全国版高考数学必刷题：第九单元 平面向量

第九单元 平面向量
考点一 平面向量的线性运算
1.(2015年全国Ⅱ卷)设向量a ,b 不平行,向量λa+b 与a+2b 平行,则实数λ= .
【解析】∵λa+b 与a+2b 平行,∴λa+b=t (a+2b )(t ∈R ),即λa+b=ta+2tb , ∴{λ=t,1=2t,解得{λ=1
2
,t =12.
【答案】1
2
2.(2015年全国Ⅰ卷)设D 为△ABC 所在平面内一点,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则( ).
A.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-13
AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +43
AC ⃗⃗⃗⃗⃗
B.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =13
AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -43
AC ⃗⃗⃗⃗⃗
C.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =43
AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13
AC ⃗⃗⃗⃗⃗
D.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =43
AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -13
AC ⃗⃗⃗⃗⃗
【解析】AD
⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13
BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13
(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=43
AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -13
AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-13
AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +43
AC ⃗⃗⃗⃗⃗ .故选A . 【答案】A
3.(2017年全国Ⅲ卷)在矩形ABCD 中,AB=1,AD=2,动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上.若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ+μ的最大值为( ).
A.3
B.2√2 C .√5 D .2
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系,则点C 的坐标为(2,1).
设BD 与圆C 切于点E ,连接CE ,则CE ⊥BD.
∵CD=1,BC=2, ∴BD=√12+22=√5, EC=
BC ·CD BD =5=2√5
5
, 即圆C 的半径为
2√5
5
, ∴点P 的轨迹方程为(x-2)2+(y-1)2=4
5.
设P (x 0,y 0),则{
x 0=2+2√5
5
cosθ,y 0=1
+2√55
sinθ(θ
为参数),
而AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0,y 0),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0).
∵AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(0,1)+μ(2,0)=(2μ,λ),
∴μ=1
2x 0=1+√5
5cos θ,λ=y 0=1+
2√5
5
sin θ. 两式相加,得
λ+μ=1+
2√55sin θ+1+√5
5
cos θ=2+sin (θ+φ)≤3 (其中sinφ=
√5
5
,cosφ=
2√5
5
), 当且仅当θ=π2
+2k π-φ,k ∈Z 时,λ+μ取得最大值3. 故选A . 【答案】A
考点二 向量的数量积运算
4.(2016年全国Ⅱ卷)已知向量a=(1,m ),b=(3,-2),且(a+b )⊥b ,则m=( ).
A .-8
B .-6
C .6
D .8
【解析】因为a=(1,m ),b=(3,-2),所以a+b=(4,m-2).
因为(a+b )⊥b ,所以(a+b )·b=0,所以12-2(m-2)=0,解得m=8. 【答案】D
5.(2016年全国Ⅲ卷)已知向量BA
⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,√32),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,1
2
),则∠ABC=( ).
A.30°
B.45°
C.60°
D.120°
【解析】因为BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,
√32),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,12),所以BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =√34+√34=√3
2
.又因为BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos ∠ABC=1×1×cos ∠ABC ,所以cos ∠ABC=√3
2
.又0°≤∠ABC ≤180°,所以∠ABC=30°.故选A .
【答案】A
6.(2017年天津卷)在△ABC 中,∠A=60°,AB=3,AC=2,若BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R ),且AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =-4,则λ的值为 .
【解析】由题意,知|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3,|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2, AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC
⃗⃗⃗⃗⃗ =3×2×cos 60°=3, AD
⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23
BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23
(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13
AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23
AC ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴ AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2
3
AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =
λ-23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2λ3
AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2
=
λ-23
×3-13×32+2λ
3×22 =113λ-5=-4,解得λ=3
11.
【答案】311
7.(2017年北京卷)设m ,n 为非零向量,则“存在负数λ,使得m =λn ”是“m ·n<0”的( ).
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】由题意知|m|≠0,|n|≠0.
设m 与n 的夹角为θ. 若存在负数λ,使得m =λn , 则m 与n 反向共线,θ=180°, 所以m ·n=|m||n|cos θ=-|m||n|<0.
当90°<θ<180°时,m ·n<0,此时不存在负数λ,使得m =λn. 故“存在负数λ,使得m =λn ”是“m ·n<0”的充分而不必要条件. 故选A . 【答案】A
8.(2017年山东卷)已知e 1,e 2是互相垂直的单位向量.若√3e 1-e 2与e 1+λe 2的夹角为60°,则实数λ的值是 .
【解析】由题意知|e 1|=|e 2|=1,e 1·e 2=0,
|√3e 1-e 2|=√(√3e 1-e 2)2=√3e 12-2√3e 1·e 2+e 22
=√3-0+1=2.
同理|e 1+λe 2|=√1+λ2. 所以cos 60°=
(√3e 1-e 2)·(e 1+λe 2)
|3e -e ||e +λe |
=
√3e 12√3λ122
2
2√1+λ=
√3-2√1+λ=1
2,
解得λ=√3
3
.
【答案】√3
3
考点三 与向量的模有关的运算
9.(2017年全国Ⅰ卷)已知向量a ,b 的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|= .
【解析】|a+2b|=√(a +2b)2
=√a 2+4a ·b +4b 2
=√22+4×2×1×cos60°+4×12 =√12=2√3.
【答案】2√3
10.(2016年全国Ⅰ卷)设向量a=(m ,1),b=(1,2),且|a+b|2
=|a|2
+|b|2
,则m= .
【解析】∵|a+b|2
=|a|2
+|b|2
+2a ·b=|a|2
+|b|2
,∴a ·b=0.
又a=(m ,1),b=(1,2),∴m+2=0,∴m=-2. 【答案】-2
11.(2017年浙江卷)已知向量a ,b 满足|a|=1,|b|=2,则|a+b|+|a-b|的最小值是 ,最大值是 .
