y=，则22x zn=⎝⎭易知，平面1AEA的法向量沿x轴方向，不妨取()1,0,0m=，所以cos,5m nm nm n⋅==，故二面角1A A E D--的正弦值为5.19．(1)答案见解析(2)0.14【分析】（1）根据题意可知0,1,2ξ=，求出对应的概率，即可得出分布列和期望；（2）设X为次品的数量，则0,1,,100X= ，且()100,0.02X B，则这批零件为不合格产品的概率为()()()()10123P P X P X P X P X=-=-=-=-=，求解即可．【详解】（1）根据题意可知0,1,2ξ=，则()00220C0.020.980.9604Pξ==⨯⨯=，()121C0.020.980.0392Pξ==⨯⨯=，()22022C0.020.980.0004Pξ==⨯⨯=，所以ξ的分布列为：ξ012P0.96040.03920.0004ξ的数学期望为()20.020.04E ξ=⨯=．（2）设X 为次品的数量，则0,1,,100X = ，且()100,0.02X B ，所以10010,0.020.1n p =>=<，根据题意可知()()e 0,1,100!k P X k k k λλ-=≈= ，其中()2E X np λ===，当4,5,,100X = 时，这批零件为不合格产品，则这批零件为不合格产品的概率为()()()()10123P P X P X P X P X =-=-=-=-=，即0212223222e 2e 2e 2e 19110.140!1!2!3!3e P ----⨯⨯⨯⨯=----=-≈⨯，综上，这批产品为不合格产品的概率约为0.14．20．(1)2212x y +=(2)证明见解析【分析】（1）设F '为C 的左焦点，则SF RF='，由椭圆的定义可知2RF SF RF RF a '+=+==a ，结合1c =可得2b ，从而得C 的方程；（2）设PQ 的方程为()1(0)=->y k x k ，代入C 的方程，设()()1122,,,P x y Q x y ，则()11,R x y -，直线QR 的方程可表示为()211121y y y y x x x x ++=--，令0y =，结合韦达定理可得()2,0T ．由对称性可知直线RF 的斜率为k -，则RFO QFT ∠∠=．设直线ST 的方程为()12y k x =-，代入C 的方程，结合韦达定理可得SFO UFT ∠∠=，综合即可得出答案．【详解】（1）设F '为C 的左焦点，则由对称性可知SF RF ='，所以由椭圆的定义可知2RFSF RF RF a '+=+==a =设C 的半焦距为c ，则1c =，所以2221b a c =-=，所以C 的方程为2212x y +=．（2）设PQ 的方程为()1(0)=->y k x k ，代入C 的方程得：()2222214220k x k x k +-+-=，当0k >时，2Δ880k =+>，设()()1122,,,P x y Q x y ，则22121222422,2121k k x x x x k k -+==++，则()11,R x y -，直线QR 的方程可表示为()211121y y y y x x x x ++=--，令0y =，得()()()()12211212122112121211222kx x kx x x x x x x y x y x y y k x x x x -+--++===++-+-，将22121222422,2121k k x x x x k k -+==++代入化简得2x =，即()2,0T ．由对称性可知直线RF 的斜率为k -，O 为坐标原点，则RFO QFT ∠∠=．设直线ST 的方程为()12y k x =-，代入C 的方程得：()2222111218820k x k x k +-+-=，设()()3344,,,S x y U x y ，则221134342211882,2121k k x x x x k k -+==++，所以直线,SF UF 的斜率和为()()1343433144111122SF UFy y k k x k x k x x x x +=+=--+----()()()134343423411k x x x x x x ⎡⎤-++⎣⎦=--，将221134342211882,2121k k x x x x k k -+==++代入化简得0SF UF k k +=，故SFO UFT ∠∠=，所以RFO SFO QFT UFT ∠∠∠∠+=+，即RFS QFU ∠∠=．【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.21．(1)1(2)证明见解析【分析】（1）由()2(1)f x x -的特征可知，()200,(1)f x x ≥-≥，可令1x =求出a 的值并证明；（2）不等式右边可根据函数有两个零点求出a 的取值范围，进而确定两零点的范围，构造函数利用函数单调性即可证明；不等式左边采用分析法证明，将不等式左边转化为证明3l 13e t s t t s -⎛⎫-+< ⎪⎝⎭，再利用1st >构造函数即可得出证明.【详解】（1）若()2(1)f x x -，则()211(11)0f a =-+-= ，故1a =.当1a =时，()()ln 1,ln f x x x x f x x =-+='，当()0,1x ∈时，()()0,f x f x '<单调递减，当()1,x ∈+∞时，()()0,f x f x '>单调递增，所以()()()()()210,,(1)f x f f x f x f x x ==-等价于()2(1)f x x - .()()2(1)ln 1f x x x x x --=-+，设()ln 1g x x x =-+，则()1xg x x-'=，当()0,1x ∈时，()()0,g x g x '>单调递增，当()1,x ∈+∞时，()()0,g x g x '<单调递减，所以()()()()210,(1)0g x g f x x xg x =--=，故()2(1)f x x - .综上，若()2(1)f x x -，则1a =.所以，1a =.（2）若,s t 为()f x 的零点，则()()0f s f t ==，故11ln ln a s t s t=+=+.设()1ln k x x x=+，则()21x k x x-'=，当()0,1x ∈时，()()0,k x k x '<单调递减，当()1,x ∈+∞时，()()0,k x k x '>单调递增，故()()11k x k =，所以若()f x 有两个零点，则1a >，且在区间()()0,1,1,+∞各有一个零点.不妨设01s t <<<，则211111121101,ln ln 1ln 1ft t t t t t t t t t ⎛⎫⎛⎫<<=-++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.设()22ln 1h x x x x =-+，由（1）可知，()()()()2ln 120,h x x x g x h x =-+'=单调递减，所以()()1110f h h f s t t ⎛⎫⎛⎫=>== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为1a >，当()0,1x ∈时，()()ln 10,f x x a f x =+-<'单调递减，故1s t <，即1st >，且()ln 10g t t t =-+<，即11ln ln t t t -<-=，故l 1e ts t-<<.同理，当01t s <<<时，也有l e t s -<.方法1：3131e t s t s ---<等价于3l 13e t s t t s -⎛⎫-+< ⎪⎝⎭，且由1t s >可知，3221133s t s s s ⎛⎫-+<-- ⎪⎝⎭.