浙江省平阳县第二中学高三数学上学期期中试题理

侧视图
正视图
平阳二中2015学年第一学期期中考试
高三数学（理）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个
选项中只有一项是符合题目要求的。

1．设全集{}
|6
U x N x
=∈<，集合{}{}
1,3,3,5
A B
==，则=
⋂B
C
A
C
U
U
( ) A．{2，4} B．{}
2,4,6 C．{}
0,2,4 D．{}
0,2,4,6
2. 已知函数()
y f x x
=+是偶函数，且(2)1
f=，则(2)
f-=（）
A. 1
- B. 1 C. 5- D. 5
3．命题“存在R
x∈，使a
ax
x4
2-
+＜0，为假命题”是命题“0
16≤
≤
-a”的（）A．充要条件B．必要不充分条件
C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
4．已知等差数列{}n a中，前10项的和等于前5项的和.若0
6
=
+a
a
m
则=
m（）
A.10
B.9
C.8
D.2
5.已知n
m,是两条不同的直线,β
α是两个不同的平面.在下列条件中,
可得出β
α⊥的是（）
A．β
α//
,
,n
m
n
m⊥
⊥ B．β
α⊥
n
m
n
m,
//
,
//
C．β
α//
,
//
,n
m
n
m⊥D．β
α⊥
⊥n
m
n
m,
,
//
6. 已知某锥体的正视图和侧视图,
其体积为
3
，
则该锥体的俯视图可以是( )
A. B. C. D.
7．已知，
a b是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量c满足0
)
(
)
(=
-
∙
-c
b
c
a
, 则c的最大值是（）
A ．1
B ．2 C
D 8．设函数的集合⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧-=-
=++==1,0,1;21,0,21|)(log )(2b a b a x x f P ,平面上点的集合⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧-=-==1,0,1;1,21,0,21|),(y x y x Q ,则在同一直角坐标系中,P 中函数()f x 的图象恰好．．
经过Q 中两个点的函数的个数是 （ ）
A ．4
B ．6
C ．8
D ．10
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

9. 已知tan 2α=，则tan 2α的值为 ,cos 2α=________
10．()的定义域为函数)4(g lo 22x x f -= ，值域为 ． 11．已知数列{}()112,(1)(1)2,,n n n a a n a n a n n *-=+=-∈N 满足：≥则
=1
3
a a ， 数列{a n }的通项公式为 ．
12．向量()()1,1,2,2m n λλ=-=-,若m ∥n ，则=λ_____；若()()
m n m n +⊥-,则=λ______．
13．函数()2|}f x x =-，其中,,
min{,},.a a b a b b a b ≤⎧=⎨>⎩
，若直线y m =与函数()y f x =的图象
有三个不同的交点，则实数m 的取值范围是 .
14.若不等式 121x x a ++->恒成立，则a 的取值范围是________．
15. 设∈b a ,R ，关于x 的方程0)1)(1(22=+-+-bx x ax x 的四个实根构成以q 为公比的等比数列，若
]2,3
1
[∈q ，则ab 的取值范围是 ．
三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程
或演算步骤．
16．（本小题满分14分）在ABC ∆中，内角,,A B C 的对应边分别为,,a b c ， 已知sin cos a c B b C =+． （1）求A C +的值；
（2）若b =
ABC ∆面积的最大值．
17、（本小题15分）
设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =，131n n a S +=+，n *∈N ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）记n T 为数列{}n na 的前n 项和，求n T ．
18、（本小题15分）
如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面是边长为a 的正方形，
侧棱PD ＝a ，PA ＝PC ＝2a ， (1)求证：PD ⊥平面ABCD ； (2)求证：平面PAC ⊥平面PBD ； (3) 若E 是PC 的中点，
求二面角E －BD －C 的正切值．
19. （本小题15分）
的取值范围。