【解析】设a ,b 的夹角为θ.
∵|a|=1,|b|=2,
∴|a+b|+|a-b|=√(a +b)2+√(a -b)2 =√5+4cosθ+√5-4cosθ.
令y=√5+4cosθ+√5-4cosθ, 则y 2
=10+2√25-16cos 2θ.
∵θ∈[0,π],∴cos 2θ∈[0,1],∴y 2∈[16,20], ∴y ∈[4,2√5],即|a+b|+|a-b|∈[4,2√5].
【答案】4 2√5
考点四 平面向量在平面几何中的应用
12.(2017年全国Ⅱ卷)已知△ABC 是边长为2的等边三角形,P 为平面ABC 内一点,则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC
⃗⃗⃗⃗⃗ )的最小值是( ). A.-2 B.-3
2
C.-43
D.-1
【解析】如图,PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PD ⃗⃗⃗⃗⃗ (D 为BC 的中点),则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PD ⃗⃗⃗⃗⃗ .
要使PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PD ⃗⃗⃗⃗⃗ 最小,则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与PD ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相反,即点P 在线段AD 上,则(2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PD ⃗⃗⃗⃗⃗ )min =-2|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||PD ⃗⃗⃗⃗⃗ |,问题转化为求|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||PD ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值. 又|PA
⃗⃗⃗⃗⃗ |+|PD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2×√3
2
=√3, ∴|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||PD ⃗⃗⃗⃗⃗ |≤(|PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+|PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
|2
)2=(√3
2
)2
=34
,
∴[PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )]min =(2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PD ⃗⃗⃗⃗⃗ )min =-2×34=-3
2.
故选B . 【答案】B
13.(2017年浙江卷)如图,已知平面四边形ABCD ,AB ⊥BC ,AB=BC=AD=2,CD=3,AC 与BD 交于点O ,记I 1=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,I 2=OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,I 3=OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OD
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则( ). A.I 1<I 2<I 3 B.I 1<I 3<I 2 C.I 3<I 1<I 2 D.I 2<I 1<I 3
【解析】∵I 1-I 2=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ -OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ , 又OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CA
⃗⃗⃗⃗⃗ 所成角为钝角, ∴I 1-I 2<0,即I 1<I 2.
∵I 1-I 3=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OD
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos ∠AOB-|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos ∠COD =cos ∠AOB (|OA
⃗⃗⃗⃗⃗ ||OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |-|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |), 又∠AOB 为钝角,OA<OC ,OB<OD ,
∴I 1-I 3>0,即I 1>I 3. ∴I 3<I 1<I 2.
故选C . 【答案】C
高频考点:向量的坐标运算、向量的线性运算及基本定理、向量的数量积均是高考热点,在历年高考中都有出现.
命题特点:1.高考每年都会出现一道小题,考查的内容有向量的坐标运算、向量的线性运算及基本定理、向量的数量积.
2.一般以容易题出现,但偶尔会以中档题和难题出现,所以难度要把控好.
§9.1平面向量的概念及线性运算
一向量的有关概念
1.向量:既有大小又有方向的量;向量的大小叫作向量的长度(或模).
2.零向量:长度为的向量;其方向是任意的,记作0.
3.单位向量:长度等于的向量.非零向量a的单位向量为±a
|a|
4.平行向量(也称共线向量):方向或的非零向量.(0与任一向量平行或共线)
5.相等向量:长度且方向的向量.
6.相反向量:长度且方向的向量.
二向量的线性运算
1.向量的加(减)法法则有法则和法则,向量的加法运算满足
和.
2.实数λ与向量a的积是一个向量,且|λa|=|λ||a|;当λ0时,λa的方向与a的方向相同;当λ0时,λa的方向与a的方向相反;当λ=0时,λa=0.
3.向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一实数λ,使得b=λa.
☞ 左学右考
如图,在正方形ABCD 中,E 为CD 的中点,F 为BC 上靠近点B 的一个三等分点,则EF
⃗⃗⃗⃗⃗ =( ).
A .12
AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -13
AD ⃗⃗⃗⃗⃗
B .23
AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12
AD ⃗⃗⃗⃗⃗ C .13
AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -12
AD ⃗⃗⃗⃗⃗ D .12
AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -23
AD ⃗⃗⃗⃗⃗
下列命题中,正确的个数是( ).
①若|a|=|b|,则a=b ; ②若a=b ,则a ∥b ; ③|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |;
④若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c.
A .1
B .2
C .3
D .4
已知O 是△ABC 所在平面内一点,D 为BC 边的中点,且2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则( ).
A .AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
B .AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
C .AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =3O
D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D .2AO
⃗⃗⃗⃗⃗ =OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
知识清单
一、2.零 3.1个单位 4.相同 相反 5.相等 相同 6.相等 相反
二、1.平行四边形 三角形 交换律 结合律 2.> < 基础训练
1.【解析】EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =EC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12
AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -2
3
AD ⃗⃗⃗⃗⃗ .
【答案】D
2.【解析】∵a 与b 的方向不能确定,∴①错误;②③正确;若b 为零向量,则a 与c 的方向不能确定,∴④错误. 【答案】B
3.【解析】由2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0可知,O 是底边BC 上的中线AD 的中点,故AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 【答案】A
题型一 平面向量的概念辨析
【例1】给出下列命题:
①若|a|=|b|,则a ∥b ;②若A ,B ,C ,D 是不共线的四点,则“AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ”是“四边形ABCD 为平行四边形”的必要不充分条件;③若a=b ,b=c ,则a=c ;④“a=b ”的充要条件是“|a|=|b|且a ∥b ”.
其中正确命题的序号是 .
【解析】①不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定共线.