设()221132ln x x x x x ϕ⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭，则()()()323211x x x x xϕ-++='，当()0,1x ∈时，()()0,x x ϕϕ'>单调递增，当()1,x ∈+∞时，()()0,x x ϕϕ'<单调递减，所以当1x ≠时，()()13x ϕϕ<=.设()11e2ln xx x x x ω-⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则()()()11222221e 1e x x x x x x x x ω--⎛⎫=-+-=-- ⎝'⎪⎭，设()21e xu x x -=，则()()12e x u x x x -=-'，当()0,2x ∈时，()()0,u x u x '>单调递增，当()2,x ∈+∞时，()()0,u x u x '<单调递减，故0x >时，()()422e u x u =<，即122e 0x x-->，当()0,1x ∈时，()()0,x x ωω'<单调递减，当()1,x ∈+∞时，()()0,x x ωω'>单调递增，所以当1x ≠时，()()13x ωω>=.所以()()21211132ln 3e 2ln ts s s t t t s s t ϕω-⎛⎫⎛⎫=--++<<=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故3131e ts t s---<.综上，3131e t s s t s---<<.方法2：由1st >可知，当1102s t << 时，33131320e 2t s s t s ---<--<<.当12s >时，由于1s t<，故只需证明3l 112e t s s s t ---<-.设()311122ln 2x x x x x x x ϕ⎛⎫⎛⎫=--++> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则()221223x x x x ϕ=--+'，当1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()()()22213112230,x x x x x x x x xϕϕ-+->--+=>'单调递增，当()1,x ∈+∞时，()()22212(1)10,x x x x x x ϕϕ-<--+=-<'单调递减，所以当12x >且1x ≠时，()()12x ϕϕ<=.设()111e 2ln x x x x x ω-⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，则()1221e x x x x ω-'=-+-，设()()u x x ω='，则()()1321e x x u x x --=+'，当()0,1x ∈时，()()0,u x u x '>单调递增，此时()()()()10,x u x u x ωω'=<=单调递减，当()1,x ∈+∞时，由上可知11e x x-<，故()()2212110,x x x x x x x ωω->-+-=>'单调递增，所以当1x ≠时，()()12x ωω>=.所以当12s >时，()()2s t ϕω<<，即31112e t s s s t ---<-，故3131e t s t s---<.综上，3131e t s s t s---<<.【点睛】方法点睛：对于第二问的证明，首先利用函数()f x 有两个零点,s t 可确定参数a 的取值范围，进而确定两零点,s t 的取值范围；再结合不等式左右两端特征，通过合理变形进行构造函数，借助函数单调性及中间值即可得出证明.22．(1)()212212:11;:15x C x y C y ++=+=；(2)3.【分析】(1)根据1C 的参数方程和22sin cos 1αα+=化简即可求出1C 的普通方程；根据二倍角的余弦公式和222x y ρ+=、sin y ρθ=化简即可求出2C 的直角坐标方程；(2)由题意可知(12cos ,2sin )P αα--，12(2,0),(2,0)F F -，根据两点坐标求距离公式可得12PF PF⋅=，结合二次函数的性质即可求解.【详解】（1）由题意知，1cos 12cos 22sin sin 2x x y y αααα+⎧=-⎪=--⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩，又22sin cos 1αα+=，所以221()()122x y +-+=，即1C 的普通方程为22(1)4x y ++=；由2(32cos 2)5ρθ-=，得22[32(12sin )]5ρθ--=，整理，得224(sin )5ρρθ+=，又222x y ρ+=，sin y ρθ=，所以2C 的直角坐标方程为2255x y +=，即2215x y +=；（2）因为P 是1C 上的点，所以(12cos ,2sin )P αα--，由(1)知，12(2,0),(2,0)F F -，得1PF =，2PF =所以12PF PF ⋅===由二次函数的性质知，当1cos 12α=时，12PF PF ⋅，所以12PF PF ⋅.23．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）由不等式的基本性质可得出111a b c≤≤，利用反比例函数在()0,∞+上的单调性可证得结论成立；（2）利用基本不等式可得出a b +≥2b c +≥，3c a +≥基本性质可证得结论成立.【详解】（1）证明：因为a 、b 、c 为正数，由b c c a a b a b c+++≤≤可得a b c a b c a b c a b c ++++++≤≤，所以，111a b c≤≤，因为函数1y x =在()0,∞+上为增函数，故a b c ≥≥.（2）证明：由基本不等式可得a b +≥2b c b b c +=++≥()32244c a c a a a +=++≥≥，由不等式的基本性质可得()()()2171131573362244412232424a b b c c a a b b c a c a b c +++≥=11764122424ab a b c abc ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭，当且仅当a b c ==时，等号成立，故()()()2324a b b c c a abc +++≥.。
2023届内蒙古呼和浩特高三年级上册学期12月月考数学(文)试题【含答案】
