小学奥数 变速问题 精选例题练习习题(含知识点拨)

1、 能够利用以前学习的知识理清变速变道问题的关键点
2、 能够利用线段图、算术、方程方法解决变速变道等综合行程题。

3、 变速变道问题的关键是如何处理“变”
变速变道问题属于行程中的综合题，用到了比例、分步、分段处理等多种处理问题等解题方法。

对于这种分段变速问题，利用算术方法、折线图法和方程方法解题各有特点。

算术方法对于运动过程的把握非常细致，但必须一步一步来；
折线图则显得非常直观，每一次相遇点的位置也易于确定；
方程的优点在于无需考虑得非常仔细，只需要知道变速点就可以列出等量关系式，把大量的推理过程转化成了计算．
行程问题常用的解题方法有
⑴公式法
即根据常用的行程问题的公式进行求解，这种方法看似简单，其实也有很多技巧，使用公式不仅包括公式的原形，也包括公式的各种变形形式；有时条件不是直接给出的，这就需要对公式非常熟悉，可以推知需要的条件；
⑵图示法
在一些复杂的行程问题中，为了明确过程，常用示意图作为辅助工具．示意图包括线段图和折线图．图示法即画出行程的大概过程，重点在折返、相遇、追及的地点．另外在多次相遇、追及问题中，画图分析往往也是最有效的解题方法；
⑶比例法
行程问题中有很多比例关系，在只知道和差、比例时，用比例法可求得具体数值．更重要的是，在一些较复杂的题目中，有些条件(如路程、速度、时间等)往往是不确定的，在没有具体数值的情况下，只能用比例解题；
⑷分段法
在非匀速即分段变速的行程问题中，公式不能直接适用．这时通常把不匀速的运动分为匀速的几段，在每一段中用匀速问题的方法去分析，然后再把结果结合起来；
⑸方程法
在关系复杂、条件分散的题目中，直接用公式或比例都很难求解时，设条件关系最多的未知量为未知数，抓住重要的等量关系列方程常常可以顺利求解．
【例 1】 小红和小强同时从家里出发相向而行。

小红每分走 52 米，小强每分走 70 米，二人在途中的 A
处相遇。

若小红提前 4 分出发，且速度不变，小强每分走 90 米，则两人仍在 A 处相遇。

小
知识精讲 教学目标
变速问题
红和小强两人的家相距多少米？
【例2】甲、乙两人沿400 米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去。

相遇后甲比原来速度增加 2 米／秒，乙比原来速度减少 2 米／秒，结果都用24 秒同时回到原地。

求甲原来的速度。

【例3】A、B两地相距7200 米，甲、乙分别从A，B两地同时出发，结果在距B地2400 米处相遇．如果乙的速度提高到原来的3倍，那么两人可提前10分钟相遇，则甲的速度是每分钟行
多少米？
【例4】甲、乙两车分别从A，B两地同时出发相向而行，6 小时后相遇在C点．如果甲车速度不变，乙车每小时多行 5 千米，且两车还从A，B两地同时出发相向而行，则相遇地点距C点12
千米；如果乙车速度不变，甲车速度每小时多行 5 千米，则相遇地点距C点16 千米．甲车
原来每小时行多少千米？
【巩固】甲、乙二人分别从A、B两地同时出发相向而行，5 小时后相遇在C点。

如果甲速度不变，乙每小时多行 4 千米，且甲、乙还从A、B两地同时出发相向而行，则相遇点D距C点lO千
米；如果乙速度不变，甲每小时多行 3 千米，且甲、乙还从A、B两地同时出发相向而行，则
相遇点E距C点 5 千米。