②正确.若四边形ABCD 为平行四边形,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|DC ⃗⃗⃗⃗⃗ |. ③正确.∵a=b ,∴a ,b 的长度相等且方向相同.
又b=c ,∴b ,c 的长度相等且方向相同,
∴a ,c 的长度相等且方向相同,故a=c.
④不正确.当a ∥b 且方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到a=b ,故“|a|=|b|且a ∥b ”不是“a=b ”的充要条件,而是必要不
充分条件.
综上所述,正确命题的序号是②③. 【答案】②③
正确理解相等向量、共线向量、单位向量以及向量的模等相关概念及其含义是解题的关键.
【变式训练1】下列命题中正确的是( ).
A .若a 与b 共线,b 与c 共线,则a 与c 也共线
B .|a|=|b|,则a=±b
C .向量a 与b 不共线,则a 与b 都是非零向量
D .有相同起点的两个非零向量不平行
【解析】由于零向量与任一向量都共线,所以A 不正确;模相等的两个向量方向是不确定的,所以B 不正确;向量的平行只要求方向相同或相反,与起点是否相同无关,所以D 不正确;对于C ,由零向量与任一向量都共线,可知C 正确,故选C .
【答案】C
题型二 向量的线性运算
【例2】(2017龙岩模拟)如图,下列结论正确的是( ).
①PQ
⃗⃗⃗⃗⃗ =3
2a+3
2b ;②PT ⃗⃗⃗⃗⃗ =3
2
a-b ; ③PS ⃗⃗⃗⃗ =32a-12b ;④PR ⃗⃗⃗⃗⃗ =3
2
a+b. A .①② B .③④ C .①③ D .②④
【解析】①根据向量的加法法则,得PQ
⃗⃗⃗⃗⃗ =3
2
a+32
b ,故①正确;②根据向量的减法法则,得PT ⃗⃗⃗⃗⃗ =32
a-32
b ,故②错误;③PS ⃗⃗⃗⃗ =PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +QS ⃗⃗⃗⃗⃗ =32
a+32
b-2b=32
a-12
b ,故③正确;④PR ⃗⃗⃗⃗⃗ =PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +QR ⃗⃗⃗⃗⃗ =32
a+32
b-b=32
a+1
2b ,故④错误.故选C .
【答案】C
结合图形性质,准确、灵活运用三角形法则和平行四边形法则是向量加减运算的关键.
【变式训练2】如图,已知AB 是圆O 的直径,点C ,D 是半圆弧的两个三等分点,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,则AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ).
A .a-1
2
b
B .12
a-b
C .a+12
b
D .12
a+b
【解析】连接CD ,由点C ,D 是半圆弧的三等分点,得CD ∥AB 且CD
⃗⃗⃗⃗⃗ =12
AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12
a ,所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b+12
a. 【答案】D
题型三 共线向量定理及应用
【例3】设两个非零向量a 与b 不共线.
(1)若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+2b ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3a-5b ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-5a+b ,求证:A ,B ,D 三点共线. (2)试确定实数k ,使ka+b 与a+kb 共线. 【解析】(1)∵AB
⃗⃗⃗⃗⃗ =a+2b ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3a-5b ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-5a+b , ∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =3a-5b-5a+b=-2a-4b
=-2(a+2b )=-2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,
∴AB
⃗⃗⃗⃗⃗ 与BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线. 又∵它们有公共点B ,
∴A ,B ,D 三点共线.
(2)∵k a+b 与a+kb 共线,
∴存在实数λ,使ka+b =λ(a+kb ),
即ka+b =λa +λk b ,∴(k-λ)a=(λk -1)b.
∵a ,b 是不共线的两个非零向量,
∴k -λ=λk -1=0,∴k 2-1=0,∴k=±1.
解决点共线或向量共线的问题,要利用向量共线定理,先设后求.
【变式训练3】已知向量a=2e 1-3e 2,b=2e 1+3e 2,c=2e 1-9e 2,其中向量e 1,e 2不共线,若存在实数λ,μ,使向量d =λa +μb 与c 共线,
求λμ
的值.
【解析】∵d =λ(2e 1-3e 2)+μ(2e 1+3e 2)
=(2λ+2μ)e 1+(-3λ+3μ)e 2,
要使d 与c 共线,则应有实数k ,使d=kc , 即(2λ+2μ)e 1+(-3λ+3μ)e 2=2ke 1-9ke 2,
∴{
2λ+2μ=2k,
-3λ+3μ=-9k,
得λ=-2μ,
∴λ
μ=-2.
方法 待定系数法在平面向量的线性运算中的应用
用两个已知向量来表示另一向量的问题中,找不到问题的
切入口,可利用待定系数法求解.例如用a 、b 表示OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,可设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =ma+nb ,再结合图形,利用向量共线建立方程,用方程的思想求解.方程思想是解决此类题的关键,要注意体会.
【突破训练】如图,在△ABO 中,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =1
4
OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12
OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD 与BC 相交于点M ,设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b.试用a 和b 表示向量OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .
【解析】设OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =ma+nb ,则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =ma+nb-a=(m-1)a+nb.
AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =12
OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =-a+12
b.
∵A ,M ,D 三点共线,∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线.
∴存在实数t ,使得AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t AD ⃗⃗⃗⃗⃗ , 即(m-1)a+nb=t (-a +1
2
b).
∴(m-1)a+nb=-ta+1
2tb.
∴{m -1=-t,
n =t 2
,
消去t 得,m+2n=1. ① ∵CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =ma+nb-1
4a=(m -1
4
)a+nb ,
CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b-14
a=-1
4
a+b.
又∵C ,M ,B 三点共线,∴CM
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线. ∴存在实数t 1,使得CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t 1CB ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴(m -1
4)a+nb=t 1(-1
4a +b),
∴{m -1
4=-14t 1,
n =t 1,消去t 1得,4m+n=1. ②
由①②得m=17
,n=37
,
∴OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =17a+3
7
b.