2023届内蒙古呼和浩特第二中学高三上学期12月月考数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}2,1,0,1A =--，{}230B x x x =+<，则A B =（ ）A ．{}2,1-B ．{}2,1--C ．{}2,1,0--D ．{}0,1【答案】B【分析】求出集合B ，利用交集的定义可求得集合A B ⋂.【详解】因为{}{}23030B x x x x x =+<=-<<，因此，{}2,1A B =--.故选：B. 2．已知1i1i-=+z ，则2i z -=（ ）A ．1B ．3CD 【答案】A【分析】化简复数z ，求出共轭复数z ，进而可得2i z -，即得 2i z -. 【详解】解：2221i (1i)12i i i,i,2i i 11i 1i 2z z z ---+====-=-=-=+- 故选：A3．圆锥的母线长为2，侧面积为2π，若球O 的表面积与该圆锥的表面积相等，则球O 的体积为（ ）A B ．2π3C D ．3π2【答案】C【分析】先利用圆锥侧面积公式与表面积公式求得其表面积，再利用球的表面积公式得到关于R 的方程，解之即可求得球的体积.【详解】依题意，设圆锥的底面半径为r ，母线2l =， 则圆锥的侧面积为π2πrl =，故1r =，所以圆锥的底面积为2ππr =，则圆锥的表面积为2ππ3π+=，设球的半径为R ，则24π3πR =，得R ，所以球的体积34π3V R ==故选：C.4．直线20x y -=被圆2288280x y x y +--+=截得的弦长为（ ）A B C D 【答案】C【分析】利用配方法，结合点到直线距离公式、勾股定理进行求解即可.【详解】由222288280(4)(4)4x y x y x y +--+=⇒-+-=，所以圆心为(4,4)，半径为2，圆心(4,4)到直线20x y -=所以弦长为故选：C5．为了研究汽车减重对降低油耗的作用，对一组样本数据()11,x y 、()22,x y 、、(),n n x y 进行分析，其中i x 表示减重质量（单位：千克），i y 表示每行驶一百千米降低的油耗（单位：升），1i =、2、、n ，由此得到的线性回归方程为()ˆˆ0y bxa b =+>.下述四个说法： ①a 的值一定为0；②ˆb越大，减重对降低油耗的作用越大； ③残差的平方和越小，回归效果越好；④至少有一个数据点在回归直线上. 其中所有正确说法的编号是（ ） A ．①④ B ．②③ C ．②③④ D ．①②④【答案】B【分析】根据拟合直线不一定过坐标原点可知①错误；由b 的实际意义可知②正确；残差的平方和越小，说明相关指数2R 越接近于1，其拟合效果越好，故③正确；由样本点和回归直线的位置关系可知④错误.【详解】a 的实际意义为当减重质量为0时，汽车每行驶一百千米所降低的油耗， 从其意义上来看，a 的值应该等于0，但拟合直线并不一定过坐标原点，因此a 的值可能比0略大或略小，所以①错误； ˆb的实际意义是每行驶一百千米降低的油耗量与减重质量之比，因此ˆb越大，减重对降低油耗的作用越大，所以②正确； 相关指数()()221211==-=--∑∑niii nii y y R y y ，所以残差的平方和()21ni ii y y =-∑越小，2R 越接近于1，回归效果越好，所以③正确；有可能没有数据点在回归直线上，所以④错误. 故选：B.6．如图，111111ABCDEF A B C D E F -是底面为正六边形的直棱柱，则下列直线与直线11A B 不垂直的是（ ）A ．AEB ．1A EC ．1BD D ．1E F【答案】D【分析】根据线面垂直的判定定理和性质，结合平行线的性质逐一判断即可.【详解】如图，连接1AE ，则11BD AE ∥，因为11AB A B ∥，且11,,AB AE AB AA AE AA A ⊥⊥⋂=，所以AB ⊥平面1AA E ，且1A E ⊂平面11,AA E AE ⊂平面1AA E ，所以11,AB A E AB AE ⊥⊥，所以11111,A B A E A B AE ⊥⊥，又11BD AE ∥，所以111A B BD ⊥.若111A B E F ⊥，则111D E E F ⊥，且111D E EE ⊥，则11D E ⊥平面11EE F F ，显然不成立，所以11A B 不垂直于1E F .故选：D7．设0.22a =，0.50.5b =，0.5log 0.2c =，则（ ） A ．a b c << B ．b c a << C ．c a b << D ．b a c <<【答案】D【分析】根据基本初等函数的单调性估计,,a b c 的取值范围，进而比较大小. 【详解】对a ：2x y =在R 上单调递增，则0.210.20222,221<=>=，即12a <<；对b：0.50.5y =[)0,∞+上单调递增，则0.50.50==>=，即01b <<； 对c ：0.5log y x =在()0,∞+上单调递减，则0.50.5log 0.2log 0.252>=，即2>c ； 综上所述：b a c <<. 故选：D.8．甲、乙两人各有若干个苹果，其中甲的苹果不多于10个，甲的苹果数的3倍不少于乙的苹果数，乙的苹果至少比甲的苹果多7个，则甲、乙两人一共的苹果至少有（ ） A ．12个 B ．13个 C ．15个 D ．16个【答案】C【分析】设甲的苹果数为x ，乙的苹果数为y ，则3700x yy x x y ≥⎧⎪≥+⎪⎨>⎪⎪>⎩，结合线性规划和实际意义即可求解.【详解】由题意知，设甲的苹果数为x ，乙的苹果数为y ，则3700x yy x x y ≥⎧⎪≥+⎪⎨>⎪⎪>⎩，不等式组表示的平面区域如图所示，其中点(3.5,10.5)A ，由图可知，直线y x =-平移到点A 时，目标函数z x y =+取到最小值， 此时 3.5,10.5x y ==，结合实际意义，x 、y 为正整数，所以4,11x y ==，满足甲的苹果不多于10个， 所以甲乙两人一共的苹果至少有15个. 故选：C.9．已知函数()sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为2T T π⎛⎫> ⎪⎝⎭，且将()y f x =的图象向右平移4π个单位后的图象关于y 轴对称，则T =（ ） A ．34πB ．πC ．32πD ．3π【答案】A【分析】根据三角函数图象的平移变换和奇偶性，可得44,Z 3k k ω=--∈，由22T ππω=>可得04ω<<，即可求解.【详解】将函数()sin()6f x x πω=+图象向右平移4π个单位长度，得sin()64y x πωπω=+-，图象关于y 轴对称， 则函数sin()cos()cos()6426434y x x x πωπππωππωπωωω=+-=--+=--为偶函数，所以,Z 34k k πωππ--=∈，解得44,Z 3k k ω=--∈；又22T ππω=>，所以04ω<<，所以83ω=， 则23π843T π==. 故选：A.10．记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin sin a B b C =，则ABC 的面积为（ ） A ．2sin 22a CB ．2sin 22b AC ．2sin 22c BD ．)222312a b c ++【答案】A【分析】根据题意和正弦定理可得sin sin A C =，进而,a c A C ==，利用诱导公式可得sin sin 2B C =，结合三角形的面积公式计算即可求解.【详解】sin sin a B b C =，由正弦定理，得sin sin sin sin A B B C =，又0B π<<，所以sin 0B ≠， 所以sin sin A C =，则,a c A C ==，所以sin sin()sin(2)sin 2B A C C C ππ=--=-=， 所以ABC 的面积为2211sin 2sin sin 2222a CS ac B a C ===. 故选：A. 11．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，两条渐近线为12,l l .设F 关于1l 的对称点为P ，且线段AP 的中点恰好在2l 上，则C 的离心率为（ ）A B C D 【答案】C【分析】方法1：根据几何性质分析可得：2OH HR OF =，运算求解；方法2：根据点关于线对称求点222,b a ab P cc ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，再求线段AP 的中点Q ，代入渐近线方程2:bl y x a =-运算求解.