问：甲原来的速度是每小时多少千米？
【例5】A、B两地间有一座桥(桥的长度忽略不计)，甲、乙二人分别从两地同时出发，3 小时后在桥上相遇．如果甲加快速度，每小时多走 2 千米，而乙提前0.5 小时出发，则仍能恰在桥上相
遇．如果甲延迟0.5 小时出发，乙每小时少走 2 千米，还会在桥上相遇．则A、B两地相距
多少千米？
【例6】一列火车出发 1 小时后因故停车0.5 小时，然后以原速的3/4前进，最终到达目的地晚1.5 小时．若出发1 小时后又前进90 公里再因故停车0.5 小时，然后同样以原速的3/4前进，则到
达目的地仅晚1 小时，那么整个路程为多少公里？
【例7】王叔叔开车从北京到上海，从开始出发，车速即比原计划的速度提高了1/9，结果提前一个半小时到达；返回时，按原计划的速度行驶280 千米后，将车速提高1/6，于是提前1 小时40 分
到达北京．北京、上海两市间的路程是多少千米？
【例8】甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山，他们两人的下山速度都是各自上山速度的 1.5 倍，而且甲比乙速度快。

两人出发后1 小时，甲与乙在离山顶600 米处相遇，当
乙到达山顶时，甲恰好到半山腰。

那么甲回到出发点共用多少小时？
【例9】小华以每小时8/3千米的速度登山，走到途中A点后，他将速度改为每小时2千米，在接下来的1小时中，他走到山顶，又立即下山，并走到A点上方500米的地方．如果他下山的速度是
每小时4千米，下山比上山少用了52.5分钟．那么，他往返共走了多少千米？
【例10】甲、乙两车从A、B两地同时出发相向而行，5 小时相遇；如果乙车提前1 小时出发，则差13千米到中点时与甲车相遇，如果甲车提前1 小时出发，则过中点37 千米后与乙车相遇，
那么甲车与乙车的速度差等于多少千米/小时？
【例11】甲、乙两名运动员在周长400米的环形跑道上进行10000米长跑比赛，两人从同一起跑线同时起跑，甲每分钟跑400米，乙每分钟跑360米，当甲比乙领先整整一圈时，两人同时加速，乙的
速度比原来快1
4
，甲每分钟比原来多跑18米，并且都以这样的速度保持到终点．问：甲、乙两
人谁先到达终点？
【例12】环形场地的周长为1800米，甲、乙两人同时从同一地点出发相背而行(甲速大于乙速)，12分钟后相遇．如果每人每分钟多走25米，则相遇点与前次相差33米，求原来二人的速度．
【例13】王刚骑自行车从家到学校去，平常只用20分钟。

因途中有2千米正在修路，只好推车步行，步
行速度只有骑车速度的1
3
，结果这天用了36分钟才到学校。

从王刚家到学校有多少千米？
【例14】甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行．出发时，甲，乙的速度之比是5:4，相遇后甲的速度减少20%，乙的速度增加20%．这样当甲到达B地时，乙离开A地还有10千米．那
么A、B两地相距多少千米？
【例15】甲、乙往返于相距1000米的A，B两地．甲先从A地出发，6分钟后乙也从A地出发，并在距A地600米的C地追上甲．乙到B地后立即原速向A地返回，甲到B地休息1分钟后加快速度
向A地返回，并在C地追上乙．问：甲比乙提前多少分钟回到A地？
【例16】一辆大货车与一辆小轿车同时从甲地开往乙地，小轿车到达乙地后立即返回，返回时速度提高50%。