1.(2017湖南二模)设e 0为单位向量,①若a 为平面内的某个向量,则a=|a|e 0;②若a 与e 0平行,则a=|a|e 0;③若a 与e 0平行且|a|=1,则a=e 0.上述命题中,假命题的个数是( ).
A .0
B .1
C .2
D .3
【解析】向量是既有大小又有方向的量,a 与|a|e 0的模相同,但方向不一定相同,故①是假命题;若a 与e 0平行,则a 与e 0的方向有两种情况:一是同向,二是反向,反向时a=-|a|e 0,故②③也是假命题.
【答案】D
2.(2017南城中学质检)如图,在正六边形ABCDEF 中,BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ). A .0 B .BE ⃗⃗⃗⃗⃗ C .AD
⃗⃗⃗⃗⃗ D .CF
⃗⃗⃗⃗⃗ 【解析】由图知BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =CF ⃗⃗⃗⃗⃗ . 【答案】D
3.(2017运城一中质检)设a ,b 不共线,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a+pb ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+b ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =a-2b ,若A ,B ,D 三点共线,则实数p 的值为( ).
A .-2
B .-1
C .1
D .2
【解析】∵BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+b ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =a-2b , ∴BD
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a-b. 又∵A ,B ,D 三点共线,∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线. 设AB
⃗⃗⃗⃗⃗ =λBD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴2a+pb =λ(2a-b ), ∴p=-λ,2=2λ,∴λ=1,p=-1.
【答案】B
4.(2017四平二中二模)已知向量a ,b 不共线,c=ka+b (k ∈R ),d=a-b.如果c ∥d ,那么( ).
A .k=1且c 与d 同向
B .k=1且c 与d 反向
C .k=-1且c 与d 同向
D .k=-1且c 与d 反向 【解析】∵c ∥d ,∴c =λd ,即ka+b =λ(a-b ),∴{k =λ,
λ=-1.
【答案】D
5.(2017西宁市一模)如图,在△ABC 中,点D 在边BC 上,且CD=2DB ,点E 在边AD 上,且AD=3AE ,则用向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示CE
⃗⃗⃗⃗⃗ 为( ).
A .CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =29
AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +89
AC ⃗⃗⃗⃗⃗
B .CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =29
AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -8
9
AC
⃗⃗⃗⃗⃗ C .CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =29
AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +79
AC ⃗⃗⃗⃗⃗
D .C
E ⃗⃗⃗⃗⃗ =29
AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -79
AC ⃗⃗⃗⃗⃗
【解析】CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13
AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13
BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13
(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ),∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13
BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13
AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,
∴AE
⃗⃗⃗⃗⃗ =13(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +1
3
AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ), ∴CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +19BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +1
9
AC
⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +19BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +19AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =29AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +8
9
CA ⃗⃗⃗⃗⃗ . 又∵89
CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =-89
AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =29
AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -89
AC ⃗⃗⃗⃗⃗ .
【答案】B
6.(2017四川质检)向量e 1,e 2不共线,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3(e 1+e 2),CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 2-e 1,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2e 1+e 2,给出下列结论:①A ,B ,C 三点共线;②A ,B ,D 三点共线;③B ,C ,D 三点共线;④A ,C ,D 三点共线.其中所有正确结论的序号为 .
【解析】由AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4e 1+2e 2=2CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线,可得A ,C ,D 三点共线,且点B 不在此直线上. 【答案】④
7.(2017河北三模)如图,在△ABC 中,已知D 是AB 边上一点,若AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =13
CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λCB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ= .
【解析】由题图知CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ , ① CD
⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ② 且AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +2BD
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0. 由①+②×2,得3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2CB ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =1
3CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2
3CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴λ=2
3
. 【答案】2
3
8.(2017唐山一模)已知向量a ,b 是两个非零向量,则在下列四个条件中,能使a ,b 共线的条件是 .(将所有正确的序号填在横线上)
①2a-3b=4e ,且a+2b=-3e ;
②存在相异实数λ,μ,使λa +μb=0; ③x a+yb=0(实数x ,y 满足x+y=0).
【解析】由①得10a-b=0,故①正确;②正确;对于③,当x=y=0时,a 与b 不一定共线,故③错误. 【答案】①②
9.(2017黄冈二模)已知a ,b 是不共线的向量,AB
⃗⃗⃗⃗⃗ =λa+b ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +μb ,λ,μ∈R ,则A ,B ,C 三点共线的充要条件为( ). A .λ+μ=2 B .λ-μ=1 C .λμ=-1 D .λμ=1
【解析】因为A ,B ,C 三点共线,所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ .设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AC
⃗⃗⃗⃗⃗ (m ≠0),所以{λ=m,1=mμ,则λμ=1. 【答案】D
10.(2017安徽二模)已知A ,B ,C 是△ABC 的三个顶点,O 为平面内一点,满足OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,若实数λ满足AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则λ的值为( ).
A .3
B .3
2
C .-2
D .23
【解析】∵OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴O 为△ABC 的重心,设BC 的中点为D ,∴AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =23
AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =3
2
AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,而
AB
⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2×32
AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴λ=3. 【答案】A
11.(2017河南四校联考)设e 1,e 2是两个不共线的向量,已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2e 1+e 2sin α(-π2
<α<π2
),CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 1-54
e 2,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2e 1-e 2,若A ,B ,D 三点
共线,则函数f (x )=2cos (x+α)在[0,π)上的值域为( ).