【详解】方法1：如图，设O 为坐标原点，()(),0,,0F c A a -，直线FP 与1:0l bx ay +=交于点H ，则1FH l ⊥，且H 为线段FP 的中点，设线段PA 中点为Q ，则Q 在2l 上，∵FH b ==，则OH a ，设直线HQ 与y 轴的交点为R ，则R 为线段HQ 的中点，且HQx 轴，则11244a cHR HQ FA +===， ∵△△OHR OFH ，则HR OH OHOF=，∴2OH HR OF =，即()24c a c a +=，整理得240c ca a⎛⎫+-= ⎪⎝⎭设双曲线的离心率为ce a=，则240e e +-=，解得e =e =（舍去）.方法2：由题意可得：()(),0,,0F c A a -， 不妨设直线1:b l y x a=，(),P m n ，则0122n b m c a n b m c a -⎧⨯=-⎪⎪+⎨-⎪=⨯⎪⎩，解得222b a m c ab n c ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即222,b a ab P c c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 设线段PA 中点为Q ，点(),0A a ，则22,2b a ac ab Q c c ⎛⎫-+-⎪⎝⎭， 将Q 点坐标代入方程2:b l y x a =-得222ab b b a ac c a c -+-=-⨯，整理得240c c a a⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，设双曲线的离心率为c e a=， 则240e e +-=，解得171e -=171e +=（舍去）. 故选：C.12．已知函数32()1f x x mx nx =+++在区间(0,1)单调递增，则（ ） A ．34m n +≤ B ．134m n +≥-C ．34m n +≤D ．134m n +≥-【答案】D【分析】由题意可知不等式2()320g x x mx n =++≥在(0,1)上恒成立，对称轴为3mx =-.分别对13m -≥、30m -<<、03m-≤三种情况讨论函数的单调性求出函数对应的最小值，结合m 的取值范围分别求出3m n +、3m n +取值范围即可.【详解】因为函数32()1f x x mx nx =+++在(0,1)上单调递增， 所以不等式2()320f x x mx n '=++≥在(0,1)上恒成立，令2()32g x x mx n =++，(0,1)x ∈，对称轴为3m x =-. 当13m-≥即3m ≤-时，函数()g x 在(0,1)上单调递减， ()(1)320g x g m n >=++≥，得23n m ≥--， 所以33233m n m m m +≥--=-，由3m ≤-知，36m -≤-，无法判断3m n +的取值范围；36959m n m m m +≥--=--，由3m ≤-知，596m --≤，无法判断3m n +的取值范围； 当013m <-<即30m -<<时，函数()g x 在(0,)3m -上单调递减，在(,1)3m-上单调递增， 所以2()()033m m g x g n >-=-+≥，得23m n ≥，所以22192733()3324m m n m m +≥+=+-， 由30m -<<知，2219271927336324324m n m ⎛⎫⎛⎫+=+->-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，221113()244m n m m m +≥+=+-≥-；当03m-≤即0m ≥时，函数()g x 在(0,1)上单调递增， ()(0)0g x g n >=≥，所以330m n m +≥≥，30m n m +≥≥. 故选：D.二、填空题13．已知a ，b 为两个互相垂直的单位向量，则2a b -=______.【分析】运用平面向量数量积的运算性质进行求解即可. 【详解】因为a ，b 为两个互相垂直的单位向量， 所以0a b ⋅=所以()222224441a b a ba b a b -=-=+-⋅=⨯+14．sin 40sin55sin50sin35+︒︒︒︒的值为______.【答案】624+##264+ 【分析】根据诱导公式，逆用、正用两角和的正弦公式进行求解即可.【详解】sin(sin 40sin 55sin 50sin 35sin 40cos35cos 40sin 354035754)sin sin()2321222530sin 262,445cos30cos 45sin 30︒︒︒︒=︒︒︒︒=︒︒=++++︒=︒︒=︒︒︒︒=⨯+=++⨯故答案为：624+ 15．四棱台的上底面是边长为2的正方形，下底面是边长为3的正方形，四条侧棱的长均为2，则该四棱台的体积为______. 【答案】1966##1966 【分析】如图，过1B 作1B EBD ⊥，垂足为E ，求出BE 、1B E ，利用相似三角形的性质求出1PO ，结合锥体的体积公式分别求出四棱锥1111P A B C D -和P ABCD -的体积即可. 【详解】如图，该四棱台为1111ABCD A B C D -，四棱锥P ABCD -的高PO 交BD 于O ，交11B D 于1O ， 由题意知，1132,22BD B D ==1B 作1B E BD ⊥，垂足为E ，则1122BD B D BE -==12BB 22116B E BB BE =- 在四棱锥P ABCD -中，11111,A B PB PB PO AB PB PB PO==， 所以11111123A B PO PO AB PO PO O O ===+，而116OO B E ==解得1PO =所以四棱锥1111P A B C D -的体积为11111111113P A B C D A B C D V S PO -=⋅=，四棱锥P ABCD -的体积为111()3P ABCD ABCD V S PO O O -=⋅+=所以四棱台1111ABCD A B C D -的体积为1111P ABCD P A B C D V V ---==16．已知直线22y x =-与抛物线24y x =交于A ，B 两点.设P 为x 轴上的点，且PA PB =，则PAB 的面积为______.【分析】设()()1122,,A x y B x y ，，抛物线的焦点为(1,0)F ，易知直线AB 过焦点F .联立方程组，求出点A 、B 的坐标，进而求出AB 中点C 的坐标，根据PA PB =可得1CP AB k k =-，求出点P 的坐标，结合1212PABSPF y y =-计算即可求解. 【详解】设()()1122,,A x y B x y ，，抛物线的焦点为(1,0)F ，易知直线AB 过焦点F .22424022y xy y y x ⎧=⇒--=⎨=-⎩，解得1211y y ==22y x =-，得12x x ==，即A B ， 所以AB 的中点坐标3(,1)2C ，设0(,0)P x ，有000113322CP k x x -==---， 又PA PB =，所以PC AB ⊥，得012132CP AB k k x =-⋅=--，解得072x =，即7(,0)2P ，所以12115222PABSPF y y =-=⨯⨯=.三、解答题17．已知数列{}n a 满足11a =，22a =，{}12n n a a +-是公差为1的等差数列. (1)证明：{}n a n +是等比数列； (2)求{}n a 的前n 项和n S . 【答案】(1)证明见解析； (2)()11222n n n ++--.