出发2小时后，小轿车与大货车第一次相遇，当大货车到达乙地时，小轿车刚好走到甲、乙两地的中点。

小轿车在甲、乙两地往返一次需要多少时间？
【例17】甲、乙两地间平路占1
5
，由甲地去往乙地，上山路千米数是下山路千米数的
2
3
，一辆汽车从甲
地到乙地共行了10小时，已知这辆车行上山路的速度比平路慢20%，行下山路的速度比平路快
20%，照这样计算，汽车从乙地回到甲地要行多长时间？
【例18】甲、乙二人在同一条圆形跑道上作特殊训练：他们同时从同一地出发，沿相反方向跑，每人跑
完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙的速度是甲的速度的2
3
．甲跑
第二圈的速度比第一圈提高了1
3
，乙跑第二圈的速度提高了
1
5
，已知沿跑道看从甲、乙两人第
二次相遇点到第一次相遇点的最短路程是190米，问这条跑道长多少米？
【例19】甲、乙两人沿400米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去．相遇后甲比原来速度增加4米／秒，乙比原来速度减少4米／秒，结果都用25秒同时回到原地．求甲
原来的速度．
【巩固】从A村到B村必须经过C村，其中A村至C村为上坡路，C村至B村为下坡路，A村至B村的总路程为20千米．某人骑自行车从A村到B村用了2小时，再从B村返回A村又用了1小时45分．已知自行车上、下坡时的速度分别保持不变，而且下坡时的速度是上坡时速度的2倍．求A、C之间的路程及自行车上坡时的速度．
【例20】欢欢和贝贝是同班同学，并且住在同一栋楼里．早晨7:40，欢欢从家出发骑车去学校，7:46追上了一直匀速步行的贝贝；看到身穿校服的贝贝才想起学校的通知，欢欢立即调头，并将速度
提高到原来的2倍，回家换好校服，再赶往学校；欢欢8:00赶到学校时，贝贝也恰好到学校．如
果欢欢在家换校服用去6分钟且调头时间不计，那么贝贝从家里出发时是点
分．
【例21】甲、乙两人都要从A地到B地去，甲骑自行车，乙步行，速度为每分钟60米．乙比甲早出发20分钟，甲在距A地1920米的C处追上乙，两人继续向前，甲发现自己忘带东西，于是将速
度提高到原来的1.5倍，马上返回A地去取，并在距离C处720米的D处遇上乙．甲到达A地
后在A地停留了5分钟，再以停留前的速度骑往B地，结果甲、乙两人同时到达B地．A、B
两地之间的距离是米．
【例22】小芳从家到学校有两条一样长的路，一条是平路，另一条是一半上坡路，一半下坡路．小芳上学走这两条路所用的时间一样多．已知下坡的速度是平路的1.6倍，那么上坡的速度是平路速度
的多少倍？
【例23】赵伯伯为锻炼身体，每天步行3小时，他先走平路，然后上山，最后又沿原路返回。

假设赵伯伯在平路上每小时行4千米，上山每小时行3千米，下山每小时行6千米，在每天锻炼中，他
共行走多少米？
【例24】王老师每天早上晨练，他第一天跑步1000米，散步1600米，共用25分钟；第二天跑步2000米，散步800米，共用20分钟。

假设王老师跑步的速度和散步的速度均保持不变。

求：(1)王
老师跑步的速度；(2)王老师散步800米所用的时间。

【例25】某校在400米环形跑道上进行1万米比赛，甲、乙两名运动员同时起跑后，乙的速度始终保持不变，开始时甲比乙慢，在第15分钟时甲加快速度，并保持这个速度不变，在第18分钟时甲
追上乙并且开始超过乙。

在第23分钟时甲再次追上乙，而在23分50秒时甲到达终点。

那么，
乙跑完全程所用的时间是多少分钟？
【例26】甲、乙两人同时同地同向出发，沿环形跑道匀速跑步．如果出发时乙的速度是甲的2.5倍，当乙第一次追上甲时，甲的速度立即提高25%，而乙的速度立即减少20%，并且乙第一次追上甲的
地点与第二次追上甲的地点相距100米，那么这条环形跑道的周长是米．
【例27】如图所示，甲、乙两人从长为400米的圆形跑道的A点背向出发跑步。

跑道右半部分(粗线部分）道路比较泥泞，所以两人的速度都将减慢，在正常的跑道上甲、乙速度均为每秒8米，而在泥
泞道路上两人的速度均为每秒4米。

两人一直跑下去，问：他们第99次迎面相遇的地方距A点
还有米。

【例28】丁丁和乐乐各拿了一辆玩具甲虫在400米跑道上进行比赛，丁丁的玩具甲虫每分钟跑30米，乐乐的玩具甲虫每分钟跑20米，但乐乐带了一个神秘遥控器，按第一次会使丁丁的玩具甲虫以原
来速度的10%倒退1分钟，按第二次会使丁丁的玩具甲虫以原来速度的20%倒退1分钟，以此
类推，按第N次，使丁丁的玩具甲虫以原来的速度的10%
N 倒退1分钟，然后再按原来的速度继续前进，如果乐乐在比赛中最后获胜，他最少按次遥控器。