A .[-1,1
2
]
B .[-2,√3]
C .(-2,1]
D .(-1,√3]
【解析】若A ,B ,D 三点共线,则存在实数λ,使AB
⃗⃗⃗⃗⃗ =λBD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,即AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(CD ⃗⃗⃗⃗⃗ -CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ),∴2e 1+e 2sin α=λ(CD ⃗⃗⃗⃗⃗ -CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=λ(e 1+14e 2),∴λ=2,sin α=14λ,∴sin α=12.∵-π2<α<π2,∴α=π6.∵0≤x<π,∴π6≤x+α<7π
6
,∴-2≤f (x )≤√3.
【答案】B
12.(2017江西联考)在直角梯形ABCD 中,∠A=90°,∠B=30°,AB=2√3,BC=2,点E 在线段CD 上,若AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则μ的取值范围是 .
【解析】由题意可求得AD=1,CD=√3,所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ . 因为AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +2μDC ⃗⃗⃗⃗⃗ . 又因为0≤2μ≤1,所以0≤μ≤1
2
.
【答案】[0,1
2
]
13.(2017怀化模拟)已知a ,b 为两个不共线的向量,若四边形ABCD 满足AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+2b ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-4a-b ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-5a-3b. (1)试用a ,b 表示向量AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ; (2)证明四边形ABCD 为梯形.
【解析】(1)AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗
=(a+2b )+(-4a-b )+(-5a-3b ) =(1-4-5)a+(2-1-3)b =-8a-2b.
(2)因为AD
⃗⃗⃗⃗⃗ =-8a-2b=2(-4a-b )=2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ , 即AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 且|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |,
所以在四边形ABCD 中,AD ∥BC 且AD ≠BC , 即四边形ABCD 为梯形.
§9.2 平面向量基本定理及坐标表示
一 平面向量基本定理
如果e 1,e 2是同一平面内的两个 向量,那么对于这一平面内的任意向量a , 一对实数λ1,λ2,使a =λ1e 1+λ2e 2.
其中,不共线的向量e 1,e 2叫作表示这一平面内所有向量的一组 .
二 平面向量的坐标运算
1.向量加法、减法、数乘向量及向量的模
设a=(x 1,y 1),b=(x 2,y 2),则
a+b= ,a-b= ,
λa= ,|a|=√x 12+y 12
.
2.向量坐标的求法
(1)若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标. (2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ = ,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(x 2-x 1)2+(y 2-y 1)2.
三 平面向量共线的坐标表示
设a=(x 1,y 1),b=(x 2,y 2),其中b ≠0.
a ∥
b ⇔x 1y 2-x 2y 1=0.
☞ 左学右考
已知向量m=(2,-5),n=(-1,3),则2m-3n 等于( ).
A .(1,-1)
B .(7,-19)
C .(7,-1)
D .(1,19)
已知向量a=(1,2),b=(-3,2),若ka+b 与b 平行,则k= .
在平行四边形ABCD 中,E 和F 分别是边CD 和BC 的中点,若AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAE ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,其中λ,μ∈R ,求λ+μ的值.
知识清单
一、不共线 有且只有 基底
二、1.(x 1+x 2,y 1+y 2) (x 1-x 2,y 1-y 2) (λx 1,λy 1) 2.(2)(x 2-x 1,y 2-y 1) 基础训练
1.【解析】原式=2(2,-5)-3(-1,3)=(7,-19). 【答案】B
2.【解析】由ka+b 与b 平行,得-3(2k+2)=2(k-3),∴k=0. 【答案】0
3.【解析】∵AC
⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12
AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12
AD ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAE ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ+12μ)AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +(12λ+μ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ+12μ=1,12λ+μ=1,两式相加得λ+μ=4
3
.
题型一 平面向量基本定理的应用
【例1】(2017山东省滨州市联考)在△ABC 中,M 为边BC 上的任意一点,点N 在线段AM 上,且满足AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1
3NM
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,若AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC
⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ∈R ),则λ+μ的值为( ). A .1
4
B .13
C .1
D .4
【解析】∵AN
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13
NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14
AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 又AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +4μAC
⃗⃗⃗⃗⃗ . ∵B ,M ,C 三点共线,∴4λ+4μ=1,∴λ+μ=1
4.
【答案】A
【变式训练1】(2017福建莆田一中高一月考)如图,在平行四边形ABCD 中,AC 与BD 交于点O ,E 是线段OD 的中点,AE 的延长线
与CD 交于点F.若AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,则AF
⃗⃗⃗⃗⃗ =( ). A .1
4
a+12
b B .12
a+14
b
C .23a+13
b
D .13a+23
b
【解析】∵AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12
AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12
BD
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12
a+12
b .∵E 是OD 的中点,∴|DE||EB|=13
,∴|DF|=13
|AB|. ∴DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =1
3
(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =1
3×(-1
2BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +1
2AC
⃗⃗⃗⃗⃗ )=1
6a-1
6
b , ∴AF
⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12a+12b+16a-16b=23a+1
3b ,故选C . 【答案】C
题型二 向量坐标的基本运算
【例2】已知a=(2,1),b=(1,x ),c=(-1,1).若(a+b )∥(b-c ),且c=ma+nb ,则m+n 等于( ).
A .14
B .1
C .-13
D .-12
【解析】a+b=(3,1+x ),b-c=(2,x-1).由(a+b )∥(b-c ),得3(x-1)-2(x+1)=0,解得x=5,∴c=ma+nb=(2m+n ,m+5n ),即{2m +n =-1,
m +5n =1,
解得
{m =-2
3
,
n =13.