【分析】(1)根据等差数列的定义求出数列1{2}n n a a +-的通项公式，可得112n n a a n ++=+，等式两边同时加n ，则1(1)2()n n a a n n ++++=，结合等比数列的定义即可证明；(2)由(1)和等比数列的通项公式可得2nn a n =-，利用分组求和法即可求解.【详解】（1）因为1{2}n n a a +-是公差为1的等差数列，2120a a -=， 所以120(1)11n n a a n n +-=+-⨯=-， 即112n n a a n ++=+，等式两边同时加n ， 得1(1)2()n n a a n n ++++=，又112a +=，所以{}n a n +是以2为首项，2为公比的等比数列； （2）由(1)知，1222n n n a n -+=⋅=，所以2n n a n =-，所以12n n S a a a =+++1221222n n =-+-++-12222(12)n n =+++-+++2(12)(1)122n n n -+=-- 1(1)222n n n ++=--18．如图，在四棱锥P ABCD -中，3PD =，底面ABCD 是边长为2的正方形，PD ⊥平面ABCD ，E 为BC 的中点，F 为PB 上的点，且2PF BF =.(1)证明：平面AEF ⊥平面ABCD ； (2)E 到平面ADF 的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2)65.【分析】(1)根据线面垂直的性质可得PD ⊥AD ，PD CD ⊥，建立如图空间直角坐标系D xyz -，求出各点、线段的坐标，根据空间向量的线性运算求出点F 的坐标，利用空间向量法求出平面AEF 的法向量n ，结合0PD n ⋅=即可证明；(2)结合(1)，利用空间向量法，根据点到平面的距离公式计算即可求解.【详解】（1）由题意知，AD CD ⊥，由PD ⊥平面ABCD ，AD CD 、⊂平面ABCD ， 得PD ⊥AD ，PD CD ⊥，建立如图空间直角坐标系D xyz -， 则(0,0,0),(0,0,3),(2,0,0),(2,2,0),(1,2,0)D P A B E ，设000(,,)F x y z ， 所以000(1,2,0),(2,2,3),(0,0,3),(2,2,)AE PB PD FB x y z =-=-=-=---， 因为2PF BF =，所以3PB FB =，即000(2,2,3)3(2,2,)x y z -=---，有00023(2)23(2)33x y z=-⎧⎪=-⎨⎪-=-⎩，解得00044,,133x y z ===，即44(,,1)33F ，所以24(,,1)33AF =-，易知(0,0,3)PD =-为平面ABCD 的一个法向量，设平面AEF 的一个法向量为111(,,)n x y z =，则11111202433n AE x y n AF x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，令11y =，得112,0x z ==， 所以(2,1,0)n =，所以0PD n ⋅=，得PD n ⊥， 故平面AEF ⊥平面ABCD ；（2）由(1)知，(2,0,0)AD =-，设平面ADF 的一个法向量为222(,,)m x y z =， 则2222202433m AD x m AF x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，令23y =，得220,4x z ==-， 所以(0,3,4)m =-，又(1,2,0)AE =-，所以点E 到平面ADF 的距离为65AE m d m⋅==.19．甲、乙两人加工一批标准直径为50mm 的钢球共1500个，其中甲加工了600个，乙加工了900个.现分别从甲、乙两人加工的钢球中各抽取50个进行误差检测，其结果如下： 直径误差(mm)0.3- 0.2- 0.1- 00.1+ 0.2+0.3+从甲加工的钢球中抽到的个数 2 6 8 20 5 6 3 从乙加工的钢球中抽到的个数 1 4724 662(1)估计这批钢球中直径误差不超过0.1mm ±的钢球的个数；(2)以甲、乙各自加工的钢球的总数为依据按分层抽样的方法从直径误差为0.2mm -的钢球中抽取5个，再从这5个钢球中随机抽取2个，求这2个钢球都是乙加工的概率； (3)你认为甲、乙两人谁加工的钢球更符合标准？并说明理由.【答案】(1)1062； (2)310； (3)乙更符合标准，理由见解析.【分析】（1）根据题意表格中的数据，分别求出甲、乙加工钢球直径误差不超过0.1±mm 的个数即可；（2）先求出比例，结合古典概型的概率计算即可； （3）观察表格中的数据，即可下结论.【详解】（1）由题意知，加工直径误差不超过0.1±mm 的钢球中， 甲：3360039650⨯=个，乙：3790066650⨯=个， 所以这批钢球中直径误差不超过0.1±mm 的钢球一共有3966661062+=个； （2）甲、乙加工钢球的总数之比为600:9002:3=，所以抽取的5个钢球中，甲占2个，记为A ，B ，，乙占3个，记为a ，b ，c ，从5个钢球中抽取的2个钢球的基本事件有：,,,,,,,.,AB Aa Ab Ac Ba Bb Bc ab ac bc ，共十个， 则全是乙加个的基本事件为：.,ab ac bc ，共3个； 所以所求概率为310P =； （3）乙加工的钢球更符合标准.理由：甲、乙各加工的50个钢球中直径误差为0mm 的个数：甲有20个，乙有24个，2024<；甲生产的钢球中误差达到0.3±的个数较多.20．已知椭圆222:1(0)8x y C a a +=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为C 上一点，且当1PF x ⊥轴时，2103PF =.(1)求C 的方程；(2)设C 在点P 处的切线交x 轴于点Q ，证明：1221PF QF PF QF ⋅=⋅. 【答案】(1)22198x y +=； (2)证明见解析.【分析】(1)根据题意设00(,)(0)P c y y ->，则18PF a =，结合椭圆的定义可得81023a a +=，解方程即可；(2)易知当切线斜率不存在时等式成立；当切线斜率存在且不为0时，设00(,)P x y ，利用导数的几何意义和直线的点斜式方程求出切线方程，令0y =，求出Q 的坐标，利用两点坐标求距离公式分别求出12,PF PF ，12,QF QF ，进而表示出12QF QF 、12PF PF ，结合2200198x y +=化简计算即可.【详解】（1）由题意知，28a >，得a > 当1PF x ⊥轴时，设00(,)(0)P c y y ->，代入椭圆方程，得220218y c a +=，解得08y a =，即18PF a =，由椭圆的定义知，122PF PF a +=，又2103PF =，所以81023a a +=，由a >3a =，故椭圆C 的方程为22198x y ；（2）当切线斜率不存在时，切线方程为3x =±，此时点P 与点Q 重合，等式成立； 当切线斜率为0时，切线与x 轴不相交，不符合题意； 当切线斜率存在时，设00(,)P x y ，由22198x y，得y =2)y x ''=-=所以切线的斜率为k =00)y x x y =-+，即2003x y +=+整理得220000)x y y x =+-，即008972x x y y +=，所以切线方程为00198+=x x y y， 令0y =，得09x x =，即9(,0)Q x ， 由(1)知，12(1,0),(1,0)F F -，则12PF PF = 0012000099991,1x x QF QF x x x x +-=+==-=， 又2200198x y +=，得2200889y x =-，所以01002009999x QF x x QF x x x ++==--，102099PF x PF x +===-， 所以1122PF QF PF QF =，即1221PF QF PF QF ⋅=⋅，即证. 21．