【例29】唐老鸭和米老鼠进行5000米赛跑．米老鼠的速度是每分钟125米，唐老鸭的速度是每分钟100米．唐老鸭有一种能使米老鼠停止或减速的遥控器，每次使用都能使米老鼠进入“麻痹”状态1
分钟，1分钟后米老鼠就会恢复正常，遥控器需要1分钟恢复能量才能再使用．米老鼠对“麻痹”
状态也在逐渐适应，第1次进入“麻痹”状态时，米老鼠会完全停止，米老鼠第2次进入“麻痹”
状态时，就会有原速度5%的速度，而第3次就有原速度10%的速度……，第20次进入“麻痹”
状态时已有原速度95%的速度了，这以后米老鼠就再也不会被唐老鸭的遥控器所控制了．唐老
鸭与米老鼠同时出发，如果唐老鸭要保证不败，它最晚要在米老鼠跑了多少米的时候第一次使
用遥控器?
【例30】小周开车前往某会议中心，出发20分钟后，因为交通堵塞，中途延误了20分钟，为了按时到达会议中心，小周将车速提高了25%，小周从出发时算起到达会议中心共用了多少分钟？
【例31】如图，甲、乙分别从A、C两地同时出发，匀速相向而行，他们的速度之比为5:4，相遇于B地
后，甲继续以原来的速度向C地前进，而乙则立即调头返回，并且乙的速度比相遇前降低1
5
，
这样当乙回到C地时，甲恰好到达离C地18千米的D处，那么A、C两地之间的距离是__________千米。

D
C
B
A
【例32】甲、乙两车分别从A、B两地同时出发相向而行，甲车速度为32千米/时，乙车速度为48千米
/时，它们到达B地和A地后，甲车速度提高1
4
，乙车速度减少
1
6
，它们第一次相遇地点与第二
次相遇地点相距74千米，那么A、B之间的距离是多少千米？
【例33】上午8点整，甲从A地出发匀速去B地，8点20分甲与从B地出发匀速去A地的乙相遇；相遇后甲将速度提高到原来的3倍，乙速度不变；8点30分，甲、乙两人同时到达各自的目的地．那
么，乙从B地出发时是8点分．
【例34】甲、乙往返于相距1000米的A，B两地．甲先从A地出发，6分钟后乙也从A地出发，并在距A地600米的C地追上甲．乙到B地后立即原速向A地返回，甲到B地休息1分钟后加快速度
向A地返回，并在C地追上乙．问：甲比乙提前多少分钟回到A地？
【例35】汽车从甲地到乙地，先行上坡，后行下坡，共用9.4小时。

如果甲、乙两地相距450千米，上坡车速为每小时45千米，下坡车速为每小时50千米，那么原路返回要小时。

【例36】如图所示，有A、B、C、D四个游乐景点，在连接它们的三段等长的公路AB、BC、CD上，汽车行驶的最高时速限制分别是120千米、40千米和60千米。

一辆大巴车从A景点出发驶向D
景点，到达D点后立刻返回；一辆中巴同时从D点出发，驶向B点。

两车相遇在C景点，而当
中巴到达B点时，大巴又回到了C点，已知大巴和中巴在各段公路上均以其所能达到且被允许
的速度尽量快地行驶，大巴自身所具有的最高时速大于60千米，中巴在与大巴相遇后自身所具
有的最高时速比相遇前提高了12.5%，求大巴客车的最高时速。