成立，求实数使得总存在若对于任意）设函数（的值域
）求（已知函数a )()(g ],2,2[],
2,2[],2,2[,2)(g 2)(1]2,21[,1)
21,1[,2)1,2[,1)(1001x f x x x x ax x x f x x x x x x x x f =-∈-∈-∈-=⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧∈--∈---∈+=
20、（本小题15分）设a 为实数，函数()()()2
1f x x a x a a a =-+---．
()1若()01f ≤，求a 的取值范围； ()2讨论()f x 的单调性； ()3当2a ≥时，讨论()4
f x x
+
在区间()0,+∞内的零点个数.
平阳二中2015学年第一学期期中考试
高三数学（理）参考答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，
1-5 CDAAB,6-8CCB
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

9.53,34--
10.(-2，2), ]2,(-∞ 11.)
1(4,61+n n 12. 0 ， 3 13. 1 14. a<23 15.[4,9
112
] 三、解答题：本大题共5小题，共74分．
16.（本小题满分14分）在ABC ∆中，内角,,A B C 的对应边分别为,,a b c ，已知
sin cos a c B b C =+．
（1）求A C +的值；
（2）若b =ABC ∆面积的最大值．
（1）34A C π+=
（2）12
+ （1）由正弦定理得到：sin sin sin sin cos A C B B C =+ 因为在三角形中，sin sin[()]sin()A B C B C π=-+=+
所以sin()sin cos cos sin sin sin sin cos B C B C B C C B B C +=+=+ 所以cos sin sin sin B C C B =
因为(0,),sin 0C C π∈≠ ，所以cos sin B B =即tan 1,(0,)B B π=∈ 所以4
B π
=
即3
4
A C π+=。

（2）由余弦定理得到：2
2
2
2cos b a c ac B =+-,所以22
2a c =+
所以2
2
22a c ac =+≥即2
ac ≤
=+
当且仅当a c =即a c ===”成立
而1sin 2ABC
S ac B =
=，所以ABC ∆
17.设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =，131n n a S +=+，n *∈N ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）记n T 为数列{}n na 的前n 项和，求n T ．
解：（Ⅰ）由题意，131n n a S +=+，则当2n ≥时，131n n a S -=+.
两式相减，得14n n a a +=（2n ≥）. 又因为11a =，24a =，
2
1
4a a =， 所以数列{}n a 是以首项为1，公比为4的等比数列 所以数列{}n a 的通项公式是1
4n n a -=（n *∈N ）.
（Ⅱ）因为2112323124344n n n T a a a na n -=+++
+=+⨯+⨯+
+⋅，
所以2
3
14412434(1)44n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅， 两式相减得，2
1
1431444
4414
n
n n
n n T n n ---=++++-⋅=-⋅-，
整理得，311
499
n n n T -=⋅+ (n *∈N ).
18．（本小题15分）如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a，PA＝PC＝2a，
(1)求证：PD⊥平面ABCD；
(2)求证：平面PAC⊥平面PBD；
(3)若E是PC的中点，求二面角E－BD－C的正切值．
[解析] (1)∵PD＝a，DC＝a，PC＝2a，
∴PC2＝PD2＋DC2，
∴PD⊥DC．
同理可证PD⊥AD，又AD∩DC＝D，
∴PD⊥平面ABCD．
(2)由(1)知PD⊥平面ABCD，
∴PD⊥AC，而四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，又BD∩PD＝D，
∴AC⊥平面PDB．
同时，AC⊂平面PAC，
∴平面PAC⊥平面PBD．
(3)过点E作EF⊥CD于F,过F作HF⊥BD于H,
故∠FHE为二面角E－BD－C的平面角．
在Rt△EFH中，tan∠FHE＝ 2.
19.
20、设a 为实数，函数()()()2
1f x x a x a a a =-+---．
()1若()01f ≤，求a 的取值范围； ()2讨论()f x 的单调性； ()3当2a ≥时，讨论()4
f x x
+
在区间()0,+∞内的零点个数.。