已知2x =是函数2()e x f x ax =-的极值点. (1)求a ；(2)证明：()f x 有两个零点，且其中一个零点02,0e x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭；(3)证明：()f x 的所有零点都大于1ln 22-.【答案】(1)2e 4；(2)证明见解析； (3)证明见解析.【分析】(1)根据极值点的定义可得(2)0f '=，求得2e 4a =，检验即可； (2)根据函数零点个数、方程的根个数与函数图象交点的个数之间的联系，作出e xy =和22e 4y x =函数图象，结合图形即可判断零点的个数.利用零点的存在性定理即可判断零点的范围；(3)根据零点的定义可得221e (0)()4x h x x x -==≠，利用导数研究函数()h x 的性质，根据不等式的性质可得213132,0()1ln 222ln 22-<-<-<<--，又32e 4>，由放缩法可得11()ln 224h <-，结合图形即可证明.【详解】（1）2()e x f x ax =-，则()e 2x f x ax '=-， 因为2x =是函数()f x 的极值点，所以(2)0f '=，即2e 40a -=，解得2e 4a =.当2e 4a =时，2e ()e 2xf x x '=-，当(1,2)x ∈时，()0f x '<，函数()f x 单调递减， 当(2,)x ∈+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，所以2x =是函数()f x 的极小值点，故2e 4a =； （2）由(1)知，22e ()e 4xf x x =-，令()0f x =，则22e e 4xx =，作e xy =和22e 4y x =函数图象，如图所示，由图可知，两函数图象有2个交点，且一个交点分布在(,0)-∞上，另一个分布在(0,)+∞上， 所以方程()0f x =有2个解，即函数()y f x =有2个零点. 易知2是函数()f x 的一个零点，设另一个零点为0x ，又(0)10=>f ，2222ee 2e 2()e ()e 10e 4ef ---=--=-<，所以2(0)()0e f f -<，又函数()f x 在定义域上连续，由零点的存在性定理，知02(,0)ex ∈-；（3）由(1)知，22e ()e 4xf x x =-，当0x =时，(0)1f =， 当0x ≠时，令()0f x =，则22e 14x x -=， 设22e (0)()x h x x x -=≠，则()0h x >，23e (2)()x xx h x --='， 令()00h x x '>⇒<或2x >，令()002h x x '<⇒<<，所以函数()h x 在(,0)-∞和(2,)+∞上单调递增，在(0,2)上单调递减， 又1(2)0,(2)4h h ->=，2ln221-<-<-，得111ln 222-<<-- 所以213132,0()1ln 222ln 22-<-<-<<--，又332e >16e 4⇒>，所以当1ln 22x =-时，1322ln 2223322221e e (ln 22)11()11ln 224()()e e ln 22ln 22h ----=<=<<---，作出函数()y h x =和14y =的图象，如图所示，由图可知，两函数图象的交点的的横坐标都大于1ln 22-，故函数()f x 的所有零点都大于1ln 22-.【点睛】与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点，从而判断函数的大致图象，讨论其图象与x 轴的位置关系，进而确定参数的取值范围；或通过对方程等价变形转化为两个函数图象的交点问题．22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为12cos ,2sin x y αα=--⎧⎨=⎩（α为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆2C 的极坐标方程为2(32cos 2)5ρθ-=.(1)求1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；(2)设P 是1C 上的点，1F ，2F 是2C 的两个焦点，求12PF PF ⋅的最大值. 【答案】(1)()212212:11;:15x C x y C y ++=+=；143【分析】(1)根据1C 的参数方程和22sin cos 1αα+=化简即可求出1C 的普通方程；根据二倍角的余弦公式和222x y ρ+=、sin y ρθ=化简即可求出2C 的直角坐标方程；(2)由题意可知(12cos ,2sin )P αα--，12(2,0),(2,0)F F -，根据两点坐标求距离公式可得12PF PF ⋅2119648(cos )123α=--+. 【详解】（1）由题意知，1cos 12cos 22sin sin 2x x y y αααα+⎧=-⎪=--⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩，又22sin cos 1αα+=，所以221()()122x y+-+=， 即1C 的普通方程为22(1)4x y ++=；由2(32cos 2)5ρθ-=，得22[32(12sin )]5ρθ--=， 整理，得224(sin )5ρρθ+=，又222x y ρ+=，sin y ρθ=， 所以2C 的直角坐标方程为2255x y +=，即2215x y +=； （2）因为P 是1C 上的点，所以(12cos ,2sin )P αα--， 由(1)知，12(2,0),(2,0)F F -，得1PF =2PF所以12PF PF ⋅== 由二次函数的性质知，当1cos 12α=时，12PF PF ⋅所以12PF PF ⋅. 23．设a 、b 、c 为正数，且b c c a a b a b c+++≤≤.证明： (1)a b c ≥≥；(2)()()()2324a b b c c a abc +++≥. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析【分析】（1）由不等式的基本性质可得出111a b c≤≤，利用反比例函数在()0,∞+上的单调性可证得结论成立；（2）利用基本不等式可得出a b +≥，2b c +≥3c a +≥可证得结论成立.【详解】（1）证明：因为a 、b 、c 为正数，由b c c a a b a b c +++≤≤可得a b c a b c a b ca b c++++++≤≤， 所以，111a b c≤≤， 因为函数1y x=在()0,∞+上为增函数，故a b c ≥≥.（2）证明：由基本不等式可得a b +≥2b c b b c +=++≥()322c a c a a a +=++≥≥=由不等式的基本性质可得()()()2171131573362244412232424a b b c c a a b b c a c a b c +++≥=11764122424ab a b c abc ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭，当且仅当a b c ==时，等号成立，故()()()2324a b b c c a abc +++≥.。
内蒙古呼和浩特市2013届高三数学上学期12月月考试题文.