【答案】C
向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行.若已知有向线段两个端点的坐标,则应先求出向量的坐标,解题
【变式训练2】(1)(2017河南洛阳模拟)已知点M (5,-6)和向量a=(1,-2),若MN
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-3a ,则点N 的坐标为( ). A .(2,0)
B .(-3,6)
C .(6,2)
D .(-2,0)
(2)(2017海南中学模考)已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-3),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-2),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,4),则CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ). A .(4,-1)
B .(0,9)
C .(2,-1)
D .(2,9)
【解析】(1)MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-3a=-3(1,-2)=(-3,6),设N (x ,y ),则MN
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-5,y+6)=(-3,6),所以{x -5=-3,y +6=6,解得{x =2,y =0,即N (2,0). (2)因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-3)+(-1,-2)=(0,-5),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,4), 所以CD
⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ -AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,4)-(0,-5)=(2,9). 【答案】(1)A (2)D
题型三 共线向量的坐标表示
【例3】平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1),请解答下列问题:
(1)若向量a=mb+nc ,求实数m ,n ; (2)若(a+kc )∥(2b-a ),求实数k ;
(3)若d 满足(d-c )∥(a+b ),且|d-c|=√5,求d.
【解析】(1)由题意得(3,2)=m (-1,2)+n (4,1), ∴{-m +4n =3,2m +n =2,解得{m =5
9
,n =89.
(2)a+kc=(3+4k ,2+k ),2b-a=(-5,2),
∵(a+kc )∥(2b-a ), ∴2×(3+4k )-(-5)(2+k )=0, ∴k=-16
13.
(3)设d=(x ,y ),则d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4). 由题意得{4(x -4)-2(y -1)=0,(x -4)2+(y -1)2=5,
解得{x =3,y =-1或{x =5,y =3.
∴d=(3,-1)或d=(5,3).
【变式训练3】(1)(2017南昌模拟)已知向量OA
⃗⃗⃗⃗⃗ =(k ,12),OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,5),OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-k ,10),且A ,B ,C 三点共线,则k 的值是( ). A .-2
3
B .43
C .12
D .13
(2)(2017福建石狮市联考)设OA
⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-2),OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a ,-1),OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-b ,0),a>0,b>0,O 为坐标原点,若A ,B ,C 三点共线,则1a +2
b
的最小值是( ). A .2 B .4 C .6 D .8
【解析】(1)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4-k ,-7),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2k ,-2).∵A ,B ,C 三点共线,∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥AC
⃗⃗⃗⃗⃗ ,则-2×(4-k )=-7×(-2k ),解得k=-23
. (2)由已知条件得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a-1,1),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-b-a ,1),若A ,B ,C 三点共线,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,由向量共线定理得(a-1)×1= 1×(-b-a ),∴2a+b=1,故1a +2
b
=(1a
+2b
)(2a+b )=4+b a +4a b
≥4+2√4=8. 【答案】(1)A (2)D
方法 利用转化和化归的思想解决向量的线性运算问题
复杂的向量线性运算是向量运算的难点,比较难以找到问题的突破口,但根据图形建立适当的平面直角坐标系,将线性问题转
化成向量的坐标运算,是解决此类问题的常用方法,此方法容易理解且过程简单.
【突破训练】(2016年四川卷)在平面内,定点A ,B ,C ,D 满足|DA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|DC ⃗⃗⃗⃗⃗ |,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =-2,动点P ,M 满足
|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则|BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2
的最大值是( ).
A .43
4 B .494
C .
37+6√3
4
D .
37+2√33
4
【解析】∵|DA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|DC ⃗⃗⃗⃗⃗ |,
∴点A ,B ,C 在以点D 为圆心的圆上.
又∵DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =-2, ∴DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 两两夹角相等,均为120°(如图).
设圆D 的半径为r ,则DA
⃗⃗⃗⃗⃗ ·DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =r ·r ·cos 120°=-2,∴r=2. ∵PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴M 为PC 的中点. ∵|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,
∴点P 在以点A 为圆心,1为半径的圆上.
由上知△ABC 是边长为2√3的等边三角形.
设AC 的中点为O ,连接DO ,OM ,则B ,D ,O 三点共线,则|BO ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3,BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BO ⃗⃗⃗⃗⃗ +1
2
AP ⃗⃗⃗⃗⃗ .
∴|BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|BO ⃗⃗⃗⃗⃗ +1
2AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2
=|BO ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+BO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +1
4
|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2
=9+3×1×cos <BO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ >+1
4
=37
4+3cos <BO
⃗⃗⃗⃗⃗ ,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ >≤37
4+3=49
4
,
当BO ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 同向时取等号,即|BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2
的最大值是494
.
【答案】B
1.(2017福建三明质检)已知向量a=(3,1),b=(x ,-1),若a-b 与b 共线,则x 的值为( ).
A .-3
B .1
C .2
D .1或2 【解析】∵a=(3,1),b=(x ,-1),∴a-b=(3-x ,2). 又∵a-b 与b 共线,∴2x=x-3,∴x=-3. 【答案】A
2.(2017陕西汉中二模)已知向量a=(-2,0),a-b=(-3,-1),则下列结论正确的是( ).
A .a ·b=2
B .a ∥b
C .|a|=|b|
D .b ⊥(a+b )
【解析】因为a=(-2,0),a-b=(-3,-1),所以b=(1,1),所以a ·b=-2,|a|=2,|b|=√2,所以选项A ,B ,C 都不正确.而a+b=(-1,1),则
b ·(a+b )=0,故选D .
【答案】D
3.(2017福建泉州调研)若向量a ,b 不共线,则下列各组向量中,可以作为一组基底的是( ).
A .a-2b 与-a+2b
B .3a-5b 与6a-10b
C .a-2b 与5a+7b
D .2a-3b 与1
2
a-34
b
【解析】不共线的两个向量可以作为一组基底.因为a-2b 与5a+7b 不共线,所以a-2b 与5a+7b 可以作为一组基底. 【答案】C
4.(2017山东烟台模拟)已知△ABC 的顶点分别为A (2,1),B (3,2),C (-3,-1),BC 边上的高为AD ,则点D 的坐标为( ).