D
C
B
A
【巩固】从甲市到乙市有一条公路，它分成三段．在第一段上，汽车速度是每小时40千米；在第二段上，汽车速度是每小时90千米；在第三段上，汽车速度是每小时50千米．己知第一段公路的长恰
好是第三段的2倍，现有两汽车分别从甲、乙两市同时出发，相向而行，1小时20分后，在第
二段从甲到乙方向的1
3
处相遇．那么，甲、乙两市相距多少千米？
E
A B C D
【例37】现在甲乙两辆车往返于相距20千米的A、B两地，甲车先从A地出发，9分钟后乙车也从A地出发，并且在距离A地5千米的C地追上甲车。

乙车到B地之后立即向A地原速驶回，甲车到
B地休息12分钟之后加快速度向A地返回，并在C地又将乙车追上。

那么最后甲车比乙车提前
多少分钟到A地？
【例38】甲、乙两地相距100千米,小张先骑摩托车从甲地出发,1小时后小李驾驶汽车从甲地出发,两人同时到达乙地.摩托车开始速度是每小时50千米,中途减速后为每小时40千米.汽车速度是每小时
80千米,汽车曾在途中停驶1O分钟.那么小张驾驶的摩托车减速是在他出发后的多少小时?
【例39】甲、乙两人在400米圆形跑道上进行10000米比赛．两人从起点同时同向出发，开始时甲的速度为每秒8米，乙的速度为每秒6米．当甲每次追上乙以后，甲的速度每秒减少2米，乙的速
度每秒减少0.5米．这样下去，直到甲发现乙第一次从后面追上自己开始，两人都把自己的速
度每秒增加O.5米，直到终点．那么领先者到达终点时，另一人距终点多少米?
【例40】如图21-l，A至B是下坡，B至C是平路，C至D是上坡.小张和小王在上坡时步行速度是每小时4千米，平路时步行速度是每小时5千米，下坡时步行速度是每小时6千米．小张和小王分
别从A和D同时出发，1小时后两人在E点相遇．已知E在BC上，并且E至C的距离是B至
C距离的1
5
．当小王到达A后9分钟，小张到达D．那么A至D全程长是多少千米?
【例41】老王开汽车从A到B为平地（见右上图），车速是30千米／时；从B到C为上山路，车速是
22.5千米／时；从C到D为下山路，车速是36千米／时。

已知下山路是上山路的2倍，从A
到D全程为72千米，老王开车从A到D共需要多少时间？
【例42】张明的家离学校4千米，他每天早晨骑自行车上学，以20千米／时的速度行进，恰好准时到校。

一天早晨，因为逆风，他提前0.2时出发，以10千米／时的速度骑行，行至离学校2.4千
米处遇到李强，他俩互相鼓励，加快了骑车的速度，结果比平常提前5分24秒到校。

他遇到李
强后每时骑行多少千米？
【例43】甲、乙二人同时从起点出发沿同一方向行走，甲每时行5千米，而乙第1时行1千米，第2时行2千米，以后每时都比前1时多行1千米。

问：经过多长时间乙追上甲？
【例44】甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山。

他们两人下山的速度都是各自上山速度的2倍。

甲到山顶时，乙距山顶还有400米；甲回到山脚时，乙刚好下到半山腰。

求从山
脚到山顶的距离。

【例45】甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山。

他们两人下山的速度都是各自上山速度的2倍。

开始后1时，甲与乙在离山顶400米处相遇，当甲回到山脚时，乙刚好下到半山
腰。

问：乙比甲晚多少时间回到山脚？
【例46】甲、乙两地相距6720米，某人从甲地步行去乙地，前一半时间平均每分钟行80米，后一半时间平均每分钟行60米.问他走后一半路程用了多少分钟？
【巩固】甲、乙两地相距6千米，某人从甲地步行去乙地，前一半时间平均每分钟行80米，后一半时间平均每分钟行70米．问他走后一半路程用了多少分钟？
【例47】游乐场的溜冰滑道如下图。

溜冰车上坡每分行400米，下坡每分行600米。

已知从A点到B点需3.7分，从B点到A点只需2.5分。

问：AC比BC长多少米？。