21呼和浩特某重点中学2013届高三上学期12月月考数学（文）试题本试卷分第I 卷（选择题）和第H 卷（非选择题）两部分，满分 150分。
考试用时120分钟。
第I 卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共 12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的）。
1.已知集合 M 二｛x|3 • 2x _x 2.0｝, N 二｛x|x .a ｝，若 M N ,则实数a 的取值范围是31 9.设函数 f （x ） = 3cos （2^） - sin （2x ■ ：：） （| ;：p —），且其图象关于直线2x =0对称，则（）A. y 二f （x ）的最小正周期为 二，且在（0/ ）上为增函数（ ）A . [3, ；）B .2. 已知p :直线a 与平面 A .充分不必要条件 C •充要条件3. 设｛a n ｝是等差数列， A . 12 B. 134. 有两条不同的直线 m A. m 〃a, n 且 a C. m 〃a, n 丄 B,且 a （3, ：：） C . （_：：, _1] D . （_：：, _1）a 内无数条直线垂直， q ：直线a 与平面a 垂直, B .必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 a^6，则这个数列的前 5项和等于（a 2 n 与两个不同的平面 a , B ,下列命题正确的是 /B,贝 U mil n B . ml a , n 丄B,且 a 丄B,贝 U mil n D . ml a , n / B,且 a( ).丄 B ,贝U m// n 〃B,则 / " / 1\/ /1■24 12二 B . 28 12二20 12二 D . 20 8二设函数f （x ）定义在实数集C.B.2 1 f (匚厂：f ⑵：：f (3)1 1f(2) ：：： f(-p ： f(-)2 3 D.ml n2B. y二f （x）的最小正周期为二，且在（0,—）上为减函数23C. y = f (x)的最小正周期为 二，且在(0,巴)上为增函数24 D. y = f (x)的最小正周期为 二，且在(0/：)上为减函数2410.已知点 G 是 ABC 重心，若.A =120 , AB AC - -2 ,每小题5分，共20分) y 2二3截得的弦长等于 、出V 314 .已知:-为第二象限角，sin’：：亠cos，贝V cos2 -315. 已知三棱柱 ABC - A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面，各顶点都在都在同一球面上，若AB 二AA 1 =2,AC =1,・BAC =60，则此球的表面积等于 ____________TTT T16. 已知S n 是数列｛a n ｝的前n 项和，向量a =(a n -1,-2) , b =(4,S n ),且满足a _ b ,则S 5_S3三、解答题：(本大题共6小题，共70分。
内蒙古呼伦贝尔市数学高三上学期理数12月联考试卷
内蒙古呼伦贝尔市数学高三上学期理数12月联考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共12分)1. （1分）(2018·南阳模拟) 复数满足 ,则（）A .B .C .D .2. （1分）设x，y∈R，则“x＜0且y＜0”是“x+y-4<0”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 既不充分也不必要条件D . 充分必要条件3. （1分） (2018高二下·保山期末) 若函数的图象与直线相切，则（）A .B .C .D .4. （1分）(2018·齐齐哈尔模拟) 等比例数列的前项和为，公比为，若则，（）A .B . 2C .D . 35. （1分）(2017·福建模拟) 设函数f（x）= 在区间[0，e]上随机取一个实数x，则f（x）的值不小于常数e的概率是（）A .B . 1﹣C .D .6. （1分）已知点A(3,)，O是坐标原点，点P（x，y）的坐标满足，设z为在上的投影，则z的取值范围是（）A . [-,]B . [﹣3，3]C . [-,3]D . [-3,]7. （1分） (2017高二下·长春期中) 已知（x﹣）8展开式中常数项为1120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是（）A . 28B . 38C . 1或38D . 1或288. （1分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=，则AA1与平面AB1C1所成的角为（）A .B .C .D .9. （1分）如果AC＜0，BC＜0，那么直线Ax+By+C=0不通过A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限10. （1分） log212﹣log23=（）A . -2B . 0C .D . 211. （1分）已知椭圆，长轴在y轴上. 若焦距为4，则m等于（）A . 4B . 5C . 7D . 8.12. （1分） (2018高二下·重庆期中) 定义在上的函数满足，对任意的，且，均有 .若关于的不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·怀化模拟) 在平面四边形ABCD中，AB=3，AC=12，cos∠BAC= ，• =0，则BD的最大值为________．14. （1分） (2016高一上·蓟县期中) 已知f（x）在R上是增函数，且f（2）=0，则使f（x﹣2）＞0成立的x的取值范围是________15. （1分）等差数列{an}的前3项和为30，前9项和为210，则它的前6项和为________．16. （1分）(2018·虹口模拟) 函数，对于且（），记，则的最大值等于________．三、解答题 (共7题；共14分)17. （2分） (2017高三下·武威开学考) 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为．（Ⅰ）求cosB的值；（Ⅱ）若，求a和c的值．18. （2分）如图，正三棱柱A1B1C1﹣ABC，点D，E分别是A1C，AB的中点．（1）求证：ED∥平面BB1C1C（2）若AB=BB1 ，求证：A1B⊥平面B1CE．19. （2分） (2017高二下·宜昌期中) 某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为2，4，4．现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．（I）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；（ II）设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．20. （2分）(2017·淄博模拟) 已知抛物线C：y2=4x，点M与抛物线C的焦点F关于原点对称，过点M且斜率为k的直线l与抛物线C交于不同两点A，B，线段AB的中点为P，直线PF与抛物线C交于两点E，D．（Ⅰ）判断是否存在实数k使得四边形AEBD为平行四边形．若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；（Ⅱ）求的取值范围．21. （2分） (2018高三上·贵阳月考) 已知函数，且.（Ⅰ）设，求的单调区间及极值；（Ⅱ）证明：函数的图象在函数的图象的上方.22. （2分） (2017高二上·长春期末) 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为 .（1）写出直线的普通方程及圆的直角坐标方程；（2）点是直线上的点，求点的坐标，使到圆心的距离最小.23. （2分） (2017高一上·广州月考) 已知函数（1）证明：函数是偶函数；（2）利用绝对值及分段函数知识，将函数解析式写成分段函数的形式，然后画出函数图像（草图），并写出函数的值域；（3）在同一坐标系中画出直线，观察图像写出不等式的解集.参考答案一、单选题 (共12题；共12分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共14分) 17-1、18-1、19-1、20-1、21-1、22-1、22-2、23-1、23-2、23-3、。
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呼和浩特市数学高三上学期12月期末热身联考试卷C卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共10题；共10分)
1. （1分）若集合M=｛y|y=3x},N=,（）。
A .