A .(-95,75
)
B .(92,-75
)
C .(95,75
)
D .(-92,-75
)
【解析】设点D 的坐标为(x ,y ),∵AD 是边BC 上的高,∴AD ⊥BC ,∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ .又C ,B ,D 三点共线,∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-2,y-1),BC
⃗⃗⃗⃗⃗ =(-6,-3),BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-3,y-2),
∴{-6(x -2)-3(y -1)=0,-6(y -2)+3(x -3)=0,解得{x =9
5
,y =75
,
∴点D 的坐标为(95,7
5).
【答案】C
5.(2017哈尔滨模拟)如图,在△OAB 中,P 为线段AB 上的一点,OP
⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则( ).
A .x=2
3
,y=13
B .x=13,y=23
C .x=14,y=34
D .x=34,y=14
【解析】由题意知OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,又BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23
BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23
(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ -OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23
OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13
OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以x=23
,y=1
3
.
【答案】A
6.(2017宁夏中卫二模)已知向量a=(x ,2),b=(2,1),c=(3,x ),若a ∥b ,则向量a 在向量c 方向上的投影为 .
【解析】由a ∥b ,得x ×1-2×2=0,解得x=4,所以c=(3,4),a=(4,2),a ·c=12+8=20,所以向量a 在向量c 方向上的投影为
20
3+4=4.
【答案】4
7.(2017江西九江模拟)在梯形ABCD 中,AB ∥DC ,且DC=2AB ,三个顶点A (1,2),B (2,1),C (4,2),则点D 的坐标为 .
【解析】∵在梯形ABCD 中,DC=2AB ,AB ∥DC ,∴DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ .设点D 的坐标为(x ,y ),则DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4-x ,2-y ),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-1),∴(4-x ,2-y )=2(1,-1),即(4-x ,2-y )=(2,-2),∴{4-x =2,2-y =-2,解得{x =2,y =4,
即点D 的坐标为(2,4).
【答案】(2,4)
8.(2017南京模拟)如图,在△ABC 中,H 为边BC 上异于点B ,C 的点,M 为AH 的中点,若AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC
⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ+μ= . 【解析】由B ,H ,C 三点共线知,BH
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =k BC ⃗⃗⃗⃗⃗ (k ≠0,1),则AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +k BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +k (AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(1-k )AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +k AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12
AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12
(1-k )AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +k 2
AC ⃗⃗⃗⃗⃗ .又AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以{λ
=12(1-k),
μ=
k 2
,从而λ+μ=12
.
【答案】12
9.(2017郑州质检)已知A (2,3),B (5,4),C (7,10),点P 在第一、三象限的角平分线上,且AP
⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R ),则λ等于( ). A .-3
2
B .-12
C .12
D .32
【解析】设P (x ,y ),则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-2,y-3). ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3+5λ,1+7λ). ∵AP
⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴{x -2=3+5λ,y -3=1+7λ,∴{x =5+5λ,
y =4+7λ,
由点P 在第一、三象限的角平分线上,得5+5λ=4+7λ,解得λ=12
. 【答案】C
10.(2017黑龙江哈尔滨师大附中三模)已知AB ⊥AC ,AB=AC ,点M 满足AM
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1-t )AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,若∠BAM=π
3
,则t 的值为( ). A .√3-√2 B .√2-1 C .
√3-1
2
D .
√3+1
2
【解析】由题意可得CB AC
=√2.因为AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -t AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =t AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -t AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以t=|CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
|
|CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |
.
由正弦定理得
CM AC =sin30°
sin105°
, 所以t=
CM AC ·AC CB =√3-12
,故选C .
【答案】C
11.(2017江西南昌模拟)如图,在正方形ABCD 中,M ,N 分别是BC ,CD 的中点,若AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μBN
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ+μ的值为( ). A .8
5
B .58
C .1
D .-1
【解析】设正方形的边长为2,以点A 为原点,AB ,AD 分别为x 轴,y 轴,建立平面直角坐标系(如图),则A (0,0),B (2,0),C (2,2),M (2,1),N (1,2),所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2),AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1),BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,2),所以{2λ-μ=2,λ+2μ=2,解得{λ=6
5,μ=25,
所以λ+μ=85. 【答案】A
12.(2017辽宁大连市一模)已知向量OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,1),ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,3),OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =m OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -n ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (m>0,n>0),若m+n ∈[1,2],则|OF ⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围是( ).
A .[√5,2√5]
B .[√5,2√10)
C .(√5,√10)
D .[√5,2√10]
【解析】因为OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3m+n ,m-3n ),所以|OF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(3m +n)2+(m -3n)2=√10(m 2+n 2).设点P 的坐标为(m ,n ),则|OF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√10|OP|.由题意得P (m ,n )为可行域{
1≤m +n ≤2,
m,n >0
内一点,可行域为一个梯形ABCD (去掉线段BC ,AD )及其内部,其中
A (1,0),
B (0,1),
C (0,2),
D (2,0),所以点O 到直线AB 的距离d=√2
2,所以|OP|≥d=√2
2,|OP|<|OD|=2,从而|OF|∈[√10×
√2
2
,√10×
2)=[√5,2√10),故选B .
【答案】B
13.(2017重庆联考)正三角形ABC 内一点M 满足CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +n CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∠MCA=45°,则m
n
的值为( ).
A .√3-1
B .√3+1
C .
√3+1
2
D .
√3-1
2
【解析】如图,设正三角形的边长为a ,由CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +n CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,得
{CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =mCA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+nCA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB, CM
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =mCA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +nCB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2. ∵cos 15°=cos (60°-45°)=
√2+√6
4
,
∴{√2
2
|CM
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |a =ma 2+na 2
2
,√2+√6
4
|CM
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |a =ma 2
2
+na 2,
∴m n =
√3-1
2
,故选D .
【答案】D
14.(2017上海模拟)如图,在△ABC 中,BO 为边AC 上的中线,BG ⃗⃗⃗⃗⃗ =2GO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,设CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ,若AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =15
AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAC
⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R ),则λ的值为 .