B . （0，]
C .
D .
2. （1分）在复平面内，复数对应的点位于（）
A . 第一象限
B . 第二象限
C . 第三象限
D . 第四象限
3. （1分） (2018高二下·磁县期末) 方程表示双曲线的一个充分不必要条件是
A .
B .
C .
D .
4. （1分）设,i是虚数单位，则“x=－3”是“复数z=（x2+2x－3）+（x－1）i为纯虚数”的（）
A . 充分不必要条件
B . 必要不充分条件
C . 充要条件
D . 既不充分也不必要条件
5. （1分）如图，点P从点O出发，分别按逆时针方向沿周长均为12的正三角形、正方形运动一周，O,P两点连线的距离y与点P走过的路程x的函数关系分别记为，定义函数
对于函数，下列结论正确的个数是（）
①；
②函数的图象关于直线对称；
③函数值域为；
④函数增区间为．
A . 1
B . 2
C . 3
D . 4
6. （1分）二项式的展开式中常数项是（）
A . 28
B . -7
C . 7
7. （1分）若实数x、y满足则S＝2x＋y－1的最大值为（）
A . 6
B . 4
C . 3
D . 2
8. （1分）(2012·湖南理) 函数f（x）=sinx﹣cos（x+ ）的值域为（）
A . [﹣2，2]
B . [﹣， ]
C . [﹣1，1]
D . [﹣， ]
9. （1分） (2018高二下·河南月考) 已知，若对任意两个不等的正实数，都有恒成立，则实数的取值范围是（）
A .
B .
C .
D .
10. （1分）若长度为定值的线段AB的两端点分别在x轴正半轴和y轴正半轴上移动，O为坐标原点，则
的重心、内心、外心、垂心的轨迹都不可能是（）
A . 点
C . 圆弧
D . 抛物线的一部分
二、填空题 (共7题；共7分)
11. （1分） (2018高二下·通许期末) 设随机变量ξ的概率分布列为（k＝0，1，2，3），则 ________．
12. （1分） (2019高三上·吉林月考) 若，，则 ________．
13. （1分）如图是一个空间几何体的三视图，根据图中尺寸（单位：cm），可知几何体表面积是________ cm2
14. （1分）直线y=kx﹣7与y=﹣3x+4平行，则 k=________
15. （1分）(2017·福州模拟) 已知向量，则 =________．
16. （1分）(2016·安庆模拟) 有5名优秀毕业生到母校的3个班去做学习经验交流，则每个班至少去一名的不同分派方法种数为________．
17. （1分） (2019高二下·上海月考) 平面外的直线与平面所成的角是，则的取值范围是________.
三、解答题 (共5题；共10分)
18. （2分）(2017·吴江模拟) 已知函数，．
（1）求函数f（x）的值域；
（2）已知锐角△ABC的两边长a，b分别为函数f（x）的最小值与最大值，且△ABC的外接圆半径为，求△ABC的面积．
19. （2分） (2017高二下·桃江期末) 如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=AA1 ，AB⊥AC，M是CC1的中点，N是BC的中点，点P在线段A1B1上运动．
（Ⅰ）求证：PN⊥AM；
（Ⅱ）试确定点P的位置，使直线PN和平面ABC所成的角最大．
20. （2分） (2017高一下·南通期中) 已知数列{an}的前n项和为Sn ，且a1+a5=17．
（1）若{an}还同时满足：
①{an}为等比数列；②a2a4=16；③对任意的正整数n，a2n＜a2n+2，试求数列{an}的通项公式．
（2）若{an}为等差数列，且S8=56．
①求该等差数列的公差d；②设数列{bn}满足bn=3n•an，则当n为何值时，bn最大？请说明理由．
21. （2分） (2018高二下·齐齐哈尔月考) 设抛物线的准线与轴交于，抛物线的焦点，以为焦点，离心率的椭圆与抛物线的一个交点为；自引直线交抛物线于
两个不同的点，设 .
（1）求抛物线的方程及椭圆的方程；
（2）若，求的取值范围.
22. （2分） (2018高三上·贵阳月考) 已知函数，且.（Ⅰ）设，求的单调区间及极值；
（Ⅱ）证明：函数的图象在函数的图象的上方.
参考答案一、单选题 (共10题；共10分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
二、填空题 (共7题；共7分)
11-1、
12-1、
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
17-1、
三、解答题 (共5题；共10分) 18-1、答案：略
18-2、答案：略
19-1、
20-1、
20-2、
21-1、答案：略21-2、答案：略22-1、答案：略。