【解析】因为BG ⃗⃗⃗⃗⃗ =2GO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =13
AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23
AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =13
AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13
AC ⃗⃗⃗⃗⃗ .又CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ,可设CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ,从而AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +m 3
AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +m 3
AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1+
m 3)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +m 3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ .因为AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =1
5AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAC
⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以m 3=15,λ=1+m 3=65
. 【答案】6
5
15.(2017北京西城区质检)在直角△ABC 中,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3,且DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,点P 是线段AD 上任一点,则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是 .
【解析】如图,分别以AB ,AC 所在直线为x 轴,y 轴建立平面直角坐标系,则C (0,3),B (3,0). ∵BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1
2
DC ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴D (2,1).
又∵点P 是线段AD 上任一点,
∴可设P (2y ,y ),0≤y ≤1,则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CP
⃗⃗⃗⃗⃗ =(2y ,y )·(2y ,y-3)=5y 2-3y. ∵0≤y ≤1,∴-9
20≤5y 2-3y ≤2.
∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CP
⃗⃗⃗⃗⃗ ∈[-9
20
,2]. 即AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CP
⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是[-9
20
,2]. 【答案】[-
9
20
,2]
§9.3 平面向量的数量积及应用
一 平面向量的数量积
已知两个非零向量a 和b ,它们的夹角为θ,则|a||b|cos θ叫作a 和b 的数量积(或内积),记作a ·b=|a||b|cos θ.
规定:零向量与任一向量的数量积为 .
两个非零向量a与b垂直的充要条件是a·b=0,两个非零向量a与b平行的充要条件是a·b=±|a||b|.二平面向量数量积的几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积.
三平面向量数量积的重要性质
1.e·a=a·e=|a|cos θ(e为单位向量).
2.非零向量a,b,a⊥b⇔.
3.当a与b同向时,a·b=|a||b|;
当a与b反向时,a·b=-|a||b|.
4.a·a=a2,|a|=√a·a.
5.cos θ=.
6.|a·b|≤|a||b|.
四平面向量数量积满足的运算律
1.a·b=b·a(交换律);
2.(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(λ为实数)(结合律);
3.(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).
五 平面向量数量积有关性质的坐标表示
设向量a=(x 1,y 1),b=(x 2,y 2),则a ·b= ,由此得到
1.若a=(x ,y ),则|a|2
= 或|a|=√x 2+y 2. 2.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则A ,B 两点间的距离
|AB|=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2.
3.设两个非零向量a ,b ,a=(x 1,y 1),b=(x 2,y 2),则a ⊥b ⇔ .
☞ 左学右考
已知向量a 与b 的夹角为3π
4
,且|a|=√2,|b|=2,则a (2a+b )等于( ).
A .-1
B .1
C .2
D .2√2
向量a=(3,-4), 向量|b|=2,若a ·b=-5,则向量a ,b 的夹角为( ).
A .π3
B .π6
C .3π4
D .2π3
设向量a ,b 满足a ·b=-12,且向量a 在向量b 方向上的投影为-4,则|b|等于( ).
A .4
B .3
C .2
D .1
在△ABC 中,M 是BC 的中点,|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,求PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )的值.
知识清单 一、0
三、2.a ·b=0 5.
a ·b
|a||b|
五、x 1x 2+y 1y 2 1.x 2
+y 2
3.x 1x 2+y 1y 2=0
基础训练
1.【解析】a (2a+b )=2a 2
+a ·b=4-2=2. 【答案】C
2.【解析】cos <a ,b>=
a ·
b |a||b|=-55×2=-1
2
,即向量a ,b 的夹角为2π
3.
【答案】D
3.【解析】设向量a ,b 的夹角为θ,则a ·b=|a|·|b|cos θ=|a|cos θ·|b|=-4|b|=-12,∴|b|=3. 【答案】B
4.【解析】如图,因为M 是BC 的中点,所以PB
⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .又AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,所以PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·2PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-4|PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=-49
|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=-4
9
.
题型一 平面向量的数量积的运算
【例1】(2017江西省玉山县一中期中)设D 为边长是2的正三角形ABC 所在平面内一点,BC
⃗⃗⃗⃗⃗ =3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值是( ). A .14
3
B .-143
C .43
D .4
【解析】∵BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴点D 在线段BC 的延长线上,且BD=4CD ,则|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1
3|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2
3,∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ )·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =4+2×2
3×12=14
3
. 【答案】A
【变式训练1】(1)(2017银川一中高一期末)已知向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b )·a=( ).
A .-1
B .0
C .1
D .2
(2)(2017长沙模拟)在矩形ABCD 中,AB=2,BC=2√2,E 为BC 的中点,点F 在边CD 上,若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2,则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值是 . 【解析】(1)∵a=(1,-1),b=(-1,2),∴a 2
=2,a ·b=-3.
∴(2a+b )·a=2a 2+a ·b=4-3=1.
(2)如图,∵AF
⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2|DF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2, ∴|DF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,∴|CF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CF ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CF ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2×1×(-1)+√2×2√2×1=2.
【答案】(1)C (2)2
题型二 向量的夹角与向量的模
【例2】已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b )·(2a+b )=61,则a 与b 的夹角的大小为 ,|a+b|= .
【解析】∵(2a-3b )·(2a+b )=61,∴4|a|2
-4a ·b-3|b|2
=61.又|a|=4,|b|=3,∴64-4a ·b-27=61,∴a ·b=-6.∴cos
θ=a ·b |a||b|=-64×3=-12.又0≤θ≤π,∴θ=2π
3.
∵|a+b|2=(a+b )2=|a|2+2a ·b+|b|2=42+2×(-6)+32=13,∴|a+b|=√13.
【答案】2π
3
√13。